I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dewasa ini pemodelan matematika telah berkembang seiring perkembangan matematika sebagai alat analisis berbagai masalah nyata. Dalam pengajaran mata kuliah pemodelan matematika, salah satu hal yang ditekankan adalah bagaimana memformulasikan suatu masalah nyata (fenomena fisik) dalam formula matematika. Pemodelan biasanya direpresentasikan dalam sebuah persamaan diferensial. Kebanyakan mahasiswa jarang terdorong untuk menanggapi dengan kritis akan model matematika yang dibahas. Ada dua alasan penyebab hal ini, yakni:
1. Model telah memberikan representasi yang sangat baik dan telah sesuai dengan proses fisika.
2. Proses fisika yang dimodelkan cenderung tidak lepas dari pengalaman sehari-hari. Pada karya tulis ini akan dibahas satu topik masalah nyata yang bersifat kompleks, yakni fenomena arus lintas. Arus lalu-lintas merupakan salah satu fenomena yang dapat dideskripsikan melalui pemodelan matematika dalam model dinamik kontinu sehingga model matematika yang dipelajari akan direpresentasikan dalam sebuah persamaan diferensial biasa yang dapat diselesaikan dengan faktor pengintegralan.
Pada tulisan ini akan diberikan tiga model sederhana untuk arus lalu-lintas untuk menunjukkan bahwa sebuah persamaan diferensial biasa terdapat pada pemodelan arus
lalu-lintas serta menunjukkan adanya representasi yang berbeda pada konteks pemodelan yang sama.
Dalam hal ini, ada dua kategori model arus lalu-lintas untuk mendeskripsikan model arus lalu-lintas, yakni:
1. Model makroskopik, yaitu memodelkan arus lalu-lintas yang terjadi pada sejumlah besar kendaraan pada suatu ruas jalan, di mana pada model ini dapat dilihat parameter seperti kepadatan, kecepatan dan arus lalu-lintas.
2. Model mikroskopik, yaitu memodelkan perilaku pengemudi dalam berinteraksi dengan kendaraan lain di depannya pada suatu jalan lalu-lintas seperti model mobil pengikut (car-following). Pada model ini dapat dilihat parameter seperti posisi dan kecepatan.
Secara ideal, model makroskopik adalah kumpulan dari perilaku yang terlihat pada model mikroskopik.
1.2 Tujuan
Adapun tujuan karya tulis ini adalah 1. Mempelajari karakteristik arus lalu-lintas. 2. Menunjukkan bahwa sebuah persamaan
diferensial biasa dapat digunakan pada model makroskopik dan model mikroskopik arus lalu-lintas.
3. Membandingkan beberapa karakteristik arus lalu-lintas pada model makroskopik dan mikroskopik arus lalu-lintas.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan beberapa aspek teori arus lalu-lintas sebagai penunjang dalam memahami pembahasan pada bagian selanjutnya.
2.1 Teorema Dasar Kalkulus I
1. Jika , maka
2. Jika , maka
′ ′ ,
dengan adalah sebuah konstanta dan adalah suatu variabel.
[ Stewart, 2001]
2.2Aturan Rantai
Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, dan adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh
, maka dapat
didiferensialkan menjadi ′ yang diberikan oleh hasil kali
′ ′ ′ .
Dalam notasi Leibniz, jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
.
2.3 Deret dan Deret Geometri
Definisi Jumlah Deret Jumlah dari sebuah deret ∑
. diberikan oleh
,
dengan adalah jumlah parsial ke- dari deret tersebut. Jika barisan konvergen dan lim , dengan adalah suatu bilangan real, maka deret ∑ dikatakan konvergen dan dituliskan
. atau
.
Bilangan disebut sebagai jumlah dari deret tersebut. Jika tidak, deret tersebut dikatakan divergen.
[Stewart, 2001] Deret Geometri
Sebuah deret geometri diberikan oleh ,
dikatakan konvergen jika | | 1 dan jumlahnya adalah
∑ , | | 1. Jika | | 1, deret geometri ini divergen.
[Stewart, 2001] 2.4 Persamaan Diferensial Biasa
Definisi Persamaan Diferensial Biasa
Sebuah persamaan yang melibatkan sebuah fungsi dan turunan-turunannya seperti , , , … …
disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Persamaan diferensial orde ke- adalah sebuah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum
, , ′, , … . . , 0,
di mana adalah sebuah fungsi dari ,
′ ⁄ adalah turunan pertama terhadap
, dan ⁄ adalah turunan ke- terhadap .
