METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK
MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR
DANGKAL DAN ELASTIK
TESIS
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika
Disusun Oleh: Meta Dispini NIM : 151442013
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA
iv
HALAMAN MOTTO
“
Mintalah, maka akan diberikan kepadamu; carilah, maka
kamu akan mendapat; ketoklah, maka pintu akan dibukakan
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tesis ini kupersembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa memberikan
pencerahan ketika sedang bimbang dan menjadi tempat keluh kesah
kapanpun aku butuh.
Bapakku yang selalu mengkhawatirkan aku dan Ibuku yang selalu
mendoakanku dan menjagaku serta mengasihiku melebihi dirinya
sendiri, tentunya mbak-mbakku yang selalu ada ketika aku butuh dan
vii
ABSTRAK
Meta Dispini, 2017. Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal dan Elastik. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penulis meneliti tentang persamaan gelombang air dangkal serta persamaan elastik. Penulis menggunakan Metode Dekomposisi Adomian karena banyak keuntungan yang didapatkan dari metode tersebut. Salah satu keuntungannya adalah Metode Dekomposisi Adomian memiliki konvergensi yang cepat menuju solusi eksak untuk sejumlah permasalahan persamaan diferensial.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari solusi permasalahan terkait fenomena gelombang air dangkal serta gelombang elastisitas yang direpresentasikan dengan solusi dari persamaan-persamaan tersebut. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka. Hasil dari penelitian menunjukkan bahwa Metode Dekomposisi Adomian sangat relevan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. Metode tersebut akurat untuk menyelesaikan persamaan air dangkal penyederhanaannya untuk nilai waktu yang kecil dan akurat untuk persamaan elastik untuk nilai waktu yang kecil maupun besar. Penelitian ini dapat digunakan dalam memotivasi pembelajaran siswa SMP dan SMA dalam materi persamaan garis lurus, turunan dan integral. Selain itu, dapat juga untuk memotivasi mahasiswa S1 Pendidikan Matematika dalam pengantar pemodelan serta persamaan diferensial biasa.
viii
ABSTRACT
Meta Dispini, 2017. Adomian Decomposition Method for Solving Shallow Water Wave and Elastic Wave Equations. Thesis. Study Program of Master of Mathematics Education, Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
In this thesis, the writer studies about shallow water equations and elasticity equations. In this research, the writer uses Adomian Decomposition Method, because there are many advantages, one of them is this method has fast convergence to the exact solutions for many differential equations.
The goal of this research is to find the solutions of shallow water wave and elasticity wave problems that are represented by the solutions of the equations. The research method is literature study. The results show that the method is relevant for solving those equations. The method is accurate for small time in solving shallow water equations and accurate in solving elasticity equations for small and large time and shows the right physical behavior. This study can be used for motivates student in high school about straight line equations, diferential, and integral. The method can be used to motivates for bachelor students of mathematics education on mathematical modeling and ordinary differential equations.
x
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional dan
dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:
[1] M. Dispini dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method used to
solve the shallow water equations,” AIP Conference Proceedings, Volume 1746, Nomor 1, Artikel 020055, Tahun 2016, (terindeks Scopus), Link
Artikel: http://dx.doi.org/10.1063/1.4953980 .
[2] M. Dispini dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method used to
solve the acoustics equations” diterima dan sedang dalam proses publikasi
dalam Journal of Physics: Conference Series (terindeks Scopus). Link Jurnal: http://iopscience.iop.org/journal/1742-6596
Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk
dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi
xi
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena dengan penyertaan-Nya,
serta dengan bantuan, bimbingan dan dukungan dari berbagai pihak baik secara
langsung maupun tidak langsung, penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul
“Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air
Dangkal dan Elastik”. Tesis ini diajukan sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Magister Pendidikan dari Program Studi Magister Pendidikan
Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Oleh karena itu, ijinkan
penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Orangtuaku, Jawi Suratman dan Tutik Susilowati serta mbak-mbakku,
Christiana Atika Sari dan Bernadeta Berta Jatu Andini yang selalu
mendukungdan mendoakan penulis kapanpun.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen
pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar
membimbing penulis, sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.
3. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan FKIP Universitas Sanata Dharma
yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.
4. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku penguji dan Ketua
Program Studi Magister Pendidikan Matematika yang telah memberikan
dukungan bagi penulis.
5. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku penguji yang sudah memberikan
xii
6. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan
selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat
menyelesaikan studi dengan tepat waktu.
7. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal
administrasi kampus selama penulis melakukan studi di sini.
8. Sahabat-sahabatku yang selalu mendukungku, Margaretha Septyana,
Calcilea Deny, Adven Desi, Hosea Bivin, Nathalia, A. Saputra, mas Beni
dan mas Julius serta kawan-kawan yang tidak dapat saya sebutkan
satu-persatu.
9. Semua teman seperjuangan dari Program Studi Magister Pendidikan
Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan kepada
penulis selama studi.
10.Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah
membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.
Penulis,
xiii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN MOTTO ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... ix
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ... x
KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 3
C. Tujuan Penelitian ... 4
D. Manfaat Penelitian ... 4
E. Prasarat Materi ... 5
F. Tinjauan Pustaka ... 6
G. Kebaruan Penelitian ... 13
H. Metode Penelitian... 13
xiv
BAB II LANDASAN TEORI ... 16
A. Persamaan Diferensial Parsial ... 16
B. Penurunan Persamaan Gelombang ... 17
C. Metode Dekomposisi Adomian... 19
D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers ... 22
E. Persamaan Gelombang Air Dangkal ... 25
F. Persamaan Gelombang Elastik ... 28
BAB III HASIL PENELITIAN ... 31
A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal ... 31
B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik ... 40
C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik ... 49
D. Solusi Persamaan Gelombang Difusi ... 58
E. Solusi Persamaan Gelombang Kinematik ... 63
F. Kekurangan Penelitian ... 69
BAB IV ASPEK PENDIDIKAN ... 71
A. Implikasi Pembelajaran di Sekolah Menengah ... 71
B. Implikasi Pembelajaran di S1 Pendidikan Matematika ... 77
C. Refleksi Pengalaman Penelitian Matematika ... 78
BAB V PENUTUP ... 81
A. Kesimpulan ... 81
B. Saran ... 84
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Indonesia merupakan negara dengan wilayah yang sangat luas. Hampir
dua per tiga bagian wilayah Indonesia merupakan wilayah perairan. Oleh karena
itu oseanografi sangat berguna dalam membantu menganalisa potensi-potensi
alam di wilayah Indonesia terutama wilayah perairan. Dalam mempelajarinya
mungkin ilmu-ilmu lain seperti misalnya fisika memang dapat digunakan, namun,
dibutuhkan matematika untuk membantu menganalisa fenomena alam yang ada
agar hasil analisa yang diperoleh dapat lebih akurat dan tepat serta lebih relevan.
Salah satu fenomena alam yang memicu penulis dalam pembuatan tesis ini
adalah terjadinya banjir yang hampir terjadi setiap tahun. Banyak sekali penyebab
banjir, salah satunya adalah kapasitas daerah aliran sungai yang kurang memadai
untuk menampung air hujan yang masuk ke daerah aliran sungai (DAS).
Berangkat dari masalah nyata ini, penulis ingin meneliti tentang gelombang air
dangkal. Gelombang air dangkal untuk dapat dianalisi maka dibentuk persamaan
gelombang air dangkal dimana memiliki dua kasus khusus yaitu persamaan
gelombang kinematik dan persaman gelombang difusi. Masing-masing persamaan
tersebut dapat diaplikasikan dalam masalah-masalah nyata yang ditemukan dalam
kehidupan sehari-hari.
