Sejarah. Charles Augustin de Coulomb ( )

Charles Augustin de Coulomb

(1736-1806)

Fisikawan Perancis 

Priestley

yang  torsi balance 

asumsi  muatan listrik  Gaya (F)  berbanding

terbalik kuadrat  Pengukuran secara matematis

berdasarkan eksperimen  Coulomb

Hukum Coulomb

Elektrostatika Gaya Gravitasi

Terdapat 2 tipe muatan : positif dan

negatif Satu tipe massa yaitu positif

Tarik menarik pada muatan yang berlawanan dan tolak menolak pada muatan yang sejenis

Tarik menarik (Semua massa)

Gaya merupakan besaran vektor baik

arah dan besar Gaya merupakan besaran vektor baik arah dan besar 2 2 9 12 2 2 1 1 2 2 2 1

/

10

99

.

8

C

m

N

k

r

r

q

q

k

F

r

q

q

k

F

_on















2 2 11 2 2 1

kg

/

m

N

10

67

.

6

G

r

m

m

G

F











Gaya tarik / gaya tolak antar muatan yang dipisahkan pada jarak

tertentu ditunjukkan dengan gambar sebagai berikut :

Untuk mengakomodasi informasi arah gaya ini maka hukum Coulomb

dapat ditulis kembali sebagai

2 2 9 21 2 2 1 2 1

10

99

.

8

C

m

N

k

r

r

q

q

k

F

_on













di mana F

₁

adalah gaya pada muatan

Q

₁

yang disebabkan oleh

muatan

Q

₂

, a

₂₁

adalah vektor satuan yang berarah dari

Q

₂

ke

Q

₁

,

dan R

₂₁

= R

₂₁

a

₂₁

adalah vektor posisi dari

Q

2

ke

Q

1

.

R₂₁

Q

₁

(0,1,2)

Q

₂

(2,0,0)

Gambar 2.2

Carilah gaya pada muatan Q₁, 20 μC, yang diakibatkan oleh muatan Q₂, -300 µC, di mana Q₁ berada pada (0, 1, 2) m sementara Q₂ pada (2,0,0) m!

Dengan mengacu pada Gambar 2.2, vektor posisi adalah

)

2

2

(

)

3

)(

36

/

10

(

4

)

10

300

)(

10

20

(

2 9 6 6 z y x

a

a

a













  





R

₂₁

= (x

₁

-

x

₂

)a

_x

+ (y

_l

- y

₂

)a

_y

+ (z

₁

-

z

₂

)a

_z

= (0 - 2)a

_x

+ (1 - 0)a

_y

+ (2 - 0)a

_Z

= -2a

_x

+ a + 2a

_Z

| R

₂₁

=

₍



₂

₎

2



₁

2



₂

2



₃

Dengan menggunakan persamaan (1), gaya yang bekerja adalah

F1 =

Magnituda gaya total adalah sebesar 6 N dengan arah sedemikian hingga

Q

1 ditarik oleh

Q2.

Contoh Soal 1

Penyelesaian:

y

|

_a

21

=

x

a

y Z

3

3

3

- 2

_a

_

1

_

₂

_a

3

a

₂₁

Relasi gaya gaya pada muatan adalah bersifat bilinier. Konsekuensinya berlaku sifat superposisi dan gaya pada muatan yang disebabkan oleh n-1 muatan lain Q2,……Qn adalah penjumlahan vektor

F1 =

1 2 2 1 k 0 1 31 2 31 0 3 1 21 2 21 0 2 1

4

4

4

k n k _k

a

R

Q

Q

a

R

Q

Q

a

R

Q

Q



















Jika muatan tersebut terdistribusi secara kontinyu pada suatu daerah, penjumlahan vektor di atas diganti dengan integral vektor.

