145
XI. BALOK ELASTIS STATIS TAK TENTU 11.1. Balok Statis Tak Tentu
Dalam semua persoalan statis tak tentu persamaan-persamaan keseimbangan statika masih tetap berlaku. Persamaan-persamaan ini adalah penting, tetapi tidak cukup untuk memecahkan persoalan tak tentu. Berbagai persamaan tambahan dibuat berdasarkan pertimbangan geometri dari deformasi.
Dalam sistem struktur dari kebutuhan fisis, unsur-unsur atau bagian-bagian tertentu haruslah berdefleksi bersama, memelintir bersama, memuai bersama, dan seterusnya atau sama-sama tetap stasioner. Dengan merumuskan pengamatan- pengamatan demikian secara kuantitatif memberikan persamaan-persamaan tambahan yang diperlukan.
Suatu balok dikatakan statis tak tentu bila jumlah reaksi-reaksi pada balok yang tidak diketahui melebihi jumlah persamaan kesetimbangan yang digunakan
146
pada sistem. Sehingga persamaan kesetimbangan perlu dilengkapi dengan menambahkan persamaan dari deformasi balok.
Pada sistem statis tertentu (statically determinate) hanya terdapat pembebanan secara aksial pada struktur sederhana.
11.2. Tipe-tipe Balok Statis Tak Tentu
Beberapa tipe umum dari balok statis tak tentu seperti terlihat pada Gambar 11.1. Walaupun perubahan luas susunan yang terdapat di lapangan, empat diagram berikut akan menggambarkan secara alamiah sebagai sistem tak tentu. Pada balok di bawah ini reaksi dari setiap bentuk adalah sebuah sistem gaya pararel dan oleh karena itu terdapat dua persamaan keseimbangan statis. Demikian penentuan reaksi di setiap kasus yang memerlukan penggunaan persamaan tambahan yang berasal dari deformasi dari balok.
(a) (b)
(c) (d) Gambar 11.1.Tipe-tipe balok statis tak tentu
147 Persamaan pelengkap pada tipe balok gambar a dan c, dapat dicari dengan menggunakan teorema momen-area. Tipe balok b lebih baik dengan menggunakan metode fungsi singularitas. Sedangkan pada tipe-balok d biasanya menggunakan teorema tiga-momen.
Sebagai contoh perhatikan gambar berikut:
2 2 2
1 1 1 2
2 1 1
6 2 6
L b A L
a L A
M L L M L
M
A
B
C
Dimana,
MA,MB,MC = momen pada titik A, B dan C L1, L2 = panjang spin
A1,A2 = luas diagram momen
a
1,b
2 = jarak centroid pada masing-masing diagram momen dari A sampai C148
Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya
1. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah ini.
Jawab:
0 2
2 R
1wL R
1wL F
v
...(1) 0
4 2 2
3
2
3 1 1
2 1
1
wL L
L L M L L
L R L
Substitusi R1 dari persamaan (1), diperoleh:
12
2
1
wL
M
2. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok yang ditunjukkan oleh gambar dibawah.
Jawab:
2
21 2
1 1
1 2 1
M x R x P x a R x L M x L x
w
2
10 2
0 0
1 1 1
M x R x P x a R x L M x L x
v
149
1
0 1
1
1 2
1 2
0 22dx y EI d L
x M L x R a x P x R x M x
M
11 2
2 2 2 1 2
1
1
2 2 R 2 x L M x L C
a P x R x
x dx M
EI dy
.. (a)
2 1
3
3 2
2 21
2 6
6
2 M x L C
a P x R x
M x
EIy
... (b)Substitusi x = L ke persamaan (a) dan (b)
2 0 2
2 2 1 1
Pb L L R
M
... (c)6 6 0 2
3 3 1 2
1
L R L Pb
M
... (d)Dari (c) dan (d) diperoleh
2 2
1
L
M Pab
1 222
3 2L Pab L
R Pb
2 0
3 2 2
2
2
R P
L Pab L
Pb
3 2
2 2
2
2 L
b Pa L
R Pa
3. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah.
150
Jawab:
w1=w2=w, L=L2=L, MA=MC=0
4 2 4
3 2 2 3 1 1 2
2 1 1
L w L L w
M L L M L
M
A
B
C
2 0 4 4
2 0
3
3
wL
L wL
M
B
8 wL
2M
B
wL wL R
wL L L
R
1 832
1
2 8
8wL R
2wL R
2 54wL
3
2 0
2
4. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah.
Jawab:
P1=P2=P, L1=L2=L, a1=b2=L/2, MA=MC=0
22
2 2 2
2 2 2
1 2 1 1
1 1 2
2 1
1
2 L b
L b a P
L L a L P
M L L M L
M
A
B
C
2 4 2 0 2 2
0 L
2L
2L P L L
M
B
PL M
B16
3
151
P
PL R L PL
R 16
5 16
3
2
11
P R
P P R
8 0 11
16 2
2 5
2
2
5. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah.
Jawab:
4 8 2 15
4 4 2 8 30
8 4 2 0
3 2
2 3
2
M M
5 . 22 240
3 M
2 M
3
kN m...(a) 8 3
3 2 2
2
5 2 . 5
55 5 . 2 25 4
8 0 15
5 8
2
M M
3 . 29 240 25
.