-fenomena banjir ataupun kejadian-kejadian alam lain. Namun, dibutuhkan juga
analisa tentang bentuk dasar perairan, analisa lokasi makhluk hidup yang ada di
perairan, misalnya di lautan. Analisis tersebut juga membutuhkan bantuan bidang
matematika untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat. Persamaan gelombang
akustik merupakan salah satu persamaan yang dapat membantu analisa hal
tersebut. Melalui gelombang suara yang dipantulkan oleh radar ke dalam laut,
maka dapat diketahui topografi laut atau perairan serta lokasi ikan-ikan yang ada
di perairan tersebut. Sehingga, dengan alasan ini, peneliti ingin meneliti tentang
gelombang akustik yang direpresentasikan secara matematis dengan persamaan
gelombang akustik. Persamaan gelombang akustik sendiri merupakan bentuk
khusus dari persamaan gelombang elastic, sehingga penting untuk meneliti
tentang persamaan gelombang elastic beserta persamaan gelombang akustik.
Solusi yang dari persamaan gelombang air dangkal dan persamaan
gelombang elastic beserta masing-masing kasus khususnya, merupakan
representasi solusi dari masalah nyata terkait gelombang air dangkal dan
gelombang elastik beserta masing-masing kasus khususnya. Solusi yang
ditampilkan dalam bentuk fungsi dan grafik. Grafik-grafik tersebut dapat
menggambarkan hasil analisa terhadap kasus yang dicari.
Persamaan gelombang air dangkal dan persamaan gelombang elastik yang
dicari adalah persamaan gelombang air dangkal dan elastik dimensi-1. Persamaan
dimensi-1 artinya adalah hanya ada satu variabel ruang yang dicari dalam
sebelumnya dengan berbagai metode, misalnya metode volume berhingga, metode
beda hingga, dan lain-lain. Oleh karena itu, penulis ingin menggunakan metode
yang lain untuk menganalisa kedua persamaan gelombang tersebut. Salah satu
metode terbaru yang telah dikembangkan adalah metode dekomposisi Adomian
yang ditemukan oleh George Adomian. Metode Dekomposisi Adomian telah
terbukti dapat dengan mudah digunakan untuk menyelesaikan persamaan
diferensial biasa maupun parsial, linear maupun non-linear, dan persamaan
integral linear maupun non-linear. Selain itu, tidak diperlukan metode linearisasi
ataupun diskretisasi. Solusi yang dihasilkan masih berupa solusi pendekatan.
Solusi yang didapatkan kemudian diilustrasikan dengan grafik menggunakan
komputer sehingga dapat menggambarkan proses yang terjadi pada persamaan
gelombang air dangkal dan persamaan elastik dengan masing-masing
penyederhanaannya (masing-masing kasus khususnya).
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dijelaskan, maka rumusan
masalah yang terdapat dalam tesis ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana penyelesaian persamaan gelombang air dangkal beserta kasus
khususnya (persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang
kinematik) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian?
2. Bagaimana penyelesaian persamaan gelombang elastik beserta kasus
khususnya (persamaan gelombang akustik) dengan menggunakan Metode
C. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah diberikan, tujuan dari penelitian
ini adalah sebagai berikut.
1. Untuk mencari solusi penyelesaian persamaan gelombang air dangkal
beserta kasus khususnya (persamaan gelombang difusi dan persamaan
gelombang kinematik), yang merupakan representasi dari solusi
permasalahan nyata terkait gelombang air dangkal, dengan menggunakan
Metode Dekomposisi Adomian.
2. Untuk mencari solusi penyelesaian persamaan gelombang elastik beserta
kasus khususnya (persamaan gelombang akustik), yang merupakan
representasi dari solusi permasalahan nyata terkait gelombang elastik,
dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
D. Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Untuk Ilmu Pengetahuan
Penelitian ini dapat mengisi celah kosong yang terdapat dalam penelitian
sebelumnya, yaitu dapat memperlihatkan relevansi dari penggunaan
Metode Dekomposisi Adomian dalam penyelesaian persamaan aliran air
dangkal. Selain itu, memberikan sumbangan baru terhadap penggunaan
Metode Dekomposisi Adomian pada persamaan elastik serta
masing-masing penyederhanaannya.
Memperkenalkan Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan
permasalahan persamaan diferensial biasa maupun parsial linear maupun
non-linear dan persamaan integral linear maupun non-linear.
3. Untuk Aplikasi dalam Kehidupan Nyata
Dapat memperlihatkan perilaku dalam permasalahan terkait dengan
gelombang air dangkal, gelombang difusi, dan gelombang kinematis serta
gelombang elastik dan gelombang akustik. Misalnya, dalam gelombang
kinematik, dapat diterapkan dalam permasalahan daerah aliran sungai yang
berfungsi untuk menerima, menyimpan dan mengalirkan air hujan
sehingga dapat diprediksi simpanan air yang tersedia dalam DAS (daerah
aliran sungai/ watershed). E. Prasyarat Materi
Untuk mempermudah pembaca dalam memahami tesis ini, diperlukan
beberapa materi prasyarat sebagai berikut.
1. Kalkulus Diferensial-Integral
Pengetahuan tentang kalkulus diferensial maupun kalkulus integral sangat
diperlukan dalam memahami tesis ini, terutama dalam langkah-langkah
Metode Dekomposisi Adomian. Dalam metode tersebut, banyak sekali
proses untuk menurunkan dan mengintegralkan fungsi sehingga jika
pembaca memenuhi materi prasyarat ini, maka akan lebih mudah
memahami isi tesis ini.
Persamaan diferensial biasa diperlukan sebagai materi prasyarat dalam
memahami materi tesis ini karena persamaan diferensial biasa menjadi
dasar dalam memahami persamaan diferensial parsial.
3. Persamaan Diferensial Parsial
Materi persamaan diferensial parsial sangat dibutuhkan sebagai materi
prasyarat dalam memahami langkah-langkah Metode Dekomposisi
Adomian karena persamaan-persamaan yang dibahas dalam tesis ini
berbentuk persamaan diferensial parsial.
4. Pemodelan Matematika
Pada tesis ini banyak materi tentang pemodelan matematika.
Masalah-masalah yang diteliti berawal dari Masalah-masalah nyata yang kemudian
dimodelkan secara matematis dan selanjutnya dianalisa secara matematis
dan fisis.
5. Getaran dan Gelombang
Materi getaran dan gelombang sangat penting sebagai pengantar untuk
memahami materi tesis ini karena materi-materi yang dibahas dalam tesis
ini. Materi-materi tersebut dapat memudahkan pembaca dalam memahami
pengertian-pengertian serta teori-teori yang berhubungan dengan getaran
dan gelombang yang mana merupakan pembahasan utama dalam tesis ini.
F. Tinjauan Pustaka
Pada bagian ini akan dipaparkan dan dijelaskan letak distribusi penelitian
dari penulis. Penelitian-penelitian terkait materi tesis yang pernah dilakukan akan
merupakan pembahasannya, yang diilustrasikan pada Diagram 1 hingga Diagram
4.
