Statistika. Random Variables Discrete Random Variables Continuous Random Variables. Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada

Statistika

Random Variables

Discrete Random Variables

Continuous Random Variables

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada

Pengertian



Random variable (variabel acak)

 suatu fungsi yang didefinisikan pada sample

space



Jenis

 Discrete random variables

 Continuous random variables



Contoh

 jumlah hari hujan selama 1 tahun  diskrit

Random Variables



Notasi

 X  variabel random

 x  nilai variabel random



Fungsi

 Suatu fungsi variabel random adalah variabel

random pula

 Jika X adalah variabel random, maka Z = g(X)

Univariate Probability Distributions

X = discrete random variables

= x

₁

, x

₂

, x

₃

, …, x

_n

f

_X

(x

₁

)

f

_X

(x

₂

)

f

_X

(x

_n

)

f

_X

(x

₃

)

∑ f

_X

_(x

_i

_{) = 1}

probability

x₁ f_X(x_i) x_n x₁ x₂ x₃

…

x_n−1 F_X(x_i) x_n x₂ x₃

…

x_n−1 1 a discrete probability distribution a discrete cumulative probability distribution probability x ≤ x_i 0

 

_

 





x x i X X i

x

f

x

F

 

_i



_X

 

_i



_X

 

_i1 X

x

F

x

F

x

f

 Probability distribution

suatu variabel random X untuk X = x

 Cumulative probability distribution suatu variabel random X untuk X = x

Univariate random variables

Jika X dapat bernilai x

₁

, x

₂

, …, x

_n

yang masing-masing memiliki probability

f

_X

(x

₁

), f

_X

(x

₂

), …, f

_X

(x

_n

) dan ∑f

_X

(x

_i

) = 1,

maka X adalah variabel random diskrit.



    _ i j x x x x x j i i i i f F F F f 1 1



Frequency



Probability

 

 

 

 

_

 

     x x i X X i X i X i X i x f x F x F x F x f ₁  frekuensi relatif

Continuous Random Variables



Probability

 

i _fxi n n A   prob

n_i = jumlah data di klas ke-i

n = jumlah seluruh data

Dengan demikian, f_xi dapat dipandang sebagai nilai estimasi probability.

f_xi  estimasi prob(A)

histogram frekuensi  pendekatan distribusi probability

frekuensi kumulatif  pendekatan distribusi probability kumulatif

continuous random variable treated as thought it were discrete

prob(a ≤ X ≤ b) x x a b a b p_X(x) P_X(x)

pdf = probability density function

P_X(b) P_X(a) 1 0 luas = prob(a ≤ X ≤ b) luas = prob(X ≤ b) luas = 1 cdf = cumulative probability distribution function P_X(x) = prob(X ≤ x)

p_X(x) = probability density function of a continuous random variable

P_X(x) = cumulative probability distribution function

 





 

 

 

_

 

      x X X X X X t t p x P x x p x P x X x P d d d prob

 

 

 

 

1 ) 4 0 ) 3 1 d ) 2 , 0 ) 1         



    X X X X P P x x p x x p

Beberapa sifat probability





 

 

b P

 

a P t t p b X a X X b a X     



d prob ) 5





 

 

 

0 d prob ) 6     



c P c P t t p c X X X c c X











a X b





a X b



b X a b X a            prob prob prob prob

Kala Ulang

 Jadi dalam definisi kala ulang

a. suatu kejadian yang menyamai atau melampaui suatu nilai tertentu

b. suatu kejadian yang melampaui suatu nilai tertentu

Kedua definisi, a dan b, adalah sama mengingat probability suatu kejadian (event) menyamai suatu nilai tertentu adalah nol



X



a





prob



X



a



prob

Contoh

Bivariate Distributions

(1)

 Apabila diinginkan untuk mengetahui perilaku dua

atau lebih random variables  joint probabilities

 Joint probability density function

 

P

 

x y y x y x p_{X Y} , _X,Y , 2 , _{ }   P_{X ,Y}(x, y)₌ prob X

(

_< x and Y _< y

)

= p_{X ,Y}

( )

s,t dt ds -¥ +¥

ò

-¥ +¥

ò

Bivariate Distributions

(2)

 Beberapa persamaan

 

,

, x

p_{X Y} is a cumulative univariate probability function of X only



y



P_X,Y , is a cumulative univariate probability function of Y only

 







,





,



0 1 , 0 , , , , ,          x P y P P y x p Y X Y X Y X Y X

Marginal Distributions

(1)

 Two random variables, X and Y

 Ingin diketahui perilaku X tanpa mempertimbangkan nilai

variabel Y  Marginal density:

 

 

 



_



 

    t t x p x p x p y x p Y X X X Y X d , , , ,

Marginal Distributions

(2)

 Two random variables, X and Y

 Cumulative marginal distribution:

 

 









 

 



