Penjabaran persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan menggunakan konsep mekanika kuantum.

PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM

ABSTRAK

Telah dilakukan penjabaran persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan menggunakan konsep mekanika kuantum. Persamaan keadaan gas ideal dapat diperoleh dengan menganggap potensial gas berbentuk potensial osilator harmonik, sedangkan persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menggunakan potensial osilator harmonik terganggu.

DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS

ABSTRACT

The equations of state for both ideal and real gases have been performed using quantum mechanical concepts. The equation of state for an ideal gas can be obtained by assuming that the gas potential has an oscillator harmonic potential, meanwhile the equation of state for a real gas can be obtained using the perturbed oscillator harmonic potential.

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

Ratna Listiyani

NIM : 023214017

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL

GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS

SKRIPSI

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain the Sarjana Sains Degree In Physics

By: Ratna Listiyani NIM : 023214017

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“ Live is a great big canvas and you

should throw all the paint on it you

can “ (Dany Kave)

PERSEMBAHAN :

“Skripsi ini aku persembahkan untuk ayah dan ibuku,

adik-adikku yudha, icha, dan surya yang selalu menyayangiku”

PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM

ABSTRAK

Telah dilakukan penjabaran persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan menggunakan konsep mekanika kuantum. Persamaan keadaan gas ideal dapat diperoleh dengan menganggap potensial gas berbentuk potensial osilator harmonik, sedangkan persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menggunakan potensial osilator harmonik terganggu.

DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS

ABSTRACT

The equations of state for both ideal and real gases have been performed using quantum mechanical concepts. The equation of state for an ideal gas can be obtained by assuming that the gas potential has an oscillator harmonic potential, meanwhile the equation of state for a real gas can be obtained using the perturbed oscillator harmonic potential.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala kasih dan

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi

ini berjudul : ”PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN

GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang

penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang

telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing, mendampingi,

memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini.

2. Dr. Ign. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang

sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

3. Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku kaprodi Fisika dan dosen yang

senantiasa memberikan kemudahan dalam memberikan materi kuliah.

4. Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang

telah meluangkan waktu untuk membaca dan mengkoreksi skripsi ini.

5. A. Prasetyadi, S.Si., M.Si. sebagai dosen yang telah memberikan

pengajaran saat penulis menempuh masa perkuliahan.

6. Ayah dan Ibuku serta adik-adikku tercinta yang tanpa henti

memberikan dukungan, dorongan, dan doanya sehingga penulis dapat

menyelesaikan tugas akhir ini.

7. Ken yang selalu berusaha memberikan perhatian, semangat, dan

seluruh kasih sayangnya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.

8. Manggar, Frida, mbak Ayuk, Sisca dan mbak Yuni yang telah menjadi

sahabat yang sangat baik dan selalu menyayangiku dengan tulus.

9. Mbak Yamidah dan mbak Tatik yang selalu sabar mengajariku ketika

menemui kesulitan dalam mengerjakan skripsi ini.

10.Mas Toro, mbak Lia, mas Yanto, mbak Prapti, mas Edi, mbak Sasti,

dan seluruh keluarga besar yang tidak pernah lelah memberikan

dukungannya.

11.Teman-teman fisika diantaranya Adet, Danang, Inke, Bambang, Iman,

Adit, Lius, Hari, Enzo, Minto, Ismeth, Mamat, Ridwan, Ade, Siska,

Sujad dan Dian yang telah memberikan kenangan manis saat

bersama-sama menempuh masa perkuliahan.

12.Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan

pengajaran dan pendampingan.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh

karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun

dari berbagai pihak.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia

pendidikan dan khususnya pembaca.

Yogyakarta, September 2008

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……… _i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……… _ii

HALAMAN PENGESAHAN .….……… _iii

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ………...………… _iv

ABSTRAK ……… _v

ABSTRACT ….……… _vi

KATA PENGANTAR …..……… _vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA……… _x

DAFTAR ISI ………. xi

BAB I. PENDAHULUAN………. ₁

1.1. Latar Belakang ……… ₁

1.2. Perumusan Masalah ………. 3

1.3. Batasan Masalah ……...………. 4

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……… 4

1.4.1. Tujuan Penelitian …..……… 4

1.4.2. Manfaat Penelitian .…...……… ₄

1.5. Sistematika Penulisan …...………....………… 5

BAB II. DASAR TEORI …...……… 6

2.1. Teori kinetik Gas ….….………...……… 6

2.2. Osilator Harmonik …...……… 16

2.3. Osilator Harmonik yang Terganggu …...……..………… 22

Bab III. Metodologi Penelitian …...……… 28

3.1. Jenis Penelitian …...……… 28

3.2. Sarana Penelitian …...……… 28

3.3. Langkah-Langkah Penelitian …...……… 28

Bab IV. Hasil dan Pembahasan …...……… 29

4.1. Hasil Perhitungan ……….. 29

4.1.1. Persamaan Keadaan Gas Ideal…………...……….. 29

4.1.2. Persamaan Keadaan Gas Real ……….……… ₃₁

4.2. Pembahasan ……… 33

BAB V. PENUTUP ……… 35

5.1. Kesimpulan …...……… 35

5.2. Saran …...……….… 35

DAFTAR PUSTAKA ……… ₃₆

LAMPIRAN

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Secara fenomenologis dikenal tiga macam wujud zat, yaitu padat, cair, dan

gas. Masing-masing wujud zat tersebut memiliki sifat makroskopik yang berbeda.

Wujud zat padat memiliki kerapatan tinggi dan bentuk ruang yang tetap. Wujud

zat cair memiliki kerapatan yang lebih rendah dibanding zat padat dan bentuk

ruang mengikuti wadahnya. Wujud gas memiliki kerapatan paling rendah dan

bentuk ruang mengikuti wadahnya (Rahayu, 2001).

