BAB I FUNGSI
Merupakan bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (Hub. Fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Unsur pembentuk fungsi : Variabel, Koefisien, Konstanta.
Fungsi : Fungsi persamaan
Fungsi petidaksamaan
Variabel
: unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan / mewakili faktor tertentudilambangkan berdasarkan kesepakatan umum.
Koefisien
: bilangan atau angka yag terkait / terletak di depan suatu variabel dalam sebuahfungsi.
Konstanta
: bilangan yang ikut membentuk sebuah fungsi namun berdiri sendiri tidak terkaitdengan variabel.
Bentuk umum y=f(x)
Contoh riil y=10+0,5x
Atau karena y=f(x) maka f(x)=10+0,5x
Jenis Fungsi
:- Fungsi aljabar : - Fungsi irasional - Fungsi rasional :
- Fungsi polinom, linear, kuadrat, kubik, dan fungsi pangkat - Fungsi non-aljabar (transeden) : - Fungsi eksponensial, logaritmik, trigonometrik, hiperbolik.
FUNGSI RASIONAL
Fungsi Polinom
Fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel. (y=a0+ a0+ a1 x+ a2x2+... +anxn)
Fungsi Linear
Fungsi polinom khusu yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. (y=a0+ a0+ a1 x)
Fungsi Kuadrat
Fungsi polinom yang pangkat tertingginya adalah dua. (y=a0+ a0+ a1 x+ a2x2)
Fungsi Kubik
Fungsi polinom yang pangkat tertingginya adalah tiga. (y=a0+ a0+ a1 x+ a2x2+ a3x3)
FUNGSI NON-ALJABAR
Fungsi eksponensial
Fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat daru suatu konstanta bukan nol. (y=nx)
Fungsi Logaritmik
Fungsi balik (invers) dari fungsi eksponensial variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik (y= nlog x)
Fungsi Trigonometri & Hiperbola
Fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan geometrik. - Trigonometrik : y= sin 5x
- Hiperbolik : y= arc cos 2x
BAB II FUNGSI LINEAR
Fungsi yang mempunyai variabel bebas paling tinggi berpangkal satu.
Digunakan untuk menggambarkan perubahan-perubahan yang cenderung semakin meningkat dari waktu ke waktu.
Asumsi nilai tetap dan nilai proporsionall yang positif.
Y = a + bx
Y = dependentvariabel a = konstanta
b = slope (kemiringan) x = independent variabel
KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU (SLOPE) Kemiringan / Slope / Koefisien
b = Y2 – Y1 = Y Y = mX + c aX + bY + c = 0 X2 – X1 X m = gradien m = -a/b
Titik potong sumbu / intercept / konstanta
Menghitung titik potong sumbu jika x=0 maka y= konstanta, misal Y = 12 - 3X Maka, tipot sumbu (0,12) dan (4,0)
Latitan Slope Latihan Intercept (6, -10) dan (10,12) y = 10 – 2x (-4,4) dan (8,8) y = -9 + 3x b = 12 +10 = 22 = 5,5
10 – 6 4 MEMBENTUK FUNGSI LINEAR
1. Metode dua titik (sistem koordinat kartesius) 2. Metode titik – koefisien garis (slope)
Bentuk Fungsi Linear Slope – Intercept y = mX + c
1. Metode dua titik
Diketahui 2 titik yaitu (X1 , Y1) dan (X2 , Y2) Y2 – Y1 Contoh : (-4,4) dan (8,8) X2 – X1 Y-4 = X+4 > Y-4 = X+4 8-4 8+4 4 12 12Y – 48 = 4X + 16 4X – 12Y + 64 = 0 Y = 1/3X + 16/3
2. Metode titik – koefisien garis
Satu titik dan satu kemiringan (gradien)
Yaitu (X1 , Y1) dan m. Contoh : (6,4) dan m= -2/3 Y – Y1 = m (x – x1) Y-4 = -2/3 (x-6)
Y-4 = -2/3x + 4
BAB III APLIKASI FUNGSI LINIER DALAM BISNIS