 

                  x X x Y X X X s s p s t t s p x X Y x X x P x P d d d , prob dan prob , ,

 

x y P

 

x P_X,Y ,  _X

Marginal Distributions

(3)

 Untuk variabel Y

 Marginal density

 Cumulative marginal distribution:













 



           y Y Y Y t t p y Y y Y X y P y P d prob dan prob ,

 

 

 



_



 

    s y s p y p y p y x p Y X Y Y Y X d , , , ,

Conditional Distributions

 Two random variables, X and Y

 Ingin diketahui perilaku X yang bergantung pada Y

 Distribusi X jika Y = y₀  Distribusi Y jika x₁ ≤ X ≤ x₂





   













_{ } 

 

 _{ } y p y x p y x p y p y x p y y x p x S y x p S y R x t t p t t x p S y x p Y X Y X Y Y X Y X R X Y S Y S X Y i Y X , dituliskan sering lebih yang , d dalam di dalam di dalam di prob d d , dalam di , 0 0 , 0 , ,     







Independence

 Two random variables, X dan Y

 Kedua variabel independence jika

 Joint probabilities: perkalian density marginal kedua

variabel adalah

 

 

x y p

 

x p y y x p X Y X Y X  fungsi bukan

 

x y p

   

x p y p_X,Y ,  _X  _Y

Contoh

Random Variables

Samples Observasi statistik Samples (belum diukur) Populasi estimasi

Statistik



Langkah

1. Pengambilan sampel

2. Observasi (analisis) terhadap sampel

3. Penyimpulan tentang perilaku sampel

4. Estimasi tentang perilaku populasi berdasarkan butir (3)

5. Estimasi tentang sampel lain (yang belum diambil) berdasarkan butir (3)

Statistik



Contoh

 Data debit suatu sungai selama 50 yang telah lalu

dipakai sebagai dasar untuk melakukan estimasi debit sungai tersebut selama periode tak terbatas (estimasi tentang perilaku populasi).

 Informasi tersebut dapat pula dipakai untuk

estimasi debit sungai tersebut selama periode tertentu pada masa yang akan datang (sampel yang belum diambil).

Moment and Expectation:

Univariate Distributions

 x p_X  x x p A _X d d  _{ }





       x x p x A x X A d d 1 A dA x Y O _X pdf

Moment pertama terhadap O

Untuk suatu random variable



    Ax A A x d d d 1 1

Moment and Expectation:

Univariate Distributions

 Secara umum berlaku bahwa momen ke-i

terhadap O adalah

 continuous random variables

 discrete random variables

 



    _i xi p_X x d x

 



  j j X i j i x f x

Moment and Expectation:

Univariate Distributions

 Momen sentral ke-i: momen ke-i terhadap mean

(nilai rata-rata)





 



      _i x i p_X x d x

Moment and Expectation:

Univariate Distributions

 

 

 

_

 



     j j X j X x f x X E x x p x X E d

Nilai expektasi suatu random variable X

X continuous X discrete Dengan demikian:

 









i i i X E X E      

Statistical Measures

 Common statistical measures

 Measure of central tendency

 Mean  Mode  Median  Measure of variability  Range  Variance  Standard deviation

 Measure of an individual in a population

 z score

Measure of Central Tendency

(1)



Nilai rata-rata (average)

 rata-rata (mean)

 mode  score yang paling sering muncul

 median  score yang berada di tengah dari suatu

rangkaian score urut (dari nilai kecil ke besar atau sebaliknya)

Measure of Central Tendency

(2)



Contoh

 Jumlah hari hujan selama 11 bulan terakhir

adalah sbb.

21, 21, 21, 20, 18, 16, 12, 12, 6, 2, 1

 rata-rata = 14 =AVERAGE(...)

 mode = 21 =MODE(...)

 median = 16 =MEDIAN(...) 

Dari ketiga ukuran statistik tersebut,

manakah yang paling baik menceritakan

tentang pola jumlah hari hujan dalam 11

bulan tersebut?

Measure of Central Tendency

(3)



Contoh

 Carilah contoh sejenis, yang berhubungan

dengan pengelolaan sumberdaya air; misal:

 perilaku penduduk dalam pemakaian air (waktu, volume,

debit, dsb.)

 data klimatologi (temperatur udara, kelembaban udara,

lama penyinaran matahari, dsb.)

