Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada STATISTIKA. Continuous Probability Distributions.

STATISTIKA

Continuous Probability Distributions

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada

Continuous Probability Distributions



Normal Distribution



Uniform Distribution



Exponential Distribution



Gamma Distribution



Lognormal Distribution



Extreme Value Distributions



Extreme Value Type I



Extreme Value Type III Minimum (Weibull)



Beta Distribution

Distribusi Uniform

X p_X(x) a _b

pdf: p

_X

( )

x

=

1

b- a

,

a £

x

£ b

cdf: P

_X

( )

x

=

x

- a

b- a

,

a £

x

£ b

E X

( )

=

1 2

( )

b+a

var X

( )

=

1 12

(

b- a

)

2

Distribusi Eksponensial

pdf: p

_X

( )

x

= l

e

-lx

, x

>

0,

l >

0

x

( )

= l

e

-lt x

ò

=

-

e

-lx

>

X p_X(x)

c

s

=

2 (konstan)

Coefficient of skew:

estimasi ˆ

l =

1

X

Parameter

l:

Distribusi Gamma



Penjumlahan sejumlah n variabel random berdistribusi

exponensial, masing-masing berparameter

l

, menghasilkan

variabel random berdistribusi gamma dengan parameter

l.

pdf

®

p

_X

( )

x

= l

h

x

h-1

e

-lx

G h

( )

, x,

l

,

h >

0

cdf

®

P

_X

( )

x

= l

h

t

h-1

e

-lt

G h

( )

d t

0 x

ò

®

P

_X

( )

x

=

1

-

e

-lx

( )

l

x

j

j!

j=0 h-1

å

,

h =

integer

Distribusi Gamma

G h

( )

=

fungsi gamma

G h

( )

= h-

( )

1

!,

h =

1,2,3,...

G h+

( )

1

= hG h

( )

,

h >

0

G h

( )

=

t

h-1

e

-h

d t

0 ¥

ò

,

h >

0

G

( )

1

= G

( )

2

=

1

G

1 2

( )

= p

E X

( )

= h l

Mean:

var X

( )

= h l

2

Variance:

g =

2

h

Coef. of skew:

Distribusi Gamma

h=

konstan

X p_X(x)

l

₁

l

₂

< l

₁

l

₃

< l

₂

< l

₁

p

_X

( )

x

=

1

G h

( )

l

h

x

h-1

_e

-lx

_{, x,}

_l

_,

_{h >}

₀

Distribusi Lognormal



Variabel random X

 Jika disusun dari penjumlahan sejumlah pengaruh variabel kecil, maka

X kemungkinan besar berdistribusi normal.

 Jika disusun dari perkalian sejumlah pengaruh variabel kecil, maka ln X

kemungkinan besar berdistribusi normal.

X

=

X

1

+

X

2

+

...

+

X

n

X

_i

=

berdistribusi normal

X

=

berdistribusi normal

X

=

X

₁

×

X

₂

×

...

×

X

_n

ln X

=

ln X

₁

+

ln X

₂

+

...

+

ln X

_n

_{ln X}

=

berdistribusi normal

Distribusi Lognormal

p_Y

( )

y = 1 s_Y 2p e-12

(

y-mY

)

2 s_Y2 , -¥ < y < +¥

p

_X

( )

x

=

p

_Y

( )

y

d y

d x

Y

=

ln X

Y

_i

=

ln X

_i

_{Y berdistribusi normal}

Distribusi X ?

p_X

( )

x = 1 xs_Y 2p e-12

(

ln x-mY

)

2 s_Y2 , x >0

Y

=

ln X

Þ

d y

d x

=

1

x

, x

>

0

Y

=

Y

1

+

Y

2

+

...

+

Y

n

Distribusi Lognormal

Y

=

1 2

ln

X

2

c

_v2

+

1

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

s

_Y2

=

ln c

( )

_v2

+

1

Estimasi

m

Y

dan

s

Y

Data x

_i

ditransformasikan dulu menjadi y

_i

= ln x

_i

c

_v

=

koefisien variasi data asli

c

_v

=

s

X

X

m

_Y

®

Y

s

_Y

®

s

_Y

Distribusi Lognormal

• Mean

E X

( )

=

e

m_Y+1 2sY 2 æ è ç ö_ø÷

• Varian

var X

( )

= m

_X2

e

sY 2

-

1

æ

è

ç

ö

ø

÷

• Koefisien variasi

c

_v

=

æ

e

sY2

-

₁

è

ç

ö

ø

÷

2

• Coefficient of skew

g =

3c

v

+

c

v 3

Distribusi Nilai Ekstrem



Contoh nilai ekstrem

 Debit banjir  Debit minimum



Nilai-nilai ekstrem variabel random juga merupakan variabel

random.



