Akreditasi Unggul TEKNIK SIPIL 2021/2022

(1)

TEKNIK SIPIL

2021/2022

MODUL MATRIKULASI

FISIKA

Akreditasi

Unggul

(2)

1

Modul Matrikulasi Fisika

BAB I

SISTEM SATUAN

cgs

= centimeter-gram-second (detik)

mks = meter-kilogram-second (detik)

Sistem

Satuan

_Gaya

Satuan

_Massa

_Percepatan

Satuan

Dinamis Kecil

Dyne

gr massa

cm/det

2

Dinamis Besar

Newton

kg massa

m/det

2

Statis Kecil

Gram

s.m.s.k

cm/det

2

Statis Besar

Kilogram

s.m.s.b

m/det

2

s.m.s.k

= satuan massa statis kecil

s.m.s.b

= satuan massa statis besar

I. Satuan Dasar dan Satuan Turunan

A. Simbol dan Dimensi Satuan

BESARAN SIMBOL _M-L-TDIMENSI _F-L-T

Besaran Dasar Panjang Massa Waktu Gaya L M T F L M T MLT-2 L FL-1_T2 T F Besaran Geometri Luas Volume A V L2 L3 L2 L3

Sistem Satuan

Sistem Dinamis

Kecil (cgs)

Sistem Dinamis

Besar (mks)

Sistem Statis

Kecil

Sistem Statis

Besar

(3)

2

Modul Matrikulasi Fisika

BESARAN SIMBOL _M-L-TDIMENSI _F-L-T

Besaran Kinematik Kecepatan Percepatan Debit Kecepatan Sudut Frekuensi Sirkulasi Gravitasi Kekentalan Kinematik v a Q Ω F Г g v LT-1 LT-2 L3_T-1 T-1 T-1 L2_T-1 LT-2 L2_T-1 LT-1 LT-2 L3_T-1 T-1 T-1 L2_T-1 LT-2 L2_T-1 Besaran Dinamis Rapat Massa Berat Jenis Kekentalan Dinamis Tekanan Tegangan Permukaan Modulus Elastisitas Daya Kerja, Energi ρ γ μ p σ E P w ML-3 ML-2_T-2 ML-1_T-1 ML-1_T-2 MT-2 ML-1_T-2 ML2_T-3 ML2_T-2 FL-4_T2 FL-3 FL-2_T FL-2 FL-1 FL-2 FLT-1 FL

B. Perbandingan Sistem Internasional dan Sistem Amerika

Besaran Sistem Internasional (SI) Sistem Amerika Besaran Sistem Internasional (SI) Sistem Amerika

Satuan Satuan Satuan Satuan

Percepatan sudut rad/det2 _rad/det2 Momen lembam

(massa) kg.m2 slug.kaki2 Percepatan linier m/det2 _kaki/det2 Momen lembam _{(momen kedua}

dari luas) m

4 _inci4

Luas m2 _kaki2 _Daya _J/det _kaki.lb/det

Kerapatan

(massa) kg/m3 slug/kaki3 Tekanan N/m2 lb/kaki2 Energi N.m lb.kaki Modulus tampang m3 _inci3

Gaya kg.m/det2 _{lb *)} Berat jenis

(kerapatan berat) N/m3 lb/kaki3 Frekuensi det-1 _det-1 _Tegangan _pascal

Impuls, sudut N.m.det kaki.lb.det Waktu detik *) detik *) Impuls, linier N.det lb.det Kecepatan sudut rad/det rad/det Intensitas gaya N/m lb/kaki Kecepatan linier m/det kaki/det Panjang meter *) kaki *) Volume (cairan) Liter gallon Massa kilogram *) lb.det2_/kaki _{Volume (padat)} _m3 _kaki3

Momen gaya,

(4)

3

Modul Matrikulasi Fisika

II. Konversi Satuan

A. Hubungan antara berbagai satuan SI

1 joule (J) = 1 N.m = 1 watt.detik 1 hertz (Hz) = 1 siklus per detik 1 watt (W) = 1 joule per detik (J/dt)