Sifat gas yang ditinjau dari pandangan makroskopik ditekankan pada

kuantitas makroskopik yang berkaitan dengan keadaan internal sistem. Oleh sebab

itu, diperlukan penelitian untuk menentukan kuantitas makroskopik yang cukup

untuk mendeskripsikan keadaan internal tersebut. Kuantitas makroskopik yang

berkaitan dengan keadaan internal suatu sistem disebut koordinat termodinamik

(Zemansky dan Dittman, 1986). Koordinat termodinamik suatu gas ditentukan

oleh tekanan

( )

p , volume

( )

V , dan suhu

( )

T . Hubungan koordinat termodinamik

dengan massa

( )

m disebut persamaan keadaan

(

p,V,T,m

)

=0

f (1.1)

Jika didefinisikan sebagai volume jenis zat v ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

m V

v , maka persamaan

(1.1) dapat dituliskan menjadi

(

p,v,T

)

=0

f (1.2)

2

Jika koordinat termodinamik pada suatu gas diukur nilainya serta dibuat

grafik hubungan antara nilai rasio

T v P

dan tekanan pada tiga temperatur

, maka akan diperoleh grafik seperti terlihat pada Gambar 1.1 (Sears

dan Salinger, 1975)

(

T1,T2,T3

)

Gambar 1.1 Grafik hubungan rasio

T v P

dan tekanan

Dari Gambar 1.1 terlihat bahwa suatu gas yang mempunyai tekanan

mendekati nol akan memenuhi persamaan

R T

v P

=

atau

T R v

P = (1.3)

yang merupakan persamaan keadaan gas ideal. Jika relasi

m V

v= disubstitusikan

ke persamaan (1.3), maka persamaannya menjadi

T R m V

Massa m sebanding dengan jumlah mol gas (n), sehingga persamaan (1.4) dapat

dituliskan

T R n V

P = (1.5)

Gas ideal adalah gas yang tenaga ikat molekul-molekulnya dapat

diabaikan (Nainggolan, 1978). Jika tenaga ikat molekul-molekul gas tidak dapat

diabaikan maka persamaan keadaannya menjadi persamaan keadaan gas real

(

v b

)

RT v

a

p ⎟ − =

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + ₂ (1.6)

Pengaruh dari tenaga ikat molekul-molekul gas yang tidak dapat diabaikan

menyebabkan timbulnya faktor koreksi tekanan ₂

v a

. Konstanta b merupakan

faktor koreksi volume yang besarnya sebanding dengan volume yang ditempati

molekul-molekul gas (Nainggolan, 1978). Jika volume gas sangat besar, maka ₂

v a

dan dapat diabaikan, sehingga persamaan kembali menjadi persamaan keadaan

gas ideal. b

1.2.Perumusan masalah

Pada persamaan (1.5) telah diketahui persamaan keadaan gas ideal untuk

gas yang mempunyai tekanan mendekati nol. Pada persamaan (1.6) telah

diketahui persamaan keadaan gas real. Yang menjadi permasalahan adalah apakah

4

1.3.Batasan Masalah

Masalah pada penelitian ini dibatasi oleh

1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dijabarkan dengan konsep

mekanika kuantum.

2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial

molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.

3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial

molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.

1.4.Tujuan dan Manfaat Penelitian 1.4.1 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah

1. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan konsep

mekanika kuantum.

2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial

molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.

3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial

molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.

1.4.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk perkembangan ilmu pengetahuan

khususnya pengetahuan tentang persamaan keadaan, bahwa persamaan keadaan

1.5.Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut :

BAB I. PENDAHULUAN

Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II. DASAR TEORI

Pada Bab II dijabarkan teori kinetik gas, potensial osilator harmonik, dan

potensial osilator harmonik yang terganggu.

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian,

dan langkah-langkah penelitian.

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian dan pembahasannya.

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN

BAB II

DASAR TEORI

2.1 Teori Kinetik Gas

Gas adalah kumpulan molekul-molekul yang bergerak di dalam suatu

ruang dan saling bertumbukan antara satu dengan yang lain. Tumbukan antar

molekul ini mengakibatkan terjadinya perubahan besaran fisis pada

molekul-molekul yang saling bertumbukan. Jika ada sejumlah molekul dalam suatu

ruang dengan volume V , maka rapat molekul tiap satu satuan volume

(

adalah N

)

n

V N

n = . (2.1)

Kerapatan molekul dianggap sama sehingga dalam setiap sebarang bagian kecil

volume ΔV terdapat ΔN molekul dengan

V n N = Δ

Δ (2.2)

Jika molekul dianggap terletak dalam ruang berbentuk bola dengan radius

r dan berada pada koordinat polar , r θ, φ, maka molekul akan bergerak dari

pusat bola menuju permukaan kulit bola kemudian menumbuk luasan ΔA seperti terlihat pada Gambar 2.1

Gambar 2.1 Pergerakan molekul dalam koordinat polar

Jumlah vektor kecepatan sama dengan jumlah molekul yang ada (N), jadi

rapat arah kecepatan terhadap luasan kulit bola (A) dapat diberikan

A N

q = (2.3)

Rapat arah kecepatan molekul adalah jumlah arah kecepatan molekul tiap satu

satuan luas yang tegak lurus terhadap arah tersebut. Luasan A adalah luas seluruh

permukaan kulit bola sehingga persamaan (2.3) menjadi

q

2

4 r

N q

π

= (2.4)

r

A

Δ

Luas permukaan pada permukaan bola dengan radius dapat dituliskan

φ θ θΔ Δ =

ΔA r2sin (2.5)

