ANALISA RESPONS TRANSIENT

(1)

ANALISA RESPONS TRANSIENT

Respons transient : Kondisi awal Kondisi akhir

Respons steady-state : t ∞

SISTEM ORDE PERTAMA

1 Ts

1 R(s) C(s)

= +

1. INPUT : UNIT-STEP r(t) = 1

s R(s) = 1

s . 1 1 Ts C(s) 1

= +

1 Ts

T s C(s) 1

− +

=

) 0 t ( e

1 c(t) = − −

^t^T

≥

^{………..(*)}

KURVA RESPONS

- Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1 - Pada t = T, c(t) = 0,632

T = time constant sistem

Time constant lebih kecil, respons sistem lebih cepat.

(2)

- Slope pada t = 0 adalah 1/T

Slope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0 0 pada t = ∞ - t = T : 0 – 63,2%

t = 2T : 0 – 86,5%

t = 3T : 0 – 95%

t = 4T : 0 – 98,2%

t = 5T : 0 – 99,3%

- t = ∞ steady state 2. INPUT : UNIT-RAMP

r(t) = t

s

2

R(s) = 1

) 0 t ( T.e

T t c(t)

1 Ts

T s T s C(s) 1

s . 1 1 Ts C(s) 1

tT 2 2

2

− ≥ +

−

=

+ +

−

=

= +

Kurva Respons

T ) e(

) e T(1 e(t)

c(t) r(t) e(t)

tT

=

∞

−

=

−

=

−

- Time constant lebih kecil ( T ) steady state error lebih kecil

3. INPUT : UNIT-IMPULSE r(t) = S(t) → R(s) = 1 C(s) = 1

Ts + 1

(3)

C(t) = 1 e^{– t / T} (t ≥ 0) T

KURVA RESPONS

→Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh dengan men- defferensiasi-kan respons dari sinyal input semula.

SISTEM ORDE KEDUA

R(s) E(s) C(s) +

C(s) ωn 2

=

R(s) S² + 2 ζ ωn S + ωn 2

ωn = frekuensi sudut natural undamped ζ = faktor redaman

Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (ζ). Bila 0 < ζ < 1, sistem dinamakan underdamp. Bila ζ = 1, sistem disebut critically damp, dan bila ζ > 1, sistem disebut overdamp.

Untuk mengetahui respons sistem orde dua, ketiga keadaan tersebut akan dibahas untuk input yang berbentuk unit step, impuls, maupun ramp.

ωn 2

s ( s + 2 ζ ωn )

(4)

1°°°° Input Unit Step R(s) = 1

S

Untuk sistem yang UNDERDAMP ωn

2 1

C(s) =

S² + 2 ζ ωn S + ωn 2 S

1 S + 2 ζ ωn

C(s) =

S S² + 2 ζ ωn S + ωn 2

ωd = ωn 1 – ζ²

= frekuensi natural teredam (damped natural frequency) 1 S + 2 ζ ωn

C(s) =

S S² + 2 ζ ωn S + ζ²ωn 2

- ζ²ωn 2

+ ωd 2

1 – ζ² 1 S + 2 ζ ωn

=

S (S + ζωn)² + ωd 2 - ωn

2

+ + ωd 2

1 – ζ²

1 S + 2 ζ ωn

=

S (S + ζωn)² + (1 - ζ²) ωd

2 – (1 – ζ²) ωn 2 + ωd

2

1 – ζ² 1 S + 2 ζ ωn

=

S (S + ζωn)² + ωd 2

1 S + ζ ωn ζ ωn

=

S (S + ζωn)² + ωd 2

(S + ζωn)² + ωd 2

C(t) = 1 - e ^–^ζ^ω^{n t} cos ωdt - e ^–^ζ^ω^{n t} sin ωdt ζ

1 – ζ²

C(t) = 1 - e ^–^ζ^ω^{n t} ( cos ωdt + ζ sin ωdt ) (t ≥ 0)

1 – ζ²

e(t) = r(t) - c(t)

= e^–^ζ^ω^{n t} ( cos ωdt + ζ sin ωdt ) (t ≥ 0)

1 – ζ²

(5)

Frekuensi osilasi transient adalah ωd, dan berubah dengan faktor redaman (ζ)

Sinyal error berkelakuan seperti osilasi sinusoidal yang teredam. Pada steady-state error (t = ~), error = 0

Bila ζ = 0 → c(t) = 1 – cos ωnt (t ≥ 0) respons menjadi undamped dan osilasi terus menerus tidak terbatas

Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED ωn

2

C(s) =

(S + ωn)² S

= 1 - e^–^ω^{n t} ( 1 + ωnt ) (t ≥ 0) Respons transient tidak berosilasi

Untuk Sistem yang OVERDAMPED

ωn 2

C(s) =

( S + ζ ωn + ωn 1 – ζ²) ( S + ζ ωn - ωn 1 – ζ²) S 1

c(t) = 1+ e ^–(^{ζ + ζ}^{2 – 1)}^ω^{n t} - 2 ζ²– 1 (ζ + ζ²– 1 )

1

e ^–(^{ζ + ζ}^{2 – 1)}^ω^{n t} 2 ζ²– 1 (ζ + ζ²– 1 )

Untuk mendapatkan C(s) di atas : C(s) ωn

2

=

R(s) S² + 2 ζ ωn S + ωn 2

C(s) ωn 2

=

R(s) (S + ζωn + ζωd) (S + ζωn - ζωd) ωd = ωn 1 – ζ²

ωd = ωn j² (ζ²- 1) ωd = ωn j ζ²- 1

C(s) ωn

2

=

R(s) (S + ζωn - ωn ζ²– 1) (S + ζωn + ωn ζ²– 1)

(6)

ωn e ^–S1t e^-S2t

c(t) = 1 + (t ≥ 0) 2 ζ²– 1 S1 S2

dimana : S1 = (ζ + ζ²– 1) ωn

S2 = (ζ - ζ²– 1) ωn

- Salah satu dari komponen yang dikandung c(t) akan menghilang lebih cepat dalam respons. Dengan demikian komponen eksponensial tersebut dapat diabaikan.

- Bila –S2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu jω daripada –S1 (|S2| << |S1|), maka solusi pendekatan -S1 diabaikan. Pengaruh -S1 pada respons lebh kecil, karena komponen yang mengandung S1 lebih cepat menghilang. Bila salah satu komponen eksponensial hilang, respons sama dengan sistem orde pertama, dan

C(s) ζωn - ωn ζ²– 1 S2

= =

R(s) S + ζωn - ωn ζ²– 1 S + S2

C(s) = ζωn - ωn ζ²– 1 (S + ζωn - ωn ζ²– 1) S

c(t) = 1 – e ^–(^{ζ- ζ}^{2 – 1)}^ω^nt (t ≥ 0)

KURVA RESPONS

ζ = 2 , ωn = 1

(7)

Kurva respons

O ζ = 0,5 – 0,8 lebih cepat mencapai steady state daripada sistem overdamped atau critically damped

O Sistem tanpa osilasi, sistem critically damped memiliki respons paling cepat O Harga ζ sama, tetapi harga ωn berbeda akan berkelakuan overshoot dan

pola osilasi yang sama

DEFINISI SPESIFIKASI RESPONS TRANSIENT

1. Delay time (td) 2. Rise time (tr) 3. Peak time (tp)

4. Maximum overshoot (Mp) 5. Settling time (ts)

KURVA RESPONS – UNIT STEP

(8)

Delay time (td) : waktu yang diperlukan untuk mencapai setengah dari nilai akhir pada waktu pertama kali

Rise time (tr) : waktu yang diperlukan untuk naik dari 10 – 90%, 5 – 55%, atau 0 – 100%

dari nilai akhirnya.

Untuk sistem underdamped : 0 – 100%

Untuk sistem overdamped : 10 – 90%

Peak time (tp) : waktu yang diperlukan untuk mencapai peak pertama dari overshoot.

Maximum overshoot (Mp,%) : nilai puncak (peak) maksimum dari kurva respons yang diukur dari satu.

Maximum per cent overshoot = c(tp) – c(~) x 100%

c(~)

Settling time : waktu yang diperlukan untuk mencapai dan tetap di dalam sebuah range nilai akhir yang ditetapkan oleh persentase absolut dari nilai akhir (biasanya 5% atau 2%).

