KONSEP DAN HUKUM PROBABILITAS

STIM STIM

KONSEP DAN HUKUM

PROBABILITAS

Referensi :

Walpole, RonaldWalpole. R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye,

K. 1996. Probability & Statistics for Engineers & Scientists.

Perhatikan hasil peluang berikut:

Hitung peluang : P(A) !

n(A) = 4 n(S) = 7 p(A) = 4/7 Hitung peluang : P(B) !

STIM STIM

Perhatikan hasil peluang berikut:

Hitung peluang : P(AUB) ! n(AUB) = 6 n(S) = 7

p(AUB) = 6/7 Hitung

peluang : P(AB) ! n(AB) = 2 n(S) = 7

Perhatikan hasil peluang berikut:

Hitung peluang : P(AUB) !

=p(A) + P(B) - P(AB)

=(4/7) + (4/7) – (2/7)

Contoh Kasus

•

Sebuah perusahaan akan membuka

2 cabang baru. Peluang didirikan di

Malang adalah 70%, peluang

didirikan di Jember adalah 60%,

peluang didirikan di Malang dan

Jember adalah 50%.

STIM STIM

Solusi

•

Bagi menjadi 2 peristiwa :

•

A = peristiwa didirikan di Malang

•

B = peristiwa didirikan di Jember

•

Maka ruang sampel pendirian cabang

adalah : (AB, AB,AB, AB)

AB = Malang, Jember

AB = Malang, Bukan Jember

AB = Bukan Malang, Jember

Diagram Venn di bawah terbagi atas 4 daerah :

1 = Keduanya di Malang

2 = Satu di Malang, satu di Jember

3 = Keduanya di Jember

4 = Keduanya tidak di Malang dan atau Jember

P(daerah 4) = P (A U B)’

A

B

STIM STIM

Hitung P(AUB)’

•

P(AUB)’ = 1 – P(AUB)

Ingat ada hukum : P(A)+P(A’) = 1,

sehingga P(A’) = 1 – p(A)

•

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A



B)

•

P(AUB) = 70% + 60% – 50% = 80%

•

P(AUB)’ = 1 – 80% = 20%

•

Peluang kedua cabang didirikan di

Dengan cara yang sama, hitung

probabilitas :

•

Kedua cabang di Malang?

P(Malang dan Jember) = 50%, sedangkan P(Malang)

= 70%. P(Malang) diartikan bisa ada satu cabang di

Malang atau kedua cabang di Malang. P(satu cabang

di Malang) = P(Malang dan Jember) = 50%, maka

P(Kedua cabang di Malang) = 70% - 50% = 20%

A

B

1

2

3

4

•

P(A) = 70% meliputi daerah 1

(kedua cabang di Malang) dan

daerah 2 (salah satu cabang di

Malang)

STIM STIM

Dengan cara yang sama, hitung

probabilitas :

•

Kedua cabang di Jember ?

Jawaban : 10%

•

Minimal salah satu cabang di Malang?

Jawaban : 70%

•

Minimal salah satu cabang di Jember?

Jawaban : 60%

•

Minimal salah satu cabang di Bondowoso?

Perhitungan probabilitas secara

komputasi dengan generating

STIM STIM

PELUANG BERSYARAT

Lowongan kerja menjadi Pegawai

Negeri Sipil (PNS) sebanyak 100

orang

•

Jumlah pelamar 10.000

orang. Berapa peluang bisa

menjadi PNS?

•

Ujian saringan sebanyak 4 tahap

(Administratif, Tes Potensi Akademik,

Tes Kompetensi, Tes Wawancara)

•

Peserta yang lulus hingga sebelum

Tes Wawacara adalah 200 orang

•

Peluang menjadi PNS dengan syarat

sudah lulus hingga sebelum Tes

STIM STIM

TIPE PEKERJAAN

Tempat Kerja

Indoor Outdo

or

Total

Alat

Kerja

Tanpa

Laptop

10

25

35

Denga

n

Laptop

60

5

65

Total

70

30

100

A = Bekerja indoor

B = Alat kerja dengan laptop

A

B

1

0

6

₀

5

2

5

Indoor,

tanpa

laptop

Indoor,

dengan

STIM STIM

HITUNG PELUANG

•

P(A) ?