Molekul yang mempunyai arah kecepatan antara θ dan θ+Δθ serta φ

dan φ+Δφ, menurut persamaan (2.3) mempunyai jumlah molekul

A q N = Δ

Δ _θφ (2.6)

atau dengan menggabungkan persamaan (2.5) dan (2.6) diperoleh

φ θ θ

θφ = Δ Δ

ΔN qr2sin (2.7) substitusi (2.4) ke (2.7) didapatkan

φ θ θ π

θφ = Δ Δ

Δ sin

4 N

N (2.8)

kedua ruas persamaan (2.8) dibagi dengan volume V sehingga didapat

φ θ θ π

θφ

θφ = Δ Δ

Δ =

Δ sin

4 n V

N

8

dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume dengan kecepatan

yang mempunyai arah antara

θφ

N

Δ

θ dan θ+Δθ serta φ dan φ+Δφ. Jika molekul

mempunyai kecepatan antara U dan U +ΔU, maka persamaan (2.9) dapat

dituliskan kembali menjadi

φ θ θ π

θφ = Δ Δ Δ

Δ sin

4 1

U

U n

n (2.10)

Banyaknya molekul yang menumbuk elemen ΔA pada saat sama dengan jumlah molekul dalam silinder yang bergerak pada arah

t

Δ

θ dan φ dengan

kecepatan U. Seperti terlihat pada Gambar 2.2

A

Δ

Gambar 2.2 Banyaknya molekul yang menumbuk elemen

( )

UΔt

Sisi silinder pada arah θ dan φ, panjang silinder menyatakan jarak yang

ditempuh molekul dengan kecepatan U pada saat Δt. Volume silinder pada

Gambar 2.2 diberikan

( ) (

A U t cosθ

)

V = Δ Δ

sehingga jumlah molekul dalam silinder didapat

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ Δ _{Δ Δ}

Δ Δ = Δ

Δ θ θ θ φ

π

θφ sin cos

4 U U

n U t A V

n

t A n

U

N _U = Δ _U Δ Δ Δ Δ

Δ θ θ θ φ

π

θφ sin cos

4 1

(2.12)

Flux molekul pada permukaan didefinisikan sebagai jumlah total

molekul yang sampai ke permukaan tiap satu satuan luas setiap satu satuan waktu

Φ

t A

N

Δ Δ

Δ =

Φ (2.13)

Sehingga dengan substitusi persamaan (2.13) ke (2.12) dihasilkan

φ θ θ θ π

θφ

θφ _{Δ Δ} = Δ Δ Δ

Δ =

ΔΦ sin cos

4 1

U U

U U n

t A N

(2.14)

φ

d

φ

Δ

Flux ΔΦ_θU didapat dengan mengganti pada persamaan (2.14) dengan

kemudian mengintegralkannya terhadap φ dengan batas sampai 0 2 , yang π

akhirnya diperoleh

θ θ θ

θ = Δ Δ

ΔΦ sin cos

2 1

U

U U n (2.15)

Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan dengan permukaan

A

10

Gambar 2.3 Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan

Dengan mengasumsikan tumbukan antar molekul bersifat elastis sempurna, dapat

diketahui kecepatan molekul sebelum dan sesudah tumbukan tetap. Jika tumbukan

molekul dengan permukaan ΔA juga dianggap elastis maka molekul yang menumbuk permukaan tersebut akan memantul dan mengakibatkan komponen

θ

cos

U berubah 180o, sehingga arahnya berbalik dari Ucosθ menjadi

θ

cos U

− .

Massa satu molekul adalah , sehingga perubahan momentum tiap

molekul sebelum dan sesudah tumbukan dapat dituliskan

m

(

θ

)

θ

θ cos 2 cos

cos mU mU

U

m − − = (2.16)

Besarnya perubahan momentum tiap satu satuan luas pada molekul yang

bertumbukan dengan arah sudut θ dan mempunyai kecepatan U , atau tekanan

diberikan oleh (Sears dan Salinger, 1975) U

P_θ

Δ

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{Δ Δ}

=

Δ _θ θ sinθcosθ θ

2 1 cos

2 _U

U mU U n

= mU2ΔnUsinθcos2θΔθ (2.17)

Tekanan molekul yang bergerak dengan kecepatan U, untuk semua

nilai U P Δ θ Δ

θ dapat ditentukan dengan mengganti pada persamaan (2.17) dengan

2

π θ

d kemudian diintegralkan terhadap θ dengan batas dari sampai 0

∫

Δ = Δ 2 0 2 2 cos sin π

θ mU n θ θdθ

P_{U U}

(

)

∫

Δ − = 2 0 2 2 cos cos π θ θd n mU _U 2 0 3 2 cos 3

1 _θ π

U n mU Δ − =

(

° − °

)

Δ −

= cos 90 cos 0

3

1 3 3

2

U n mU

(

3 3

)

2 1 0 3 1 − Δ −

= mU n_U

U

U mU n

P = Δ

Δ 2

3 1

(2.18)

Dengan menjumlahkan semua nilai U didapatkan tekanan total

U

U m U n

P = Σ Δ

Δ 2

3 1

(2.19)

Molekul mempunyai kecepatan rata-rata yang didefinisikan sebagai nilai

rata-rata dari jumlah seluruh kecepatan molekul. Jika terdapat sejumlah molekul

yang memiliki kecepatan

{

N1,N2,...,NN

}

{

U1,U2,...,UN

}

maka kecepatan

12

N N U

N N U U

N

i

i i

N

i i N

i

i

i

∑

∑

∑

= =

= ₌

= 1

1

1 _(2.20)

Kecepatan rata-rata molekul gas tidak memperhitungkan arah. Jika

ditinjau suatu arah tertentu sebagai arah positif, maka arah kecepatan yang

berlawanan dengan arah tersebut bertanda negatif. Nilai rata-rata dari kecepatan

kuadrat diberikan oleh

N U U

N

i i

∑

=

= 1

2 2

(2.21)