1 pascal (Pa) = 1 newton per meter kuadrat (N/m2₎

1 liter (L) = 0,001 meter kubik (m3₎

B. Hubungan antara beberapa satuan metrik yang lazim digunakan dalam SI 1 hektar (ha) = 10.000 meter kuadrat (m2₎

1 erg = 10-7_{joule (J)}

1 dyne = 10-5_{newton (N)}

1 kilowatt jam (kWh) = 3,6 megajoule (MJ) 1 centimeter (cm) = 10-2_{meter (m)}

1 gram (gr) = 10-3_{kilogram (kg)}

1 watt (W) = 10-7_{erg per detik (erg/dt)}

C. Beberapa satuan tambahan Sistem Amerika 1 inci (in.) = 1/12 kaki (ft.) 1 yard (yd.) = 3 kaki (ft.) 1 mil = 5280 kaki (ft.) 1 kip (k) = 1000 pon (lb) 1 ons (oz) = 1/16 pon (lb)

1 ton = 2000 pon (lb)

1 daya kuda mekanis (HP) = 550 pon kaki per detik (lb.ft/dt) 1 kilowatt (kW) = 737,562 pon.kaki per detik (lb.ft/dt) 1 pon per inci kuadrat (psi) = 144 pon per kaki kuadrat (lb/ft2₎

1 mil per jam (mph) = 22/15 kaki per detik (ft/dt)

1 kaki kubik (cf) = 576/77 galon = 7,48052 galon (gal.) D. Perbandingan satuan-satuan lain

Satuan Panjang 1 kilometer (km) ………. = 1000 m 1 hektometer (hm) ……… = 100 m 1 dekameter (dam) ……… = 10 m 1 meter (m) ………. = 1 m 1 desimeter (dm) ………. = 0,1 m 1 centimeter (cm) ………. = 0,01 m 1 milimeter (mm) ………. = 0,001 m 1 mikron (μ) ……….. = 0,000001 m

(5)

4

Modul Matrikulasi Fisika

Satuan Luas

1 kilometer persegi (km2_{) ……… = 1.000.000 m}2

1 hektometer persegi / hektar (ha).. = 10.000 m2

1 dekameter persegi atau are (a) …. = 100 m2

1 meter persegi (m2_{) ……….. = 10.000 cm}2 1 desimeter persegi (dm2_{) ……… = 100 cm}2 1 centimeter persegi (cm2_{) ………….. = 1 cm}2 1 milimeter persegi (mm2_{) …………. = 0,01 cm}2 Satuan Isi 1 hektoliter (hl) ………..… = 100.000 cm3 1 liter (l) ……….…. = 1.000 cm3 1 meter kubik (m3_{) ………... = 1.000.000 cm}3 1 desiliter (dl) ………. = 100 cm3 1 centiliter(cl) ……….….. = 10 cm3 1 desimeter kubik (dm3_{) ……….. = 1.000 cm}3 1 mililiter (ml) ………..………….. = 1 cm3 1 milimeter kubik (mm3_{) ….…………. = 0,001 cm}3 Satuan Berat 1 ton (t) ……….. = 1.000.000 gr 1 kwintal (q) ……… = 100.000 gr 1 kilogram (kg) ……… = 1.000 gr 1 hektogram (hg) ………..………. = 100 gr 1 gram (gr) ………. = 1 gr 1 desigram (dg) ………. = 0,1 gr 1 centigram (cg) ………. = 0,01 gr 1 miligram (mg) ……..……….. = 0,001 gr Satuan Tekanan Atmosfir, 1 kg/cm2_{(at) …….…………. = 1000 gr/cm}2

Atmosfir, 760 mm air raksa (atm) … = 1033,2 gr/cm2

1 Bar ………..……… = 1101,97gr/cm2

1 milibar (mbar) ………..………. = 1,0197 gr/cm2

Satuan Usaha

1 kilogram meter (kg.m) …….………… = 105_gr.cm

1 gram centimeter (gr.cm) ……… = 1 gr.cm 1 tenaga kuda jam (pkh)………. = 27 x 109_gr.cm

1 Erg (erg) ………..……… = 1,0197 x 10-3 gr.cm

1 Joule (J) ……….………… = 1,0197 x 10-4_gr.cm

1 Watt jam (Wh)………..………. = 3,671 x 107_gr.cm

(6)