Tentukanlah gaya pada muatan Q

₂ 24 23 21

F

F

F

F



₂













 

2 2 2 2 4 2 42 2 2 2 2 3 2 23 2 2 2 2 2 1 21 4 2 4 2 2 6 3 2 2 2 d kq d q q k d q kq F d kq d q q k d q kq F d kq d q kq d q kq F         

Contoh Soal 2

Intensitas medan elektrik yang disebabkan oleh sebuah muatan sumber (Q2 diatas) didefinisikan sebagai gaya per satuan muatan pada muatan uji (Q1 diatas)

E = F1 Q1

Satuan untuk E adalah Newton per coulomb (N/C) atau ekuivalen dengan volt per meter (V/m). Untuk sebuah muatan

Q

yang berada pada titik pusat sebuah sistem koordinat bola, intensitas muatan elektrik pada titik

P

adalah Gambar 2.4

E =

a

r

r

Q

2

4



_

(2)

/

Q

Gambar 2.4 Muatan yang berada di pusat koordinat

Untuk

Q

yang ada pada sembarang titik dalam titik koordinat Cartesian (Gambar 2.7).

Garis medan listrik yang terjadi dari suatu sumber atau antara muatan tersebut ditunjukkan pada gambar

Gambar 2.5

E =

a

R

R

Q

2

4



_

(3)

(a) tarik menarik (b) tarik menarik (c) tolak menolak Gambar 2.6

Gambar 2.7

Muatan

Q

yang berada pada sembarang titik dalam koordinat Cartesian

Carilah E pada (0,3,4) m dalam koordinat Cartesian yang diakibatkan oleh muatan titik Q = 0.5 μC dititik pusat koordinat.!

Penyelesaian :

Dalam kasus ini,

5

4

3

2



2



z y z y

a

a

a

a

8

,

0

6

,

0

5

4

3







R = (0-0)a

_x

+ (3-0)a

_y

+ (4-0)a

_z

= 3a

_y

+ 4a

_z

R =

aR =

Dengan menggunakan persamaan (3), intensitas medan magnetik adalah

Jadi |E| = 180 V/m dalam arah 0,6 a

_y

+ 0,8 a

_z

Contoh Soal 3

E =

(

0

,

6

0

,

8

)

5

)

36

/

10

(

4

10

5

,

0

2 9 6 z y

a

a





 





Jika muatan terdistribusi secara kontinyu di sepanjang volume tertentu, permukaan, ataupun garis yang telah dispesifikasikan sebelumnya, maka masing – masing elemen muatan akan berkontribusi terhadap medan elektrik pada sebuah titik eksternal. Untuk kerapatan muatan volume ρ (C/m2), muatan elemental dQ = ρ dv,dan diferensial medan pada titik P akan menjadi (Gambar 2.4).

Medan total pada titik pengamatan

P

dapat diperoleh dengan mengintegrasikan sepanjang volume

v400

dE =

_a

_R

R

dv

2

4



_



d

E

P

Gambar 2.8 E yang disebabkan distribusi volume dari sebuah muatan

E =



v R

dv

R

a

2

4



_



(4)

Untuk kerapatan muatan permukaan (C/m2), muatan elemental dQ =

,dan diferensial medan pada titik P akan menjadi (Gambar 2.5)

dE =

s _R

a

R

dS

2

4



_



Medan total pada titik pengamatan dapat diperoleh dengan mengintegrasikan sepanjang permukaan

S

Untuk kerapatan muatan linier (C/m), muatan elemental

dQ =

dan diferensial medan pada titik akan menjadi (Gambar 2.10)

dE =

a

_R

R

d

2

4



_



_



Medan total pada titik pengamatan P dapat diperoleh dengan mengintegrasikan sepanjang garis atau kurva L

E =



v R s

ds

R

a

2

4



_



₍₅₎

E =



L R

d

R

a



 2

4



_



(6)

d



_





_ s





_s P P

dS

dQ =



_l

dl

L

Gambar 2.10

E yang disebabkan distribusi linear dari sebuah muatan

Tiga macam konfigurasi muatan standar ialah muatan titik, muatan garis tak berhingga, dan muatan muatan permukaan datar tak hingga. E untuk muatan titik yang berada di titik asal/titik pusat diberikan oleh persamaan (2). Jika kerapatan muatan adalah tak terhingga pada panjang garis serta terdistribusi secara seragam (konstan) sepanjang sumbu

z

, maka medan elektrik dapat diturunkan dari persamsan (6) (Gambar 2.7).