Jika terdapat sejumlah molekul gas yang mempunyai kecepatan U , maka

nilai rata-rata kecepatan kuadrat diberikan oleh N

Δ

N N U U = Σ Δ U

2 2

(2.22)

V N n =

mengingat , persamaan (2.22) dapat dituliskan menjadi

n n U U = Σ Δ U

2 2

atau

2 2

U n n U Δ U =

Σ (2.23)

m 3 1

Jika persamaan (2.23) dikalikan , maka didapat

2 2

3 1 3

1

U nm n

U

mΣ Δ U = (2.24)

2

3 1

U nm P_U =

Δ (2.25)

2

3 1

U nm

Kuantitas adalah dua pertiga dari seluruh tenaga kinetik molekul, yakni

) 2

1 ( 3

2 ₂

U

nm . Sehingga persamaannya dapat dituliskan (Halliday dan Resnick,

1987)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

= 2

2

2 1 3 2 3

1

U nm U

nm

) 2

1 ( 3

2 ₂

U nm PU =

Δ (2.26)

Jika ΔPU = nRT, maka dari persamaan (2.26) didapat energi kinetik gas

kT N v

m _A

2 3 2

1 2 ₌

(2.27)

sebab R = NAk.

Jika molekul mempunyai x komponen kecepatan antara sampai

, maka perubahan momentumnya diberikan dari persamaan (2.18) yang

dituliskan kembali menjadi

x U

x

x U

U +Δ

(

x x

x mU nU

P = Δ

Δ 2

3

1

) (2.29)

dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume sebagai fungsi

. Perubahan momentum tersebut terjadi pada interval waktu )

(Ux n

Δ

x U

x

U x t=

Δ (2.30)

14

( )

t U n mU t p

dF x x x

x Δ Δ = Δ Δ = 2 3 1 (2.31) sehingga

(

∫

∞ Δ Δ = 0 2 3 1 x x

x n U

t U m

F

)

(2.32)

2

x

U diberikan oleh (Bradbury, 1984) Nilai

( )

( )

( )

V N U n U U n U n U U x x x x x x / 2 0 2 2 2

∫

∫

∫

∞ ∞ + ∞ − +∞ ∞ − Δ = Δ Δ

= (2.33)

Persamaan (2.32) dan (2.33) digabungkan, dan diperoleh

V t U N m F x x Δ = 6 2 (2.34)

sehingga tekanan P adalah

V t A U N m A F

P x x

Δ = = 6 2 (2.35)

Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga

memiliki energi potensial. Dengan substitusi persamaan (2.30) ke (2.31) diperoleh

relasi

x p U

dFx x x

Δ =

atau

x x

x U p

dF

x = Δ

( )

x x

x

x dn U

( )

x

x dn U

t x m dF t ₂ 2 3 1 Δ = Δ sehingga

( )

x x U dn m t dF x 3 1 3

2 = Δ

(2.36)

2

x

Mengingat nilai adalah

∫

∫

∞ + ∞ − +∞ ∞ − = ) ( ) ( 2 2 x dn x dn x x (2.37)

Dengan menggabungkan persamaan (2.36) dan (2.37) diperoleh

V N dF t m V N x dn x x x

∫

∫

∞ ∞ Δ = = 0 3 0 2 2 6 ) ( 2 (2.38)

Mengacu pada persamaan (2.35) didapatkan

A dF

dP= x (2.39)

Kedua ruas persamaan (2.39) dikalikan dan dihasilkan x

x dF dP x

A = x

x

x tU

dF dP x

A = Δ

atau

x

x t dF

U dP

V =

∫

Δ (2.40) Persamaan (2.40) diintegralkan dan diperoleh

∫

∞ Δ = 0 x

x t dF

U V

16

Persamaan (2.41) disubstitusikan ke persamaan (2.38) menjadi

V N t dF t m x x 2 0 2 6 _Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ =

∫

∞ 2 / / 6 t V N U PV m x Δ = 2 2

6 t V x U N m PV x Δ = 2 2

6 t V x U N m kT

N x

A = _Δ

2 2

6 t N V x U N m kT A x Δ = atau 2 2 6 2 1 2 1 x V N t U N m T k A x Δ

= (2.42)

c V N t U N m A x = Δ 2 6

Jika , maka persamaan (2.42) menjadi

2 2 1 2 1 x c T

k = (2.43)

sehingga besarnya energi potensial sama dengan energi termal, yaitu kT 2 1

.

2.2 Osilator Harmonik

Energi potensial molekul gas dianggap mengikuti potensial osilator

( )

2

2 1

kx x

V = (2.44)

dengan k adalah konstanta dan m adalah massa partikel osilasi yang memiliki

frekuensi anguler 2

1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m k c

ω , sehingga persamaan Schrödinger pada Lampiran

persamaan (13) menjadi

Eu u x m x u

m∂ + c =

∂

− 2 2

2 2 2 2 1 2 ω h (2.45)

Untuk memudahkan perhitungan, semua variabel x diubah ke dengan y

x m y c 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = h ω (2.46)

dan didefinisikan suatu konstanta

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = c E ω α h 2 (2.47)

sehingga persamaan (2.45) menjadi

(

y

)

u Eu

y

u _{+ − =}

∂

∂ 2

2 2

α (2.48)

Jika nilai sangat besar dibandingkan y α maka persamaan (2.48) dapat didekati

dengan bentuk 0 2 2 2 ≈ − ∂ ∂ u y y u (2.49)

Kemudian persamaan (2.49) diselesaikan dengan fungsi

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 exp 2 y y

u n (2.50)

18

(

)

(

)

[

]

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − = ∂ ∂ − + 2 exp 1 2 1 2 2 2 2 2 y y y n y n n y

u n n n

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ≈ + 2 exp 2 2 y yn ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 exp 2 2 y y y n u y2