(10+60) / 100 = 70/100

•

P(B) ?

(60+5) / 100 = 65/100

•

P(A



B) ?

60 / 100

•

P(AUB) ?

HITUNG PELUANG

BERSYARAT

•

Apabila sifat pekerjaannya indoor,

berapa peluang bekerja dengan

laptop ? Bisa ditulis P(B|A) ….

P(B|A) = 60 / (10+60) = 60/70

•

Apabila sifat pekerjaannya indoor,

STIM STIM

HITUNG PELUANG

BERSYARAT

•

Apabila sifat pekerjaannya harus

menggunakan laptop, berapa peluang

tempat bekerja besifat indoor ? Bisa ditulis

P(A|B)

P(A|B) = 60 / (60+5) = 60/65

•

Apabila sifat pekerjaannya harus

menggunakan laptop, berapa peluang

tempat bekerja besifat outdoor ? Bisa ditulis

P(A’|B)

HUKUM PROBABILITAS

TOTAL

•

Berdasarkan

gambar di

samping maka

dapat dihitung

STIM STIM

PELUANG BERSYARAT

•

Peluang A dengan syarat B :

HUBUNGAN PELUANG BERSYARAT

DENGAN TOTAL PROBABILITAS

•

Peluang A :

BENTUK UMUM

HUKUM PROBABILITAS TOTAL

•

Apabila dalam ruang

sampel terdiri atas

peristiwa A, B1, B2, B3

dan B4 dan A beririsan

STIM STIM

PEMBENTUKAN TEOREMA

BAYES

•

Peluang B dengan syarat A bisa

dihitung dari persamaan (2-18)

•

Sementara peluang A irisan B bisa

PEMBENTUKAN TEOREMA

BAYES

•

Gantikan hubungan pada (2-19) dengan (2-18),

maka peluang B dengan syarat A bisa dihitung :

STIM STIM

PEMBENTUKAN TEOREMA

BAYES

•

Hasil subtitusi dari probabilitas total

KASUS

•

Tiga anggota suatu koperasi dicalonkan menjadi

ketua. Peluang pak Ali terpilih 0,30, peluang pak

Banu terpilih 0,50 sedangkan peluang pak Cokro

terpilih 0,20. Kalau pak Ali terpilih maka peluang

kenaikan iuran koperasi adalah 0,80. Bila pak

Banu atau pak Cokro terpilih maka peluang

kenaikan iuran secara berurutan adalah 0,10 dan

0,40. Seseorang merencanakan masuk menjadi

anggota koperasi tersebut tapi menundanya

STIM STIM

PENYELESAIAN

•

Beberapa peristiwa bisa dituliskan :

•

A = orang terpilih menaikkan iuran

•

B1 = pak Ali terpilih

•

B2 = pak Banu terpilih

•

B3 = pak Cokro terpilih

•

Peluang pak Cokro terpilih dengan

PENYELESAIAN

•

Dengan Peluang B

3

dengan syarat A bisa

dihitung :

A)

P(B

A)

P(B

A)

P(B

A)

P(B

A)

|

P(B

3 2 1 3 3















•

P(B

1



A) = P(B

1

).P(A|B

1

) = (0,30)(0,80) = 0,24

•

P(B

2



A) = P(B

2

).P(A|B

2

) = (0,50)(0,10) = 0,05

•

P(B

3



A) = P(B

3

).P(A|B

3

) = (0,20)(0,40) = 0,08

•

Maka

22

.

0

08

.

0

08

.