Diagram 1. Garis besar penelitian
Pada subbab ini, dipaparkan tinjauan-tinjauan pustaka serta kebaruan
penelitian penulis. Bagian diagram kedua sampai diagram keempat secara
berturut-turut akan disajikan tinjauan-tinjauan pustaka yang berisi
penelitian-penelitian yang pernah dilakukan oleh para peneliti sebelumnya pada materi
Metode Dekomposisi Adomian, gelombang air dangkal dimensi satu dan terakhir
adalah gelombang elastik dimensi satu. Persamaan air dangkal dimensi satu
diturunkan menjadi tiga persamaan yaitu persamaan air dangkal, persamaan
difusi, dan persamaan kinematik. Persamaan elastik dimensi satu diturunkan
menjadi dua persamaan yaitu persamaan elastik dan persamaan akustik. Pada
bagian akhir akan dijelaskan penelitian yang dilakukan oleh penulis dan
dijelaskan letak kebaruan penelitian. Metode
Dekomposisi Adomian
Gelombang Air Dangkal
Persamaan Air Dangkal
Persamaan Difusi
Persamaan Kinematik
Gelombang Elastik Persamaan Elastik
Diagram 2. Metode dekomposisi Adomian
George Adomian telah mengenalkan dan mengembangkan metode
dekomposisi Adomian. Pada tahun 1996, Adomian melakukan penelitian tentang
Metode Dekomposisi Adomian untuk digunakan pada persamaan diferensial
parsial nonlinier. Solusi eksplisit telah dihitung dengan Metode Dekomposisi Metode
“Construction of solutions for the shallow water equations by the
decomposition method” oleh Al-Khaled dan Allan (2004)
“Adomian decomposition method used to solve the gravity wave
equations”
oleh Mungkasi and Dheno (2016)
Penelitian Penulis
“Adomian decomposition method used to solve the shallow water
equations”
oleh Dispini and Mungkasi (2016)
“Adomian decomposition method used to solve the acoustics
equations”
Adomian untuk persamaan Burgers. Pada penelitian tersebut Adomian
menemukan bahwa efisiensi dari dekomposisi membuat metode tersebut dapat
dijadikan pilihan karena tidak dibutuhkan linearisasi ataupun perturbasi. Menurut
Wazwaz (2009), Metode Dekomposisi Adomian terbukti sangat ampuh, efektif,
dan dapat menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial parsial ataupun
biasa, linear ataupun non-linear, dan persamaan integral linear dan non-linier.
Pada penelitian Wazwaz, metode tersebut sukses menyelesaikan sebagian besar
persamaan diferensial parsial yang muncul pada beberapa model fisis dan aplikasi
sains baik dimensi satu, dimensi dua, maupun dimensi yang lebih tinggi.
Penelitian-penelitian terkait metode dekomposisi Adomian sudah mulai
berkembang sampai saat ini, diantaranya adalah penelitian oleh Al-Khaled dan
Allan (2004) serta Mungkasi dan Dheno (2016). Kedua penelitian tersebut tentang
penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan air
dangkal serta persamaan gelombang gravitasi. Masih banyak lagi
penelitian-penelitian terkait Metode Dekomposisi Adomian yang tidak mungkin penulis
jelaskan satu persatu dalam tesis ini. Penelitian penulis adalah penyelesaian
persamaan gelombang air dangkal dimensi satu, persamaan difusi, persamaan
gelombang kinematik, persamaan gelombang elastik, dan persamaan gelombang
akustik dimensi satu. Penelitian tersebut belum pernah dikerjakan sebelumnya
Diagram 3. Penelitian gelombang air dangkal dimensi satu
Pada Diagram 3, dipaparkan skema penelitian-penelitian yang pernah
dilakukan sebelumnya, baik penelitian tentang persamaang gelombang air
dangkal, persamaan gelombang difusi, maupun persamaan gelombang kinematik
dimensi satu. Acuan utama pada penelitian gelombang air dangkal ini adalah
jurnal yang ditulis oleh Al-Khaled dan Allan (2004). Pada tulisan tersebut,
penelitian tentang konstruksi solusi untuk persamaan air dangkal dengan metode
dekomposisi, terlihat bahwa Metode Dekomposisi Adomian sangat menjanjikan
untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan nonlinear. Contoh dalam penelitian Gelombang
Air Dangkal Dimensi 1
Persamaan Air Dangkal
“Construction of solutions for the shallow water equations by the decomposition
method”
oleh Al-Khaled dan Allan (2004)
“Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations” oleh Dispini dan Mungkasi (2016)
tersebut menunjukkan konvergensi yang cepat pada metode tersebut (Al-Khaled
dan Allan, 2004). Kebaruan yang ada dalam penelitian penulis adalah relevansi
dari Metode Dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Perlu
digarisbawahi bahwa persamaan air dangkal tidak memiliki solusi eksak secara
umum sehingga, pada penelitian penulis untuk mencaritahu bagaimana relevansi
Metode Dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal.
Miller (1984) telah menjelaskan konsep dasar dari gelombang kinematik.
Model sederhana dari persamaan gelombang kinematik kemudian menjadi bahan
penelitian penulis. Kebaruan dari penelitian ini adalah penulis menyelesaikan
model gelombang kinematik dengan Metode Dekomposisi Adomian. Relevansi
dari penyelesaian persamaan kinematik dan persamaan difusi dimensi satu
menggunakan Metode Dekomposisi Adomian juga belum pernah diteliti
Diagram 4. Penelitian gelombang elastik dimensi satu
Penelitian-penelitian tentang gelombang elastik telah banyak dilakukan.
Salah satu diantaranya adalah penelitian oleh LeVeque (2002) tentang
penyelesaian persamaan elastik nonlinear pada media heterogen dengan
menggunakan metode volume berhingga, seperti pada diagram 4. Penulis
menggunakan model matematika yang digunakan oleh LeVeque dan kemudian
menyelesaikannya dengan metode dekomposisi Adomian. Sebelumnya, model
tersebut belum pernah diteliti dengan Metode Dekomposisi Adomian sehingga
terlihat jelas kebaruan dari penelitian yang dilakukan oleh penulis. Model akustik
yang diteliti oleh penulis merupakan penyederhanaan dari model elastik yang
diteliti oleh LeVeque (2002) yang belum pernah diteliti sebelumnya dengan
menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. used to solve the acoustics
equations”
G. Kebaruan Penelitian
Persamaan aliran air dangkal telah diteliti sebelumnya oleh Al-Khaled dan
Allan (2004) namun, relevansi penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam
menyelesaikan persamaan aliran air dangkal yang belum pernah diteliti
sebelumnya. Metode Dekomposisi Adomian tidak memiliki solusi eksak umum
seperti yang telah dijelaskan pada bagian tinjauan pustaka. Relevansi dari
penggunaan Metode Dekomposisi Adomian. Selain itu, Metode Dekomposisi
Adomian juga belum diteliti dalam penggunaannya untuk penyelesaian
penyerdehanaan dari persamaan aliran air dangkal yaitu persamaan aliran air
dangkal, persamaan difusi, dan persamaan kinematik.
Kebaruan penelitian yang lainnya adalah penggunaan Metode
Dekomposisi Adomian pada persamaan elastik serta persamaan
penyederhanaannya belum pernah diteliti sebelumnya sehingga, penyelesaian
persamaan akustik linear dengan Metode Dekomposisi Adomian pada tesis ini
termasuk penelitian yang terbaru.
H. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah metode studi
pustaka yaitu mempelajari materi dari referensi-referensi yang berkaitan dengan
Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan gelombang air
dangkal dan persamaan elastik dengan masing-masing penyederhanaannya,
mengumpulkan informasi dan menyusun tulisan ini menjadi suatu bentuk
penulisan yang runtut dan jelas sehingga mempermudah pembaca saat membaca.
internasional serta buku-buku terkait. Langkah-langkah yang dilakukan dalam
penulisan ini adalah:
1. Mempelajari teori tentang Metode Dekomposisi Adomian untuk
menyelesaikan persamaan diferensial parsial dari buku-buku maupun
jurnal-jurnal yang terkait.