 Diskusikan

 nilai rata-rata  mode

Measure of Central Tendency

(4)



Contoh

 Cari dan diskusikan contoh-contoh yang

berhubungan dengan bencana alam

 debit dan tinggi muka air banjir sungai  lama genangan banjir di suatu kawasan  banjir lahar, debris flow

Measure of Central Tendency

(5)



Simbol dan rumus

 Nilai rata-rata (variabel random kontinu)

 

 



          x x p x X E X X d 1

Measure of Central Tendency

(6)



Simbol dan rumus

 Rata-rata (variabel random diskrit)



 X n X 1



 X n X 1 

Nilai rata-rata sampel

n = jumlah anggota sampel

Nilai rata-rata populasi

n = jumlah anggota populasi

besaran statistik: hanya berdasarkan sebagian anggota populasi parameter: berdasarkan seluruh anggota populasi

estimasi nilai

rata-rata populasi

Measure of Central Tendency

(6)

 Beberapa sifat nilai rata-rata



 C X n X C 1







   C X n X C 1 C = konstanta

Measure of Central Tendency

(7)  Nilai rata-rata  Arithmetic mean  Geometric mean  Harmonic mean  Weighted mean



 X n X 1





n X X 



1



 X n X 1 =AVERAGE(...) =GEOMEAN(...) =HARMEAN(...)





 w X w X_W

Measure of Central Tendency

(8)



Nilai rata-rata

 Root mean square



  n i i RMS x n X 1 2 1

Measure of Central Tendency

(9)

 Median

 Variabel random kontinu

 Variabel random diskrit

 

d  0.5  



   md x x p_X md p md  x 

 

0.5 1 



 p i i X x f

Measure of Central Tendency

(10)

 Mode, nilai yang paling sering muncul/terjadi

 Variabel random kontinu

 Variabel random diskrit

 

 

0 d d dan 0 d d hingga sedemikian dihitung populasi, mode 2 2     x x p x x p_{X X} mo

 

_i X n i x f X 1 max hingga sedemikian nilai suatu adalah mode 

Measure of Variability

(1)



Keragaman

 Variability, scatter, spread

 menunjukkan apakah angka dalam distribusi saling

berdekatan atau berjauhan

 Range  beda antara nilai tertinggi dan terendah

dalam distribusi

 mungkin biasa digunakan dalam permasalahan

sehari-hari

 Standard deviation (simpangan baku)

Measure of Variability

(2)



Simbol dan rumus

 Variance (ragam) variabel random kontinu

merupakan momen kedua terhadap nilai rata-rata

 









 

X E

 

X E X E X 2 2 2 2 2 var         

Measure of Variability

(3)



Simbol dan rumus

 Variance (ragam) variabel random diskrit





n X



  2 2   variance populasi





1 2 2   



n X X s variance sampel estimasi nilai variance populasi =VAR(...)

Measure of Variability

(4)

 Kenapa penyebut n − 1

 menghasilkan nilai yang lebih besar daripada dibagi

dengan n; ini untuk mengompensasi kecenderungan variabilitas sampel yang lebih kecil daripada variabilitas populasi

 dari sisi praktis, hal ini juga menunjukkan variabilitas

dari sampel beranggota 1 adalah tidak ada (tidak ada variabilitas dari 1 score)

Measure of Variability

(5)





1

2 2









n

X

X

s

1

2 2 2









n

X

n

X

s

Cobalah Saudara uraikan

Measure of Variability

(6)













1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                           























n X n X n n X X n n X n X n X X n X n X X X n X X X X n X X s

Measure of Variability

(7)



Simbol dan rumus

 Standard deviation (deviasi standar,

simpangan baku)





n X



  2 

 deviasi standar populasi





1 2   



n X X

s deviasi standar sampel

estimasi nilai deviasi standar

Measure of Variability

(8)  Coefficient of variation  catatan

X

s

c

_v



 

 

 



a bX



b

 

X X c cX c var var var var 0 var 2 2    

Simetri

mode = median = mean mode median mean simetris







3 3 2 2 1 t, coefficien skewness sampel skewness populasi skewness X s mo mo s M n n n c s X X          

Simetri

dalam persamaan di atas:

n = jumlah sampel

M₃ = momen ke-3 (sampel)

Peakedness

leptokurtic, k > 3, e > 0 normal, mesokurtic, k = 3, e > 0 platykurtic, k < 3, e < 0 kurtosis: 3 4 4 2 2 4  k  e     k X s M k (populasi) (sampel)

Sample Moments

Some Measures of An Individual in

A Population

(1)  z scores  Percentile rank     X z_X

 

100 2 1 n E B PR_X  

B = jumlah score yang bernilai di bawah X

E = jumlah score yang bernilai sama dengan X n = jumlah score seluruhnya

untuk menunjukkan posisi suatu score dalam populasi untuk populasi besar s X X z_X  

Some Measures of An Individual in

A Population

(2)

 Beberapa fungsi di dalam MS Excel

 =RANK(...)

 posisi suatu nilai (angka) pada suatu urutan angka

 =PERCENTILE(...)

 nilai percentile dalam suatu kisaran angka

 =PERCENTRANK(...)

 posisi suatu nilai (angka) dalam suatu urutan angka, dalam

persen

 

100 ) (B A B 

 B = jumlah score yang bernilai lebih kecil daripada X A = jumlah score yang bernilai lebih besar daripada X