5

Modul Matrikulasi Fisika

Satuan Daya

1 Daya kuda (pk) …….……….. = 75 x 105_gr.cm/dt

1 Watt (W) ………. = 1,0197 x 104_gr.cm/dt

1 kilowatt (kW) ……… = 1,0197 x 105_gr.cm/dt

Unit Faktor Konversi

1 meter kubik normal (m3_(n)) _{1.054915 meter kubik (m}3_(st))

1 meter kubik standar (m3_(st)) _{35,31 kaki kubik standar (scf)}

1 kaki kubik standar (scf) 0,0283 meter standar kubik (m3_(st))

100 standar kaki kubik (scf) 2,83 meter kubik (m3_(st))

1 kilowatt jam 3,6 megajoule (MJ)

1 kilowatt jam 3412 Btu/jam

1 satuan panas 29,3071 kilowatt jam (kWh) 1 satuan panas 105,06 megajoule (MJ) 1.000.000 therms 29,3071 gigawatt jam (GWh)

1 bar 14,5 inci persegi (psi)

1000 mbar 1 bar

68,9 mbar 1 inci persegi (psi)

(7)

6

Modul Matrikulasi Fisika

(8)

7

Modul Matrikulasi Fisika

(9)

8

Modul Matrikulasi Fisika

BAB II

TITIK BERAT SUATU PENAMPANG BENDA

➢

Titik Berat Penampang Bidang Datar

Berat suatu benda merupakan gaya tarik (gravitasi) bumi terhadap benda itu. Gaya tarik (gravitasi) bumi ini tidak bekerja pada benda tersebut secara keseluruhan, melainkan pada tiap-tiap unsur yang terkecil atau molekul-molekul benda tersebut. Tiap-tiap molekul ditarik oleh bumi dan yang dimaksud dengan berat benda itu adalah jumlah gaya dari tiap-tiap molekul benda tadi. Jadi pada hakekatnya berat benda itu adalah resultan dari semua gaya molekul yang kecil-kecil dan sejajar. Berat dan letak dari resultan tersebut dapat dicari dengan cara yang biasa digunakan untuk menentukan resultan sistem gaya. Arah gravitasi bumi adalah vertikal ke bawah, jadi arah resultannya juga ke bawah. Garis kerja resultan itu dapat berubah letaknya tergantung pada perubahan letak benda. Akan tetapi, selalu ada satu titik sama yang dilalui oleh garis kerja resultan tersebut. Titik ini disebut sebagai titik berat atau pusat berat. Titik berat itu merupakan titik tangkap dari gaya resultan.

Sebuah benda sebenarnya terdiri dari bagian-bagian yang sangat kecil yang masing-masing mempunyai berat.

Terhadap sumbu-sumbu X, Y, dan Z, maka koordinat titik berat sebuah benda ialah :

x_o =∑A.x_∑A ; y_o=∑_∑AA.y ; zo =∑_∑A.z_A

• Titik berat garis lurus

Letak titik berat (Z) suatu garis lurus ialah di tengah-tengah garis lurus itu.

• Titik berat garis patah beraturan

Letak titik berat (Z) suatu garis patah beraturan ialah pada sumbu Y dengan jarak yo dari titik M

(sumbu X), dimana : yo =

a.AF 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹

(10)

9

Modul Matrikulasi Fisika

• Titik berat garis busur lingkaran

Letak titik berat (Z) suatu garis busur lingkaran ialah pada sumbu Y dengan jarak yo dari titik M

R.tali busur AF 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹

• Titik berat luas segitiga

Letak titik berat (Z) suatu garis busur lingkaran ialah pada sumbu Y dengan jarak yo dari titik M

1 3𝑡

• Titik berat luas jajaran genjang, belah ketupat, busur sangkar dan persegi panjang

Letak titik berat (Z) luas bangun tersebut ialah pada titik potong dua buah diagonalnya dengan jarak yo dari garis alasnya,

dimana: yo =

1 2𝑡

• Titik berat luas bangun yang dibatasi oleh garis patah teratur dan titik pusat lingkaran bangun tersebut

