TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN

KALKULUS2

S1- Teknik Industri

Outline

• Integral Parsial

• Integral Fungsi Trigonometri

• Substitusi Trigonometri

• Integral Fungsi Rasional

Contoh : Hitung

1. Integral Parsial

Formula Integral Parsial :

 u dv  uv   ^{v du}

Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhana

 ^xe

^x

^dx

 e

^x

 C

misal u = x, maka du=dx

dv  e

^x

dx  v   ^e

^x

^{dx  e}

^x

sehingga

 ^xe

^x

^{dx  x e}

^x

^  ^e

^x

^{dx  x e}

^x

Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali Contoh:

(i) Misal

u  x

²

dv = sinxdx

du = 2xdx V=-cosx

 ^x

²

^{sin x dx  x}

²

^{cos x  2}  ^{x cos xdx}

Integral parsial

(ii) Misal u = x

dv = cosx dx

du = dx v = sinx

 x

²

cos x  2(x sin x   ^{sin x dx)}

 x

²

cos x  2x sin x  2cos x  C

Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan

Hitung:

 ^e

^x

^{cos xdx}

Jawab :

 ^e

^x

^{cos xdx}

Integral parsial

(i) Misal

u  e

^x

dv=cosxdx (ii) Misal

u  e

^x

dv = sinxdx

du  e

^x

dx

v=sinx

du  e

^x

dx

v=-cosx

 e

^x

sin x   ^e

^x

^{sin xdx}

 e

^x

sin x  (e

^x

cos x   ^e

^x

cos xdx)  C

 e

^x

sin x  e

^x

cos x   ^e

^x

cos xdx)  C

Integral yang dicari bawa keruas kiri

2  ^e

^x

^{cos xdx  e}

^x

^{sin x  e}

^x

^{cos x  C}

 ^e

^x

^{cos xdx }

¹

^(e

^x

^{sin x  e}

^x

^{cos x)  C}

Soal latihan

Hitung

1.

2.

3.

 ^{ln x dx}

 ^{x ln xdx}

 ^{ln(1 x}

²

^)dx

4.

 ^sin

^1

^xdx

 ^tan

^1

^xdx

 ^{x tan}

^1

^xdx

5.

6.

2. Integral Fungsi Trigonometri

Bentuk :

 ^cos

ⁿ

x dx &  ^sin

ⁿ

^{x dx}

* Untuk

n

ganjil, Tuliskan :

sin

ⁿ

x  sin x sin

^n1

x dan ^cos

ⁿ

x  cosx cos

^n1

x

dan gunakan identitas

sin

²

x  cos

²

x  1

* Untuk

n

genap, Tuliskan :

sin

ⁿ

x  sin

²

xsin

^n2

x dan cos

ⁿ

x  cos

²

x cos

^n2

x

dan gunakan identitas

cos 2x  2 cos

²

x  1  1  2 sin

²

x

 ^sin

³

^{xdx  sin} 

²

^{x sin xdx}

^

^{ }

^{1cos x2}

^

^d

^

^cosx

^{  cos x }

¹³

^{cos x  C}

³

Hitung integral berikut:

 ^sin

³

^{x dx}

 ^sin

⁴

^{x dx}

Jawab 1.

2.

1.

2.



^{sin 4 x dx }



^{sin 2 x sin 2x dx}

_

1 cos2x 1 cos2x^{)( )dx}

2 2

 (



 1 (1 2cos2x  cos 2x)dx 4

2  ( dx 2 cos2x dx ₄¹

  

^{1 cos4x}₂ ^dx)

 1 x  1 sin 2x  1 x  1 sin 4x  C

4 4 8 32  3 x  1 sin 2x  1 sin 4x  C

8 4 32

Contoh

gunakan identitas

identitas

• Bentuk

 ^sin

^m

^{x cos}

ⁿ

^{x dx}

a). Untuk

n

atau

m

ganjil, keluarkan sin

x

atau cos

x

dan

sin

²

x  cos

²

x  1

cos 2x  2 cos ² x  1  1  2 sin ² x

b). Untuk

m

dan

n

genap, tuliskan

sin

^m

x dan cos

ⁿ

x

menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan

 ^sin

³

^xcos

²

^{xdx }  ^sin

²

^xcos

²

^{xsin xdx  }   ^{1 cos}

²

^x  ^cos

²

^{xd  cosx }

    ^cos

²

^{x  cos}

⁴

^x  ^{d  cosx }

 1

cos ⁵ x  1

cos ³ x  C

5 3

Contoh:



sin2 x cos2 x dx 



1 cos 2x 1 cos 2x 2 2 dx

 14



^{(1 cos2 2x)dx } ₄¹⁽



^{11 cos 4x}₂ ^{) dx}

 1



^{dx 1}



^{cos 4x dx}

8 8

 1 _{x } 1 _{sin 4x  C} 8 32

tan

²

x  sec

²

x 1 , cot

²

x  csc

²

x 1

 ^tan

^m

^{x sec}

ⁿ

^{xdx dan}  ^cot

^m

^xcsc

ⁿ

^xdx

.