[Farlow, 1994] Definisi Orde dan Derajat dari Persamaan Diferensial
Orde persamaan diferensial adalah turunan tertinggi yang terdapat pada persamaan. Sebagai contoh
3 2,
adalah persamaan diferensial orde pertama. Derajat dari persamaan diferensial adalah pangkat terbesar pada turunan tertinggi.
[Farlow, 1994] Definisi PDB Linear
Sebuah persamaan diferensial biasa orde ke- dikatakan linear jika dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan
,
0 .
Fungsi-fungsi , , … ,
disebut sebagai koefisien-koefisien dari persamaan diferensial. Jika adalah fungsi konstan untuk semua 0,1,2, … , , maka persamaan diferensial dikatakan memiliki koefisien konstan. Selalu diasumsikan bahwa fungsi kontinu dan
0 dengan interval tertentu pada persamaan yang didefinisikan. PDB linear dikatakan homogen jika 0 dan tak- homogen jika 0.
Persamaan diferensial biasa yang tidak dapat ditulis seperti bentuk umum di atas disebut persamaan diferensial biasa taklinear.
[Farlow, 1994] Solusi PDB Linear Orde Pertama
Bentuk umum PDB linear orde pertama diberikan oleh:
′ ,
dengan , dan adalah sebarang fungsi dalam .
Solusi PDB di atas diberikan oleh: 1
dengan disebut sebagai faktor pengintegralan dan adalah konstanta pengintegralan.
[Farlow, 1994] 2.5 Teori Arus Lalu-Lintas.
Teori arus lalu-lintas merupakan alat yang membantu para peneliti di bidang transportasi untuk memahami dan menjelaskan sifat-sifat arus lalu-lintas. Sebagai wawasan tentang transportasi dan lalu-lintas, berikut ini diberikan beberapa aspek dari teori arus lalu-lintas.
2.5.1 Cara Pengukuran
yang bertujuan untuk memperoleh data lalu-lintas. Terdapat lima cara pengukuran, yaitu: a. Pengukuran pada Titik
Pengukuran pada titik dengan menggunakan sebuah alat yang dinamakan hand tallies adalah metode yang mula-mula digunakan dalam mengumpulkan data lalu-lintas. Metode ini mudah digunakan untuk menghitung banyaknya kendaraan yang lewat dan laju perubahannya. Dengan pengukuran yang teliti, metode ini dapat digunakan untuk menghitung waktu antarkendaraan (time headway). Dewasa ini pengukuran titik dilakukan dengan bantuan teknologi, seperti detektor titik, detektor gelombang mikro, radar dan kamera televisi.
Dalam pengukuran titik kepadatan lalu-lintas (density) tidak dapat diperoleh karena dalam hal ini tidak ada jarak yang terlihat.
b. Pengukuran pada Ruas Jalan
Yang dimaksud dengan ruas jalan di sini adalah bagian jalan yang panjangnya sekitar 10 meter. Pengukuran pada ruas jalan yang pendek dilakukan dengan menempatkan dua buah detektor titik di ujung-ujung ruas jalan. Hasil pengukuran yang diperoleh berupa banyaknya kendaraan, waktu antarkendaraan, dan kecepatan. Karena pendeknya jarak, pengukuran kepadatan lalu-lintas tidak disarankan.
c. Pengukuran di Sepanjang Jalan
Pengukuran jalan yang memiliki panjang setidaknya 0.5 km dilakukan dengan menggunakan foto udara atau beberapa yang diletakkan di tempat atau gedung yang tinggi. Selain banyak kendaraan dan kecepatan, data tentang kepadatan lalu-lintas dapat diperoleh dengan metode ini.
d. Pengukuran bergerak
Ada dua pendekatan dalam pengukuran bergerak, yaitu:
(1) Metode floating car.
Dengan metode ini, kecepatan dan waktu tempuh dinyatakan sebagai fungsi dari waktu dan posisi kendaraan di jalan. Data tentang kecepatan dan waktu tempuh dapat diperoleh dari pencatatan yang dilakukan oleh orang kedua yang ada di mobil. Selain itu, pengumpulan data dapat dilakukan dengan cara memodifikasi alat pencatatan kecepatan (speedometer). (2) Metode Simultan
Dengan metode ini, kecepatan dan volume kendaraan diukur secara simultan.