FUNGSI PERMINTAAN (DEMAND)Menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan variable lain diantaranya :
Harga barang itu sendiri
Harga barang lain yang berhubungan Pendapatan konsumen
Harga barang dimasa yang akan datang Selera konsumen
Biaya promosi
Dalam fungsi permintaan, harga produk itu sendiri yang dianggap paling penting dan variable lain diaanggap konstan
Law of demand : jika harga produk naik, maka jumlah permintaan produk berkurang dan sebaliknya. “Pnaik Qturun atau Pturun Qnaik”
Qd=a- bPd PEMBENTUKAN FUNGSI PERMINTAAN
P-P1 = Q-Q1 P2-P1 Q2-Q1
FUNGSI PENAWARAN (SUPPLY)
Menunjukkan hubungan anara jumlah produk yang ditawarkan produsen dengan variable lain yang mempengaruhinya diantaranya :
Harga produk itu sendiri Teknologi yang digunakan
Harga dari faktor produksi yang dipakai Harga produk lain yang berhubungan Harga produk dimasa yang akan datang
Variable harga produk tersebut yang dianggap paling penting sedangkan variable lain dianggap konstan. “Pnaik Qnaik atau Pturun Qturun”
Qs= -a+bPs
KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK
Equiblirium market tercapai jika jumlah produk yang diminta sama dengan jumlah produk yang ditawarkan atau harga produk yang ditawarkan produsen sama dengan harga produk yang diminta konsumen.
Jika belum ada kesepakatan antara produsen ke konsumen maka tidak akan terjadi transaksi. Qd = Qs Atau Pd = Ps
KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK
Interaksi fungsi permintaan dan fungsi penawaran pada pembahasan sebelumnya menyatakan bahwa jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan akan suatu produk hanya dipengaruhi produk itu sendiri.
Dikembangkan variable bebas yang tidak hanya faktor harga barang itu sendiri tetapi juga memasukkan variable harga barang lain
Misal ada barang X dan Y yang saling berhubungan dimana : Qdx = Jumlah yang diminta produk x
Px = Harga barang x
Qdy = Jumlah yang diminta produk y Py = harga barang y FUNGSI PERMINTAAN Qdx = ao - a1px + a2py Qdy = bo - b1px - b2py FUNGSI PENAWARAN Qsx = mo + m1px + m2py Qsy = -no + n1px + n2py KESEIMBANGAN PASAR
Qdx = Qsx dan Qdy = Qsy
Tahap :
1. menghilangkan variable Qdx dan Qsx dengan cara eleminasi begitu juga dengan Qdy dan Qsy 2. Kombinasikan hasil eleminasi untuk memperoleh nilai dari variable Px Py
3. Subtitusikan Px/Py pada fungsi permintaan produk X dan Y atau pada fungsi penawaran produk X dan Y untuk memperoleh nilai Qx dan Qy
PENGARUH PAJAK
Penjualan produk biasanya dikenakan pajak (sales tax) biasanya berupa pajak tetap.
Jika produk dikenakan pajak, maka harga akan naik dan akan mengurangi permintaan atau penawaran.
Rumus :
Before Tax : Qd= f(p) Qd = a-bp & Qs = -a + bp After Tax : Qs= f(p-t) Qd = a-bp & Qs = -a + b(p-t)
PENERIMAAN PAJAK OLEH PEMERINTAH (T) T = t x q
T = nilai pajak X q setelah pajak PAJAK YANG DITANGGUNG KONSUMEN (BPK)
BPK = (p setelah pajak - p sebelum pajak) X Q setelah pajak BPK = (Pt-pe) x Qt
PAJAK YANG DITANGGUNG PRODUSEN (BPP)
BPP = pajak diterima pemerintah - BPK
PENGARUH SUBSIDI
Pemberian subsidi dapat menurunkan harga sehingga permintaan akan meingkat dan keseimbangan pasar akan berubah.