Letak titik berat (Z) luas bangun yang dibatasi oleh garis patah beraturan ABCDEF dan titik pusat M dari lingkaran luar ABCDEF ialah pada sumbu Y dengan jarak yo dari titik M, dimana:

yo =

2 3

𝑎. 𝐴𝐹 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹

(11)

10

Modul Matrikulasi Fisika

• Titik berat luas juring lingkaran/sektor lingkaran

Letak titik berat (Z) luas juring lingkaran MAF ialah pada sumbu Y dengan jarak yo dari titik M

(sumbu X), dimana: yo = 2 3 𝑅. 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹 • Titik berat luas tembereng lingkaran/segmen lingkaran

Letak titik berat (Z) luas tembereng lingkaran ABD ialah pada sumbu Y dengan jarak yo dari

titik M (sumbu X), dimana:

yo=

(𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵)3

6(𝑅. 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 − 𝐶𝑀. 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵)

• Titik berat luas bangun ruang prisma

Letak titik berat (Z) luas bangun ruang prisma ABC.DEF ialah pada titik tengah garis Z1Z2 yang

menghubungkan titik berat (=Z1)

bidang atas dengan titik berat (=Z2) bidang alas.

• Titik berat luas bangun ruang silinder

Letak titik berat (Z) luas bangun ruang silinder ABC.DEF ialah pada titik tengah garis Z1Z2 yang

menghubungkan titik berat (=Z1=pusat lingkaran atas) bidang

atas dengan titik berat (=Z2=pusat

(12)

11

Modul Matrikulasi Fisika

• Titik berat luas bangun ruang limas

Letak titik berat (Z) luas bangun ruang limas T.ABC ialah pada bidang PQR yang berjarak 1/3 tinggi limas tersebut dari bidang alasnya, dan mencari titik tangkap resultante dari ketiga bidang sisi limas T.ABC tersebut akan didapat titik beratnya.

• Titik berat luas bangun ruang kerucut

Letak titik berat (Z) luas bangun ruang kerucut ialah pada garis sumbu kerucut TZ1 yang

menghubungkan titik puncak T dengan titik berat (=Z1=pusat

lingkaran atas) bidang alasnya pada jarak 1/3 garis sumbu TZ1

dari titik Z1.

Contoh Soal:

1. Diketahui sebuah bangun datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat penampang dengan cara analitis.

(13)

12

Modul Matrikulasi Fisika

Penyelesaian :

Analitis : Untuk memudahkan dalam perhitungan maka penampang tersebut dibagi menjadi dua bagian, sehingga luas penampang dan letak titik berat dari tiga-tiga penampang dapat ditentukan. Letakkan sumbu koordinat pada sisi paling kiri dan paling bawah pada gambar.

Perhitungan :

Bagian I : luas A1 = 2 m x 6 m = 12 m2

Bagian II : luas A2 = 4 m x 6 m = 24 m2

Jumlah ΣA = 36 m2

Ordinat masing-masing titik berat penampang : X1 = 1 m, Y1 = 7 m

X2 = 3 m , Y2 = 2 m

Untuk menentukan titik berat Zo; dengan menggunakan statis momen luas terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y.

X= A1.X1+A2.X2 ΣA X = 12m2_.1m+24m2_{. 3m} 36 m2 X=12m3+72m3 36m2 X = 84 m3_{/ 36 m}2 X = 2,333 m

(14)

13

Modul Matrikulasi Fisika

Y = A1Y1+A2.Y2 ΣA Y = 12 m2_.7m+24m2_.2m 36 m2 Y = 84 m3_{+ 48m}3 36 m2 Y = 132 m3_{/36 m}2 Y = 3,667 m

Jadi letak titik berat Z0 (2,333:3,667) m.

2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat Zo dengan cara analitis.