Metode ini dikembangkan oleh Wardrop dan Charlesworth (1954) dengan menggunakan mobil survey yang berjalan dua arah. Dengan metode ini diperoleh dua rumus:
,
dengan,
perkiraan arus pada jalan sesuai dengan dua arah yang diamati (kendaraan/menit).
banyaknya kendaraan yang melintas sesuai dengan arah yang diamati (sama dengan banyaknya kendaraaan yang ditemui mobil survei yang bergerak berlawanan arah).
banyaknya kendaraan yang mendahului mobil survei yang bergerak sesuai arah yang diamati.
: waktu tempuh mobil survei yang bergerak berlawanan arah.
: waktu tempuh mobil survei yang bergerak searah.
perkiraan waktu tempuh rata-rata kendaraan yang bergerak sesuai dengan arah yang diamati.
e. Pengukuran pada Wilayah Luas
Pengukuran ini dilakukan menggunakan Intelligent Transportation
Systems (ITS) dengan melibatkan
komunikasi antara mobil berperalatan khusus dengan sistem pusat. Umumnya data yang dicatat adalah kecepatan dan
waktu tempuh.
[Hall, 1975]
2.5.2 Parameter Arus Lalu-lintas
Arus lalu-lintas merupakan fenomena yang rumit untuk digambarkan tanpa memperkenalkan sejumlah istilah umum yang biasa digunakan dalam pembahasan model arus lalu-lintas. Beberapa istilah tersebut antara lain merupakan karakteristik arus lalu-lintas, yaitu:
a. Kecepatan
kilometer per jam (km/jam) atau meter per detik (m/detik). Pada umumnya kecepatan arus lalu-lintas yang diukur adalah kecepatan rata-rata selama menempuh jalan tertentu. Kecepatan rata-rata ini dihitung dengan membagi panjang suatu segmen atau ruas jalan dengan waktu tempuh rata-rata pada kendaraan-kendaraan yang melintasi segmen jalan tersebut. Karena itu, jika waktu-waktu tempuh adalah , , … . (jam) yang diukur untuk kendaraan yang melintasi suatu segmen jalan dengan panjang , maka kecepatan rata-rata dapat dihitung dengan:
∑ ,
dengan adalah kecepatan rata-rata (average travel speed) (km/jam), adalah panjang segmen jalan (km), adalah waktu tempuh kendaraan ke- (jam), adalah banyaknya waktu tempuh yang diamati, dan adalah waktu tempuh rata-rata (jam) yaitu
∑ .
Parameter kecepatan arus lalu-lintas dibedakan menjadi:
• Average running speed, didefinisikan
sebagai panjang ruas jalan yang dilalui kendaraan dibagi dengan rata-rata waktu berjalan kendaraan untuk melintasi jalan, dengan waktu berjalan adalah hanya waktu saat kendaraan bergerak.
• Average travel speed, didefinisikan
sebagai panjang ruas jalan yang dilalui kendaraan dibagi dengan rata-rata waktu tempuh kendaraan selama melintasi jalan, termasuk semua waktu saat kendaraan berhenti menunda perjalanan.
• Space mean speed, merupakan pengukuran
kecepatan berdasarkan pada waktu rata-rata untuk melintasi jalan dengan jarak yang ditempuh, yaitu
1 ∑ ,
dengan , maka dipeoleh:
1
∑ 1 / .
dengan adalah kecepatan rata-rata (km/jam) dan adalah kecepatan kendaraan ke- (km/jam).
• Time mean speed adalah kecepatan
rata-rata arus lalu-lintas yang diukur dari kecepatan semua kendaraan yang melintasi suatu titik pada jarak , sepanjang periode waktu tertentu misalkan . Maka diberikan
∑
,
dengan adalah total banyaknya
kendaraan.
• Free-flow speed adalah kecepatan rata-rata
kendaraan arus lalu-lintas yang diukur saat kondisi volume rendah sehingga pengemudi bebas mengemudi dengan kecepatan yang diinginkan tanpa dibatasi dengan adanya hambatan lalu-lintas di jalan.
b. Volume
Volume dan arus menyatakan banyaknya kendaraan yang melintasi satu titik atau bagian pada ruas jalan selama satu interval waktu yang diberikan yang dapat dinyatakan dalam periode tahunan, harian, jam, atau periode menit. Arus diperoleh dengan mengambil banyaknya kendaraan yang diamati dari periode bagian dari jam (misalkan menit) dan membaginya dengan waktu (dalam jam). Misalkan, volume 100 kendaraan yang diamati dalam periode 15 menit menyatakan arus sebesar 100 kendaraan/0,25 jam atau 400 kendaraan/jam.