Bentuk

Gunakan identitas

serta turunan tangen dan kotangen

d(tan x)  sec

²

x dx , d (cot x)   csc

²

x dx

Contoh:

  ^tan

²

^{x tan}

²

^{x dx }  ^tan

²

^x(sec

²

^1)dx

  ^tan

²

^{x sec}

²

^{xdx }  ^tan

²

^xdx

  ^tan

²

x d (tan x)   ^(sec

²

^{x 1)dx}

 tan

³

x  tan x  x  C

a.

 ^tan

⁴

^xdx

 1 tan

⁵

x  1 tan

³

x  C

5 3

b.

 ^tan

²

^{x sec}

⁴

^{x dx }  ^tan

²

^{x sec}

²

^{x sec}

²

^xdx

  ^tan

²

^{x(1 tan}

²

^{x)d(tan x)}

  ^tan

²

^{x  tan}

⁴

x d (tan x)

Soal Latihan

Hitung integral trigonometri berikut:

 ^sin

⁴

^{x cos}

⁵

^{x dx}

 ^tan

⁴

^{t sec}

²

^{t dt}

 ^sec

⁴

^xdx

 ^cot

²

^{w csc}

⁴

^{w dw}

 ^csc

³

^{x dx}

1.

2.

3.

4.

5.

3. Substitusi Trigonometri

a

²

 x

²

x  a sin t

 ^{25 x} _x

^{2 2}

dx

 _x

2

dx 25 x

²

a. Integran memuat bentuk  misalkan

Contoh Hitung

Misal

x  5sint

dx = 5 cost dt

 25sin

²

t

25  25sin

²

t 5cost dt

costdt 5sin

²

t



 ^{25(1 sin}

²

^t)

 ^  _sin ^cos

^{2 2}

_t ^t dt  cot t dt 

²

  ^(csc

²

t 1)dt   cott  t  c

5 x t

25  x²

  x  sin ( ) C 5

25  x

² 1

x

a²  x²

x

²

25 x

²

x

²

25 x

²

 ^{1 dx}

b. Integran memuat bentuk  misalkan

x  a tan t

Contoh Hitung

 ^{1 dx}

  _{25 tan}

₂

t 25  25 tan

²

t 5sec

²

t dt

25 tan t sect 

²

2

 1 sec t dt

 



₂

dt 

25 sin

²

t 1 d(sin(t)) 25 sin t

1 cost

  25sin t 1

x t

 C    C

25x 25 x

²

Misal

x  5 tan t

dx  5sec

²

t dt tan t  x 5

25  x²

x²  a²

25 x

²

x

²

 ¹  25 ^dx x

²

x

²

c. Integran memuat bentuk  misalkan

x  asect

Contoh Hitung

 ^{1 dx}

25sec

²

t 25sec

²

t  25

  5 sect tan t dt

25 sec

²

t tan t  sect dt  1 ^{cost dt} 25 sec t 25 

 1  sect tan t dt

 1

2

25

x

x²  25

t 5

 1 sin t  C  C

25x

x

²

 25 

5

Misal

x 5 sect

dx  5sect tan t dt

sect  x

Soal Latihan

Hitung integral berikut:

9  x² dx

2 dx 2x  3

4  x





 x

²

4  x

²

dx

x x²  9



^dx

 16 x

²

x

²

dx

dx



^{x2  9}



^3/2

x²  2x  5



^{3x dx}

5  4x  x²dx

x

²

 2x 2

 ^{2x  1 dx}

1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.