Penyelesaian:

Penampang kita bagi menjadi tiga bagian yaitu I, II dan III. Perhitungan : Luas A1 = 4 m x 4 m = 16 m2

Luas A2 = 8 m x 6 m = 48 m2

Luas A3 = ½. 3 m x 6 m = 9 m2

ΣF = Luas A1 + Luas A2 + Luas A3 = 73 m2

Y2 4 m 4 m 3 m 4 m 6 m Y1 Y3 4m 6m 3m 4m 4m X3 X2 X1

(15)

14

Modul Matrikulasi Fisika

Ordinat masing-masing titik berat penampang : X1 = 2 m; Y1 = 8 m

X2 = 4 m; Y2 = 3 m X3 = 9 m; Y3 = 2 m

Statis momen luas terhadap sumbu X adan sumbu Y adalah sebagai berikut : X = A1.X1+A2.X2+A3.X3 ΣA X = 16 m2_.2m+48m2_{.4m+9 m}2_.9m 73 m2 X = 32 m3_{+ 192 m}3_{+ 81 m}3 73 m2 X = 305 m3_{/ 73 m}2 X = 4,178 m Y = F1.Y1+F2.Y2+F3.Y3 ΣF Y = 16 m2_{.8 m + 48 m}2_{.3m+9 m}2_{. 2m} 73 m2 Y = 128 m3_{+ 144 m}3_{+ 18 m}3 73 m2 Y = 290 m3_{/ 73 m}2 Y = 3,973 m

(16)

15

Modul Matrikulasi Fisika

Soal Latihan

1. Diketahui sebuah bangunan berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah.Tentukan letak titik berat Zo.

2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat Zo.

(17)

16

Modul Matrikulasi Fisika

BAB III

STATIKA, MOMEN, dan KOPEL

I. Gaya (Hukum Newton I, II, III)

Hukum Newton I (hukum kelembaman/inersia)

Apabila sebuah benda/titik materi dibiarkan pada dirinya sendiri, maka keadaan diam atau keadaan gerak lurus beraturan dari benda/titik materi itu tidak akan berubah.

Hukum Newton II

F = m . a

Percepatan sebuah benda/titik materi sama dengan resultante gaya-gaya yang bekerja pada benda/titik materi itu, sedang arahnya sama dengan arah resultante gaya-gaya itu.

Hukum Newton III

Apabila sebuah benda A melakukan tekanan (gaya) pada sebuah benda B, maka benda B sebaliknya akan melakukan tekanan (gaya) pada benda A yang sama besarnya tetapi arahnya berlawanan dengan tekanan (gaya) yang diterima oleh benda B tersebut (gaya aksi = gaya reaksi).

A. Pengertian gaya

Gaya adalah sesuatu yang menyebabkan perubahan gerak suatu benda, yakni dari diam menjadi bergerak, dari bergerak menjadi diam, atau dari gerak lurus menjadi gerak membelok, atau sebaliknya.

B. Menguraikan gaya & mencari resultante gaya

➢ Menguraikan satu gaya menjadi dua gaya yang membentuk sudut.

F

₁

=

F sin ∝

(18)

17

Modul Matrikulasi Fisika

➢ Resultante pada dua gaya yang membentuk sudut

R=√R_x2+ Ry2 Rx = Ʃ Fx = F1x + F2x = F1 cos α1 + F2 cos α2 Ry = Ʃ Fy = F1y + F2y = F1 sin α1 + F2 sin α2

➢ Menguraikan satu gaya menjadi dua gaya sejajar

Resultante dua gaya sejajar

R = F1 + F2

untuk mencari x R . x = F1 . 0 + F2 . a

➢ Resultante gaya pada beban terbagi merata • Resultante gaya untuk beban terbagi rata

R = q . L (ton)

• Resultante gaya untuk beban segitiga

R = (q. L) / 2 (ton)

(19)

18

Modul Matrikulasi Fisika

C. Kesetimbangan ➢ Keseimbangan Partikel

Partikel dipengaruhi oleh gaya-gaya yang terletak pada satu bidang datar. Syarat seimbang titik :

∑Fx = 0

∑Fy = 0

Tiga buah titik gaya yang bertitik tangkap sama berlaku : 𝑇1 𝑠𝑖𝑛 ∝= 𝑇2 𝑠𝑖𝑛𝛽= 𝑇3 𝑠𝑖𝑛𝛾 ➢ Kesetimbangan Stabil

Kesetimbangan stabil terjadi karena adanya suatu kopel dengan gaya berat G dan gaya tekan N yang berputar, sehingga kembali ke keadaan semula.

