Universitas Gadjah Mada 1 Bab 4 Hukum Gauss
A. Pendahuluan
Pada pokok bahasan ini, disajikan tentang hukum Gauss yang memberikan fluks medan listrik yang melewati suatu permukaan tertutup yang melingkupi suatu distribusi muatan. Hukum Gauss memberikan cara yang mudah dalam menentukan medan listrik dari suatu distribusi muatan yang memiliki cukup simetri. Pokok bahasan ini dimulai dengan derivasi hukum Gauss, kemudian diikuti oleh penerapan hukum Gauss pada beberapa persoalan elektrostatika dalam menentukan medan listrik yang dihasilkan oleh suatu distribusi muatan. Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan dan melakukan derivasi hukum Gauss, menerapkan hukum Gauss untuk menentukan medan listrik dari beragam sistem distribusi muatan, dan dapat menjelaskan dan menerapkan divergensi medan listrik.
B. Penyajian
4.1 Derivasi Hukum Gauss
Akan menunjukkan bahwa (hukum Gauss):
dengan Qdalam adalah muatan total (netto) yang terkandung dalam ruang (volume) yang dilingkupi oleh suatu permukaan tertutup S sembarang.
Mengingat persamaan (3-2) bahwa ⃗ ( ) ∑ ̂ maka
Ada dua kasus yang akan ditinjau.
Kasus I: qi berada di dalam S (Gambar 4.1).
Letak elemen luasan da (dengan vektor ) relatif terhadap muatan qi ditunjukkan oleh ⃗ ; berlaku bahwa
dengan d = elemen sudut ruang yang berpangkal di qi menyebar ke luasan da. Untuk mengevaluasi integral dalam persamaan (4-2), kita tinjau sebuah permukaan bola S0 yang
Universitas Gadjah Mada 2 pada bola ini; seperti tampak pada Gambar 4-1, sejajar dengan ̂ sedemikian sehingga jika kita menggunakan persamaan (4-3) pada kasus ini, maka d sama dengan ⁄ . Dengan demikian, integral dalam persamaan (4-2) setara ditulis sebagai
karena R0 tetap untuk semua titik di permukaan bola. Jadi, sudut ruang total yang dibentuk oleh sembarang permukaan yang merentang dari suatu titik yang berada di dalamnya adalah 4 dapat ditulis
Kasus II: qi di luar S (Gambar 4.2).
Ditinjau dua elemen luasan dan dari permukaan S yang terpotong oleh sudut ruang d yang sama tetapi di sisi yang berlawanan pada permukaan S. Jaraknya dari qi berturut-tumt ditulis sebagai Ri1 dan Ri2. Seperti sebelumnya, kita akan punya
dan karena 2 > /2, sehingga cos 2 negatif, maka
Jadi
sehingga sumbangan netto kedua elemen luasan ini kepada integral dalam persamaan (4-2) adalah nol. Karena semua eleinen luasan pada permukaan S dapat dipasang-pasangkan
Universitas Gadjah Mada 3 dengan cara seperti ini, maka semua sumbangannya kepada integral tadi akan saling meniadakan, dan dengan demikian
Dengan demikian, dari persamaan-persamaan (4-2), (4-5), dan (4-7) diperoleh
dan kita telah membuktikan hukum Gauss seperti dinyatakan oleh persamaan (4-1) di depan.
Implikasi dari hal tersebut di atas:
Sembarang muatan yang berada di luar suatu permukaan tertutup tidak mempengaruhi nilai integral, meskipun besar dan letaknya jelas dapat mempengaruhi nilai ⃗ di tiap titik pada permukaan itu. Integral hanya bergantung pada nilai total muatan di dalam permukaan dan tidak bergantung pada letaknya di dalam permukaan tertutup; tetapi, jika muatan-muatan tersebut dipindahkan ke tempat yang baru di dalam permukaan, maka nilai ⃗ di tiap titik pada permukaan tersebut dapat berubah, tetapi nilai integral keseluruhan tidak akan terpengaruh. Karena hasil yang diberikan oleh persamaan (4-1) merupakan suatu jumlahan sederhana, maka tampak jelas bahwa tiap muatan secara bebas memberikan sumbangan pada fluks total ⃗ yang melewati S; jadi, suatu muatan titik q memiliki fluks total ⃗ sebesar q/0 melewati sembarang permukaan tertutup yang melingkupinya.
Sekarang muatan-muatan di dalam S diasumsikan terdistribusi secara kontinyu dengan rapat muatan , maka muatan totalnya adalah
Universitas Gadjah Mada 4 Dengan menerapkan teorema divergensi, yaitu ∮ ∫ , maka persamaan (4-8) dapat ditulis sebagai
Karena hasil ini berlaku pada sembarang volume V, maka ini berlaku juga untuk volume infinitesimal, dan kita dapat menyamakan integran untuk memperoleh divergensi medan listrik ⃗ :
Ini merupakan salah satu dari persamaan-persamaan Maxwell
4.2 Beberapa Penerapan Hukum Gauss
Hukum Gauss menyediakan cara yang sederhana dan mudah untuk menentukan medan listrik dari distribusi muatan memiliki simetri. Perlu memilih permukaan tertutup yang cocok untuk proses integrasi (disebut permukaan gauss) yaitu permukaan-permukaan di mana:
⃗ memiliki nilai yang tetap
⃗ memiliki yang tegak lurus atau sejajar terhadap permukaan tersebut.
