SEJARAH DAN FILSAFAT MATEMATIKA
Ujian Tengah SemesterDiajukan untuk memenuhi tugas Ujian Tengah Semester Gnnjil
Disusun Oleh:
Muhammad Irfan Giffari – 140110140062
UNIVERSITAS PADJADJARAN
Jalan Raya Bandung Sumedang Km. 21 Telp. (022)8428889, Jatinangor Jawa Barat, Indonesia
Soal 1
Jelaskan pembabakan sejarah matematika berdasarkan literatur yang anda baca
(sebutkan periode waktu dan tempat kejadian, pelaku dan konsep matematika dan kegiatan)
Sejarah Matematika
Zaman Pra sejarah (sekitar 35.0000 SM – 3000 SM)
Manusia pada Zaman pra sejarah telah menemukan konsep matematika dalam bentuk sederhana, yaitu mengenai konsep bilangan. Alat hitung yang paling tua ditemukan yaitu tulang lombo, di Lebombo, Swaziland. Ada juga goresan – goresan yang diduga sebagai alat hitung di Perancis dan Afrika.
Lalu ditemukan juga tulang Ishango di pinggir sungai Nil. Yang berisi deretan tanda lidi yang digoreskan 3 jalur memanjang diatas tulang tersebut. Tulang ishango juga merupakan alat peragaan tertua mengenai barisan bilangan prima.
Seperti diketahui dari hasil peninggalan pra sejarah tersebut manusia Zaman dahulu sudah menggunakan ilmu matematika walaupun sebenarnya mereka tidak sadar bahwa itu ada “ilmu matematika” mereka hanya menggunakan hal tersebut sehari – hari untuk alat menghitung.
Zaman Mesopotamia (3000 SM – 2000 SM)
Pada Zaman mesopotamia, ilmu matematika pada Zaman itu tercatat berkembang secara luar biasa. Matematika pada Zaman itu belum menggunakan metode deduktif seperti sekarang. Perkembangan matematika dimulai dari semenjak kerajaan sumeria hingga Yunani kuno.
Zaman Mesir Kuno ( 1980 – 1300 SM)
Perkembangan matematika di mesir, mendapat pengaruh dari Mesopotamia dann Babilonia. Salah sastu peninggalan dari perkembangan matematika di mesir adalah lembaran Rhind. Yaitu berupa instruksi atau pedoman untuk pelajar mempelajari aritmatika dan geometri. Lembaran tersebut juga berisi tentang bilangan komposit dan prima, pemahaman Saringan Erasthotenes dan teori bilangan sempurna. Ada pula penyelesaiian persamaan linear ber orde satu. Saringan Erasthotenes merupakan perkembangan dari Matematika pada masa Yunani Kuno untuk menyaring bilangan agar medapatkan bilangan prima.
Lalu, dalam Lembaran Rhind juga terdapat 3 penjelasan mengenai Geometri Analitik. 1. Cara mendapatkan hampiran π yang paling akurat.
2. Upaya untuk mendapatkan kuadrat lingkaran 3. Penggunaan kotangen.
Selain lembaran Rhind, ditemukan juga Lembaran Moskwa yang berisi mengenai soal cerita untuk para pelajar mengenai geometri. Dan Lembaran Berlin yang berisikan mengenai penyelesaian persamaan linear orde dua. Perkembangan matematika di mesir ini nantinnya akan mempengaruhi perkembangan matematika islam.
Zaman Yunani Kuno
(600 – 300 SM)
Perkembangan pada masa Yunani Kuno dipercaya merupakan perkembangan yang paling pesat diantara perkembangan sebelumnya. Pada masa ini, tercatat beberapa beberapa matematikawan penting, yaitu Thales dan Phytagoras. Mereka memelopori pengembangan matematika di bidang geometri. Thales merupakan matematikawan yang mencetuskan teorema. Thales juga yang pernah menyelesaikan persoalan menghitung tinggi piramida menggunakan Ilmu Geometri. Dia dianggap menjadi matematikawan sejati pertama dan yang menemukan teorema matematika pertama pada masa itu. Dan Phytagoras adalah matematikawan yang pertama kali mencetuskan aksioma – aksioma dan Postulat yang perlu pembuktian. Sebenarnya, konsep Phytagoras tidak ditemukan oleh phytagoras, konsep tersebut sudah ada sebelumnya, tetapi Phytagoraslah yang menjelaska konsep tersebut hingga terbukti kebenarannya. Phytagoras mendirikan Mazhab Phytagoras. Dia mengklaim bahwa semua persoalan di dunia bisa diselesaikan dengan bilangan.