= (2.51)

Pada persamaan (2.51) terlihat bahwa persamaan (2.50) memenuhi (2.49),

sehingga persamaan (2.50) dapat dituliskan kembali menjadi

( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 exp 2 y H

u _{y y} (2.52)

dengan adalah fungsi yang telah ditentukan. Substitusi persamaan (2.52) ke

(2.48) menghasilkan

( )y H

(

1

)

0

2 ′+ − =

−

′′ yH H

H α (2.53)

H dapat dituliskan dalam deret pangkat

∑

∞ = = 0 n n n y a

H (2.54)

∑

∞ = − = ′ 0 1 n n n ny a

H (2.55)

(

)

∑

∞ = − − = ′′ 0 2 1 n n

nn n y

a H

(

)

∑

∞ = − − = 2 2 1 n n

nn n y

a (2.56)

(

)(

)

∑

∞ = + + + = ′′ 0

2 2 1

n

n

n n n y

a

H (2.57)

Dengan menggabungkan persamaan (2.54), (2.55), (2.57) dan (2.53) diperoleh

(

)(

)

(

)

[

1 2 2 1 0

0

2− + − =

+ +

∑

∞ = + n n n

n n a y

a n

n α

]

(2.58)

Jika koefisien seluruh pangkat dari sama dengan nol, maka deret (2.58) dapat

dituliskan

y

(

)

(

1

)(

2

)

1 2 2 + + − + = + n n n a a n n α (2.59)

( )

2

exp y Untuk nilai n sangat besar, deret (2.54) identik dengan deret

menghasilkan

( )

( )

∑

∑

∑

∞ = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 2 2 ! 2 1 ! exp n n n n genap n n n y a y n n y

y . Jika

mendekati tak berhingga dengan seperti deret

( )y H

( )

2

exp y

y maka akan

konvergen. Gejala tersebut dapat dihindari dengan memotong penderetan. Dengan

kata lain merupakan polinom.

( )y u

( )y H

n n a a ₊₂

Berdasarkan persamaan (2.59), jika limit mendekati tak berhingga,

maka didapatkan syarat untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger pada

partikel yang bergerak dengan potensial osilator harmonik

1 2 +

= n

α dengan n=0,1,2,...

1

0 =

a jika n ganjil dan a₀ =0 jika genap n (2.60)

Dengan substitusi persamaan pertama (2.60) ke persamaan (2.47) diperoleh energi

20 ω h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 1 0 n

E _n (2.61)

π

2 h

=

h

dengan ω frekuensi osilator harmonik, .

Polinom dikenal sebagai polinom Hermit. Mengacu kepada

persamaan (2.59) didapatkan 4 tingkat energi terendah

( )y H

1

0 =

H

y H₁ = 2

2 4 2

2 = y −

H

y y

H₃ =8 3 −12 (2.62)

(

2

)

2 1

exp − y

Fungsi gelombang u_{n( )x} didapat dari perkalian H_{n( )y} dengan faktor

dan disubstitusikan ke persamaan (2.46) kemudian dinormalisasi 1

2 =

∫

∞ ∞ − dx u , sehingga diperoleh ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 4 2

1

0

2

exp m x

m

u c c

n h h ω π ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 4 2

3 4 1 1 2 exp 4 x m m

u c c

h h ω ω π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 4 2 2

1 2 2 exp 1 2 4 x m x m m

u c c c

h h h ω ω π ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 4 2 2

3 4 1 3 2 exp 3 2 9 1 x m x m m

u c c c

h h h ω ω ω π (2.63)

∑

∑

∞ = − ∞ = − = 0 / 0 / n kT E n kT E n n n e e E E (2.64) kT 1 =

β , maka persamaan (2.64) dapat dituliskan Jika diberikan

∑

∑

∞ = − ∞ = − = 0 0 n E n E n n n e e E E β β (2.65)

Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.65) digunakan substitusi

∑

∞ = − = 0 n E_n e

Z β (2.66)

yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, tenaga

rata-rata pada persamaan (2.65) menjadi

(

Z Z

Z

E 1 ln

β β ∂

)

∂ − = ∂ ∂ − = (2.67)

Persamaan (2.61) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.66) dan dihasilkan

∑

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 0 2 1 n n e Z ωβ h

∑

∞ = − − = 0 2 / n n e e hωβ hωβ

(

1 2 3 ...

)

2

/ + + + +

= −hωβ −hωβ − hωβ − hωβ

e e

e

e (2.68)

Jika hωβ>0, maka , sehingga bentuk deret pada persamaan (2.67)

dapat dituliskan menjadi

1

<<

−hωβ

22 ωβ ωβ ωβ ωβ h h h h − − − − − = + + + + e e e e 1 1 ...

1 2 3

dan fungsi partisi dapat dituliskan

ωβ ωβ h h − − − = e e Z 1 2 / (2.69)

Dengan substitusi persamaan (2.69) ke dalam persamaan (2.67)

diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar

(

Z

)

E ln β ∂ ∂ − =

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− − −} ∂ ∂ − = _ωβ ωβ β h h ln 1 e 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1 2 1 ωβ ω _h h e (2.70)

2.3 Osilator Harmonik yang Terganggu

Potensial osilator harmonik dengan massa yang mengalami gangguan

dapat dituliskan m 4 x δ 4 2 2 2 1 x x m

V = ω +δ (2.71)

sehingga persamaan Schrödingernya menjadi

Eu x u x m x u

m∂ + c + =

∂

− 2 2 4

2 2 2

2 1

2 ω δ

h

(2.72)

δ

dengan adalah tetapan yang bernilai sangat kecil sehingga dapat digunakan

teori gangguan untuk menentukan tingkat energi dasar dari potensial harmonik

Hˆ Teori gangguan dapat digunakan ketika operator Hamiltonian

menunjukan energi total potensial osilator harmonik yang terganggu dan

dituliskan sebagai

H H

Hˆ = ˆ0 + ˆ′ (2.73)

2 2 2

0

2 1 2

ˆ _{m x}

m p

H = + ω

dengan adalah hamiltonian tak terganggu dan

sebagai gangguan. Dalam kasus ini nilai eigen dan fungsi eigen dari

diketahui mengacu pada persamaan (2.61) dan (2.63).