c. Kepadatan
Kepadatan ditunjukkan sebagai banyaknya kendaraan yang ada di sepanjang ruas jalan tertentu. Jika jumlah kepadatan kendaraan tinggi menunjukkan bahwa setiap kendaraan terletak sangat berdekatan. Sebaliknya, jika jumlah kepadatan kendaraan rendah, berarti ada jarak antarkendaraan yang cukup besar. Umumnya, kepadatan dituliskan dalam satuan kendaraan per mil atau kendaraan per kilometer yang ditentukan dengan cara membagi total banyaknya kendaraan dengan panjang jalan. Kepadatan suatu jalan juga dapat dihitung dari kecepatan rata-rata dan arus, yaitu:
,
dengan, = arus (kendaraan/jam),
d. Spasi dan Time headway
Spasi didefinisikan sebagai jarak antarkendaraan pada arus lalu-lintas, diukur dalam satuan kaki atau meter. Sedangkan Time headway adalah waktu antarkendaraan
ketika melewati suatu titik pada ruas jalan.. Time headway dapat lebih mudah diukur dengan menggunakan stopwatch.
[Mathew, 2003]
III MODEL ARUS LALU-LINTAS
PADA JALAN SATU ARAH
Pembahasan mengenai model matematika arus lalu-lintas tidak akan lengkap tanpa mendiskusikan beberapa hal mengenai model arus lalu-lintas.
Ada dua hal yang harus diperhatikan dalam membangun model fenomena arus lalu-lintas, yaitu jalan dan kendaraan. Dalam hal ini jalan yang dilalui kendaraan dikatakan sebagai link (jalan lalu-lintas), yang dibedakan dalam dua kelompok yaitu:
a. Single Link ( jalan searah), yaitu sebuah
bidang jalan di mana hanya memiliki satu arah jalur dengan sebuah pintu untuk kendaraan yang mengalir masuk dan sebuah pintu keluar untuk kendaraan yang mengalir keluar.
b. Double link (jalan dua arah), yaitu sebuah bidang jalan dengan dua arah jalur yang berlawanan, misalnya di antara titik A dan B, satu berasal dari A ke B dan satu sisi lain berasal dari B ke A.
Ada dua kelompok model yang menjelaskan arus lalu-lintas, yaitu model makroskopik dan model mikroskopik.
3.1 Model Makroskopik
Teori makroskopik lebih cenderung pada struktur model arus lalu-lintas yang mencakup pada sejumlah besar kendaraan. Pada Model ini dapat dilihat sifat-sifat seperti kepadatan lalu-lintas (kendaraan/satuan jarak), arus (kendaraan/satuan waktu), dan kecepatan (satuan jarak/satuan waktu) yang akan dijelaskan pada sub-bagian ini.
3.1.1 Konservasi Kendaraan
Prinsip ini digunakan untuk mengkuantifikasi perubahan banyaknya kendaraan pada suatu ruas jalan yang diukur dari hasil pengurangan arus kendaraan yang masuk terhadap arus kendaraan yang keluar pada interval jalan tertentu.
Misalkan perhatikan suatu bagian ruas jalan yang terletak di antara titik dan titik
∆ seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
∆
Gambar 1. Konservasi kendaraan
Misalkan perubahan banyaknya kendaraan pada interval jalan tertentu dinotasikan dengan ∆ , , dengan sebagai titik koordinat (posisi) kendaraan pada suatu ruas jalan dan sebagai suatu peubah waktu. Perubahan banyaknya kendaraan ∆ , selama interval waktu ∆ sama dengan arus yang mengalir sepanjang interval jalan tersebut:
, lim ∆ ,
∆ , (3.1) dengan perubahan banyaknya kendaraan ∆ , adalah selisih antara banyaknya kendaraan yang masuk dan banyaknya kendaraan yang keluar. Misalkan, , adalah banyaknya kendaraan yang masuk ke titik pada waktu dan ∆ , adalah banyaknya kendaraan yang keluar dari titik
∆ pada waktu Maka banyaknya kendaraan yang masih berjalan di antara dua titik koordinat pada jalan tersebut adalah
∆ , , ∆ , . (3.2)
Jika ∆ dinotasikan sebagai panjang
interval jalan yang dilalui oleh kendaraan-kendaraan selama waktu ∆ , konservasi kendaraan juga dapat dinyatakan oleh
, lim ∆ ∆ , ∆∆ , (3.3)
dengan kecepatan adalah , ∆
∆ . (3.4) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) dan (3.4) ke persamaan (3.3) maka diperoleh