Hal ini dilakukan untuk kemudahan dalam pengintegrasian dan menghindari kesulitan-kesulitan dari ketidaktahuan akan bentuk ketergantungan ⃗ terhadap letak. Proses ini akan mudah ditunjukkan dengan menggunakan contoh, dan kita akan meninjau sebuah contoh untuk tiap ragam distribusi muatan kontinyu.
Muatan garis seragam panjang tak hingga. Asumsi: - = tetapan;
- muatan garis berimpit dengan sumbu z; - menggunakan sistem koordinat silinder.
Muatan garis panjang tak hingga, sehingga tidak ada perbedaan di mana kita berada sepanjang garis tersebut; kesimpulan: ⃗ tidak bergantung pada z.
Tidak ada yang membedakan nilai yang satu dengan nilainya yang lain karena distribusi muatan tampak sama di mana pun kita melihatnya dari arah tegak lurus terhadap sumbu z; kesimpulan: ⃗ tidak bergantung pada .
⃗ hanya bergantung pada jarak dari garis ; jadi ⃗ ⃗ ( ).
Pilihan arah sumbu z positif atau negatif sepenuhnya sembarang, yaitu tidak ada batasan nyata antara “atas” dan “bawah”. Tetapi, jika Ez tidak nol, maka hal ini akan membedakan atas dengan bawah; kesimpulan: Ez = 0
Universitas Gadjah Mada 5
Kita tidak dapat membedakan antara bertambahnya dan berkurangnya ; kesimpulan:
Jadi, disimpulkan dari kesimetrian bahwa ⃗ hanya dapat memiliki arah radial: ⃗ ⃗ ( ) ̂
Dengan demikian, suatu permukaan dengan nilai ⃗ yang tetap dalam contoh ini berupa sebuah permukaan selimut silinder berjejari dengan sumbu yang berimpit dengan muatan garis ;
Sebagian dari silinder ini dengan panjang L ditunjukkan oleh Gambar 4-3, vektor satuan normal arah keluarnya ̂ (indeks s merujuk pada silinder) tidak lain adalah ̂ dan berarti ia sejajar dengan ⃗ .
Permukaan tertutup untuk pengintegrasian (permukaan gauss) dapat diperoleh dengan menambahkan dua buah tutup silinder lingkaran (atas dan bawah) yang berjejari kepada selimut silinder tadi.
Vektor-vektor satuan normal arah ke luar bagi tutup atas dan tutup bawah ini berturut-turut ditulis sebagai ̂ dan ̂ (indeks a dan b merujuk pada kata “atas” dan “bawah”) dan tampak sama dengan ̂ dan ̂
Meskipun memiiki bentuk ketergantungan yang tidak diketahui pada pada luasan-luasan lingkaran ini, tetapi ⃗ tegak lurus terhadap vektor-vektor luasannya, sehingga sumbangannya kepada fluks akan lenyap.
Kita dapat menulis integral permukaan tertutup sebagai jumlahan dari integral permukaan selimut dan tutup-tutup atas dan bawah (yang ditandai oleh indeks s, a, dan b). Kita juga ingat bahwa ( ) tetap pada permukaan selubung karena tetap. Dengan demikian, dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi
Universitas Gadjah Mada 6
Saat kita memecahkan persamaan di atas untuk , panjang L sembarang menjadi lenyap dan kita memperoleh ( ) ⁄ sehingga
yang tepat sama dengan persamaan (3-7) yang telah diperoleh dari integrasi langsung.
Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga Asumsi: - = tetapan
- Plat terletak pada bidang xy; Gambar 4-4 memperlihatkan pandangan dari sisi tepi plat.
Pemilihan titik asal sistem koordinat dan arah-arah sumbu x dan sumbu y sembarang, maka haruslah ⃗ tidak bergantung pada x dan y.
Tidak ada perbedaan antara kanan dan kiri, atau menuju atau menjauhi kertas, sehingga ⃗ tidak memiliki komponen-komponen yang sejajar plat ; jadi ⃗ hanya memiliki sebuah komponen z umumnya fungsi z, yaitu jarak dari plat.
Tidak ada juga perbedaan nyata antara atas dan bawah, sehingga arah ⃗ harus selalu menjauhi plat atau selalu menuju plat bergantung pada tanda . Dengan demikian, ⃗ haruslah memiliki bentuk ⃗ ( ) ̂ dengan tanda “+“ digunakan untuk z > 0 dan tanda “-“ digunakan untuk z < 0; E(z) dapat positif atau negatif, Gambar 4-4 digambar untuk kasus dengan E(z) positif.
Universitas Gadjah Mada 7
Jadi, permukaan tertutup pengintegrasian berupa sebuah silinder setinggi D ke atas dan ke bawah plat serta tutup-tutup silinder seluas a sejajar plat; vektor satuan normal
luasan-luasan a ini dalam arah ke luar ditulis sebagai ̂ ̂ dan ̂ ̂ seperti
diperlihatkan oleh Gambar 4-4.