Papan digantung

Dimana letak titik berat (Z) terletak vertikal di bawah titik gantung P Benda di atas bidang datar

Dimana letak gaya berat G dan gaya tekan N yang masing-masing bertitik tangkap di Z (titik berat balok) dan di A terletak satu garis lurus.

➢ Kesetimbangan Labil

Kesetimbangan labil terjadi karena adanya suatu kopel dengan gaya berat G dan gaya tekan N yang berputar, sehingga tidak kembali ke keadaan semula.

Papan digantung

Dimana letak titik berat (Z) terletak vertikal di atas titik gantung P Benda di atas bidang datar

Dimana letak gaya berat G dan gaya tekan N yang masing-masing melalui rusuk B dari balok tersebut terletak pada satu garis lurus.

(20)

19

Modul Matrikulasi Fisika

➢ Kesetimbangan Sembarang (Indifferent)

Kesetimbangan indifferent karena tidak terjadi kopel dengan gaya berat G dan gaya tekan N pada satu garis lurus, sehingga akan kembali setimbang pada kedudukan baru.

Papan digantung

Dimana letak titik berat (Z) terletak berimpit titik gantung P

Benda di atas bidang datar

Dimana letak gaya berat G dan gaya tekan N akan tetap pada satu garis lurus.

II. Momen

Momen gaya F terhadap sebuah titik 0 ialah hasil kali dari besar gaya F dengan jarak dari titik 0 ke arah garis kerja gaya F tersebut.

M = F . a

M = Momen gaya F = Gaya

a = Lengan momen gaya

➢ Momen gaya resultante dengan titik tangkap sama

Momen gaya resultante dari gaya-gaya F1 dan F2

terhadap titik 0 adalah sama dengan jumlah aljabar dari momen-momen gaya-gaya F1 dan F2

terhadap titik 0.

(21)

20

Modul Matrikulasi Fisika

➢ Momen gaya resultante dengan titik tangkap sejajar

III. Kopel (Pasangan)

Kopel atau pasangan adalah susunan yang mempunyai atau menyebabkan gerakan berputar (rotasi).

• Momen kopel

Momen kopel ialah hasil kali dari salah satu gaya kopel itu dengan jarak antara kedua garis kerja gaya-gaya kopel itu.

M = r . F sin θ • Memadu kopel pada bidang sejajar

Jumlah aljabar dari momen kopel-momen kopel yang sebidang atau yang terletak pada bidang-bidang sejajar dapat dihitung dengan cara berikut :

(22)

21

Modul Matrikulasi Fisika

IV. Momen Inersia

Momen inersia adalah suatu sifat kekakuan yang ditimbulkan dari hasil perkalian luas penampang dengan kuadrat jarak ke suatu garis lurus atau sumbu. Momen inersia atau momen kelembaman ini dibutuhkan dalam perhitungan perhitungan lenturan, puntiran dan tekukan. Momen inersia di dalam perhitungan diberi dengan harus I, jika terhadap sumbu X maka diberi simbol Ix dan jika terhadap sumbu Y diberi simbol Iy.

Jadi momen inersia terhadap sumbu x : Δ Ix = Δ A.Y2

Begitu juga terhadap sumbu Y : ΔIy = Δ A. X2

Di mana : A = luas seluruh bidang .

Δ A = bagian kecil luas suatu bidang.

Apabila luas bidang (A) dibagi-bagi menjadi ΔA1, ΔA2, ΔA3 dan seterusnya

dan jarak masing-masing bagian ke sumbu X adalah Y1,Y2, Y3 dan seterusnya begitu pula

jarak masing-masing bagian ke sumbu Y adalah X1, X2, X3 dan seterusnya maka besar

momen insersia adalah sebagai berikut :

Terhadap sumbu X : Ix = ΔA1 . Y12 + ΔA2 . Y22 + ….. + ΔAn.Yn2

Terhadap sumbu Y : Iy = ΔA1 . X12 + ΔA2 . X22 + ….. + ΔAn.Xn2

Di mana Ix dan Iy dalam cm4

X dan Y dalam cm ΔA dalam cm2

Karena jarak X maupun Y berpangkat maka hasil momen kelembaman selalu posistif, pada perhitungan tekukan kita memasukkan arti jari-jari kelembaman (i).