Gambar 2.9 E yang disebabkan distribusi linear dari sebuah muatan

(koordinat silinder)

(7)

E =

a

_r

r

2

2



_



_

Jika muatan terdistribusi secara seragam (konstan) dengan kerapatan pada sebuah hidang datar tak berhingga, maka medan elektriknya diberikan oleh persamaan (Gambar 2.12)

di mana

a

_n adalah tegak lurus terhadap permukaan. Medan elektriknya memiliki magnituda yang konstan dan memiliki pencerminan simetri di sekitar muatan bidang datar.

(8)

E =

s _n

a







2



_s

Gambar 2.11

Muatan garis tak berhingga

E

E





Gambar 2-12 Muatan bidang datar tak berhingga



_s

Dua lembar muatan seragam tak berhingga yang masing-masing memiliki kerapatan muatan diletakkan pada x = ±1 (Gambar 2-13). Tentukanlah E di semua tempat!

Contoh Soal 4

Gambar 2.13

Distribusi muatan pada dua bidang datar tak berhingga.

Penyelesaian :

Hanya sebagian dari dua lembar muatan yang ditunjukkan pada gambar 2.13. kedua lembar muatan ini akan menghasilkan medan E dengan arah sepanjang sumbu

x

. Dengan menggunakan persamaan (8) dan prinsip superposisi,

–(ρ

_s

/ε

_o

)a

_x

x < -1

0

-1<x<1

(ρ

_s

/ε

_o

)a

_x

x > 1

E =

Muatan total dalam konduktor = 0 shielding

Gambar 2.15 Gambar 2.14

Fluksi Elektrik dan Hukum Gauss

Fluksi elektrik ψ merupakan medan saklar namun kerapatannya D merupakan medan vektor. Per definisi fluksi elektrik ψ memancar dari sebuah muatan positif dan berakhir pada muatan negatif. Jika tidak terdapat muatan negatif fluksi elektrik ψ akan berakhir pada titik tak berhingga. Per definisi pula satu coulomb muatan listrik akan menghasilkan satu coulomb fluksi elektrik. Oleh karenanya,

Ψ = Q

Gambar 2.16

Pada Gambar 2.17(a), garis-garis fluksi meninggalkan +Q dan berakhir pada –

Q

hal ini mengasumsikan bahwa kedua muatan memiliki magnituda yang sama. Kasus muatan positif tanpa muatan negatif diilustrasikan pada gambar 2.17(b), di sini garis-garis fluksi digambarkan sama di sepanjang wilayah angular yang mengelilingi muatan dan berakhir pada titik tak hingga.

Pada suatu titik yang berdekatan , garis-garis fluksi memiliki arah vector satuan a (Gambar 2.18) dan jika sejumlah fluksi Ψ memotong diferensial permukaan dS (yang normal terhadap a), maka kerapatan fluksi elektrik pada titik adalah

E =

_a

(C/m2)

dS

d



Gambar 2.17 Fluksi elektrik untuk muatan titik. P

Distribusi muatan volume dengan kerapatan

ρ

(C/m3) diperlihatkan sebagai permukaan tertutup

S

pada Gambar 2.19. Oleh karena setiap coulomb muatan

Q

memiliki satu coulomb fluksi, maka fluksi total yang memotong permukaan tertutup

S

merupakan ukuran eksak dari muatan total yang dilingkupi. Jika pada elemen permukaan

dS,

D membentuk sudut θ terhadap

vektor satuan normal permukaan a_n, maka diferensial fluksi yang memotong

dS

adalah

d



= D dS cos



=D

• dS an = D • d

Gambar 2.18 Pendefinisian kerapatan fluksi elektik D

S

n

a

dS

_D

di mana

dS

adalah elemen permukaan vektor.

Hukum Gauss menyatakan bahwa

fluksi total yang keluar dari sebuah

permukaan tertutup adalah sama dengan

muatan total yang berada di dalam

permukaan tersebut.