Rumus :
Sebelum Subsidi = Pd = f(q) dan ps = f(q)
Sesudah Subsidi = Pd = f(q) dan ps = f(q) - subsidi Pd = Ps - subsidi atau Qd = Qs (P+ subsidi)
SUBSIDI YANG DIBERIKAN PEMERINTAH (S) S = nilai subsidi X Q setelah subsidi S = s X Qas
SUBSIDI YANG DINIKMATI KONSUMEN (SE)
Se = (P sebelum subsidi - P setelah subsidi) X Q setelah subsidi Se = (Pe-ps) X Qs
SUBSIDI YANG DI NIKMATI PRODUSEN (SP) Sp = S - Se
CONTOH SOAL
Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang Qd + P – 14 = 0 dan Qs – 2P = -10 a) Tentukan jumlah dan harga keseimbangan (ekuilibrium) fungsi permintaan dan fungsi penawaran! Qd + P – 14 = 0 dan Qs – 2P = -10 Qd = 14-P Qs = 2P-10 equilibrium Qd = Qs 14-P = 2P-10
24 = 3P P = 24/3 P = 8 Qd = 14-P Q = 14 - 8 Q = 6 E (8,6)
b) Jika setiap barang dikenakan pajak $ 3, berapakah jumlah dan harga keseimbangan setelah pajak?
Qd = 14-P Qs = 2P-10 TAX(t) $3 per unit
equilibrium Qd = Qs(P-t) 14-P = 2(P-3)-10 14-P = 2P-6-10 14-P = 2P-16 30 = 3P P = 10 Qd = 14-P Q = 14-10 Q = 4
c) Tentukan berapa pendapatan pajak pemerintah, serta hitunglah pajak yang dibebankan kepada konsumen dan produsen!
Pendapatan pajak pemerintah (T) T = t x Q(after tax)
T = 3 x 4 T = $ 12
Pajak yang ditanggung konsumen (BPK) BPK = (P after tax - P before tax) x Q after tax BPK = (10-8) x 4
BPK = 2 x 4 BPK = $ 8
Pajak yang ditanggung produsen (BPP) BPP = T - BPK
BPP = 12 - 8 BPP = $ 4
BAB IV FUNGSI NON LINEAR
FUNGSI KUADRAT Rumus :
Y = f(x) = ax2 + bx c
Y= Variable dependent X= Variable independent a&b= Koefisien c= Konstanta TITIK PUNCAK ( VERTEX)
Yaitu arah perubahan fungsi dan naik ke menurun atau sebaliknya. - titik palingbawah jika parabola terbuka keatas
- titik paling atas jika parabola terbuka ke bawah
Rumus : (Xp,Yp) = ( -b , -D ) Atau Xp = -b Yp = -(b2-4ac)
2a 4a 2a 4a TITIK KOORDINAT X Rumus : X1,2 = -b +/- b2- 4ac 2a
Notes
Pada fungsi Y = Pada fungsi X =
Jika Jika a < 0 terbuka ke BAWAH a> 0 terbuka ke ATAS a<0 terbuka ke KIRI a>0 terbuka ke KANAN CONTOH SOAL
Diketahui X = -2Y² + 24Y – 60 a=-2 b=24 c=-60 V = ( - (b² – 4ac)/4a, -b/2a) V = ( - (576 – 480)/-8, -24/-4) V = (12,6) Y = 0, X = -60 D = b2 – 4ac D = 242 – 4(-2)(-60) D = 576 – 480 D = 96 D > 0 Y₁₂ = (-b±√(b²2-4ac))/2a = (-24 ±√96)/-4) = (-24 ±4√6)/-4) Y₁ = 6 - √6 dan Y₂ = 6 + √6
Parabola terbuka ke KIRI karena a<0
BAB V APLIKASI FUNGSI NON LINEAR DALAM BISNIS
FUNGSI PERMINTAAN (DEMAND)
Fungsi non linear y = f(x) = ax2 + bx + c Rumus fungsi kuadrat permintaan
P = c + bQ - aQ2 Price berkurang jika quantity naik Q = c + bP - aP2 Quantity berkurang jika price naik
FUNGSI PENAWARAN (SUPPLY)
Rumus fungsi kuadrat penawaran : P = aQ2 + bQ + c
Q = aP2 + bP + c P = harga
Q = jumlah produk
A,b,c = Koefisien dan Konstanta
TOTAL REVENUE Misal Pd = 150 -3q
Pendapatan -> Total revenue (TR)
TR= P X Q Profit = TR - TC
TR = (150 - 3Q)Q TR Max --> Vertex TR = 150Q - 3Q2 TC Min --> Vertex
CONTOH SOAL
Dalam proses produksi perusahaan mengeluarkan biaya total TC = 200.000 + 50Q sedangkan pendapatan totalnya TR = 150Q.