• Diinginkan respons transient : - cukup cepat

- cukup memiliki redaman (aplikasi : osilasi tidak dapat ditoleransi)

• Respons transient yang diinginkan dari sistem orde kedua : faktor redaman : antara 0,4 dan 0,8

Mendapatkan nilai dari t_r, t_p, M_p, dan t_s

A. RISE TIME (tr) :

c(t) = 1 – e ^-^ζ^ω^{n t}( cosωdt+ ζ sin ωd t)

1 – ζ²

t = tr → c(tr) = 1, maka:

c(tr) = 1 – e ^-^ζ^ω^{n tr}( cosωdtr + ζ sin ωd tr)

1 – ζ²

karena e ^-^ζ^{ωn tr} ≠ 0 maka :

cos ωd tr + ζ sin ωd tr = 0

1 – ζ²

atau

tan ωd tr = - 1 – ζ²

ζ

(9)

DEFINISI SUDUT β :

atau

tan ωd tr = _ ωd

σ

Jadi,

tr =

ω

d

β

)

π σ ω

d 1 ( tan

ω

d

1 = −

− −

POLE-POLE KOMPLEKS :

GARIS-GARIS FAKTOR REDAMAN KONSTAN

ζ = cos θ

B. PEAK TIME (tp) :

dc = (sin ωd tp) ωn e^-^ζ^ω^{n tp} = 0 dt t = tp 1 - ζ

sin ωd tp = 0

(10)

ωd tp = 0, π, 2π, 3π, … ωd tp = π

tp = π

ωd

C. MAXIMUM OVERSHOOT (Mp) : Mp = c(tp) – 1

= - e^-^ζ^ωⁿ⁽^π^/^ω^d) (cos π + ζ sin π)

1 – ζ²

= e^-(^σ^/^ω^d)^π = e^-(^ζ/^1-^{ζ2 )}^π

Maximum Overshoot (%) = e^-(^σ^/^ω^d)^π x 100%

D. SETTLING TIME : e^-^ζ^ω^nt

c(t) = 1 - sin (ωdt + tan^-11 - ζ²) (t ≥ 0) 1 - ζ² ζ

Kurva-kurva 1 ± ( e^-^ζ^ω^nt / 1 - ζ² ) :

Menutupi kurva respons transient untuk sebuah input unit-step.

→ Time constant (T) dari kurva-kurva tersebut adalah 1

ζωn

(11)

KURVA SETTLING TIME ts vs ζ

→ untuk 0 < ζ < 0,9 : ts = 4T = 4 = 4 (band toleransi 2%) σ ζωn

ts = 3T = 3 = 3 (band toleransi 5%) σ ζωn

→ untuk nilai ζ lebih besar, ts meningkat hampir linier; dan nilai ζmin = 0,76 ( un-tuk 2%) atau ζmin = 0,68 (untuk 5%)

o Nilai ζ biasanya ditentukan dari syarat maksimum overshoot yang diijinkan.

Sedangkan settling time (ts) ditentukan terutama oleh undamped natural frequency (ωn).

o Hal ini berarti, durasi periode transient dapat tanpa mengubah overshoot maksimum, yaitu dengan mengatur ωn.

o Untuk mendapatkan respons yang cepat : ωn harus besar. Untuk membatasi overshoot maksimum (Mp) dan membuat ts kecil : ζ seharusnya tidak terlalu kecil.

o Faktor redaman di antara 0,4 dan 0,8, maka overshoot maksimum (%) untuk step respons adalah di antara 25% dan 2,5%.

(12)

Kurva Mp versus ζ :

Contoh :

R(s) E(s) C(s) +

Sistem orde ke dua memiliki harga : ζ = o,6 dan ωn = 5 rad/sec

Apabila sistem diberikan input unit step, carilah rise time (tr), peak time (tp), maksimum overshoot (Mp), dan settling time (ts) !

Penyelesaian :

ωd

1

ζ

2

ω

n −

=

(0,6) 2 1

5 −

=

= 4

σ = ζ . ωn = 0,6 . 5 = 3 Rise time (tr)

ω

d

β

x −

=

β = tan ^-1 σ ω

d

= tan^-1(4 / 3) = 0,93 rad tr =

4 93 , 0 14 ,

3 −

= 0,55 sec

n ) ω ζ 2 s ( s

2 ωn +

(13)

Peak Time (tp) = ω

d

π =

0 , 785 4

14 ,

3 =

^sec

Maximum Overshoot (Mp) =

d )π / ( e − σ ω

=

(3/4)x3,14

e −

= 0,095

= 0,095 x 100%

= 95 %

Setting time (Ts) =

1,33 3 4

σ

4 = =

sec (u/ kriteria 2%)

=

1 3 3 3 = =

σ

sec (untuk kriteria 5%)

2° Input : unit –impulse

baca halaman 239-240 3° Input : unit-ramp

baca halaman 240-242

KRITERIA KESTABILAN ROUTH STABILITAS SISTEM

Stabilitas suatu sistem closed-loop linier dapat ditentukan dari lokasi pole pole close loop pada bidang s.