Bentuk integral Hukum Gauss diberikan oleh









S kupi yangdiling

Q

dS

D



₍₉₎

Gambar 2.19

Kerapatan muatan



yang dilingkupi oleh permukaan

S.

Gambar 2.20 Muatan titik yang dilingkupi oleh bidang

permukaan bola.

Pandanglah sebuah muatan titik yang terletak di titik pusat koordinat Gambar

Jika muatan ini dilingkupi oleh sebuah permukaan bola dengan jari-jari

r,

maka dengan menggunakan sifat kesimetrian, D yang diakibatkan oleh

Q

adalah memiliki magnituda yang konstan dan normal terhadap bidang permukaan di posisi manapun. Dengan menggunakan hukum Gauss (9), dapat diperoleh persamaan

















S S

r

D

dS

D

dS

D

Q

4



2

dimana dapat diperoleh D =

Q/4



Oleh karena itu,

D =

_a

_r

(koordinat bola)

r

Q

2

4



Sehingga dapat disimpulkan

0 2 2 0

4

1

4

1











k

r

Q

k

E

r

Q

E

0 0

4

1

4





















k

kQ

A

d

E

Q

A

d

E

enclosed enclosed









Gambar 2.21

r

2

Dengan membandingkan persamaan di atas ini dengan persamaan (2) diperoleh D=



0E. Dalam pernyataan yang lebih umum, untuk setiap medan

elektrik dalam medium isotropik (medium yang sifat-sifatnya tidak berubah terhadap orientasi medan)

D =



E

Divergensi dari medan elektrik statis

digunakan untuk menentukan apakah sebuah daerah mengandung

source

(muatan positif) atau

sink

(muatan negatif) Per definisi, divergensi dari kerapatan fluksi elektrik pada suatu titik adalah

Div D =  • D =













   



v

Q

v

dS

D

yg dilingkupi v S o v

lim

0

lim

di mana S adalah batas dari 

_v

.

Dengan demikian

bentuk titik hukum Gauss

adalah



•D =



(C/m3)

(10)

Bentuk titik hukum Gauss memberikan deskripsi ruang dari distribusi sumbe muatan.

Secara umum, untuk vektor A definisi divergensi untuk ketiga

macam siste koordinat yang kita bahas adalah:

Cartesian:



• A =

z

A

y

A

x

A

_x y _z

















₍₁₁₎

Silindris:



• A =

 

z

A

r

rA

r

r

z r

_

















1

1

₍₁₂₎

Bola:



• A =

 







_

_





  _        A r A r A r r r r sin 1 sin sin 1 1 2 2

(13)

A

Dalam batas daerah 0 <

r <

1 m, D = (-2 x 10-4

/r)

_{ar (C/m ) dan untuk}

r >

1,

D = (-4 x 10-4

/r2

)

.

(C/m ), dalam sistem koordinat bola. Carilah kerapatan muatan di kedua daerah tersebut!

Contoh Soal 5

Catatan!

Bentuk integral dan titik hukum Gauss dihubungkan oleh

teorema

divergensi

yang diberikan oleh

 =

∫D



dS =∫ (

  D)dv = Q

_{yang dilingkupi}

dimana

S

adalah batas permukaan tertutup dari volume

v.

ar 2

Kerja, Energi, dan Potensial

Sebuah muatan

Q

akan mengalami gaya F pada medan elektrik E. Gaya yang dialami diberikan oleh persamaan

F =

Q

E (N)

Untuk mempertahankan muatan dalam kondisi kesetimbangan, sebuah gaya

F

a

= -

Q

E harus dikenakan dalam arah berlawanan (Gambar 2.22).

Kerja didefinisikan sebagai gaya yang

bekerja pada jarak tertentu. Satuan untuk

kerja yang dilakukan ialah joule (J).