2. Menyelesaikan soal-soal latihan terkait dengan Metode Dekomposisi
Adomian.
3. Mempelajari informasi-informasi penting terkait persamaan diferensial
parsial dengan persamaan aliran air dangkal beserta penyederhanaannya.
4. Mempelajari informasi-informasi penting terkait persamaan diferensial
parsial dengan persamaan elastik beserta penyederhanaannya.
5. Memberikan penjelasan, bukti-bukti serta langkah-langkah dalam
mendapatkan solusi pendekatan dari metode dekomposisi Adomian secara
runtut dan jelas.
6. Menyusun seluruh materi yang telah dibahas secara runtut dan sistematis
pada langkah sebelumnya agar mempermudah para pembaca dalam
memahami isi penulisan.
7. Mengkonsultasikan isi tulisan dengan dosen pembimbing setiap
mendapatkan hasil penelitian (menemukan solusi-solusi permasalahan
yang dicari) serta setiap menemui kesulitan-kesulitan, kemudian merevisi
yang perlu direvisi.
I. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam tesis ini adalah sebagai berikut.
1. Bab I : membahas pendahuluan yang meliputi latar belakang masalah,
rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka,
metode penelitian, dan sistematika penulisan.
2. Bab II : membahas landasan teori yang berisi teori-teori yang digunakan
dalam penelitian ini. Teori-teori yang digunakan adalah teori persamaan
diferensial parsial, teori tentang Metode Dekomposisi Adomian,
Dekomposisi Adomian pada persamaan Burgers, persamaan air dangkal
dan persamaan gelombang elastik.
3. Bab III : membahas hasil penelitian yang berisi hasil penelitian dari semua
persamaan yang dicari yaitu tentang persamaan air dangkal, persamaan
gelombang elastik, persamaan gelombang akustik, persamaan gelombang
difusi dan persamaan gelombang kinematik.
4. Bab IV : membahas aspek pendidikan yang berisi kaitan-kaitan penelitian
terhadap aspek pendidikan baik di sekolah menengah maupun di tingkat
S1 Pendidikan Matematika.
16
BAB II
LANDASAN TEORI
Isi dari bab ini adalah teori-teori yang melandasi penelitian. Teori-teori yang
digunakan adalah persamaan diferensial parsial, metode dekomposisi Adomian
dan penggunaan dekomposisi Adomian pada persamaan Burgers, persamaan
aliran air dangkal, persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear. Berikut ini
merupakan panjelasannya.
A. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat
variabel terikat (fungsi tidak diketahui) dan derivatif parsial (Wazwaz, 2009).
Persamaan diferensial biasa (PDB) memiliki variabel terikat = � tergantung
hanya pada sebuah variabel bebas �. Tidak seperti PDB, variabel terikat dalam
PDP seperti misalnya = �, � atau = �, , � , tergantung pada lebih dari
satu variabel bebas. PDP juga digunakan dalam bentuk sederhana persamaan
gelombang. Berikut ini adalah bentuk sederhana dari persamaan gelombang
dimensi satu.
PDP : �� = ��, < � < , � >
(2.1) Kondisi Batas : , � = , � = , � ≥ ,
Kondisi Awal : �, = � , � �, = � �
dengan = �, � adalah nilai fungsi di titik sembarang dalam rangkaian saat
B. Penurunan Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan
momentum (LeVeque, 1992). Misalkan bahwa � �, � melambangkan massa jenis
fluida di titik � dan waktu �. Massa jenis ini didefinisikan dalam cara bahwa total
massa dari fluida dalam bagian yang diberikan dari � ke � , diberikan oleh
didapatkan dengan mengintegralkan ini saat waktu � ke � :
Untuk mendapatkan bentuk diferensial dari hukum kekekalan, diasumsikan bahwa
� �, � dan �, � adalah fungsi terdiferensial. Dengan menggunakan:
� �, � − � �, � = ∫� � � �, �
Karena ini berlaku untuk setiap bagian [� , � ] dan melewati setip interval waktu
[� , � ], disimpulkan bahwa sebenarnya integral dalam (2.8) adalah nol, yaitu:
��+ � � = . (2.9)
Persamaan di atas adalah bentuk diferensial dari hukum kekekalan massa, untuk
hukum kekekalan (2.9) dapat diselesaikan jika kecepatan �, � adalah fungsi
dari � �, � . Jika demikian, kemudian � adalah fungsi dari � sendiri, sehingga
� = � , dan persamaan kekekalan massa (2.9) menjadi:
��+ � � = . (2.10)
Persamaan gelombang yang dibahas dalam tesis ini secara umum
berbentuk hukum kekekalan massa:
��+ � � � = , (2.11)
jika tidak ada suku sumber. Jika ada suku sumber kuantitas yang mempengaruhi
��+ � � � = � �, � , �, � , (2.12)
dengan � �, � , �, � adalah suku sumber. Di sini � �, � adalah kuantitas
kekal dan � � adalah fluks kuantitas kekal tersebut.
C. Metode Dekomposisi Adomian
Metode Dekomposisi Adomian (Adomian (1998), Wazwaz (2009))
diperkenalkan dan dikembangkan oleh George Adomian dan terbukti memiliki
keunggulan, efektif, dan dapat mengatasi kasus-kasus linear maupun non-linear,
persamaan diferensial biasa maupun parsial, dan persamaan integral linear
maupun non-linear. Metode ini menyelesaikan permasalahan secara langsung
tanpa menggunakan linearisasi ataupun beberapa asumsi yang mungkin dapat
merubah sifat-sifat fisis dari model yang didiskusikan.
Pada penyelesaian bentuk sederhana gelombang dengan dimensi satu,
Metode Dekomposisi Adomian (Adomian, 1998) mengandung dekomposisi dari
fungsi �, yang tidak diketahui dari beberapa persamaan dalam bentuk jumlah
dari bilangan tak hingga dari komponen terdefinisi dengan deret dekomposisi:
�, = ∑ � �,
∞
�=
di mana komponen � �, , � ≥ yang ditentukan dalam cara rekursif. Metode
dekomposisi mencari komponen , , , … secara terpisah. Diberikan suatu
bentuk persamaan diferensial linear:
+ = �, (2.13)
di mana adalah operator turunan tingkat yang lebih rendah yang diasumsikan
nilai awal. Aplikasikan operator invers − pada kedua ruas dan menggunakan
kondisi yang diberikan untuk mendapatkan:
= − − , (2.14)
di mana fungsi menunjukkan hasil dari pengintegrasian � dan dari penggunaan
kondisi yang diberikan yang diasumsikan untuk ditentukan. Selanjutnya akan
dijelaskan perhitungan dengan Metode Dekomposisi Adomian.