Distribusi variabel random nilai ekstrem tsb bergantung pada:

 distribusi variabel random tempat asal variabel nilai ekstrem tsb

diperoleh  parent distribution

Distribusi Nilai Ekstrem



Contoh



Variabel random

X

=

x

1

, x

2

,..., x

n

P

_Y

( )

y

=

prob Y

(

£

y

)

P

_X i

( )

x

=

prob X

(

i

£

x

)

Y = nilai ekstrem variabel random tersebut

Distribusi Nilai Ekstrem

maka:

P

_Y

( )

y

=

P

_X 1

( )

y

×

P

X2

( )

y

×××

P

Xn

( )

y

=

éë

P

X

( )

y

ùû

n

p

_Y

( )

y

=

d P

Y

( )

y

d y

=

n P

éë

X

( )

y

ùû

n-1

d P

_X

( )

y

d y

=

n P

éë

_X

( )

y

ùû

n-1

p

_X

( )

y

Distribusi Nilai Ekstrem



Contoh



Waktu antara 2 hujan berurutan berdistribusi eksponensial.



Waktu rata-rata antara 2 hujan = 4 hari



Waktu antara tsb merupakan kejadian independent satu

dengan yang lain



Dicari:

 waktu antara terbesar, misal probabilitas waktu antara tsb lebih besar

Distribusi Nilai Ekstrem

Ditinjau 10 kejadian hujan

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

x

₅

x

₆

x

₇

x

₈

x

₉

 n = 9

Distribusi Eksponensial:

p

_X

( )

x

= l

e

-lx

, x

>

0,

l >

0

P

_X

( )

x

=

1

-

e

-lx

, x

>

0

E X

( )

= l

-1

Þ l =

1

E X

( )

l =

ˆ

1

X

Distribusi Nilai Ekstrem

p

_X

( )

x

=

1 4

e

-1 4 x

P

_X

( )

x

=

1

-

e

-1 4 x

P

_Y

( )

8

=

prob Y

(

£

8

)

=

prob semua x

(

£

8

)

=

éë

P

_X

( )

8

ùû

9

=

( )

1

-

e

-2 9

=

0.271

prob Y

(

>

8

)

=

1

-

0.271

=

0.729

Distribusi Nilai Ekstrem



Permasalahan yang sering ditemui adalah bahwa jenis

parent distribution tidak diketahui.



Hal ini diatasi dengan



ukuran sampel cukup besar, n »



pemakaian distribusi asimtotis



dikenal 3 jenis distribusi asimtotis

 Type I – parent distribution unbounded in direction of the desired

extreme and all moments of the distribution exist (exponential type distributions)

 Type II – parent distribution unbounded in direction of the desired

extreme and all moments of the distribution do not exist (Cauchy type distributions)

Distribusi Nilai Ekstrem



Permasalahan yang menjadi interest umumnya menyangkut

nilai-nilai ekstrem maximum atau extrem minimum.



Beberapa contoh parent distributions

 Type I – extreme value largest – normal, lognormal, eksponential,

gamma

 Type I – extreme value smallest – normal

 Type II – extreme value largest or smallest – distribusi Cauchy  Type III – extreme value largest – distribusi beta

 Type III – extreme value smallest – beta, lognormal, gamma,

Distribusi Nilai Extrem

(9)



Permasalahan di bidang hidrologi



Type II – extreme value largest or smallest

 jarang dijumpai/dipakai



Type I – extreme value largest

 nilai ekstrem maksimum sering mengikuti distribusi jenis ini mengingat banyak variabel hidrologi unbounded di sisi kanan



Type III – extreme value smallest

 nilai ekstrem minimum sering mengikuti distribusi jenis ini mengingat banyak variabel hidrologi bounded di sisi kiri oleh nilai nol

Type I Extreme Value Distribution

(Gumbel Distribution)

p

X

( )

x

=

exp ∓ x

{

( )

-b

a -

exp ∓ x

éë

( )

-b

a

ùû

}

a

-¥ <

x

< +¥

-¥ < b < +¥

a >

0

− untuk nilai maksimum + untuk nilai minimum α = skala

Type I Extreme Value Distribution

(Gumbel Distribution)

E X

( )

= b+

0.577

a

(max)

= b-

0.577

a

(min)

var X

( )

=

1.645

a

2

(max min)

g =

1.1396

(max)

= -

1.1396 (min)

Type I Extreme Value Distribution

(Gumbel Distribution)

P

_Y

( )

y

=

exp ∓ t

éë

-

exp ∓t

( )

ùû

d t

-¥ +¥

ò

,

-¥ <

y

< +¥

=

exp

éë

-

exp

( )

-

y

ùû

(max)