Fa= -QE

F=QE

Fa

F

Q



Oleh karenanya, sejumlah diferensial kerja

dW

dilakukan jika gaya Fa yg dikenakan menghasilkan diferensial perpindahan dari muatan, yaitu memindahkan muatan, sepanjang jarak

=

Secara kuantitatif,

dW = Fa · = -QE ·

(J)

Perhatikan bahwa saat

Q

bernilai positif dan dalam arah E

,

kerja

dW

= -QE < 0,

mengindikasikan bahwa

kerja dilakukan oleh medan elektrik.

Bentuk komponen dari vektor-vektor diferensial perpindahan adalah sebagai berikut:

Cartesian:

= dxax + dyay + dzaz

Silindris:

= drar + rd



a



+ dz

az

Bola:

= drar + rd



a



+ r

sin



d



a



dl

dl

dl

dl

dl

dl

dl

dl

dl

Sebuah medan elektrostatis diberikan oleh persamaan

E = (x/2 + 2y)

a

+

2x

a

y

(V/m)

Tentukanlah kerja yang dilakukan untuk memindahkan sebuah muatan titik

=

-20

µC (a) dari titik pusat ke (4,0,0) m dan (b) dari (4,0,0) m ke (4,2,0) m!

Penyelesaian:

(a) Lintasan pertama ialah sepanjang sumbu x sehingga

= dx

a_x

(b) Lintasan pertama ialah pada arah ay sehingga

= dy

_y

,

W =



20

10



2

x

dy

_{x 4}

320



J

2 0 6





 _



dW

= -

Q

E•d =





x

y



dx











_





2

2

10

20

6

W

=





x

2

y

dx

_y

80



J

2

10

20

₀ 4 0 6













 



 _



Contoh Soal 6

x a

l

dl

dl

Kerja yang dilakukan untuk memindahkan sebuah muatan tititk dari suatu lokasi

A

ke lokasi lain

B

dalam suatu medan elektrik statis bersifat bebas atau tidak tergantung dari lintasan yang diambil. Jadi dengan mengacu pada Gambar 2-15.

Dimana integral terakhir adalah dilakukan sepanjang kontur tertutup yang dibentuk oleh 1 yang digambarkan secara positif dan

2

yang digambarkan secara negatif.

B

A

2

1

Gambar 2.23

Dua buah lintasan integrasi yang mungkin dibentuk.

0

2 1 1 1



















E

dl

E

dl

atau



E

dl

Untuk medan E pada contoh 2.5 sebelumnya, tntukanlah kerja yang dilakukan untuk memindahkan muatan yang sama dari (4,2,0) kembali ke titik pusat (0,0,0) sepanjang lintasan yang berupa lintasan garis lurus!

Penyelesaian :

Integral kerja terbagi menjadi dua integral dalam

x

dan

y

:

Tetapi sepanjang lintasan,

y = x/2

. Dengan mensubsitusikan persamaan ini kedalam persamaan integral dapat diperoleh

W =





   

_

_

y x y x

x

a

dx

a

dy

a

a

y

x

_

_













_











 







0,0,0 0 , 2 , 4 6

2

2

2

10

20

W =

































_



0 2 6 0 4 6

2

10

20

2

2

10

20

x

y

dx

x

dy

W =



























0 2 6 0 4 6

400

4

10

20

2

3

10

20

x

dx

ydy



J

Contoh Soal 7

Dari Contoh soal 5, 80 + 320 = 400 J kerja dilakukan terhadap medan elektrik. Jumlah kerja yang persis sama dikembalikan oleh medan elektrik melalui lintasan garis lurus ke titik asal sehingga diperoleh kerja total yang sama dengan nol (medan konservatif).

Potensial titik

A

terhadap titik

B

(disimbolkan sebagai

VAB

) didefinisikan sebagai kerja yang dilakukan untuk memindahkan sebuah muatan positif

Qu

dari

B

ke

A.

V =







A



B u

E

Q

W

(J/C atau V)

(14)

Karena medan statis E merupakan medan konservatif, maka =

–

.

Oleh karena itu, dapat dipandang sebagai perbedaan potensial antara titik

A

dan

B.

Ketika bernilai positif, maka kerja harus dilakukan untuk memindahkan muatan positif satuan dari

B

ke

A

dan

A

dikatakan berada pada

potensial yang lebih tinggi

daripada

B.