Pada bentuk sederhana persamaan gelombang dalam dimensi satu yang
telah diuraikan, dengan pengaplikasian Metode Dekomposisi Adomian:
�� = ��, < � < , � > , (2.15)
di mana = �, � adalah fungsi yang dicari saat posisi � dan saat waktu �, dan
adalah konstan. Persamaan (2.15) dapat ditulis menjadi:
� �, � = � �, � . (2.16)
Operator diferensial � dan � didefinisikan dengan:
� = � , � = � . (2.17)
Asumsikan operator integral �− dan �− ada dan dapat dimaknai sebagai
integral tak tentu dua-lipat yang didefinisikan sebagai
dan
�− � �, � = �, � − � � �, − , � . (2.21)
Solusi dapat diperoleh dengan menggunakan operator invers �− atau operator
invers �− . Bagaimanapun juga, penggunaan operator invers �− hanya
membutuhkan penggunaan kondisi awal, sedangkan operasi dengan
�− menentukan kegunaan dari kondisi awal dan kondisi batas. Untuk alasan ini,
diaplikasikan metode dekomposisi dalam arah �. Setelah mengaplikasikan �−
untuk kedua ruas dan menggunakan kondisi awal kita mendapatkan:
�, � = � + �� � + �− ( � �, � ). (2.22)
Metode Adomian mendekomposisi perubahan fungsi �, � :
�, = ∑ � �,
Metode tersebut menunjukkan bahwa komponen nol �, � diidentifikasi
dengan lambang yang tidak termasuk dalam �− pada (2.25). komponen yang
lain ditentukan dengan menggunakan relasi rekursif dengan
+ + + = � + �� � + �− ( � + + + ), (2.26)
�+ �, � = �− ( � + + + ), � ≥ . (2.28)
Komponen-komponen �, � , �, � , �, � , … dapat ditentukan secara
terpisah dengan
�, � = � + �� � , (2.29)
�, � = �− ( � ) = (�! ′′ � +�! �′′ � ),
(2.30)
�, � = �− ( � ) = (�! � +�! � � ),
(2.31)
�, � = �− ( � ) = (�! � +�! � � ),
(2.32)
sehingga diperoleh,
�, � = ∑ � ∞
�=
( �� !� � + �� + ! ��+ � � ). (2.33)
Persamaan (2.33) merupakan solusi dari persamaan (2.15).
D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan Metode Dekomposisi Adomian
pada persamaan diferensial parsial. Persamaan gelombang menggunakan
persamaan diferensial parsial sehingga penting untuk memberikan salah satu
ilustrasi bagaimana Metode Dekomposisi Adomian menyelesaikannya. Secara
khusus, persamaan yang akan diselesaikan adalah persamaan Burgers.
di mana adalah kuantitas yang diteliti. Notasi � adalah variabel untuk waktu dan
� adalah variabel ruang. Ruang dan waktu adalah variabel-variabel bebas.
Didefinisikan operator turunan � = �
�� dan �� =
kedua ruas untuk persamaan sebelumnya untuk mendapatkan persamaan
�− � = �− �� − �− �, (2.36)
Atau
− = �− �� − �− �. (2.37)
Untuk � nonlinear dapat ditulis dalam polinomial Adomian ��, dimana � =
∑∞�= ��{ �}, kemudian substitusikan polinomial ke dalam persamaan. Dengan
cara yang sama, substitusikan dekomposisi dari
= ∑∞�= � pada kedua ruas, dimana = , didapatkan
Sekarang, dapat dilihat hasil dari setiap komponen dekomposisi dari , yaitu,
= �− �� − �− � , (2.39)
= �− �� − �− � , (2.40)
= �− �� − �− � , (2.41)
Polinomial Adomian �� untuk kasus ini diberikan oleh :
� = ′ , (2.43)
� = ′ + , (2.44)
� = ′ + ′ + ′ , (2.45)
�� = � ′ + �− ′ + + ′�− + ′�, (2.46)
sehingga, dapat ditentukan menjadi bentuk rangkaian = ∑∞�= � seperti yang
diharapkan. Komponen ke−� pada pendekatan dari diberikan oleh jumlahan
dari , , , , �− , jadi
��[ ] = ∑ �−
=
. (2.47)
Dengan cara Adomian untuk menspesifikasi = � ketika � = . Didapatkan
= � = = �, (2.48)
= − �− � = −��, (2.49)
= − �− � = �− �� =�� , (2.50)
Sehingga, = � − � +� − . Didapatkan = �
+� adalah solusi dari
persamaan Burgers dengan masalah nilai awal = � saat � = . Hasil akhir ini
adalah solusi untuk persamaan (2.34) menggunakan Metode Dekomposisi
Adomian. Jelas bahwa = �
+� adalah solusi eksak dari persamaan Burgers
ditemukan bahwa jika solusi eksak teridentifikasi memiliki bentuk tertutup, maka
Metode Dekomposisi Adomian konvergen sangat cepat pada solusi eksak.
E. Persamaan Gelombang Air Dangkal
Gelombang air dangkal adalah gelombang di mana kedalaman airnya atau
amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya.
Persamaan air dangkal disebut juga sebagai sistem Saint-Venant di mana hukum
kekekalan massa dan momentum sangat berpengaruh. Persamaan-persamaan
dalam sistem tersebut merupakan penurunan dari hukum kekekalan massa dan
hukum kekekalan momentum. Pada persamaan ini (LeVeque, 1992) diasumsikan
massa jenis � konstan, sedangkan, tinggi ℎ �, � berubah-ubah, dan begitu juga
total massa dalam [� , � ] saat � adalah:
total massa di [� , � ] = ∫ �ℎ �, ��
� �. (2.51)
Momentum pada setiap titik adalah � �, � dan integralnya memberikan fluks
massa menjadi � �, � ℎ �, � , sehingga menjadi:
ℎ�+ ℎ � = . (2.52)
Persamaan kekekalan momentum memberikan bentuk:
�ℎ �+ �ℎ + �= . (2.53)
Tekanan pada fluks momentum adalah:
= ��ℎ , (2.54)
Dengan � adalah konstan gravitasi. Dengan menggunakan (2.53) dan (2.54)
ℎ �+ ℎ + �ℎ �= . (2.55)
Persamaan (2.55) dapat disimplifikasi dan dengan mereduksi beberapa suku maka
menjadi:
�+ ( + ℎ)
� = . (2.56)
Persamaan (2.52) dan (2.56) merupakan sistem persamaan gelombang air dangkal.
Persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi tiga persamaan,
yaitu persamaan gelombang air dangkal, persamaan difusi dan persamaan
kinematik. Berikut ini adalah masing-masing persamaan yang diteliti dalam
penelitian ini.
1. Persamaan Gelombang Air Dangkal
Persamaan gelombang air dangkal (Al-Khaled dan Allan, 2004) satu
dimensi dapat direpresentasikan sebagai berikut.
� ℎ + �( ℎ
+ ℎ) = −�′ , � ℝ, � >. (2.57)
Di mana � � adalah topografi tanah, ℎ �, � menunjukkan ketinggian
(kedalaman air) diatas topografi tanah, �, � adalah kecepatan air, dan
diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu
sedangkan dua variabel bebas � dan � secara berturut-turut adalah jarak
sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan nilai kondisi awalnya adalah:
Di sini � dan � adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan
aliran air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan
dengan:
ℎ�+ ℎ�+ ℎ �= , ℎ �, = � � , (2.59)
�+ ℎ�+ � = −�′ � , �, = � � . (2.60)
Pada persamaan gelombang air dangkal tersebut adalah persamaan yang
akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang air
dangkal antara lain, tsunami, banjir, dan masalah bendungan bobol (dam
break). Solusi dari penelitian ini untuk melihat kecepatan gelombang dan
kedalaman gelombang air ℎ pada titik � tertentu dan pada waktu � tertentu.
2. Persamaan Gelombang Difusi
Difusi adalah penyebaran molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke
konsentrasi yang lebih rendah. Persamaan gelombang difusi yang dibahas
pada penelitian ini adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu. Berikut
ini adalah persamaannya:
di mana� adalah konsentrasi polutan air di laut (misal). Dengan kondisi
awal:
� �, = � = . (2.62)
Kemudian, dapat ditulis kembali menjadi:
��+ �� = ���� + �. (2.63)
Persamaan (2.63) adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian
penyebaran asap rokok dalam suatu ruangan, penyebaran limbah cair di
sungai, penyebaran limbah gas dari pabrik ke ruangan terbuka, dan masih
banyak lagi. Solusi dari penelitian ini untuk melihat gelombang aliran
konsentrasi � suatu larutan pada titik � tertentu dan waktu � tertentu.
