Games Theory

Games Theory

By Wasis A.Latief

1 by Wasis A.Latief

PENDAHULUAN

Dalam studi teori permaianan ini kita dapat mengembangkan model matematik

sederhana, yaitu dengan mempelajari hubungan antara dua independen yang saling bersaing, baik individu maupun

lembaga. Analisis ini diturunkan dari karya J.

Von Neumann dan O. Morgenstern dalam Theory of Games And Economic Behavior.

Istilah games adalah istilah umum pada situasi konflik antarindependen. Ciri dari situasi konflik adalah suatu keberhasilan (keuntungan) dari pihak pertama akan merupakan kegagalan pihak lain. Ciri-ciri penting lain banyak dicontohkan pada

konflik-konflik sosial dan bisnis, sehingga bentuk matematik dari games ini umum sifatnya.

Dalam studi teori permainan kita akan mempelajari :

(1) two person zero-sum game

(2) nonconstant-sum game" atau "nonzero- sum game"

2 by Wasis A.Latief

TWO PERSON ZERO-SUM GAMES

Pada kasus two person zero-sum game, kepentingan dua pesaing yang

berlawanan.

Contoh, misalnya dua orang sedang

berjudi, dimana dianggap masing-masing mempunyai fungsi utilitas yang linier

terhadap uang. Oleh karena itu jumlah uang (utilitas) yang diperoleh dari

kemenangan judi tesebut merupakan

jumlah uang yang dikeluarkan oleh pihak lain karena membayar kekalahannya.

Satu pemecahan penting dalam kasus ini adalah apa yang disebut "minimax

solution", artinya meminimumkan

kemungkinan kerugian yang maksimum, yang dalam hal ini berarti juga “maximin “ artinya memaksimumkan kemungkinan

perolehan(keuntungan) yang minimum . Keunggulan solusi minimax tersebut

merupakan pilihan terbaik bagi pembuat keputusan kalau di pihak lain juga

menggunakan solusi yang sama.

3 by Wasis A.Latief

Tabel aplikasi berikut, kita gunakan

"tabel Payof" yang menggambarkan profit pihak pertama yang didaftar ke bawah, sedang profit pihak lawan tidak ditulis, hanya strateginya saja yang

ditulis pada baris teratas. Meskipun profit pihak kedua tidak ditulis hal ini dapat dimengerti bahwa profitnya

bernilai negatif (rugi) sebesar nilai profit pihak pertama. ^{Pihak II}

Pihak I Strategi 1

Strategi 2

Minimu m Baris

Strategi 1 10 14 10

Strategi 2 7 12 7

Maksimum

Kolom 10 14 10

10

Tabel Payoff Pemain I

4 by Wasis A.Latief

maximi n

minima x

Kolom paling kanan , merupakan nilai baris yang paling kecil (minimum),

sedangkan baris paling bawah

merupakan nilai kolom yang paling besar (maksimum)

Solusi minimax berusaha

memaksimumkan keuntu-ngan para pemain, yang dalam hal ini boleh jadi memi-nimumkan kemungkinan

kerugian yang maksimum (minimax) atau berarti pula memkasimumkan peroleh-an yang minimum (maximin).

Setiap strategi pihak pertama oleh pihak kedua pasti diharapkan agar keuntungan yang diperolehnya

seminimal mungkin. Oleh karena itu pada kolom paling kanan dipilih nilai- nilai yang paling kecil dari setiap

strategi pihak petama (10 dan 7).

Sedangkan setiap strategi pihak kedua sudah barang tentu diharapkan oleh

pihak pertama agar kerugiannya

semaksimal mungkin, oleh karena itu baris tabel paling bawah muncul angka- angka 10 dan 14.