Karena medan elektrik dari sebuah muatan titik memiliki arah radial (2), maka































B A r r A B AB

r

r

Q

r

dr

Q

E

V

A B

1

1

4

4



_ 2



_

dl

dl

AB

V

_AB

V

AB

V

_CB

V

AB

V

_AB

V

_AB

V

_AC

V

Untuk muatan positif

Q,

titik

A

berada pada potensial yang lebih tinggi daripada

B

ketika

r

A <

r

B. Jika referensi titik

B

dipindahkan menjadi titik tak berhingga, maka





















1

1

4

_A A

r

Q

V





Untuk muatan positif

Q,

titik

A

berada pada potensial yang lebih tinggi daripada

B

ketika

r

A <

r

B. Jika referensi titik

B

dipindahkan menjadi titik tak berhingga, maka





















1

1

4

_A A

r

Q

V





Atau

_r

Q

V





4



Ingat!

V

adalah

potensial absolut Q

yang direferensikan

Jika muatan terdistribusi sepanjang volume berhingga dengan kerapatan muatan yang diketahui



(C/m3), diferensial potensial pada titik (Gambar 2.24) adalah

R

dv

R

dQ

dV

 







4

4





Potensial total pada titik diperoleh dengan menggunakan integral

Gambar 2.24

Potensial dari sebuah kerapatan muatan volume.





vo lu me

R

dv

V







4

P

P

Sebuah muatan total 40/3 nano coulomb terdistribusi secara seragam dalam bentuk piringan melingkar dengan jari-jari 2 m. Carilah potensial yang diakibatkan oleh muatan ini pada sebuah titik sumbu yan berjarak 2 m dari piringan!

Contoh Soal 8

Penyelesaian:

Pada Gambar 2.25, sistem koordinat silindris digunakan untuk menghitung potensial dimaksud. Untuk distribusi muatan seragam,

(C/m2)    3 10 4 10 3 / 40  9 _ 8   area Luas Q

Jarak

R

diberikan oleh

Integral potensial sepanjang permukaan adalah

V

r

rdrd

R

d

V

S s s

7

,

49

4

30

4

2 0 2 0 2











 

 









(m)

2

4 r

R





_{Gambar 2.25 Piriringan}

melingkar dari muatan permukaan.



30



₀  2

r

2



4

0 2 



r

_





(60) (0,829)

Medan elektrik dan potensial dihubungkan oleh persamaan integral (14). Relasi diferensial juga dapat diturunkan di mana medan elektrik E dapat diperoleh dari potensial

V

yang diketahui.

Medan elektrik dan potensial dapat juga direlasikan berdasarkan persamaan:

E = –



V

dimana 

V

merupakan

gradien

dari potensial V.

Dalam ketiga sistem koordinat kita, gradien didefinisikan sebagai :

Cartesian:

Silindris:

Bola:

z y x a z V a y V a x V V           z r

a

z

V

a

V

r

a

r

V

V





















_



1

  _{ }  a V r a V r a r V V _r           sin 1 1

Dalam koordinat bola, ditunjukkan bahwa untuk muatan

Q

potensialnya adalah

V

=

Q/4



_o

r.

Dengan menggunakan gradien bola diperoleh

E =

_{r r} r a r Q a r Q V ₂ 4 4



_ _ 



_          

Contoh Soal 9

Potensial pada muatan titik adalah

r kQ V r kQ r kQ dr r kQ V V r kQ E l d E V V l d q F q U q U l d F U U a b b a a b b a a b b a a b b a a b                    









infinity at 0 V If ) ( 2 2 0 0 0       Gambar 2.26

(a)

(b)

Gambar 2.27

Potensial listrik didefinisikan nol pada jarak tak berhingga

dari suatu muatan.