Sistem tidak stabil, apabila pole-pole tsb terletak di sebelah kanan bidang s.

Sistem stabil, apabila pole-pole terletak di sebelah kiri bidang s.

Contoh :

R(s) C(s)

+

Sistem di atas stabil atau tidak ??

Penyelesaian :

2) 10/s(s 1

2) 10/s(s R(s)

C(s)

+ +

= +

10 2 10

10 ) 2 (

10

2

+ +

=

+

= +

s s

) 2 s ( s

10 +

(14)

pole-pole : s1 = -1 + j3 s2 = -1 – j3

karena pole-pole terletak di sebelah kiri sumbu imajinair, maka Sistem stabil

KRITERIA STABILITAS ROUTH

Menentukan jumlah pole closed-loop yang terletak di sebelah kanan bidang s tanpa harus memfaktorkan polynomial.

F(s) = 1+ G(s) H(s)

= a0sⁿ + a1s^n-i + …….. +an s + an = 0 ARRAY ROUTH

s^N a0 a2 a4 a6 ……

s^N-1 a1 a3 a5 a7 ……..

s^N-2 b1 b2 b3 b4 ……..

s^N-3 c1 c2 c3 c4 ……..

s^N-4 d1 d2 d3 d4 ……..

: : : : :

s² e1 e2

s¹ f1

s¹ g1

dimana :

a 1 a 3 a 0 a 2 a 1

b 1 −

=

a 1 a 7 a 0 a 6 a 1 b 3

a 1 a 5 a 0 a 4 a 1 b 2

= −

: :

(15)

b 1 b 4 a 1 a 7 b 1 c 3

b 1 b 3 a 1 a 5 b 1 c 2

b 1 b 2 a 1 a 3 b 1 c 1

= −

: :

b 1 c 3 b 1 b 3 c 1 d 2

b 1 c 2 b 1 b 2 c 1 d 1

= −

Sistem stabil bila

Kolom pertama pada array Routh Semuanya bertanda positif.

Contoh :

1° a0s³ + a1s² + a2s + a3 = 0 Array Routh :

s³ a0 a2

s² a1 a3

s¹

a 1 a 3 a 0 a 2 a 1 −

s⁰ a3

∴ sistem stabil bila a1a2 > a0a3

2° s⁴ + 2s³ + 3s² + 4s + 5 = 0

Array Routh :

s⁴ 1 3 5

s³ 2 4 0

s² 1 5

s¹ -6 s⁰ 5

∴ sistem tidak stabil

(16)

R(s) C(s) +

Tentukan range K agar sistem diatas stabil ! Penyelesaian :

Transfer function closed-loop

K 2) )(s 1 2 s s ( s

K R(s)

C(s)

+ + +

= +

persamaan karakteristik : 1+ G(s)H(s) = 0 s⁴ + 3s³ + 3s² + 2s + K = 0

Array Routh :

s⁴ 1 3 K

s³ 3 2 0

s² 7/3 K s¹ -9/7K s⁰ K

agar sistem stabil : 14/9 > K > 0

ANALISIS ERROR (KESALAHAN)

Selain stabil, hal lain yang perlu mendapat perhatian adalah mengenai error yang terjadi apabila suatu sistem kontrol diberi input tertentu.

E(s) = R(s) – G(s).H(s) C(s) = E(s).G(s)

Dari kedua persamaan diatas diperoleh : E(s) = R(s) – E(s).G(s).H(s)

Atau [1+G(s).H(s)] E(s) = R(s)

∴ Kesalahan statis atau steady-state error :

G(s).H(s)

1 E(s) R(s)

= +

2) )(s 1 2 s s ( s

K + + +

(17)

KLASIFIKASI SISTEM KONTROL

Transfer function open-loop G(s) H(s) secara umum dituliskan sbb :

n ) p )...(s p 2

1 )(s p

λ

(s S

n ) Z )...(s Z 2

1 )(s Z K(s G(s)H(s)

+ +

+

+ +

= +

atau

1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s

λ

(T S

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

K(T G(s)H(s)

+ +

+

+ +

= +

Sistem disebut tipe 0 (nol), bila λ = 0 ; disebut tipe 1, bila λ = 1; disebut tipe 2, bila λ = 2, dst.