Berapa jumlah barang yang diproduksi agar perusahaan mencapai titik impas ( Break Event Point)?
BEP terjadi ketika TR=TC TR = TC
150Q = 200.000 + 50Q 100Q = 200.000 Q = 2.000
TR(P) = 150Q P = 150(2.000) P = 300.000
Maka BEP terjadi ketika P=300.000 dan Q=2.000
b) Berapa jumlah barang yang harus dijual agar perusahaan memperoleh laba sebesar Rp 250.000,00? Laba = 250.000 Laba = TR - TC maka 250.000 = 150Q - (200.000+50Q) 250.000 = 150Q -200.000-50Q 450.000 = 100Q Q = 4500 unit PEMBUKTIAN L/R = TR - TC = 150(4.500) - (200.000+50(4.500)) = 675.000 - (200.000+225.000) = 675.000 - 425.000 = 250.000 LABA
BAB VI EKSPONENSIAL LOGARITMIK
FUNGSI EKSPONENSIAL
Semua konstanta dipangkatkan dengan variable independen suatu fungsi dimana konstantanya dipangkatkan dengan variable bebasnya dimana variable bebas merupakan pangkan.
Fungsi yang variabel bebasnya adalah eksponen disebut fungsi eksponen Y= 2x y = 5(x+6) y = 8(x-2)
>
Y= f(x) = bx Ciri-ciri :
A. Akan mendekati sumbu x tapi tidak sama dengan nol B. Nilai Y meningkat seiring dengan peningkatan nilai x
Misal : Y = 3x Y = 5
< <
Y = f(x) = bx Ciri-ciri :
A. Nilai dari fungsi Y akan mendekati sumbu X ketika X mendekati positif tak hingga B. Nilai Y akan Menurun seiring dengan kenaikan nilai X
Misal : Y = f(x) = 0,2x Y = F(x) = 0,4x
APLIKASI FUNGSI EKSPONENSIAL Bunga dibayar tahunan
F= P (1+t)
nBunga dibayar berkala
CONTOH SOAL
Ibu Dhania membuka deposito di Bank Ambara sebesar Rp 100.000.000,00 untuk jangka waktu 2 tahun dengan tingkat suku bunga 4% per tahun. Hitunglah pendapatan bunganya dan berapa nilai terakumulasinya?
RUMUS F = P (1+i)ⁿ F = Jumlah uang akhir
P = Jumlah uang awal i = Tingkat suku bunga n = Tahun (jangka waktu) Diketahui : P = 100.000.000 n = 2 tahun i = 4% = 0,04 maka F = 100.000.000 (1+0,04)² F = 100.000.000 (1,04)² F = 100.000.000 (1,0816) F= 108.160.000 (nilai akumulasi) Pendapatan bunga = F - P = 108.160.000 - 100.000.000 i = 8.160.000