3. Persamaan Gelombang Kinematik
Persamaan gelombang kinematik (Miller, 1983) termasuk dalam
persamaan gelombang air dangkal dimensi satu. Persamaan gelombang
kinematik yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang
kinematik dimensi satu. Berikut ini adalah persamaannya:
ℎ�+ ℎ ℎ� = �, (2.64)
dengan kondisi awalnya adalah
ℎ �, = ℎ = . (2.65)
Persamaan (2.64) adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian
ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang kinematik adalah masalah
gelombang aliran pada daerah aliran sungai (DAS). DAS berfungsi untuk
menerima, mengalirkan dan menampung air hujan. Solusi dari penelitian ini
untuk melihat banyaknya simpanan air ℎ pada titik � tertentu dan pada
waktu � tertentu.
F. Persamaan Gelombang Elastik
Pada persamaan gelombang elastik, terdapat dua jenis persamaan. Pertama
gelombang akustik. Persamaan akustik linear diturunkan dari persamaan
elastisitas non-linear. Berikut ini adalah persamaan gelombang elastisitas
dimensi-1 mengacu pada LeVeque (2002):
{ � � �, � − � �, � = ,
� �, � − � � �, � , � � = .
(2.66)
Disini � �, � adalah regangan (strain), �, � adalah kecepatan, dengan massa
jenis diasumsikan satu dan � �, � adalah tegangan (stress) dan variabel bebas �
dan � secara berturut-turut merepresentasikan ruang dan waktu. Relasi linear
tekanan-regangan adalah:
� �, � = � � (2.67)
di mana � adalah modulus dari bagian yang dimampatkan. Pada kasus linear
sangat mungkin untuk menuliskan kembali persamaan dengan mengeliminasi �
dan menggunakan = −� untuk mendapatkan:
{ �+ � � = ,
� � �+ �= . (2.68)
Persamaan tersebut adalah persamaan akustik linear satu dimensi. Kemudian
untuk menyederhanakan persamaan, dengan mengasumsikan � sama dengan
satu, dan massa jenis � � sama dengan satu, maka didapatkan:
{ �+ �= ,
�+ �= . (2.69)
Persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear dimensi-1 tersebut yang
kemudian akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata dari persamaan gelombang
diberikan tekanan. Solusi dari penelitian persamaan gelombang elastik ini untuk
melihat gelombang regangan � dan kecepatan gelombang pada titik � tertentu
dan nilai waktu � tertentu. Sedangkan, masalah nyata dari persamaan gelombang
akustik antara lain adalah gelombang suara dari radar yang dipantulkan ke dalam
laut untuk mengetahui topografi dasar laut ataupun untuk mengetahui lokasi ikan
lumba-lumba yang juga memancarkan gelombang suara, dan masih banyak lagi
aplikasi dari gelombang akustik ini. Solusi dari penelitian persamaan gelombang
akustik ini untuk melihat gelombang tekanan dan kecepatan gelombang pada
31
BAB III
HASIL PENELITIAN
Bab ini berisi tentang hasil-hasil penelitian yang telah dikerjakan, yaitu
penyelesaian persamaan air dangkal, gelombang akustik, gelombang elastik,
gelombang difusi, dan gelombang kinematik dengan metode dekomposisi
Adomian.
A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal
Gelombang air dangkal merupakan gelombang dimana kedalaman air
ataupun amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya.
Referensi utama yang digunakan penulis pada bagian ini adalah Al-Khaled dan
Allan (2004) dan Wazwaz (2009). Persamaan air dangkal biasa disebut sebagai
sistem Saint-Venant. Persamaan ini diturunkan dari hukum kekekalan massa dan
momentum. Sistem dari persamaan air dangkal merupakan persamaan yang saling
simultan yang berasal dari persamaan hukum kekekalan massa dan persamaan
kekekalan momentum. Oleh karena itu, variabel yang paling berpengaruh dalam
persamaan air dangkal adalah variabel ℎ �, � yaitu kedalaman air dan variabel
�, � yaitu variabel kecepatan air, sedangkan, � merupakan arah aliran air dan �
adalah variabel waktu. Persamaan air dangkal dapat digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan banjir, bendungan bobol dan beberapa permasalahan
lain terkait gelombang air dangkal. Beberapa manfaat dari aplikasi persamaan air
dangkal antara lain dapat memprediksi perilaku fisis (kecepatan air, kedalaman
Perlu diketahui bahwa persamaan aliran air dangkal tidak memiliki solusi
eksak secara umum sehingga dengan menggunakan metode dekomposisi
Adomian dapat ditemukan solusi pendekatan dari persamaan air dangkal.
Persamaan air dangkal yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan air
dangkal dimensi satu dimana hanya ada satu variabel ruang � yang terlibat
dalam persamaan ini. Bagian ini memuat perhitungan serta penyelesaian
persamaan air dangkal dengan metode dekomposisi Adomian.
Penulisan dalam bagian ini sebagai berikut. Pertama dijelaskan bagaimana
Al-Khaled dan Allan (2004) memperluas pendekatan Adomian untuk
menyelesaikan sebuah sistem persamaan diferensial, yang mana adalah persamaan
air dangkal. Pekerjaan dari Al-Khalled dan Allan (2004) kemudian diaplikasikan
untuk menyelesaikan sebuah permasalahan aliran yang tidak tenang dan
mendiskusikan hasil solusi dari persamaan air dangkal apakah memiliki perilaku
fisis yang sesuai atau tidak. Persamaan gelombang air dangkal dimensi-1 pada
aliran fluida direpresentasikan sebagai berikut:
�
menyederhanakan persamaan maka diasumsikan bahwa akselerasi yang
disebabkan oleh gravitasi adalah satu. Dua variabel bebas � dan � secara
(ℎ �,�, ) = (� �� � ) , � ℝ. (3.2)
Disini � dan � adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan gelombang
air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan dengan:
ℎ�+ ℎ�+ ℎ � = , ℎ �, = � � , (3.3)
�+ ℎ�+ �= −�′ � , �, = � � . (3.4)
Kedua persamaan tersebut kemudian dituliskan kembali dalam bentuk operator,
lalu didapatkan:
mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka didapatkan,
�− �ℎ + �− �ℎ + �− ℎ � = �− , ℎ �, = � � , (3.7)
Adomian mengasumsikan sebuah solusi deret tak hingga untuk fungsi yang tidak
= ℎ �+ ℎ �+ ℎ �+ ℎ � , (3.24)
Dengan menggunakan hasil tersebut, dengan mempertimbangkan penelitian
Al-Khaled dan Allan (2004) serta penelitian yang dilakukan penulis, ditemukan
fungsi iterasi pada metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal
adalah:
ℎ �, � = � � , ℎ�+ �, � = − �− [��+ �], � ≥ , (3.29)
�, � = � � ,
�+ �, � = − �− �′ � + [ �ℎ� + �] , � ≥ , (3.30)
dimana solusi eksak dapat ditulis dengan:
lim
�→∞∅� = ℎ �, � , lim�→∞�� = �, � . (3.31)
Pendekatan suku ke-� dari kedalaman air ℎ dan kecepatan adalah
∅�[ℎ] = ∑ ℎ� �, �
Pada bagian ini, akan dipaparkan hasil penelitian dari metode dekomposisi
Adomian untuk persamaan air dangkal. Diberikan kondisi awal untuk kedalaman
ℎ �, = + sech � + + exp −� , exp −� (3.33)
dan
�, = , (3.34)
dengan fungsi topografi tanah:
� � = − + exp −� . exp −� (3.35)
Dengan menggunakan kondisi awal dan fungsi topografi tanah, akan didapatkan
setiap suku ke-� dari kedalaman air ℎ dan kecepatan sebagai berikut:
ℎ�+ �, � = − �− [��+ �], � ≥ , (3.36)
�+ �, � = − �− �′ � + [ �ℎ�+ �] , � ≥ . (3.37) Digunakan software MAPLE untuk membantu perhitungan dalam mencari suku-suku untuk kedalaman air ℎ seperti berikut ini.