4

ˆ _x H′ =δ

0

ˆ H

n

E₀ u_0n

Nilai eigen dan fungsi eigen diasumsikan berbentuk deret orde

0,1,2,… dalam gangguan n

E₀ u_0n

Hˆ . Sehingga persamaan (2.73) dapat dituliskan ′

kembali menjadi

H H

Hˆ = ˆ₀ + β ˆ′ (2.74) dengan β adalah konstanta, sehingga nilai eigen dan fungsi eigen dapat

dituliskan sebagai

n

E0 u0n

...

2 2 1

0 + + +

= n n n

n E E E

E β β (2.75)

...

2 2 1

0 + + +

= _{n n n}

n u u u

u β β (2.76)

Pada persamaan (2.75) dan (2.76) dapat dilihat bahwa pada saat orde nol nilai

eigen E_0n dan fungsi eigen u_0n tidak tergantung pada β. Persamaan energi nilai

eigen diberikan (Rae, 1985)

n n

n E u

u

Hˆ = (2.77)

24

(

Hˆ₀ +βHˆ′

)

(

u_0n +βu_1n +β2u_2n +...

)

=

(

E_0n +βE_1n +β2E_2n +...

)(

u_0n +βu_1n +β2u_2n +...

)

(

...

)

ˆ

2 2 1 0

0 u n + un + u n +

H β β + βH′

(

u_0n +βu_1n +β2u_2n +...

)

=

(

_{0 1} 2 ₂ ...

)

0n u n + un + u n +

E β β + βE_1n

(

u_0n +βu_1n +β2u_2n +...

)

(

_{0 1} 2 ₂ ...

)

...

2

2 + + + +

+ β E n u n βun β u n

(

H u n +H un +H u n +

)

(

H′u n + H′ un + H′ u2n

)

= 2 1

0 2

2 0 1 0 0

0 ˆ ˆ ...

ˆ _{β β β β β β β}

(

E_0nu_0n +E_0nβu_1n +E_0nβ2u_2n +...

)

(

2 ₂ ...

)

1 1

1 0

1 + + +

+ βEnu n βEnβun βEnβ u n

(

2 _{2 0} + 2 _{2 1} + 2 ₂ 2 ₂ +...

)

+...

+ β E nu n β E nβun β E nβ u n (2.78)

Persamaan (2.78) dapat dituliskan menjadi

Hˆ0u0_n = E0_nu0_n (2.79)

n n n n n

n H u E u E u

u

Hˆ′ 0 + ˆ0 1 = 0 1 + 1 0 (2.80)

Hˆ′u_1n +Hˆ₀u_2n = E_0nu_2n +E_1nu_1n +E_2nu_0n (2.81) Orde pertama dan orde kedua pada persamaan (2.79), (2.80), dan (2.81) adalah

faktor koreksi tingkat-tingkat energi dan fungsi eigen. Jika persamaan (2.79)

Faktor koreksi orde pertama persamaan (2.80) didapat dengan menunjukkan

(2.82) k

nk k

n a u

u₁ = Σ ₀

substitusi persamaan (2.82) ke (2.80) menghasilkan

k n k nk k n k nk k

n H a u E a u E u

u

Hˆ′ 0 + ˆ0Σ 0 = 0 Σ 0 + 1 0 (2.83)

dengan menggunakan relasi (2.79) persamaan (2.83) menjadi

(

)

nk

(

n k

)

n

k n

n u a E E u

E

Hˆ′− 1 0 =Σ 0 − 0 0 (2.84)

Persamaan (2.84) dikalikan dengan dan diintegralkan dengan diketahui

bahwa adalah orthonormal, sehingga dihasilkan n

u∗0

k u₀

nn

n H

E₁ = ˆ′ (2.85) dengan τ d u H u H _n n

nn ₀ ˆ 0

ˆ_{′ =}

∫

∗

(2.86)

Substitusi persamaan (2.61) dan (2.63) ke (2.86) dihasilkan tingkat energi

dasar dari potensial harmonik yang terganggu

dx x m m H x m m E ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

=

∫

4 2

1 2 4 1 10 2 exp ˆ 2 exp h h h h ω π ω ω π ω dx x m H x m m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 2

∫

2 2

1 2 exp ˆ 2 exp h h h ω ω π ω (2.87) Hˆ

dengan operator hamiltonian pada osilator harmonik yang terganggu adalah

4 2 2 2 2 2 2 1 2

ˆ _{m x x}

x m

H + ω +δ

∂ ∂ −

= h . (2.88)

Substitusi persamaan (2.88) ke (2.87) menghasilkan

26

Persamaan (2.89) dapat dituliskan menjadi

dx x m x m E ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

=

∫

∞ 2

0 4 2 1

10 2 exp

h h ω δ π ω

. (2.90)

2

α ω ₌ h

m

dengan y2=α2x2, maka persamaan (2.90) menjadi Jika dituliskan

( )

y dx x m E 2 0 4 2 1

10 2 ⎟ exp−

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ

∫

∞ π ω

h (2.91)

( )

2

4 4 h ω m y x =

Untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan dan

( )

dy

m

dx 1 ₁₂

h ω

= kemudian disubstitusikan ke persamaan (2.91) sehingga

menghasilkan

( )