=

1

-

exp

éë

-

exp y

( )

ùû

(min)

Y

=

x

-b

a

P

( )

y

=

1

-

P

( )

-

y

Dengan memakai transformasi

− untuk nilai maksimum + untuk nilai minimum

Type I Extreme Value Distribution

(Gumbel Distribution)

Estimasi parameter α dan β

ˆ

a =

s

1.283

ˆ

b =

X

-

0.45s

(max)

=

X

+

0.45s

(min)

Type II Extreme Value Distribution

P

_X

( )

x

=

0

if x

£ b

=

exp

-

u

-b

x

-b

æ

è

ç

ö

ø

÷

k

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

if x

³ b

k

>

0

®

bentuk

u

-b >

0

®

skala

b

®

lokasi

E X

( )

= b+

( )

u

-b

G

(

1

-

1 k

)

var X

( )

=

( )

u

-b

2

é

_ëê

G

(

1

-

2 k

)

-G

2

(

1

-

1 k

)

ù

_ûú

, k

>

2

Type III Extreme (Minimum) Value Distribution

(Weibull Distribution)

p

_X

( )

x

= a

x

a-1

b

-a

exp

-

x

b

æ

è

ç

ö

ø

÷

a

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

, x

³

0

P

_X

( )

x

=

1

-

exp

-

x

b

æ

è

ç

ö

ø

÷

a

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

E X

( )

= b G

(

1

+

1

a

)

var X

( )

= b

2

é

_ëê

G

(

1

+

2

a

)

-G

2

(

1

+

1

a

)

ù

_ûú

g =

G

(

1

+

3

a

)

-

3

G

(

1

+

2

a

)

G

(

1

+

1

a

)

+

2

G

3

1

+

1

a

(

)

Type III Extreme (Minimum) Value Distribution

(Weibull Distribution)

l = b

-a

ˆ

l =

n

x

_iaˆ i=1 n

å

ˆ

a =

n

ˆ

l

x

_iaˆ

ln x

_i i=1 n

å

-

ln x

_i i=1 n

å

ˆ

b =

( )

_a

ˆ

-1 ˆa

Estimates:

Extreme Value Distributions

Beta Distribution

p

X

( )

x

=

x

a-1

1

-

x

( )

b-1

B

( )

a

,

b

, 0

<

x

<

1 and

a

,

b >

0

Distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah

B

( )

a

,

b

=

beta function

=

x

a-1

( )

1

-

x

b-1

d x

0 1

ò

=

G a

( )

G b

( )

G a+b

( )

E X

( )

= a

a+b

var X

( )

=

ab

a +b+

1

(

)

( )

a +b

2

Pearson Type III Distribution

p

X

( )

x

=

p

0

(

1

+

x

a

)

a 5

e

-x d

• mode di x = 0

• batas bawah di x = −α

p

_X

( )

x

=

p

₀

e

-

( )

x-a d

x

a

æ

è

ç

ö

ø

÷

a b

• mode di x =

α

• batas bawah di x = 0

DISTRIBUSI SAMPEL

STATISTIK

Distribusi Chi-square Distribusi t

Chi-square Distribution

Z

=

X

-m

s

variabel random berdistribusi normal

p

c2

( )

x

=

x

-

(

1-n 2

)

e

-x 2

2

n 2

G n

( )

2

x,

n >

0

n =

2

h

Distribusi chi-square = distribusi gamma dengan λ = ½ η = kelipatan ½

Y

=

Z

_i2 i=1 n

å

berdistribusi chi-square dengan n degrees of freedom

t Distribution

Y dan U independent

p

_T

( )

t

=

G

1 2

( )

n+

1

é

ë

ù

û

(

1

+

t

2

n

)

-1 2

( )

n+1

pn G n

( )

2

-¥ >

t

< +¥

n >

0

X

=

Y

n

U

 berdistribusi t dengan ν degrees of freedom

E T

( )

=

0

var

( )

c

2

= n

n-

2

untuk

n >

2

Y = normal standar

U = chi-square

F Distribution

U dan V

independent

p

_F

( )

f

=

G

1 2

(

g

1

+ g

2

)

é

ë

ù

ûg

1 g₁ 2

g

g2 2

f

1 2

( )

g1-2

g

₂

+ g

₁

f

(

)

1 2

(

g1+g2

)

G g

1

2

( )

G g

( )

₂

2

g

₁

,

g

₂

>

0

X

=

( )

U m

( )

V n

_{ berdistribusi F dengan γ}

1

= m dan γ

2

= n

degrees of freedom

E F

( )

=

g

1

( )

=

g

2 2

_g

1

+

2

(

)

U = chi-square dengan γ = m degrees of freedom

V = chi-square dengan γ = n degrees of freedom