ℎ = + sech � + + exp −� ,exp −� (3.38)
ℎ = , (3.39)
ℎ =
cosh � ( + −� ) � (
− � cosh �
+ −� sinh � � cosh � + −� cosh �
+ − � cosh � + cosh �
+ −� cosh � − − � cosh �
+ cosh � − −� cosh � − − �
− cosh � − −� − ) ,
ℎ =
Suku-suku untuk kecepatan adalah:
perhitungan ini tidak dilanjutkan pada suku selanjutnya karena hasilnya lebih
rumit dan memerlukan waktu yang panjang untuk mendapatkan dan menuliskan
pada tesis ini.
Gambar 1.1. Solusi berdasarkan metode dekomposisi Adomian untuk (kiri) kedalaman
ℎ �, � dan (kanan) kecepatan �, � .
Gambar 1.1 merupakan grafik solusi pendekatan untuk kedalaman air dan
kecepatan air dari persamaan air dangkal dengan menggunakan metode
dekomposisi Adomian ketika � = sampai � = . . Di bawah ini akan
diberikan grafik solusi pendekatan dari kedalaman dan kecepatan pada skala
waktu tertentu.
Gambar 1.3. Hasil untuk kecepatan �, � dari metode dekomposisi Adomian pada saat waktu � = (kiri) dan � = . (kanan).
Hasil dari �[ℎ] dan �[ ] telah di-plot di Gambar 1.1, Gambar 1.2, dan Gambar 1.3. Pada kondisi awal, permukaan air membentuk gundukan dan
kecepatannya nol di manapun. Semakin waktu bertambah, permukaan air mulai
berubah bentuk, yang mana secara fisis sesuai dengan gravitasi. Bagaimanapun
juga, jika nilai waktu terlalu besar, solusinya menjadi tidak sesuai dengan keadaan
fisis di alam, yang mana, permukaan air di pusat dari gundukan sebelumnya
meningkat terlalu tinggi. Permukaan air di sisi kiri dan kanan dari gundukan
menurun dan mencapai topografi tanah saat � = . . Ini berarti bahwa jika
diinginkan solusi yang akurat untuk waktu yang besar, dibutuhkan suku yang
lebih besar juga (� lebih banyak) di pendekatan �[ℎ] dan �[ ] untuk solusi
eksak.
Pada penelitian ini ditemukan bahwa metode dekomposisi Adomian
relevan untuk nilai waktu yang kecil dan tidak relevan untuk nilai waktu yang
besar untuk permasalahan aliran yang tidak tenang. Diharapkan penelitian
untuk menemukan error atau kesalahan dari solusi metode dekomposisi Adomian
untuk persamaan air dangkal.
B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik
Gelombang elastik merupakan gelombang yang menyebabkan deformasi
elastik tanpa menyebabkan perubahan struktur. Persamaan gelombang elastik erat
kaitannya dengan teori elastisitas gelombang. Dalam elastisitas gelombang,
dikenal sifat elastisitas benda, yaitu sifat suatu benda untuk mempertahankan
bentuknya pada keadaan semula. Contoh fenomena yang ada pada kehidupan
sehari-hari adalah ketika menekan senar gitar maka akan terjadi regangan yang
diakibatkan oleh tekanan dan regangan tersebut lama-kelamaan akan berhenti.
Persamaan elastik yang diteliti dalam tesis ini adalah persamaan elastik dimensi
satu. Oleh karena itu, variabel yang paling dominan dalam persamaan elastik
dimensi satu adalah tegangan, regangan, dan kecepatan. Tegangan adalah gaya per satuan luas, sedangkan regangan adalah perbandingan antara perubahan bentuk
dan ukuran benda setelah dikenai gaya dari keadaan semula. Berdasarkan hukum
Hook, regangan yang dihasilkan berbanding lurus dengan tegangannya (berlaku
untuk tegangan yang tidak terlalu besar). Persamaan elastik non-linear diberikan
sebagai berikut.
�� �, � − � �, � = , (3.46)
� � �, � �− � � �, � , � � = . (3.47)
� �, � dan �, � secara berturut-turut adalah regangan dan kecepatan. � = �
adalah tegangan. Asumsikan � = dan � = untuk mendapatkan persamaan
elastik non-linier paling sederhana, maka didapatkan:
��− �= , (3.48)
�− � + � �= . (3.49)
Untuk mempermudah perhitungan, diberikan contoh kondisi awal:
�, = , (3.50)
� �, = − . ℎ . � . (3.51)
Persamaan (3.48) dan (3.49) dapat ditulis kembali menjadi:
��− �= , (3.52)
�− ��− ���= (3.53)
Dengan mendefinisikan operator derivatif � = �
�� dan � = �
�� dan kemudian
mengaplikasikannya maka persamaan (3.52) dan (3.53) akan menjadi:
�� − � = , (3.54)
� − �� − � �� = . (3.55)
Didefinisikan operator invers �− = ∫ .� �, dan dengan mengaplikasikan �−
kedua ruas dari persamaan-persamaan sebelumnya untuk mendapatkan:
�− �� − �− � = , (3.56)
�− � − �− �� + � �� = . (3.57)
Persamaan diatas dapat ditulis kembali menjadi
�− �� − �− � = , (3.58)
�− � − �− ( �� + ∅ � ) = , (3.59)
dimana ∅ � = ���. Maka akan didapatkan � �, � dan �, � seperti dibawah
� �, � − � �, = �− � , (3.60)
�, � − �, = �− ( �� + ∅ � ), (3.61)
atau
� �, � = � �, + �− � , (3.62)
�, � = �, + �− ( �� + ∅ � ). (3.63)
Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah deret tak hingga dalam:
�, � = ∑ � �, �
Jadi, didapatkan persamaan-persamaan dibawah ini:
∑ �� �, �
Polinomial Adomian �� untuk kasus ini diberikan oleh:
� = � � � , (3.71)
� = � � �+ � � �+ � � � , (3.73)
�� = ��� �+ ��− � �+ + � ���. (3.74)
Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi adalah:
� + � + � + = � + �− ( � + + + ), (3.75)
+ + +
=
+ �− ( � � + � + � + + � + � + � + ),
(3.76)
yang berarti bahwa untuk suku � ke-� adalah
� = − . ℎ . � , (3.77)
� = �− � , (3.78)
� = �− � , (3.79)
� = �− � , (3.80)
Sedangkan untuk suku ke-� adalah
= , (3.81)
= �− �� + � , (3.82)
= �− �� + � , (3.83)
= �− �� + � , (3.84)
��+ = �− � � , � ≥ , (3.85)
�+ = �− ��� + �� , � ≥ . (3.86)
Di sini solusi eksaknya diberikan oleh
lim
Dengan menggunakan software MAPLE, hasil dari suku-sukunya dihitung sampai iterasi keempat.