Zaman Cina
(1200 – 100 SM)
Di Cina, perkembangan matematika di nilai berdiri secara mandiri, karena cina jauh dari perkembangan matematika yang pusatnya berada di Asia barat dan Eropa. Tulisan matematika yang tercatat paling tua di Cina yaitu Chou Pei Suan Ching. Matematika di Zaman Cina yang menjadi catatan yaitu penggunaan notasi posisional bilangan desimal. Yaitu, penggunaan simbol – simbol yang berbeda dari 1 sampai 10. Dan sandi lainnya sebagai pangkat dari 10.
Penggunaan notasi posisional bilangan desimal tersebut ditulis berdasarkan besar angka tersebut. Contoh, dalam bilangan 222. Ditulis dengan, ada simbol yang menandakan ‘2” lalu diikutin dengan simbol “100”, dibelakangnya diikuti simbol “2” dan simbol “10” lalu dibelakangnya dilanjutkan simbol “3”. Pada masa itu, penulisan bilangan seperti ini dinilai paling canggih dan paling mudah untuk digunakan, yang kemudian di permudah dengan penulisan bilangan pada perkembangan matematika di India.
Di cina juga, tercatat pernah mengeluarkan karya mengenai geometri. Karya tersebut berasal dari filsafat Mohisme yang ditulis oleh para pengikut Mozi. Karya tersebut yaitu Mo Jing. Mo Jing berisi mengenai banyak disiplin ilmu yang didalamnya terdapat ilmu fisika dan beberapa ilmu matematika. Hal tersebut memberikan definisi dasar dari aspek geometrik. Yaitu, garis merupakan bagian – bagian yang disatukan. Dan bagian – bagian tersebut tidak dapat di pecah kembali. Bagian – bagian yang tidak dapat dipecah kembali itu berupa Titik.
Beberapa paham dari Jing Mo, dia menyatakan bahwa sebuah garis yang sama akan bertemu di tempat yang sama. Lalu, dia juga memberikan definisi dari garis paralel, lingkaran, diameter, keliling lingkaran radius, dan volume. Lalu, Zhou Bi Suan Jing yang membuktikan teorema Phytagoras yang lebih mendalam. Tetapi dengan menjelaskan mengenai topik astronomi.
Pada masa Kekaisaran Qín Sh Huáng, semua buku mengenai matematika sempat dimintaǐ
untuk dibakar, tetapi banyak yang tidak di dihiraukan. Oleh karena itu, Perkembangan matematika di Cina banyak yang hilang dan tidak terawat. Tetapi pada masa dinasti Han, perkembangan matematika kembali muncul dengan terbitnya banyak karya dari matematikawan. Yang paling terkenal, yatiu 9 Bab Mengenai Seni Matematika. Yang berisikan tentang pertanian, perdagangan, penggambaran geometri, teknik, bahan segitiga siku – siku dan π . Zu Chongzhi juga yang menghitung bilangan π sampai dengan 7 bilangan desimal yang bertahan sampai dengan 1000 tahun lamanya.
Zaman India
(800 – 500 SM)
Di India, catatan matematika tertua yang ditemukan yaitu, Sulba Sultras yang berisi mengenai cara untuk menghitung dan membangun altar sebagai bentuk. Seperti bentuk persegi panjang, persegi dan lain – lain. Dan juga mengenai cara untuk membentuk persegi panjang dan lingkaran dengan luas yang sama.