9.

x

²

Substitusi Bentuk Akar

u  x

n

a x  b u 

ⁿ

ax  b

dx 2  2 x



2  2u u 1 du

  ^{2udu }  ^u

 x  ln  ^{1 x}  ^{ C}

Integran memuat  misalkan

Contoh Hitung

Misal

u

²

 x

Dengan turunan implisit

2u du  1 dx

^dx=2udu

Jawab :

dx

2  2 x





 u 1 1 u 1 du

 _{u 1}

 (1 1 )du

 u  ln(u 1)  C

 ^x

³

^{x  4 dx}

x

²

 2x x  1 dx



 _{t  1} ^{t dt}



^{t dt}

 ^{x x 1 dx}

3t  4

 ^{x(1 x)}

^{2 / 3}

^dx

Soal Latihan

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

6.

4. Integral Fungsi Rasional

• Integran berbentuk fungsi rasional:

• Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu:

1. Faktor linear tidak berulang.

2. Faktor linear berulang.

3. Faktor kuadratik tidak berulang.

4. Faktor kuadratik berulang.

Kasus 1 ( linier tidak berulang )

Misal maka,

   ^b  ^{a x}

Q x  a x 

_{1 1}



₂

^{ b}

₂

 ^...  ^a

_n

^{x  b}

_n



Q^P

 

xx

 

_ A₁ A₂ A_n a₁ x  b₁  a₂ x  b₂  ...  a_n x  b_n

dengan

A1, A2 , ...,, An

adalah konstanta yang dicari

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)  Derajat P(x)<Q(x)

x 1 dx

 _x

²

_9

 B  A(x 3) B(x 3) (x  3)(x  3)

 x3   x3 

x x 1  A

²

9

 _

_x3²

_

 _

_x3

_

dx 13 dx



_xx 1² _9 Contoh Hitung Jawab

 9  (x  3)(x  3)

Faktorkan penyebut :

x

²

x 1A  ^x3  ^B  ^x3 

^



^{A B}



^{x }



^3A3B



Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan A +B =1 x3

-3A+3B=1 x1 3A +3B=3

-3A+3B=1 +

6B=4 B=2/3 ,A=1/3

Sehingga

3 dx



3

ln | x  3 |  ln | x  3 | C 2 1

3

1 dx



^{x  2}



²



^{x 1}





Q  _x    ^a i x  b _i  ^p

p i i

i i i i

i i

A

_p

Q  ^x   ^{a xb}  ^  ^{a xb}   ^{a xb} 

^{p 1}

^  ^{a xb} 

A

_{p 1}

2

A

₂

P  ^x  _ ^A

₁

_...



  C

 ^x1 

B

1 A

 ^x2 

²

 ^x1   ^x2   ^{x 2} 

²

Kasus 2 Linear berulang

Misal Maka

dengan konstanta

A

₁

,A

₂

,...,A

_p1

,A

_p akan dicari

Contoh Hitung Jawab

1  A(x  2)(x 1)  B(x 1)  C(x  2)

²

 ^x2 

²

 ^x1   ^{x 2} 

²

 ^x1 

1 A(x  2)(x 1)  B(x 1)  C(x  2)

²

1 (A  C)x

²

 (A  B  4C)x  (4C  2A  B)

Penyebut ruas kiri = penyebut ruas kanan

A+C=0 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1

A+B+4C=0

-2A-B+4C=1 + -A+8C=1

A+C=0

-A+8C=1 + 9C=1

B=-1/3 A=-1/9 C=1/9

 _{ x2} ¹ _ ^{dx  1} ₉  _{ x1} ¹ _ dx dx 1

1

9  _{ x2  3}

dx 1 1

 _{ x2 }

²

_{ x1 }

2

 1 ln | x 1| C

  1 ln | x  2 |  1

 b₂ x  c₂



^...



^{an x2  bn x  cn}



Q ^P  x 

 x 

 A

₁

x  B

₁

 a

₁

x

²

 b

₁

x  c

₁

A

₂

x  B

₂

a

₂

x

²

 b

₂

x  c

₂

A

_n

x  B

_n

a

_n

x

²

 b

_n

x  c

_n

 ... 

