BAB I \
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut dengan data.. Data yang akan diteliti pada umumnya memiliki karakteristik yang spesifik, sehingga ketika data dianalisa diperoleh model yang sesuai dengan karakteristik data tersebut. Fungsi yang menggambarkan data tersebut dikatakan sebagai distribusi data. Variasi distribusi data dalam statistika menunjukkan bahwa data-data memiliki karakteristik tertentu yang hanya bisa dijelaskan oleh distibusi yang bersesuaian. Misalkan data yang berdistribusi seragam akan sulit dijelaskan oleh distribusi gamma, data yang berdistribusi normal akan sulit dijelaskan oleh distribusi beta maupun sebaliknya.
Bermacam-macam distribusi memperlihatkan betapa banyaknya variasi data. Kajian distribusi statistik yang spesifik akan memperlihatkan karakteristik dari suatu distribusi. Maka, kaidah-kaidah dalam statistik diperlukan untuk memahami kajian distribusi statistik.
dan hukum. Aplikasi statistik melibatkan penggunaan teorema, rumus, aturan, hukum untuk menyelesaikan permasalahan kehidupan nyata.
Statistika secara didikotomi menjadi statistika deskriptif dan statistika inferesia. Statistika deskriptif meliputi metode pengumpulan, pengelompokan, pengolahan dan penyajian data, sedangkan statistika inferensia meliputi metode analisis, interpretasi dan prediksi berdasarkan hasil sampel dalam membantu penarikan kesimpulan suatu populasi. Statistika inferensia dapat dibagi menjadi dua kategori umum yaitu estimasi parameter dan pengujian hipotesis. Teknik ini menggunakan informasi sampel dalam menentukan kesimpulan. Dalam teori keputusan, inferensi didasarkan pada kombinasi informasi sampel beserta bagian-bagian lainnya yang dianggap relevan dengan suatu persoalan tertentu agar dihasilkan keputusan terbaik. Hal yang dianggap relevan dengan informasi sampel adalah konsekuensi yang timbul dari keputusan yang diambil.
Dalam pendekatan klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada informasi yang diperoleh melalui sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang berdistribusi tertentu. Adalah penting menentukan keputusan dan kebijakan berdasarkan hasil analisis data sehingga hasil yang diperoleh sesuai harapan atau setidaknya dapat meminimumkan resiko akibat kegagalan suatu perlakuan. Kesimpulan yang akurat memerlukan informasi sebanyak mungkin. Sebaik mengambil populasi untuk dianalisis, namun jika ukuran populasi sangat besar akan menjadi masalah baru. Apakah berkaitan dengan dana maupun sumber daya yang dimiliki. Pada kondisi tersebut, penggunaan sampel adalah alternatif terbaik menentukan karakteristik populasi dalam mengefektifkan dan mengefisienkan baik sumber daya dan waktu. Sampel diharapkan dapat mewakili karakteristik populasi sedekat sebisa mungkin, sehingga keputusan yang diperoleh sahih dan tepat.
tersebut bisa saja tidak terobservasi secara langsung. Observasi dari satu atau lebih peubah acak yang distribusinya bergantung kepada karakteristik yang diperlukan sehingga akan mempermudah memahaminya. Untuk mengembangkan metode yang digunakan dalam menyelidiki nilai peubah acak berdasarkan sampel data dan menggali informasi mengenai karakteristik populasi yang tidak diketahui dan tidak terobservasi maka dibutuhkan kajian mendalam mengenai hal tersebut.
Estimasi merupakan suatu metode dimana peneliti dapat memperkirakan nilai populasi dengan menggunakan nilai sampel atau aturan yang pada umumnya diekspresikan sebagai sebuah formula yang menyatakan bagaimana menghitung nilai estimasi berdasarkan muatan pengukuran dalam sampel. Estimator adalah suatu statistik yang dapat berupa mean, median, modus varians, simpangan baku maupun ukuran proporsi lainnya. Di mana sampel digunakan untuk melakukan penaksiran suatu parameter populasi. Konsep populasi dan variabel acak sangatlah penting terhadap interpretasi yang tepat pada data statistik dan analisnya.
Karakteristik suatu populasi dapat diketahui dengan melakukan estimasi terhadap sampelnya. Sedangkan nilai sampel statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi disebut dengan estimator. Tujuan dari banyak investigasi statistik adalah untuk mengestimasi satu atau lebih parameter yang relevan. Karakteristik yang berkaitan dengan sampel disebut sebagai statistik, sedangkan karakteristik yang berkaitan dengan populasi disebut dengan parameter. Parameter adalah ukuran seluruh populasi yang diwakili oleh nilai estimasi. Parameter populasi pada umumnya tidak diketahui karena banyaknya anggota populasi.
Perhatikan bahwa proses antrian, waktu tunggu, paruh waktu merujuk kepada distribusi Poisson. Pembahasan lebih lanjut menunjukkan bahwa proses Poisson dapat ditransformasikan kedalam distribusi gamma. Untuk mengetahui karakteristik distribusi gamma diperlukan analisa. Analisa yang digunakan adalah dengan melakukan penaksiran terhadap parameternya.
.
Berdasarkan uraian diatas maka penulis mengajukan judul :”Kajian estimasi parameter distribusi gamma berdasarkan moments method estimator (MMEs) dan maximum likelihood estimator (MLE); suatu terapan pada data paruh waktu dan Simulasi sebagai perbandingan.”