Permukaan ekuipotensial pada (a) muatan positif

(b) muatan negatif

Dua muatan positif saling tolak menolak

(medan diantaranya melemah)

Dua muatan berlawanan tarik menarik

(medan diantaranya menguat) Gambar 2.29

(a)

(b)

(c)

Gambar 2.30

Medan listrik adalah nol pada konduktor (b), sedangkan

potensial listrik adalah konstan (c). Potensial listrik

menurun sepanjang 1/r dari luar bola konduktor

Arus dan Konduktor

Arus Listrik merupakan laju perpindahan muatan elektrik yang melewati suatu titik atau permukaan tertentu. Dalam rangkaian, simbol

I

umum digunakan untuk arus konstan sementara simbol

i

digunakan untuk arus-arus yang berubah terhadap waktu.

Catatan!

Satuan arus listrik adalah

ampere

(A) dimana 1 A = 1 C/detik.

Lebih khusus lagi, yang menjadi perhatian kita saat ini adalah

kerapatan arus

konduksi

J.

Konduktor

adalah material yang memiliki electron-elektron yang dapat bergerak bebas dalam jumlah yang besar. Arus konduksi terjadi ketika suatu medan elektrik memberikan gaya pada elektron-elektron yang dapat bergerak bebas tersebut sehingga mengakibatkan terjadinya aliran muatan yang teratur di sepanjang material konduktor.

Konduktivitas



suatu material merupakan ukuran dari ketersediaan dan mobilitas elektron konduksi di dalam material. Satuan untuk konduktivitas,



, adalah Sieman (S).

Hubungan antara medan elektrik dan arus konduksi diberikan melalui persamaan (Gambar 2-31)

J =



E (A/m )

Persamaan di atas seringkali disebut juga sebagai

bentuk titik

hukum Ohm.

Gambar 2.31 Aliran arus elektrik dalam material konduktor

Jika kerapatan arus J memotong sebuah bidang permukaan

S

(misalkan penampang melintang dari sebuiah kawat), arus

I

dapat diperoleh dengan mengintegrasikan perkalian titik antara J dan vector diferensial permukaan

d

S (Gambar 2-32).

Gambar 2.32 J yang mengalir

menembus bidang permukaan S.

Jika sebuah konduktor dengan luas area penampang melintang seragam

A

dan panjang l, seperti tampak pada Gambar 2.34, memiliki beda tegangan V di antara kedua ujungnya, maka





V

J

V

E



,





Gambar 2.33

Arus yang mengalir pada sebuah kawat penghantar.

Dengan asumsi arus terdistribusi merata pada area

A.

Arus total adalah



AV

JA

I







karena hukum Ohm menyatakan bahwa

V

=

IR,

resistansi dari kawat dengan penampang

A

didefinisikan sebagai

)

,

(





ohm

A

R





_{Ohm direlasikan terhadap Sieman oleh persamaan 1}

S-1 = 1 .

Pada frekuensi-frekuensi tinggi, aliran arus dibatasi pada permukaan konduktor. Untuk suatu kerapatan arus permukaan tertentu, akan sangat membantu jika kita mendefinisikan sebuah vektor kerapatan K yang menggambarkan laju perpindahan muatan per satuan panjang (A/m). Gambar 2.35 menunjukkan arus total

I

yang mengalir pada suatu permukaan silindris dengan jari jari

r

pada arah

z.

Untuk kasus ini,

I

terdistribusi secara merata di sekitar garis keliling permukaan dengan kerapatan arus permukaan yang dirumuskan sebagai

Gambar 2.34 Menghitung resistansi konduktor.

Gambar 2.35 Kerapatan arus permukaan K pada sebuah silinder.

Kapasitansi

Kapasitansi

merupakan kemampuan suatu material untuk menyimpan muatan elektrik.

Kapasitor

merupakan elemen rangkaian penyimpan energi. Untuk mengevaluasi kapasitansi,

kondisi batas

di antara material konduktor dan dielektrik harus didiefinisikan dahulu.

Dielektrik

secara umun dipandang sebagai

sebuah material isolasi

Di bawah kondisi statis, semua muatan akan berada pada permukaan luar konduktor, dan baik E maupun D untuk daerah di dalam material konduktor akan sama dengan nol. Dengan menggunakan sifat konservatif dari medan statis E diperoleh (Gambar 2.36)









  3       2 4 3 1 4 2 1 0 dl E dl E dl E dl E 1 2 3 4 Gambar 2.36

Lintasan integrasi pada batas antara material konduktor dan dielektrik.