Vektor medan listrik ⃗ memiliki nilai yang tetap sebesar E(D) di tutup-tutup tersebut. Selubung silinder yang menghubungkan tutup-tutup ini tegak lurus terhadap plat; vektor satuan normalnya dalam arah ke luar ditulis sebagai ̂ , dan jelas bahwa ̂ ̂ untuk semua bagian permukaan selubung silinder.
Tampak juga bahwa Qdalam adalah muatan pada plat yang terpotong oleh penampang silinder, dan dengan demikian sama dengan .
Jadi, dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi:
Tampak bahwa ( ) ⁄ yang jelas tidak bergantung pada D; jadi medan listrik dari plat tipis ini diberikan oleh
yang tepat sama dengan persamaan (3-8) yang telah diperoleh dengan integrasi langsung.
Bola pejal bermuatan terdistribusi secara simetri bola Asumsi: - muatan terkandung dalam bola berjejari a.
Universitas Gadjah Mada 8
Jadi ⃗ memiliki arah radial, besarnya tak bergantung pada sudut, dan dapat ditulis dalam bentuk ⃗ ( ) ̂.
Besar ⃗ konstan di permukaan bola berjejari r, maka permukaan bola tersebut dipilih sebagai permukaan pengintegrasian; vektor satuan normalnya arah ke luar juga adalah ̂
Jadi, persamaan (4-1) menjadi
sehingga diperoleh
dengan
dan V(r) adalah volume bola berjejari r.
Ada dua kasus yang perlu ditinjau. Kasus I: Di luar bola bermuatan, r > a.
Di sini ( ) jika r' > a, dan volume integrasi dalam persamaan (4-15) menjadi V(a), yaitu volume total distribusi muatan, sehingga
dengan Q adalah muatan total yang terkandung di dalam bola. Dengan demikian persamaan (4-14) menjadi
Medan listrik di luar bola bermuatan sama seperti jika seluruh muatan terkumpul pada sebuah titik di pusat bola.
Kasus II: Di dalam bola bermuatan, r < a.
Dalam kasus ini, muatan yang terkandung dalam permukaan gauss adalah
yang jika dimasukkan ke persamaan (4-14) akan memberikan medan listrik di dalam bola sebagai
Universitas Gadjah Mada 9 Kita tidak dapat melangkah lebih jauh kecuali jika kita mengetahui bentuk eksplisit ( ).
Bola pejal bermuatan terdistribusi seragam
Kasus ini seperti pada contoh sebelumnya tetapi dengan rapat muatan = tetapan, yaitu kita punya bola bermuatan seragam.
Dengan demikian, integral dalam persamaan (4-19) menjadi
sehingga
Pernyataan ini dapat diungkapkan dalam muatan total Q sebagai
yang menunjukkan bahwa medan listrik bertambah besar secara linear terhadap jarak saat kita bergerak menjauh dari nilai nolnya di titik pusat bola.
Di luar bola, besar medan listrik berubah dengan kebalikan kuadrat jarak dari pusat bola menurut persamaan (4-17).
Persamaan (4-17) dan persamaan (4-21) memberikan nilai yang sama, yaitu ⁄ , di permukaan bola, yaitu di r = a; jadi, medan listrik tetap kontinyu saat melintasi permukaan bola bermuatan.
Hasil-hasil ini untuk bola bermuatan seragam ditunjukkan oleh Gambar 4.5
Distribusi muatan dengan simetri bola ( ) lainnya akan memberikan ketergantungan yang berbeda Er pada r di dalam bola, tetapi tepat sama seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.5 untuk kasus di luar bola bila diungkapkan dalam muatan total yang terkandung di dalam bola
Universitas Gadjah Mada 10 C. Penutup
Setelah menyelesaikan pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan soal-soal latihan berikut ini.
1. Sebuah bola berjejari a bermuatan dengan rapat muatan bervariasi terhadap jarak r dari pusat bola menurut ⁄ dengan A adalah tetapan. Carilah ⃗ di sembarang
titik!
2. Sebuah silinder panjang tak hingga memiliki penampang lingkaran berjejari a. Silinder tersebut berisi muatan dengan rapat muatan konstan . Carilah ⃗ di setiap titik di dalam dan di luar silinder!
3. Dua silinder sesumbu yang panjang tak hingga memiliki jejari a dan b (b > a), seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.6. Daerah ruang di antara kedua silinder tersebut diisi muatan dengan rapat muatan volume dalam sistem koordinat silinder sebagai
dengan A dan n adalah tetapan-tetapan. Rapat muatan adalah nol di lain
tempat. Carilah ⃗ di sembarang tempat ! Untuk nilai n dan a berapakah sehingga hasil yang diperoleh akan menjadi hasil dari soal no. 2?
4. Diketahui suatu medan listrik ⃗ ( ⁄ ) untuk 0 < < a, dan ⃗ ⃗ di lain tempat. Carilah rapat muatan volume!
Daftar Pustaka