2. Rumusan Masalah
Akan dikaji estimasi parameter distribusi gamma dengan metode moments estimator dan maximum likelihood estimator dengan melakukan perbandingan
berdasarkan data paruh waktu dan data simulasi
3. Batasan Masalah
Pembatasan masalah pada tulisan ini yakni fungsi padat peluang berdistribusi gamma dengan parameter r dan λ. Hasil penurunan kedua metode estimasi diterapakan dalam rata-rata time travel kerja pekerja. Membandingkan hasil kedua estimasi tersebut dengan data yang telah ditetapkan Dengan memperhatikan sifat-sifat penduga yaitu tidak bias, efisien dan konsisten. Dan dengan melakukan bangkitan data dengan nilai r dan λ tertentu.
4. Tujuan penelitian
Berdasarkan penjabaran sebelumnya, maka tujuan penelitian adalah sebagai berikut:
b) Mengetahui hasil dari kedua estimasi tersebut
c) Melihat karakteristik terhadap kasus tertentu pada kedua metode estimasi yang telah diberikan.
5. Kontribusi Peneltian
a) Bagi penulis
Kontribusi penelitian bagi penulis adalah menambah dan memperdalam pemahaman tentang statistika inferensia khususnya estimasi parameter pada distribusi gamma serta aplikasinya statistiknya dalam kehidupan sehari-hari, sehingga menambah minat memperdalam ilmu dalam bidang statistik.
b) Bagi pembaca
Menambah pustaka kepada pembaca yang ingin memahami tentang estimasi kedua parameter yang diajukan. Serta pembanding untuk peneliti yang ingin parameter pada distribusi yang serupa dalam menambah cakrawala ilmu pengetahuan didalam analisis statistik khususnya dengan disribusi yang berkaitan.
6. Metode Penelitian
Berdasarkan buku Fundamental of Research Methodology and Statistics, Kumar mengemukakan tiga aspek penelitian, yakni:
a) Aspek teoretis b) Aspek faktual c) Aspek terapan
Berdasarkan aspek tersebut maka metode yang digunakan penulis adalah sebagai berikut:
a) Menentukan permasalahan yang akan diteliti
c) Telaah teori pada literatur utama dan tambahan
d) Untuk mengarahkan peneltian maka penulis, melaksanakan prosedur sebagai
berikut:
1. Mendefinisikan fungsi densitas distribusi gamma
2. Melakukan estimasi momen estimator:
a) Menentukan persamaan umum momen populasi dan momen
sampel
b) Momen pertama , momen kedua pupulasi dan momen sampel
disamakan
c) Melakukan manipulasu aljabar untuk memperoleh hasil
penyelesaian sistem pertidaksamaan yaitu nilai dari parameter
� dan λ
3. Melakukan estimasi maksimum likelihood
a) Menentukan fungsi likelihood fungsi densitas
b) Menentukan fungsi maksimum likelihood fungsi distribusi
c) Melakukan diferensial ��� likelihood sebagai konsekuensi
memaksimumkan parameter distribusi gamma terhadap
parameter � dan λ
4. Mensubstitusi data paruh waktu dari lightbulbs kedalam kedua estimasi,
sehingga diketahui parameter �̂ dan λ�
5. Berdasarkan hasil pada kedua estimasi dilakukan simulasi data secara acak
pada distribusi gamma dengan menggunakan program R, dimodifikasi
sebanyak empat puluh kali dengan bangkitan data �= 100 dan �= 1000
kali
e) Penarikan kesimpulan
7.) Tinjauan Pustaka
dikonfigurasi. Pengambilan keputusan dilakukan berdasarkan estimasi yang diperoleh menggunakan model alternatif.
Suatu Model adalah representasi yang ditaksir berdasarkan keadaan fisik. Model diharapkan dapat menjelaskan sifat-sifat pengamatan menggunakan sekelompok aturan sederhana dan dimerngerti. Aturan tersebut diharapkan dapat memprediksi keluaran dari sebuah eksperimen yang melibatkan keadaan fisik sebelumnya. Model bermanfaat menjelaskan segala aspek relevan dari situasi yang diberikan.
Model matematis digunakan pada kejadian observasional yang memiliki sifat-sifat mengukuran. Model matematis terdiria atas sekelompok asumsi tenatang bagaimana suatu sistem atau proses fisik bekerja. Asumsi tersebut diterapkan dalam bentuk relasi matematis yang melibatkan parameter dan variabel penting.
Untuk lebih memahami terapan statistika ini adalah lebih baik untuk memahami karakteristik distribusi statistika sebelum diaplikasikan kedalam berbagai permasalahan sehari-hari.
Fungsi Kepadatan peluang atau probability density function p.d.f merupakan variabel acak kontinu dan terdefenisi pada himpuan bilangan riil, jika:
1. �(�)≥ 0, ∀� ∈ ℝ
2. � �(�)�� = 1
∞
−∞
3. �(�< �<�) =� �(�)
�
� ��
Andaikan bahwa barisan kejadian saling bebas terjadi dalam konstanta λ perunit waktu. Jika variabel acak � menyatakan interval antara jarak kejadian
��(�) =��−��, �> 0, maka X dapat diintrepretasikan sebagai waktu tunggu
untuk kejadian pertama. Bagian ini membangkitkan hubungan Poisson/eksponensial dan terpusat pada interval, atau waktu tunggu, yang dibutuhkan untuk terjadinya kejadian ke-r.
�
Definisi 1.1
Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, variabel acak X dikatakan sebagai gamma p.d.f dengan parameter r dan λ jika:
�
�(
�
) =
��
(�−1)!
�
�−1