Jika panjang lintasan 2 ke 3 dan 4 ke 1 dibuat mendekati nol, maka dengan tetap mempertahankan antarmuka di antara kedua material, integral kedua dan keempat akan sama dengan nol. Lintasan dari 3 ke 4 berada di dalam material konduktor di mana E harus sama dengan nol. Sehingga lintasan integral yang tersisa adalah

0

2 1 2 1









E

dl



E

_t

dl

Dimana _{permukaan dielektrik.}

E

t adalah komponen tangensial E pada

Catatan!

Komponen tangensial E dan D adalah sama dengan nol pada batas

konduktor-konduktor

E

_t

= D

_t

= 0

Untuk mengevaluasi kondisi pada komponen normal, sebuah silinder tertutup kecil diletakkan pada bidang antar muka seperti tampak pada gambar 2.37.

Gambar 2.37 Pengevaluasian komponen normal medan pada batas

Hukum Gauss yang diterapkan pada permukaan ini akan menghasilkan





























sisi A s bawah atas dilingkupi

D

dS

D

dS

D

dS

dS

Q

dS

D



Integral sisi menuju nol, jika tinggi silinder mendekati nol. Integral bawah menuju nol karena D di dalam konduktor sama dengan nol. Dengan demikian













A A s n atas

dS

dS

D

dS

D



Dimana Dn adalah komponen normal dari D dielektrik pada batas permukaan. Nilai ini dapat dipertahankan hanya jika







s n s n

dan

E

D





di mana

ε

adalah permitivitas bahan dielektrik. Jadi komponen normal D akan berakhir dengan muatan permukaan . Pada batas antara permukaan konduktor dan dielektrik.

Nilai kapasitansi bahan bergantung pada bentuk geometri dan sifat-sifat dielektrik bahan bersangkutan.

Perbandingan nilai absolut muatan terhadap nilai absolut beda

tegangan didefinisikan sebagai kapasitansi

C = Q/V

(F)

Satuan untuk kapasitansi adalah farad (F) di mana 1 F = 1 C/V

Hal-hal Penting untuk Diingat



Muatan yang sejenis tolak-menolak, yang tidak sejenis

tarik-menarik.



E untuk muatan titik pada titik pusat/asal memiliki arah radial.



Untuk media isotropik, D = e E.



E dan V dihubungkan oleh persamaan (14) dan E = -VV.



Kerapatan arus konduksi J = a E.



Untuk kapasitor pelat paralel, kapasitansi dirumuskan sebagai

Material dielektrik akan terpolarisasi dalam medan elektrik sehingga menghasilkan kerapatan fluksi magnetik D yang lebih besar jika dibandingkan dengan dalam kondisi ruang hampa. Efek polarisasi ini disebabkan oleh pengaturan ikatan pasangan muatan positif/negatif di dalam bahan dielektrik yang disebut sebagai momen dipol. Meningkatnya kerapatan fluksi yang diakibatkan oleh polarisasi untuk material isotropik, linier muncul sebagai permitivitas ε bahan yang menghubungkan E dan D sebagai

D = εE

Permitivitas bahan ε adalah berbanding lurus terhadap permitivitas ruang hampa sebagai

ε = ε

_r

ε

₀

dimana

εr

adalah

permitivitas relatif

atau

konstanta dielektrik

bahan. Untuk sebagian besar bahan dielektrik,

ε

r > 1.

Bahan dielektrik seringkali digunakan sebagai material isolasi kapasitor. Dua bahan konduktif yang dipisahkan oleh sebuah ruang hampa atau bahan dielektrik akan memiliki suatu nilai kapasitansi tertentu di antaranya. Pemberian beda tegangan

V

akan berakibat pada munculnya

+Q

pada salah satu konduktor dan -

Q

pada konduktor yang lain.