0

A)

|

STIM STIM

PENYELESAIAN

Dengan cara yang sama :

•

Peluang pak Ali terpilih dengan syarat telah terjadi kenaikan

iuran koperasi adalah : 0,24/0,37 = 0,65 atau 65%

•

Peluang pak Banu terpilih dengan syarat telah terjadi

kenaikan iuran koperasi adalah : 0,05/0,37 = 0,14 atau 14%

EVALUASI

•

Bila iuran koperasi ternyata tidak

STIM STIM

JAWABAN EVALUASI

•

Peluang pak Cokro yang terpilih dengan syarat

situasi yang terjadi adalah iuran koperasi tidak naik

adalah :

•

P(B3|A’)

•

Maka

•

P(B

1



A’) = P(B

1

).P(A’|B

1

)

= (0,30)(1-(0,80)) = (0,30(0,20) = 0,06

•

P(B

2



A’) = P(B

2

).P(A’|B

2

)

= (0,50)(1-(0,10)) = (0,50)(0,90)=0,45

•

P(B

3



A’) = P(B

3

).P(A’|B

3

)

JAWABAN EVALUASI

•

Peluang B

3

dengan syarat A’ bisa

dihitung :

)

A'

P(B

)

A'

P(B

)

A'

P(B

)

A'

P(B

)

A'

|

P(B

3 2 1 3 3















•

Peluang pak Cokro terpilih dengan

situasi tidak terjadi kenaikan iuran

19

.

0

63

.

0

12

.

0

12

.

0

45

.

0

06

.

0

12

.

0

)

A'

|

P(B

₃









STIM STIM

JAWABAN EVALUASI

Dengan cara yang sama :

•

Peluang pak Ali terpilih dengan situasi tidak terjadi kenaikan

iuran koperasi adalah : 0,06/0,63 = 0,10 atau 10%

•

Peluang pak Banu terpilih dengan situasi tidak terjadi

kenaikan iuran koperasi adalah : 0,45/0,63 = 0,71 atau 71%

•

Sehingga bila ternyata iuran koperasi naik, maka peluang

terbesar untuk ketua yang terpilih adalah pak Ali

•

Sedangkan bila ternyata iuran koperasi tidak naik, maka

STIM STIM

LATIHAN-01

•

Suatu tes kejujuran yang diberikan kepada

seorang tersangka memiliki kehandalan 90%

apabila orang tersebut bersalah dan 99% bila

orang tersebut tidak bersalah. Dengan kata

lain, 10% dari yang bersalah dinyatakan tidak

bersalah oleh tes ini dan 1% dari yang tidak

bersalah dinyatakan bersalah. Apabila si

LATIHAN-03

•

Pada suatu acara outbound berkumpul beberapa peserta

dari berbagai suku antara lain : Jawa, Sunda, Madura dan

Bugis dengan proporsi masing-masing sebanyak 40%, 30%,

20% dan 10%. Saat acara makan disediakan menu masakan

bersayur dan tidak. Peluang mengambil masakan bersayur

pada peserta dari Sunda adalah 80%, sedangkan untuk

Jawa, Madura dan Bugis memiliki peluang masing-masing

70%, 15% dan 20%.

•

Seorang peserta sedang mengambil makanan dari menu

tidak bersayur, hitung peluang bahwa peserta tersebut

berasal dari suku Sunda?

STIM STIM

•

Independent Events

–

Two events are independent if one may

occur irrespective of the other

–

Event A and B are independent if and

only if

P[A



B] = P[A] P[B]

•

Example:

–

A

₁

= sample contains Pb

P[A

₁

] = 0.32

–

A

₂

= sample contains Hg

P[A

₂

] = 0.16

–

sample contains both

P[A

₁



A

₂

] = 0.10

–

What is the probability of a sample

contains Pb will also contains Hg?

STIM STIM

•

Answer

P[A

₂

|A

₁

] = P[A

₁



A

₂

] / P[A

₁

]

= 0.10/0.32 = 0.31



P[A

₂

] = 0.16



A

₁

and A

₂

are not independent

Independent if

P[A

₂

|A

₁

] = P[A

₂

]

•

Let

A

₁

, A

₂

, A

₃

, …, A

_n

be a collection

of events which partition

S

.