Kasus 3 Kuadratik tak berulang

Misal

Q



x







^{a1 x2  b1 x  c1}



^{a2 x2}

Maka

Dengan

A

₁

,A

₂

,...,A

_n

, dan B

₁

,B

₂

,...,B

_n konstanta yang akan dicari

Contoh Hitung



_x



^{x dx2  1}



1  

  ^{x A}  ^{BxC x}

²

^1 

x x

²

1

^1



(Bx  c)x

x



^{x 2 1}



 A



^x2

Jawab

 cx  A 1  (A  B)x

²

1  A  ^x

²

^1   (Bx  c)x

A+B=0 C=0 A=1

B=-1

 _x  ^{x 1}

²

^1  ^{dx }  ^{1 dx x}   ^x

²

^{x 1}  ^dx



 

^{x2 x1}



^{dx  x2 x1 d(x}_2x^21)

2

2 x

²

1

 1  ^{d(x 1)}

 ln | x |  1 ln(x 2

²

1)  C

  

^{a xi i i}



^p

Q x  ²  b x  c

p

i i

i i

i i

i i

i i i

i

^  ^{a x b xc}   ^{a x b xc}  ^  ^{a x  A}

^p

^{xB b x}

^p

^c 

Q ^P   ^{ x x  }  ^{a x  A}

²¹

^{xB b xc}

¹

 ^A

²²

^xB

^{2 2}

^{... A}

^2p1

^xB

^{p1p1 2}

A₁,A₂,...,A_p1,A_pdanB₁,B₂,...,B_p1,B_p

Kasus 4 Kuadratik berulang

Misal Maka

Dimana konstanta yang akan dicari

2 2 dx 6 x²  15x  22



^{x  3}

 

^{x  2}



Contoh Hitung 

6x

²

15x 22 A BxC DxE

 ^x3   ^x

²

^2 

²

^{  x3  }  ^x

²

^2  ^  ^x

²

^2 

²

 A  ^x

²

^2 

²

^{ (BxC)}  ^x

²

^2   ^x3   (DxE)(x  3)

 ^x3   ^x

²

^2 

²

Jawab :

6x

²

15x  22  A  ^x

²

^2 

²

^{ (BxC)}  ^x

²

^2  ^{ x3 }  (DxE)(x  3) 6x

²

15x  22  (A  B)x

⁴

 (3B  C)x

³

 (4A  2B  3C  D)x

²



(6B  2C  3D  E)x  (4A  6C  3E)

Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh A+B=0

3B+C=0

Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3 D=-5, E=0

dx   _{ x3} ^{1 dx} _   ^{x x3 dx 5}

²

^2    ^x

²

^{2 x} 

²

^dx

 _ ^6x _{x3 }  ^x

²

^2 

²

2

15x22

  x  3 2 x  2 dx  1 2x 

²

dx 3  _x

²

^{dx  5}  2 2 (x  2) 

²

^2x

²

dx 2

3

2  C.

2(x

²

 2) 2 

tan   



 x  5

 ln | x  3 |  1 ln(x

²

 2) 

^1

4A+2B+3C+D=6 6B+2C+3D+E=-15 4A+6C+3E=22 Sehingga

Catatan jika

dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga

der(P(x))  der(Q(x)) , bagi terlebih P(x)  H (x)  S(x) , der(S(x))  der(Q(x))

Q(x) Q(x)

Contoh Hitung

 4 dx

 ^x

³

^{ 2x} _x

^{2 2}

^{ x  4}

Der(P(x))=3>der(Q(x))=2

 4 x

²

Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x) x +2

x

³

 2x

²

 x  4 x

³

 4x

2x

²

 5x 4

2x

²

 8

5x+4

 4

 4 x

²

5x 4 x  2 

x

²

 2x

²

 x  4 

x

³

 A  B x

²

 4 (x  2)(x  2) (x  2) (x  2) 5x 4  5x  4

 A(x  2)  B(x  2) (x  2)(x  2)

5x  4  A(x  2)  B(x  2)

………..(*)

Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk Untuk x=2 dan x=-2

Untuk x = 2 Untuk x = -2

5.2+4=A(2+2) 5.(-2)+4=B(-2-2)

A=7/2 B=3/2

dx   (x  2)dx 

2  _{x  2} ^{dx } ₂  _{x  2} ^dx

 ^x

³

^{ 2x} _x

²²

 4 ^{ x  4 7 1 3 1}

Dengan menggunakan hasil diatas :

 1 x

²

 2x  7 ln | x  2 |  3 ln | x  2 | C

2 2 2

2x  1



₂ ^dx

x  6x  18

 (x  5) (x 1)

1 dx

2

 ^5x _x

^{2 3}

^{ 3x  2} _{ 2x}

²

dx

 _x(x

²

^dx _{ 1)}

²

2x²  3 x  36

 

^{2x  1}

 

^{x2  9}



^dx

 _x

³

^x _{ 3x}

²

^{ 2x}

²

_{+ 4} ^dx

 5x  6 dx

 _x

²

^x

³

^{ x}

²

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Soal Latihan

Hitung