= � ��ℎ � ( ℎ � − )
ℎ � ,
(3.95)
= , (3.96)
= � ��ℎ � ( ℎ � − ℎ � )
× ℎ �
+ � ��ℎ � (+ ℎ � − )
× ℎ � ,
(3.97)
= . (3.98)
Oleh karena itu, didapatkan:
� = −
ℎ � ( � ℎ ( �)
− � ℎ ( �) − � ℎ ( �)
+ ℎ ( �) − � ℎ ( �)
+ � ℎ ( �) + � ℎ ( �)
− � ℎ ( �) + � ,
� = � ��ℎ �
ℎ � ( � ℎ ( �) + ℎ ( �)
− � ℎ ( �) − ℎ ( �)
+ � ℎ ( �) − � .
(3.100)
Berikut ini adalah grafik-grafik solusi pendekatan dari persamaan elastik dimensi
satu dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Penulis menggunakan
MAPLE dan MATLAB untuk mempermudah pekerjaan.
Gambar 2.2. Grafik solusi pendekatan dari regangan � �, � pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian
Dengan menggunakan MATLAB, maka didapatkan hasil simulasi seperti tampak dalam Gambar 2.1 hingga gambar 2.4.
Gambar 2.4. Grafik solusi pendekatan dari regangan pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian
Dari grafik-grafik tersebut, dapat dilihat bahwa nilai regangan tertinggi adalah
ketika � = dan pada posisi awal � = . Semakin waktu bertambah, maka
regangan dari titik asal merambat ke arah kiri dan ke arah kanan. Pada � =
sampai � = . . Kecepatan berhubungan dengan perambatan regangan. Ketika
kecepatannya negatif, perambatan gelombang regangan ke kanan dan positif
ketika ke kiri. Pada grafik kecepatan, kecepatan cenderung menuju 0 (nol) untuk �
tak hingga dan � tak hingga, hal ini juga berlaku pada grafik regangan. Hal ini
relevan dengan sifat elastisitas suatu benda untuk mempertahankan bentuk seperti
keadaan semula. Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa untuk nilai � yang kecil
maka MDA akurat dalam menyelesaikan persamaan elastik dimensi satu, namun
kurang akurat untuk � yang besar. Untuk menambah keakuratan pada nilai � yang
C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik
Penelitian ini bertujuan untuk meneliti penggunaan metode dekomposisi
Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik dimensi satu. Persamaaan
akustik dapat diturunkan dari persamaan elastik nonlinier, seperti yang
dideskripsikan oleh LeVeque (2002). Penelitian ini adalah pengaplikasian pertama
kali dari metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik.
Susunan dalam bagian ini adalah sebagai berikut. Pertama, akan
dideskripsikan permasalahan yang akan diteliti. Kemudian, akan dijelaskan sedikit
tentang metode dekomposisi Adomian. Setelah itu, akan dipaparkan hasil-hasil
komputasional beserta pembahasannya. Terakhir, akan ditulis kesimpulan dari
bagian ini.
Pada bagian ini, dideskripsikan permasalahan (model matematika) yang
akan diselesaikan. Dimulai dari model umum, simplifikasi dari model menjadi
bentuk paling sederhana dari persamaan akustik. Bentuk umum dari persamaan
akustik adalah (Supriyadi dan Mungkasi (2016), Mungkasi dan Ningrum (2016)):
�+ � �= , (3.101)
� � �+ � = . (3.102)
Di sini �, � menunjukkan tekanan, �, � menunjukkan kecepatan, � adalah
variabel ruang dimensi satu, dan � adalah variabel waktu. Sebagai tambahan,
� adalah bagian terpenting dari modulus yang dapat dimampatkan, dan � �
adalah massa jenis. Digunakan operator turunan � =��
�+ � = , (3.103)
�+ � = . (3.104)
Tujuan dari penelitian di bagian ini adalah untuk menyelesaikan persamaan
(3.103) dan (3.104) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana metode dekomposisi Adomian
menyelesaikan persamaan akustik. Diawali dengan menotasikan operator derivatif
�= ��� dan �= ���, sehingga persamaan (3.103) dan (3.104) menjadi:
� + � = , (3.105)
� + � = . (3.106)
Invers dari operator derivatif untuk � dan � adalah �− = ∫ . �� dan �− =
∫ . �� . Dalam tesis ini, hanya akan diambil invers terhadap variabel waktu �.
Dengan mengaplikasikan operator �− pada kedua ruas dari persamaan (3.105)
Dengan mengaplikasikan polinomial Adomian pada kedua ruas, dimana =
Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi dan adalah
�, t = �, , (3.117)
Untuk perhitungan komputasional pada bagian selanjutnya, diberikan kondisi nilai
�, = . sech . � , (3.125)
�, = . (3.126)
Didefinisikan untuk persamaan akustik (3.103) dan (3.104). Dipilih fungsi secan
hiperbolik karena fungsinya halus, sehingga memiliki derivatif yang kontinu.
Amplitudo dan fase diambil konstan, yaitu 0.1 dan 0.2, secara berturut-turut.
Metode dekomposisi Adomian membutuhkan beberapa iterasi berulang
untuk mendapatkan pendekatan solusi eksak. Catatan bahwa semakin banyak
iterasi yang digunakan, maka semakin akurat pula solusi dengan metode ini jika
deret yang dihasilnya belum konvergen kepada solusi eksak. Dengan
menggunakan kondisi nilai awal (3.126) dan (3.125), metode dekomposisi
Adomian menggunakan formula deret seperti berikut:
�+ �, � = − −� �∑ �
dimana solusi eksak diberikan dengan
lim
�→∞ � = �, � , (3.129)
lim
�→∞�� = �, � . (3.130)
Pendekatan suku ke-� dari tekanan dan kecepatan adalah
Dengan menggunakan software MAPLE, didapatkan hasil dari iterasi (sampai ) untuk solusi tekanan untuk permasalahan yang ada dalam penelitian
ini, dituliskan seperti berikut:
= , (3.133)
= (sech ( �) tanh ( �) �, (3.134)
= , (3.135)
= (sech ( �) (tanh ( �) �
− (sech ( �) (tanh ( �) �
− (tanh ( �) ,
(3.136)
= , (3.137)
= sech ( �) , (3.138)
= , (3.139)
= (sech ( �) (tanh ( �) �
− (sech ( �) − (tanh ( �) � ,
(3.140)
= (sech ( �) (tanh ( �) �
− (sech ( �) (tanh ( �) �
− (tanh ( �)
+ (sech ( �) − (tanh ( �) � ,
(3.142)
Lebih jauh lagi, didapatkan hasil dari iterasi untuk solusi dari kecepatan
pada permasalahan dalam penelitian ini, dituliskan sebagai berikut ini:
� = ( � (cosh � ) + (cosh � ) − � ) � (sinh � )
(cosh � ) ,
(3.143)
=
(cosh � )( � (cosh ( �) + � (cosh ( �)
− � (cosh ( �) + (cosh ( �)
− � (cosh ( �) + � .
(3.144)
Dilanjutkan dengan perhitungan [ ] = + + + + dan
�[ ] = + + + + dengan menggunakan hasil di atas sehingga,
didapatkan pendekatan dari kecepatan dan tekanan sampai pada suku keempat
Gambar 3.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan metode dekomposisi Adomian.
dan
Gambar 3.2. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode
dekomposisi Adomian.
Secara berturut-turut. Selain itu, digunakan pula program MATLAB untuk
Gambar 3.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
Gambar 3.4. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode
dekomposisi Adomian.
Hasil dari tekanan dan kecepatan � diplot dalam Gambar 3.1 dan
Gambar 3.3 serta Gambar 3.2 dan Gambar 3.4, berturut-turut. Dari
gambar-gambar tersebut, bersamaan dengan pertambahan waktu, tekanan dari titik awal