( ) ( )

dy

m m

y y m

E _{2 12}

4 0 2 2 1 10 1 exp 2 h h

h δ ω ω

π ω

∫

∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

( )

y y dy m 4 0 2 2 2 2 2 1 exp 1 2

∫

∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ ω π h (2.92) P dP dy 2 =

Jika y4=P2 dan maka persamaan (2.92) menjadi

( )

p dP P P m E 2 exp 1 2 2 0 2 2 2 2 1 10

∫

∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ ω π h

( )

P P dP m 2 3 0 2 2 2 2 1 exp 1

∫

∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ ω π h (2.93)

Bagian integral persamaan (2.93) didefinisikan sebagai fungsi Gamma, dengan

π 4 3 2 3 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Γ sehingga didapat persamaan tingkat energi dasar untuk osilator

harmonik yang terganggu

δ ω2 2 2 10 4 3 m

E = h (2.94)

Persamaan (2.61) dan (2.94) dijumlahkan, sehingga didapatkan energi total

δ ω ω ₂2 ₂

4 3 2 1 m n

E_n ⎟h + h

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

= (2.95)

Substitusi persamaan (2.95) ke persamaan (2.64) menghasilkan

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + = ₋− 1 4 3 2 1 2 2 ωβ ωβ ω δ

ω h _h h

h

e e m

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah

penelitian studi pustaka.

3.2. Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku

yang berhubungan dengan termodinamika, mekanika kuantum, dan teori kinetik

gas yang terdapat di UPT Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3. Langkah-langkah penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan keadaan gas ideal,

persamaan keadaan gas real dan mekanika kuantum.

2. Menentukan energi rata-rata molekul gas yang dianggap

mengikuti potensial osilator harmonik dan potensial osilator

harmonik yang terganggu.

3. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real.

4. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah

dilakukan.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1Hasil Perhitungan

4.1.1 Persamaan Keadaan Gas Ideal

Sebagaimana dituliskan pada persamaan (2.70) bahwa energi rata-rata

osilator harmonik telah diketahui. Jika dituliskan

kT 1

=

β maka persamaan (2.70)

menjadi

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− +

=

1 1 2

1

kT

e

E hω _hω (4.1)

Deret _ehωkT _{pada persamaan (4.1) diekspansikan menjadi}

... 2

1 1

2 2

2 2

+ +

+ =

T k kT

ehωkT hω h ω _(4.2)

Pada suhu tinggi

(

kT >> hω

)

deret _ehωkT _{pada persamaan (4.1) dapat didekati}

dengan

kT ehωkT ≈₁+hω

sehingga persamaan (4.1) dapat dituliskan menjadi

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + + =

1 1

1 2

1

kT E

ω ω

h h

30 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = 1 1 2 1 kT kT ω ω h h ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = kT ω ω h h 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ω ω h h kT 2 1

= + kT 2

ω h

(4.3)

Persamaan (4.3) dikalikan N_A dan didapat

kT N N

E

N_A = _A + _A

2 ω h atau 2 ω h A

A E N

N T

R = −

A N E ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 ω h (4.4)

sebab N_Ak = R.

Bilangan Avogadro

(

N_A

)

sebanding dengan volume

( )

V , atau

V K V K m

N_A ≈ = =

ρ ρ

ρ , sehingga persamaan (4.4) dapat dituliskan

V K E T R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 ω h (4.5)

Jika didefinisikan E ⎟K = P

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 ω h

T R V

P = (4.6)

yang merupakan persamaan gas ideal.

4.1.2 Persamaan Keadaan Gas Real

Energi rata-rata dari potensial osilator harmonik yang terganggu telah

diperoleh dan dituliskan pada persamaan (2.96). Pada suhu tinggi

(

kT >>hω

)

,

deret 1 − − − ωβ ωβ h h e e

pada persamaan tersebut menjadi

... 2 1 ... 2 1 1

1 2 2 2

2 2 2 + + − + + − = − − − β ω ωβ β ω ωβ ωβ ωβ h h h h h h e e

≈ − 1 +1

ωβ h ω h kT −

≈1 (4.7)

Substitusi persamaan (4.7) ke (2.96) menghasilkan

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + −} = ω ω δ ω h h h kT m E 1 4 3 2 1 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = ω ω δ ω h h h kT

m2 2 4 3 2 3 kT m − + = ω δ

ω 2₂

4 3 2

3 h

h (4.8)

persamaan (4.8) dikalikan N_A dan diperoleh

kT N N m N E

N_A = _A + _A− _A

ω δ

ω 2₂

32

N RT

m N

E

NA = A + _ω A−

δ

ω 2₂

4 3 2 3 h h A A N m N E RT ω δ ω 2 2 4 3 2 3 h

h ⎟ +

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

= (4.9)

Diketahui

v m

=

ρ dan 1_{2 2}1 ₂

v

m = ρ sehingga persamaan (4.9) dapat dituliskan

A A A N v N E N RT ω ρ δ

ω ₂2₂

4 3 2

3 h

h − +

= V K v E _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −

= ₂ 2_{2 2}

4 3 2 3 ω ρ δ ω h

h (4.10)

Untuk memudahkan perhitungan, dituliskan hω−E = x 2

3

dan _{2 2} = y

2 4 3 ω ρ δ h ,

sehingga persamaan (4.10) menjadi

V K v y x RT ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ₂ V v Ky Kx ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊

= ₂ (4.11)

Jika Kx = p dan Ky = a, maka diperoleh

V v a p RT ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ₂ atau v v a p RT n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

= ₂ (4.12)

sebab

Untuk n=1 persamaan (4.12) menjadi persamaan gas real pada saat b =0

v v

a p

RT ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

= ₂ (4.13)

4.2 Pembahasan

Sebagaimana yang telah dituliskan dalam buku-buku teks (Halliday dan

Resnick,1987 ; Sears dan Salinger, 1975 ; Nainggolan, 1978) persamaan keadaan

gas ideal adalah . Dengan menggunakan pendekatan teori kinetik gas

dan menganggap potensial atom mengikuti potensial osilator harmonik dapat

dihasilkan persamaan gas ideal.

nRT PV =

Persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menganggap potensial

atom gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu. Dari persamaan

(4.13) terlihat bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan gas van der waals

untuk keadaan . Nilai tetapan a dan b untuk beberapa gas real disajikan

pada Tabel 4.1.