Pihak II

Pihak I Strategi Strategi 2

Minimu m Baris

Strategi 1 10 14 10

Strategi 2 7 12 7

Maksimum

Kolom 10 14 10

10

5 by Wasis A.Latief

Contoh lain

Ada persaingan antara sebuah perusahaan dengan serikat buruh. Perjanjian kerja antara perusahaan

dengan serikat buruh akan berakhir bebarapa waktu lagi. Kontrak baru harus segera dirundingkan sebelum kontrak lama berakhir. Saudara sebagai anggota

kelompok manajemen perusahaan ditugasi menen- tukan strategi yang representatif dalam menghadapi perjanjian kerja yang akan datang. Setelah

dipertimbangkan dari pengalaman yang lalu manajemen perusahaan menyetujui strategi-strategi yang layak bagi perusahaan, sbb.:

C₁ = bertempur secara mati-matian, keras, berunding secara agresif.

C₂ = pemikiran yang matang, pendekatan secara logika.

C₃ = strategi yang legal (hukum)

C₄ = persetujuan, pendekatan damai.

Strategi mana yang terbaik bagi perusahaan ?. Hal ini tergantung dari strategi yang digunakan oleh serikat buruh. Akan tetapi kalau serikat buruh juga me-

ngusulkan rangkaian strategi seperti berikut, :

U₁ = bertempur secara mati-matian, keras, berunding secara agresif.

U₂ = pemikiran yang matang, pendekatan secara logika.

U₃ = strategi yang legal (hukum)

U₄ = persetujuan, pendekatan damai,

maka kita harus memperhatikan konsekuaensi setiap tindakan mereka.

6 by Wasis A.Latief

Dengan bantuan mediator luar, maka informasi lengkap dapat diikuti Tabel berikut.

St. P

St. B C₁ C₂ C₃ C₄ Minimu Barism U₁ +200 +150 +12

0 +350 +120

U₂ +250 +140 +80 +100 +80 U₃ +400 +20 +10

0 +50 +20

U₄ -50 +40 +11

0 0 -50

Maksimu

Kolomm +400 +150 +12

0 +350 120 120 Perolehan Serikat Buruh (Pengeluaran Perusahaan)

(dalam USD )

7 by Wasis A.Latief

St. P

St. SB C₁ C₂ C₃ C₄ Minimu Barism U₁ +200 +15

0 +120 +350 +120 U₂ +250 +14

0 +80 +100 +80 U₃ +400 +20 +190 +50 +20

U₄ -50 +40 +110 0 -50

Maksim Kolomum

+400 +15

0 +190 +350 150120

Perolehan Serikat Buruh (Pengeluran Perusahaan)

(dalam USD)

Untuk memecahkan masalah ini digunakan teknik domi-nasi, yaitu dengan melakukan

penghapusan kolom atau baris yang

mendominasi atau didominasi satu sama lain sedemikian rupa sehingga tabel menjadi "tabel 2 x 2". Untuk baris yang dido-minasi

dihilangkan , untuk kolom yang mendominasi dihilangkan. Marilah kita ikuti Tabel di atas, baris U₄ dihilangkan terlebih dulu karena didominasi oleh U₁. Peng-hapusan kedua

adalah terhadap kolom C₁ karena mendomi-

nasi C₂ dan C₃. Penghapusan ketiga menghapus U₂ karena didominasi U₁ yang teakhir

menghapus C₄ karena mendomi-nasi C₂.

Dengan empat penghapusan ini terbentuklah tabel 2 x 2. Lihat skema berikut ini.

8 by Wasis A.Latief

C1 C2 C3 C4 U1

U2 U3 U4

+200 +250 +400

-50

+150 +140

+20 +40

+120 +80 +190 +110

+350 +100

+50

0 _{Garis 1}

Garis 3

Garis 2 Garis 4

Teknik Dominasi

- untuk baris , Yang didominasi dihapus

- untuk kolom, yang mendominasi dihapus

St. P

St. SB C₂ C₃ U₁ +15

0 +120 120 U₃ +20 +190 20

150 190 150 / 120

by Wasis A.Latief 9

Dari Tabel tersebut jika dievaluasi minimax dan maximinnya masih juga tidak ada

keseimbangan, sehingga barulah strategi campuran bisa diterapkan, yaitu

mengkombinasi strategi-strategi yang ada

dengan probabilitas tertentu. Sebagai catatan jikalau minimax = maximin, maka solusi

optimal segera dicapai.