3
32
M
M
kN m...(b) Dari persamaan (a) dan (b) diperoleh M2= -66.72 kNm dan M3= -62.34 kNm 2 66 . 72 1 . 68
30
4 R
1 R
1
kN 1 . 68 8 30 10 15 8 4 62 . 34 87 . 2
12 R
2 R
2
kN 2 . 5 62 . 34 0
25
5 R
4 R
4
8 4 25 10 . 5 66 . 72 84 . 5 15
8 R
3 R
3
kN152
6. Tentukan reaksi gaya pada ujung-ujung balok berikut
Jawab:
kN
R
a L L
R Pb
25 . 6 3 6 2 6
2 3 10 20
2 2
3 3 2
1 3 2
1
kN
R
a L L
R Pa
75 . 13 9 36 3 6
2 3 10 20 2 3
2 3
2
2 2 2 2
kN
M
a L L
M Pa
5 . 22 9 36 6
2 3 10 20 2
2 3
1
2 2 1 2
7. Sebuah batang baja yang luas penampangnya 1000 mm2 dan panjangnya 400.06 mm dengan longgar dimasukkan ke dalam sebuah tabung tembaga seperti yang terlihat dalam gambar. Tabung tembaga mempunyai luas penampang 1500 mm2 dan panjang 400 mm. Bila suatu gaya aksial P = 125 kN diberikan pada tutup yang kaku, berapakah tegangan-tegangan yang akan terbentuk dalam kedua bahan? Anggaplah bahwa modulus elastis baja dan tembaga masing-masing adalah Es = 200 GPa dan Ecu = 120 GPa.
153 Jawab:
Dari statika:
P
s P
cu 125 kN
Dari geometri:u
s u
cu 0 . 06
AE u PL
06 .
0
cu cu
cu cu s s
s s
E A
L P E A
L P
1000 400 200 . 06 10
3P
s 1500 400 120 10
3P
cu 0 . 06
...(1)N
P
P
s 1 . 111
cu 30 . 000
...(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperolehN
P
cu 45000
danP
s 80000 N
Jadi,
MPa
A P
cucu
30
1500 45000
A MPa P
ss
80
1000 80000
8. Sebuah poros melingkar padat kuningan dipasang tetap pada kedua ujungnya dan dua momen puntir, T1 = 31.4 Nm dan T2 = 62.8 Nm bekerja padanya seperti yang terlihat pada gambar. Anggaplah bahwa bahan bersifat elastis linier dengan G = 40 GPa. Diameter d1 = 80 mm dan d2 = 67.3 mm. Tentukanlah
154
momen puntir pada A dan plot diagram-diagram momen puntir dan sudut puntir.
Jawab:
Statika:
T
A T
2 T
1 T
B 0
Geometri: 0
0 4 . 31
0 628
4 . 31
250 0 250
2 500
2 2
2
2
A B
B B B
B B
A
T
Nm T
T T T
G J T G
J T T G J T
9. Sebuah baut baja yang mempunyai luas penampang A1 = 1000 mm2 dipergunakan untuk menjepit dua buah cincin baja dengan tebal total L, masing- masing mempunyai luas penampang A2 = 900 mm2. Bila baut tersebut dalam susunan ini semula dieratkan agar tegangannya menjadi 150 MPa, berapakah tegangan akhir dalam baut ini setelah suatu gaya P = 100 kN dikenakan kepada susunan tersebut?
- +
0 31.4 0
T (Nm) 31.4
(rad)
0 + 0
155 Jawab:
Dari statika:
P I
c Y I
t X
Atau karena
P Y X
I I
c t
Dari geometri:
baut
cincinA X Y A E A
YL E A
XL
1 2
2 1
Tegangan akhir dalam baut:
A A P P kN
X P 0 . 1 10
9 1 /
1
2 1
10. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah.
Jawab:
EI EI
V EI
V
B P D287 . 86
8 7 . 2 9 30 . 6 0
7 . 2 9 30
. 0
4 3
156
Latihan Soal
1. Dengan menggunakan persamaan tiga momen, carilah momen MB yang tak diketahui di tumpuan B dari balok dua bentangan seperti terlihat pada gambar di bawah ini! Abaikan berat balok.
2. Hitunglah momen di tumpuan B dan C dari balok kontinu seperti terlihat pada gambar berikut ini! Abaikan berat balok.
3. Dengan menggunakan persaman tiga momen, hitunglah momen MB di tumpuan jepitan ujung B dari balok yang terlihat pada Gambar di bawah ini. Berat balok tidak diperhitungkan.
157 4. Carilah semua momen lentur yang tak diketahui di tumpuannya pada Gambar di
bawah ini!
5. Sebuah poros melingkar padat kuningan dipasang tetap pada kedua ujungnya dan dua momen puntir, T1 = 45 Nm dan T2 = 70 Nm bekerja padanya seperti yang terlihat pada gambar. Anggaplah bahwa bahan bersifat elastis linier dengan G = 50 GPa. Diameter d1 = 90 mm dan d2 = 70 mm. Tentukanlah momen puntir pada A dan plot diagram-diagram momen puntir dan sudut puntir.
158