1° KOEFISIEN KESALAHAN STATIS

G(s)H(s) 1

E(s) R(s)

= +

Kesalahan steady-state:

e(t) t

ss lim

e = → ∞

G(s)H(s) 1

sR(s) 0

s

lim → +

=

Untuk input benbentuk unit step : R(s) = 1/s

s

1 G(s)H(s) 1

s 0 s ss lim

e = → +

G(s)H(s) 0

s lim 1

1 + →

=

Bila didefinisikan :

Kp =

G(s)H(s)

0 s

lim →

Maka

Kp 1

1 e ss

= +

Kp : Koefisien kesalahan posisi statis.

(18)

a° u/ sistem tipe 0

Kp =

G(s)H(s)

0 s

lim →

K

1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s

λ

(T S

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

K(T 0 s

lim

=

+ +

+

+ +

+

= →

∴

1 K

) 1 ss e(

e = ∞ = +

b° Untuk sistem tipe > 0

1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s

λ

(T S

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

K(T 0 s p lim

K + + +

+ +

+

= →

∞

=

= → s

λ

K 0 s

lim

∴

1 0

1 1 K p

1 ) 1 ss e(

e =

= ∞

∞

= +

∞

=

2° Koefisien Kesalahan Kecepatan Statis

G(s)H(s) 1

E(s) R(s)

= +

Kesalahan steady-state

e(t) t

ss lim

e = → ∞

G(s)H(s) 1

s.R(s) 0

s lim

s.E(s) 0 s

lim

→ +

=

= →

u/ Input berbentuk unit-ramp : R(s) =

s 2

1

2

. 1 G(s)H(s) 1

s 0 s

lim

s

e_ss

→ +

=

(19)

s.G(s)H(s) 0

s lim

1 s.G(s)H(s) 1 0 s

lim

s.G(s)H(s) s

1 0

s lim

→

=

= →

→ +

=

Bila di definisikan :

s.G(s)H(s) 0

s v lim

K = →

maka :

K v 1 e ss =

Kv = koefisien kesalahan kecepatan statis a° u/ sistem tipe 0

Kp =

s.G(s)H(s)

0 s

lim →

0 1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s 0 (T S

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

sK(T 0 s

lim

=

+ +

+

+ +

+

= →

∴

= ∞ = = ∞ 0 ) 1 ss e(

e

b° u/ sistem tipe 1

1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s s(T

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

sK(T 0 s v lim

K + + +

+ +

+

= →

= K

∴

K

) 1 ss e(

e = ∞ =

(20)

u/ Input Berbentuk Unit-Parabolik :

2 t 2 r(t) =

s 3 R(s) = 1

s.E(s) 0 s ss lim

e = →

G(s)H(s) s 2

s 2 0 s

lim s

G(s)H(s) s 2

s 2 s 0

s lim

s 3 . 1 G(s)H(s) 1

s 0 s

lim

G(s)H(s) 1

sR(s) 0

s lim

→ +

=

→ +

=

→ +

=

→ +

=

Bila didentifikasikan :

.G(s)H(s) s 2

0 s a lim

K = →

maka

K a 1 e ss =

Ka : Koefisien kesalahan percepatan statis a° u/ sistem tipe 0

.G(s)H(s) s 2

0 s a lim

K = →

0 1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s 0 (T s

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

2 K(T s 0 s

lim

=

+ +

+

+ +

+

= →

∴

= ∞ = = ∞ 0 ) 1 ss e(

e

b° u/ sistem tipe 1

.G(s)H(s) s 2

0 s a lim

K = →

(21)

0 1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s 1 (T s

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

2 K(T s 0 s

lim

=

+ +

+

+ +

+

= →

∴

= ∞ = = ∞ 0 ) 1 ss e(

e

c° u/ sistem tipe 2

.G(s)H(s) s 2

0 s a lim

K = →

=

K

+ +

+

+ +

+

= →

1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s 2 (T s

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

2 K(T s 0 s

lim

∴

K

1 K a ) 1 ss e(

e = ∞ = =

d° c° u/ sistem tipe > 2

.G(s)H(s) s 2

0 s a lim

K = →

(22)

∞

=

+ +

+

+ +

+

= →

1) p s T 1)...(

2 s 1)(T 1 s 3 (T s

1) m s 1)...(T b s

1)(T a s

2 K(T s 0 s

lim

∴

1 0

) ss e(

e =

= ∞

∞

=

Latihan Soal : (1)

R(s) C(s)

+

Hitunglah kesalahan steady-state, bila input berbentuk : a) step

b) ramp c) parabolik (2)

bila input r(t) = a.t (a > 0), maka tunjukkan bahwa e(∞) dapat dibuat sama dengan 0 (nol) dengan mengubah harga KI !

2) 1)(s s(s

1,06 +

+