Ditinjau dari pihak Serikat Buruh :

Jika U₁ memiliki peluang sebesar p,maka U₃ mempunyai peluang 1 p.

Kemudian peluang U₁ dan U₃ dicari :

150 (p) + 20 (1  p) = 120 (p) + 190 (1  p) 200 p = 170

p = 0,85

Jadi peluang U₁ = 0,85 dan U₃ = 0,15 Perolehan atau nilai serikat buruh dengan

menggunakan strategi campuran dapat dihitung : E(U/C₂) = E (U/ C₃)

150(0,85) + 20(0,15) = 120(0,85) +190(0,15) 130,5 = 130,5

Jadi nilai permainan buruh sebesar 130,5by Wasis A.Latief ¹⁰

St. P

St. SB C₂ C₃ U₁ +15

0 +120 120 U₃ +20 +190 20

150 190 150 / 120

Dengan perhitungan di atas jelas dapat

disimpulkan bahwa besarnya perolehan pihak serikat buruh akan sama dengan pengeluaran perusahaan.

Ditinjau dari pihak Perusahaan :

Jika C₂ memiliki peluang sebesar q, maka C₃

memiliki peluang 1 q. Kemudian peluang C₂ dan C₃ dapat dicari :

150 (q) + 120 (1  q) = 20 (q) + 190 (1  q)

20 q = 7 q = 0,35

Jadi peluang C₂ = 0,35 dan C₃ = 0,65

Pengeluaran atau nilai permainan pihak perusahaan dapat dihitung :

E(C/U₁) = E(C/ U₃)

150(0,35) + 120(0,65) = 20(0,35) +190(0,65)

130,5 = 130,5

Jadi nilai permainan perusahaan sebesar 130,5

11 by Wasis A.Latief

St. P

St. SB C₂ C₃ U₁ +15

0 +120 120 U₃ +20 +190 20

150 190 150 / 120

U₃ U₁

Disamping penyelesaian dengan matemetik, dapat pula strategi campuran ini diselesaikan dengan solusi grafik, seperti terlihat pada

Gambar berikut. Strategi Perusahaan menghadapi union.

(1C₂, 0C₃) (0,8C₂, 0,2C₃) (0,5C2, 0,5C3) (0,35C₂, 0,65C₃) (0C2, 1C₃)

    

130, 5

19 0

12 0

12 by Wasis A.Latief

(1U₁, 0U₃) (0,85U₁, 0,15U₃) (0,5U₁, 0,5U₃) (0U₁, 1U₃)

   

130, 5

C2 C3

20 19 0 Gambar ini keseimbangan terjadi apabila serikat buruh

menggunakan strategi campurannya pada kombinasi (0.85U₁,0.15U₃) dengan hasil sebesar $130.5.

13 by Wasis A.Latief

GAME MATRIX MINIMAX MAXIMIN:

ITERASI LINIER

PROGRAMING

MATRIX 2 x 2

TEKNIK DOMINAS

I

Satregi Murni Satregi

Campuran dengan

menggunakan Probalitas

=

Y a

Y a

14 by Wasis A.Latief

NONZERO-SUM GAMES

Untuk sebagian besar situasi konflik dua pihak yang saling bersaing, uitilitas bagi kedua partsipan sama untuk semua hasil permainan. Dalam hal ini solusi akan lebih menghasil-kan kepuasan bersama bagi

para partisipan. Permainan ini disebut sebagai "nonzero-sum games".

Diasumsikan dua perusahaan dihadapkan pada sebuah ke-putusan yang relatif,

antara melakukan advertensi atau tidak.