I = A . i2_{atau i = √}I

A

di mana i = jari-jari kelembaman, i dalam satuan cm.

A

(23)

22

Modul Matrikulasi Fisika

Ada dua momen inersia :

a. Momen kelembaman linier yaitu momen kelambaman terhadap suatu garis lurus atau sumbu.

Ix = ΔA . Y2

Iy = ΔA . X2

b. Momen kelembaman Poler yaitu momen kelembaman terhadap suatu titik perpotongan dua garis lurus/sumbu (titik kutub O). Dengan kata lain bahwa momen kelembaman Poler adalah jumlah momen kelembaman linier terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y.

Ip = Ix + Iy.

A

(24)

23

Modul Matrikulasi Fisika

Dalil pergeseran sumbu Z/Y :

a dan b ialah jarak geser dari sumbu x ke x dan dari y ke y sehingga besar momen inersia / kelembaman terhadap sumbu x/y menjadi :

Ix = I2,x + A b2

Iy = I2,y + A a2

I2,x dan I2,y disebut bilangan asal, sedang Aa2 dan Ab2 disebut bilangan koreksi (momen

koreksi). Dalam modul ini tidak dibahas tentang menemukan rumus-rumus momen inersia/kelembaman sebab biasanya para teknisi bangunan cukup dengan menggunakan rumus dalam perhitungan.

Momen inersia / kelembaman untuk beberapa penampang : a. Momen kelembaman bentuk empat persegi panjang

Momen inersia terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat penampang z adalah Izx atau Ix = 1/12.b.h3

Izy atau Iy = 1/12.h.b3

(25)

24

Modul Matrikulasi Fisika

Momen inersia terhadap sumbu x adalah : Ix = Izx + Ab12

= 1/12 b.h3_{+ b.h.b1}2

= 1/12 bh3_{+ b.h(1/2h)}2

= 1/12bh3_{+ ¼ bh}3

Ix = 1/3 bh3

Momen inersia terhadap sumbu y adalah : Iy = Izy + Aa12

=1/12.hb3_{+ Aa1}2

= 1/12 hb3_{+ b.h(1/2b)}2

=1/12hb3_{+ 1/4hb}3

Iy = 1/3hb3

b. Momen kelembaman bentuk segi tiga

Momen inersia terhadap sumbu x yang melalui titik berat penampang z. Ix atau Izx = 1/36 b.h3

Momen inersia terhadap sumbu x yang melalui puncak segitiga adalah Ix = ¼ b.h3

c. Momen Kelembaman bentuk lingkaran

Momen inersia / kelembaman terhadap sumbu x yang melalui titik berat/titik pusat lingkaran adalah Ix = I2= 1/64π d4

(26)

25

Modul Matrikulasi Fisika

Untuk penampang lingkaran ini sering digunakan untuk poros berputar ataupun konstruksi yang mengalami torsi. Untuk hal ini momen inersia yang digunakan dalam perhitungan adalah momen inersia/kelembaman polar.

Ip = Ix +Iy sehingga Ip = 1/20 d2_{+1/20 d}2

Ip = 1/10 d4_atau

Ip = 0,1 d4

d. Momen kelembaman bentuk cincin

Dianggap tidak berlubang : Ip1 = 0,1 D4

Lubangnya saja : Ip2 = 0,1 d4

Sehingga Ip = 0,1 D4_-0,1d4

Ip = 0,1 (D4_-d4₎

Contoh 1:

Diketahui suatu penampang dberbentuk empat persegi panjang dengan b = 6 cm dan h = 12 cm (lihat gambar)

(27)

26

Modul Matrikulasi Fisika

Pertanyaan :

a). Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat penampang.

b). Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu x yaitu melalui sisi alas penampang.

Penyelesaian :

Momen inersia terhadap sumbu x adalah : Ix = 1/12.b.h3

= 1/12. 6 cm. (12 cm)3

= 864 cm4

Momen inersia terhadap sumbu y adalah : Iy = 1/12.h.b3

= 1/12.12 cm (6 cm)3

= 216 cm4

Momen inersia terhadap sisi alas x adalah : Ix = 1/3.b.h3

= 1/3.6 cm(12cm)3

= 3456 cm4

atau dapat dihitung dengan rumus /dalil pergeseran :

Ix = Iz,x+A.b12

= 1/12. 6 cm. (12 cm)3_{+ 6 cm.12 cm (6 cm)}2

= 8 64 cm4_{+ 2592 cm}4

(28)

27

Modul Matrikulasi Fisika

Contoh 2 :

Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.

Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat penampang.

Penyelesaian :

a. Menentukan letak titik berat penampang profil, maka penampang profil dibagi menjadi dua bagian.

Perhitungan : Bagian I : luas A1 = 12 cm x 4 cm = 48 cm2 Bagian II : luas A2 = 4c m x 12 cm = 48 cm2 Jumlah ΣA = 96 m2 4 cm 8 cm 4 cm 12 cm

(29)

28

Modul Matrikulasi Fisika

Ordinat masing-masing titik berat penampang : X1 = 2 cm, Y1 = 10 cm

X2 = 6 cm , Y2 = 2 cm

Untuk menentukan titik berat Zo; dengan menggunakan statis momen luas terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y.

X= A1.X1+A2.X2 ΣA X = 48 cm2_{.2 cm+48 cm}2_{. 6 cm} 96 cm2 X=96 cm3_{+288 cm}3 96m2 X = 384 cm3_{/ 96 cm}2 X = 4 cm Y = A1Y1+A2.Y2 ΣA Y = 48 cm2_{.10 cm+48 cm}2_{.2 cm} 36 cm² Y = 480 cm³ + 96 cm³ 36 cm2 Y = 576 cm3_{/96 cm}2 Y = 6 cm

Jadi letak titik berat Z0 (4 : 6) cm.

Jarak titik berat penampang Z1 dan Z2 terhadap Zo: Z1 adalah titik berat penampang A1

Z2 adalah titik berat penampang A2 b1 = 10 cm – 6 cm = 4 cm

b2 = 6 cm – 2 cm = 4 cm a 1 = 2 cm

a 2 = 6 cm – 4 cm = 2 cm

Momen inersia terhadap sumbu x adalah : rumus : Ix = I2x + A.b2

I x1 = (1/12).4 cm.(12 cm)3_{+48 cm}2 _(4cm)2_{= 576 cm}4_{+768 cm}4_{= 1344 cm}4

I x2 = (1/12).12 cm (4 cm)3_{+ 48 cm}2_(4cm)2_{=64 cm4+768 cm}4_{= 832 cm}4

Jadi Ix= Ix1 + I x2 = 2176 cm4

Momen inersia terhadap sumbu y adalah : rumus : Iy = I2y + A.a2

Iy1 = (1/12).12 cm(4 cm)3_{+48 cm}2_{.(2 cm)}2_{= 64 cm}4_{+192 cm}4_{=256 cm}4

Iy2 = (1/12).4 cm(12cm)3_{+48 cm}2 _{.(2 cm)}2_{=576 cm}4_{+192 cm}4_{=768 cm}4

(30)

29

Modul Matrikulasi Fisika

Contoh 3 :

Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.

a) Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu x yang melalui titik berat penampang.

b) Hitung momen kelembaman polarnya.

Penyelesaian : a) Ix = 1/20 d4 = 1/20.(12 cm)4 = 1036,8 cm4 b) Ip = 0,1 d4 = 0,1.(12 cm)4 = 2073,6 cm4 Soal Latihan

1. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.

Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat penampang profil.

2. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah. Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat penampang profil. 5 cm 12cm 4 cm 4 cm 2 _cm 5 c m R=6 cm 5 cm 2cm 5 cm 2 cm 6 cm 4cm

(31)

30

Modul Matrikulasi Fisika

(32)

31

Modul Matrikulasi Fisika

(33)

U

NIVERSITAS

M

UHAMMADIYAH

Y

OGYAKARTA

J

URUSAN

T

EKNIK

S

IPIL |

D

EPARTMENT OF

C

IVIL

E

NGINEERING

Jl. Brawijaya, Tamantirto, Kasihan, Bantul, Telp. 0274-387656 ext. 232, Fax. 0274-387646 Website : http://tekniksipil.umy.ac.id