•

Let B be event such that P[

B

]



₀

•

For any events

A

_j

, j

=

1,2,3,…,n

STIM STIM

•

Example

–

Distribusi tipe

golongan darah dalam

satu daerah adalah :

•

type A = 41%

•

type B = 9%

•

type AB = 4%

•

type O = 46%

•

Pada kondisi darurat terdapat

peluang kesalahan dalam

menentukan tipe golongan

darah

–

tipe O teridentikasi A = 4%

–

tipe A teridentikasi A = 88%

–

tipe B teridentikasi A = 4%

–

tipe AB teridentikasi A = 10%

•

Seseorang mengalami kecelakaan lalu

lintas dan tipe golongan darahnya

teridentifkasi tipe A. Berapa peluang

bahwa ini adalah tipe darah yang benar?

STIM STIM

•

Kasus ini akan menghitung Seseorang

mengalami kecelakaan lalu lintas dan tipe

golongan darahnya teridentifkasi tipe A.

Berapa peluang bahwa ini adalah tipe darah

yang benar?

•

Beberapa peristiwa bisa dinyatakan :

A : Golongan darah A

B : Golongan darah B

AB : Golongan darah AB

O : Golongan darah O

TA : Seseorang teridentifkasi golongan darah A

Bayes’ Theorem

TA

O

AB

B

A

O



TA

AB



TA

B



TA

A



TA

STIM STIM

•

Akan dihitung peluang tipe golongan

darah A dengan syarat hasil

identifkasi darah adalah A atau P[

A

|

TA

] =?

•

Diketahui :

P[A] = 0.41 P[TA|A] = 0.88

P[B] = 0.09 P[TA|B] = 0.04

P[AB] = 0.04 P[TA|AB] = 0.10

P[O] = 0.46 P[TA|O] = 0.04

•

Pergunakan hubungan peluang bersyarat

•

Bagaimana menghitung P[A



TA] dan

P[TA] ??

P[A



TA] = P[TA|A] P[A]

= (0.88)(0.41) = 0.36

P[TA] = P[A



TA] + P[B



TA] + P[AB



TA]



Bayes’ Theorem

]

[

]

[

]

|

[

TA

P

TA

A

P

TA

A

STIM STIM

P[TA] = P[A



TA] + P[B



TA] + P[AB



TA]

+ P[O



TA]

= P[TA|A] P[A] + P[TA|B] P[B] +

P[TA|AB] P[AB] + P[TA|O] P[O]

= (0.88)(0.41) + (0.04)(0.09) + (0.10)

(0.04)

+ (0.04)(0.46)

= 0.39

•

Hasil akhir P[A|TA] = 0.36/0.39 =

0.92

LATIHAN-05

•

An economist believes that during periods of high

economic growth, the U.S. dollar appreciates with

probability 0.70; in periods of moderate economic

growth, the dollar appreciates with probability 0.40;

and during periods of low economic growth, the

dollar appreciates with probability 0.20. During any

period of time, the probability of high economic

growth is 0.30, the probability of moderate growth is

0.50, and the probability of low economic growth is

0.20. Suppose the dollar has been appreciating

STIM STIM

•

Our partition consists of three events: high

economic growth (event H), moderate

economic growth (event M), and low

economic growth (event L). The prior

probabilities of the three states are

P(H)

0.30, P(M) 0.50, and P(L) 0.20. Let A

denote

the event that the dollar

appreciates. We have the following

•

Consider 3 special cards below

Example of Conditional Probability:

3 Cards Trick

Randomized

& draw one

blue

red

blue

blue

red

red

blue

?

STIM STIM

•

Probability of blue top faces:

P[blue top] = 3/4

•

Probability of blue bottom:

P[blue bottom] = 1/2

•

Probability of a card having blue bottom

face given blue top face:

P[blue bottom|blue top] = (1/2)/(3/4) = 2/3

Example of Conditional Probability:

3 Cards Trick

Top B o tt o m Blue Red Blue

Red 1/6 2/6

1/6

2/6 1/2

1/2

1/2 1/2 1

total

STIM STIM

Example of Conditional Probability:

3 Cards Trick

blue top

red top

3/6

3/6

blue bottom

blue bottom

red bottom

red bottom

2/3

1/3

2/3

1/3

3/6 x 2/3 = 2/6

3/6 x 1/3 = 1/6

3/6 x 2/3 = 2/6

3/6 x 1/3 = 1/6