Masing-masing mempunyai dua

kemungkinan keputusan, yaitu melakukan advertensi atau tidak melakukan adverten- si. Tabel payoff atas tindakan kedua

perusahaan yang bersaing tersebut ditunjukkan pada Tabel di bawah ini :

II

I

Tanpa

Advertensi Advertensi

Tanpa

Advertensi +2

+2

+5

15 Advertensi

15 +5

10 10

15 by Wasis A.Latief

II

I

Tanpa

Advertensi Advertensi

Tanpa

Advertensi

+2

+2

+5

15 Advertensi

15 +5

10 10

J

umlah atau nilai-nilai dalam tabel menunjukkan utilitas bagi kedua perusahaan secara berpasangan, yaitu utilitas perusahaan I

ditunjukkan oleh warna hitam dan

untuk perusahaan II dg. warna merah.

Sebagai contoh jika perusahaan I melakukan adver-tensi dan

perusahaan II tidak melakukan

adverten-si, maka perusahaan I akan mempunyai utilitas +5 dan

perusahaan II sebesar 15.

16 by Wasis A.Latief

Apapun yang dilakukan oleh

perusahaan I, perusa-haan II akan

lebih baik jika melakukan advertensi.

Ini berarti jika perusahaan I tidak

melakukan adver-tensi, perusaha-an II tetap melakukan advertensi,

karena hal ini tentunya perusahaann II akan lebih menyukai payoff +5

daripada +2.

Jika perusahaan I melakukan

advertensi, perusa-haan II akan

melakukannya juga, karena dalam hal ini ia lebih menyukai payoff 10 dari pada 15 Jadi bagi perusahaan II strategi advertensi mendomina-si

strategi tanpa advertensi,

II

I Tanpa

Advertensi Advertensi

Tanpa

Advertensi +2

+2

+5

15 Advertensi

15 +5

10 10

17 by Wasis A.Latief

Analisis yang sama pasti dilakukan pula oleh perusahaan I, yaitu apa yang

dilakukan oleh perusahaan II, perusa- haan I akan lebih baik melakukan

advertensi.

Perusahaan I dan II keduanya mengarah kepada sebuah proses keputusan yang rasional, yaitu untuk melakukan

advertensi, sehingga masing-masing

akan mengalami kerugian sebesar 10.

Jika mereka tidak melakukan keputusan yang rasional, mereka harus mengikuti

"strategi yang mendominasi", dalam hal ini adalah strategi "tidak melakukan

advertensi" dan masing-masing akan menerima payoff sebesar +2.

II

I

Tanpa

Advertensi Advertensi

Tanpa

Advertensi +2

+2

+5

15 Advertensi

15 +5

10 10

18 by Wasis A.Latief

Di atas adalah sebuah contoh dari two person nonzero-sum game. Meskipun dalam contoh itu ada sebuah tipe

solusi yang menyebabkan keputusan advertensi mendominasi keputusan tanpa advertensi, solusi itu sangat tidak memuaskan. Justru sebuah pasangan permaianan yang tidak rasional, dimungkin-kan mencapai solusi yang lebih disukai, dimana kedua pelaku tidak melakukan

advertensi.

Non-zero-sum games sering kali

tidak mempunyai solusi-solusi yang memuaskan yang dapat ditetapkan secara mudah.

19 by Wasis A.Latief

II

I

Tanpa

Advertensi Advertensi

Tanpa

Advertensi +2

+2

+5

15 Advertensi

15 +5

10 10

KESIMPULAN

Pembaca akan

mempertimbangkan jika terdapat beberapa situasi dalam dunia

nyata dimana terdapat dua

kelompok atau lebih yang saling bersaing baik secara zero-sum games maupun nonzero-sum games. Apakah hasil setiap permainan tersebut selalu memberikan manfaat bagi

kelompok-kelompok tersebut ?

Dalam kenyataan, hal ini masih tidak jelas bahwa solusi-solusi

yang eksak dapat dicapai untuk situasi-situasi permainan, dan kemudian teori-teori dapat

diaplikasikan dengan pasti atau tepat. Di lain pihak, game theory jelas dapat membantu kita

mempelajari bagaimana

mendekati dan mengerti sebuah situasi konflik serta memperbaiki proses keputusan.

20 by Wasis A.Latief