0

=

b

Tabel 4.1 Nilai tetapan a dan b untuk beberapa gas

real (Sears dan Salinger, 1975)

Gas

a

(J m3 kilomol-2)

b

(m3 kilomol-1)

He 3

10 44 .

3 × 0.0234

H2 24.8×103 0.0266

34

CO2 366×103 0.0429

H2O 580×103 0.0319

Hg 3

10

292× 0.0055

Persamaan (4.13) berlaku untuk gas real pada saat p dan v sangat besar dengan b

BAB V

PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian

ini dapat diperoleh kesimpulan bahwa

1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dapat diperoleh dengan

menggunakan konsep mekanika kuantum.

2. Persamaan gas ideal diperoleh dengan menganggap potensial molekul gas

mengikuti potensial osilator harmonik.

3. Persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menganggap potensial

molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.

5.2 Saran

Persamaan gas real yang dihasilkan pada penelitian ini menggunakan

anggapan bahwa potensial molekul gas berbentuk potensial osilator harmonik

terganggu dengan menambah faktor pada potensial molekul gas. Perlu

dilakukan penelitian lebih lanjut pada faktor gangguan potensial yang ordenya

lebih tinggi untuk mengetahui pengaruhnya terhadap persamaaan gas real.

4

x δ

DAFTAR PUSTAKA

Bradbury, T. C., 1984, Mathematical Methods with Applications to Problem in

the Physical Sciences, Canada: Addison–Wesley Publishing

Company.

Halliday, D., dan Resnick, R., 1987, Fisika Edisi ketiga Jilid I, Jakarta : Erlangga.

Mandl, F., 1988, Statistical Physics, Manchester : John Wiley & Sons.

Nainggolan, W.S., 1978, Thermodinamika, Bandung: Penerbit Armico.

Omar, M. A., 1975, Elementary Solid State Physics, Massachussets : Addison–

Wesley Publishing Company.

Rae, I. M. A., 1985, Quantum Mechanics, British : ELBS.

Rahayu, S. I., 2001, Teori Kinetik Gas, Jakarta : Departemen Pendidikan

Nasional.

Sears, F. W., dan Salinger, G. L., 1975, Thermodynamics, Kinetic Theory, and

Statistical Thermodynamics, Massachusetts : Addison-Wesley

Publishing Company.

Zemansky, M. W., dan Dittman, R. H., 1981, Heat and Thermodynamics, New

York : McGraw-Hill Book Company.

LAMPIRAN Persamaan Schrödinger L.1 Persamaan Schrödinger Bergantung Waktu

De Broglie mengatakan, partikel bermassa yang bergerak dengan laju

akan mempunyai panjang gelombang

m

v

p h

=

λ (1)

dengan adalah konstanta Planck dan h p adalah momentum linier partikel.

Pada kasus partikel bebas non relativistik, hubungan antara energi dan

momentumnya diberikan oleh

m p E

2

2

= (2)

Untuk partikel yang bergerak dan memiliki potensial V

( )

x, , energi totalnya sama t

dengan jumlah dari energi kinetik dan energi potensial. Secara umum persamaan

(2) menjadi

V m p E = +

2

2

(3)

Energi sistem fisis menurut mekenika kuantum diberikan oleh

Ψ =

Ψ H

E ˆ (4)

dengan E adalah nilai eigen,Hˆ adalah operator hamiltonian, dan adalah

fungsi eigen. Jika operator energi, momentum, dan posisi diberikan oleh

Ψ

t i E

∂ ∂ ≡ h

x i px ∂ ∂ −

≡ h (5)

sehingga persamaan (3) dapat dituliskan

Ψ + ∂ Ψ ∂ − = ∂ Ψ ∂ V x m t i ₂ 2 2 2 h

h (6)

yang disebut persamaan Schrödinger bergantung waktu

L.2 Persamaan Schrödinger Tak Bergantung Waktu

Operator hamiltonian Hˆ merupakan jumlah dari energi kinetik dan energi

potensial

V K

Hˆ = ˆ + ˆ (7) dengan Kˆ adalah operator energi kinetik dan V adalah operator energi potensial.

Jadi persamaan (3) dapat dituliskan menjadi ˆ V m p H ˆ 2 ˆ

ˆ ₌ 2 _{+ (8)}

Substitusi persamaan (8) ke (5) yang telah dikenakan pada fungsi gelombang

menghasilkan Ψ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ∂ Ψ ∂ V m p t i 2 2

h (9)

Kedua ruas persamaan (9) merupakan energi sehingga untuk menentukan

persamaan Schrödinger dilakukan teknik pemisahan variabel

( ) ( ) ( )

x t = u x T t

Ψ , (10)

Dengan substitusi persamaan (6) ke (10) dan dibagi dengan Ψdihasilkan

V x u m u t T T i + ∂ ∂ − = ∂ ∂ 2 2 2 2 1 1 h

Ruas kanan persamaan (11) hanya bergantung pada posisi, sedangkan ruas kirinya

hanya bergantung waktu. Dengan demikian kedua ruas dapat dikatakan sebagai

tetapan. Jika tetapan ini disebutE, maka akan didapatkan persamaan yang saling

bebas

ET t T

i =

∂ ∂

h (12)

dan

( )

xu Eu V

x u

m ∂ + =

∂ − 2 2₂

2

h