Lalu terdapat catatan Siddhanta Surya yang mengenalkan mengenai sinus, cosinus, sinus invers dan mengetahui letak benda – benda di langit secara akurat. Lalu ada pula Aryabhata, yang menghasilkan tabel trigonometri sinus, mengembangkan teknik – teknik algooritma aljabar, persamaan diferensial. Dia juga menghitung pendekatan π hingga 5 desimal. Tetapi pada abad 14, Madhava menemukan rumus Leibniz untuk pi, dan, menggunakan 21 suku, untuk menghitung nilai π sebagai 3,14159265359. Ada juga Pā ini,ṇ
Ia yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta. Notasi yang dia gunakan sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi.
Zaman Matematika Islam
Perkemangan matematika islam mempunyai kontribusi di bidang aljabar dengan menggabungkan material Babilonia dan India dengan geometri Yunani untuk mengembangkan aljabar. Para matematikawan menggunakan variabel x, y,dan z sebagai alat untuk menyelesaikan persoalan matematika. Matematikawan Islam memiliki pengaruh besar dalam perkembangan ilmu pengetahuan di Eropa dan memperkayanya dengan temuan mereka sendiri dan temuan yang diwariskan oleh bangsa Yunani, India, Suriah, Babilonia, dan lain-lain.
Bangsa Yunani yang menemukan bilangan irasional merasa tidak senang dan belum mampu untuk membedakan yang mana besaran, yang mana bilangan. Besaran bersifat konkrit sehingga bisa berubah, dan bilangan bersifat diskrit. Oleh karena itu, bilangan seharusnya diselesaikan menggunakan matematika dan geometri. Sedangkan dahulu, bangsa Yunani cenderung menggunakan geometri saja. Abū Kāmil Shujā ibn Aslam, seorangʿ
matematikawan arab adalah seorang yang menghilangkan secara perlahan perbedaan antara besaran dengan bilangan. Bilangan irasional dibuat seperti halnya koefisien yang dapat digunakan dalam persamaan aljabar. Mereka bisa memanipulasi bilangan tersebut sebagai benda tapi tidak bisa mempelajari sifat tersebut secara teliti.
Lalu, pada abad ke-20 Al-Khawarizmi yang terkenal sebagai Bapak Aljabar oleh bangsa barat. Tetapi akhir – akhir ini diketahu bukti – bukti bahwa tulisannya berdasarkan ilmu dari India dan Yunani kuno terdahulu. Lalu, dia memperkenalkan sistem posisional desimal kepada dunia barat yang diadopsi dari numeralida India. Dia juga mengenalkan mengenai persamaan linier dan aljabar.
Lalu, diantara 2 tersebut, induksi matematika dipaparkan secara implisit oleh Al-Karaji untuk membuktikan barisan aritmatika. Dan oleh al-samawal dikembangkan untuk mencari dan menyelesaika persoalan mengenai binomial dan segitiga pascal.
Lalu ada lagi Omar Khayyám, seorang yang menjelaskan secara sistematis penyelesaian persamaan tingkat tiga yang melampaui karya dari Al-Khawarizmi. Dan Sharaf al-Dīn al- ūsī yang meneliti tentang persamaan kubus, suatu pendekatan untuk mengetahuiṬ
titik tempat polinomial untuk mendapatkan titik maksimumnya.
Matematika Abad 18 di Eropa
Dalam perkembangan masa modern berbeda dengan perkembangan saat masa pertengahan. Pada Zaman pertengahan perkembangan matematika di eropa hanya berpusat pada Yunani. Tetapi, Zaman modern ini, perkembangan matematika sering berubah – ubah. Mulai dari jerman, lalu berpindah ke itali, dan ke perancis. Lalu ke belanda dan menuju inggris.
Yang pertama yaitu Jacob dan Johann Bernoulli ahli pertama yang menggunakan kalkulus sebagai alat untuk menyelesaikan persoalan matematika. Jacob Bernoulli juga yang mengenalkan Integral dalam kalkulus. Jacob bernoulli yang mengenalkan penggunaan koordinat polar untuk menentukan jari – jari kelengkunan datar, lalu dia juga menyelidiki sifat kurva kotangen dan kurva datar berderajat tinggi. Lalu di dalam teori peluang, penemmuannya yang disebut distribusi Bernoulli, dalam aljabar disebut bilangan bernoulli dan polinomial bernoulli. Lalu, Johann Bernoulli sendiri menyusun buku teks sederhana yang membahas mengenai differensial dan juga bersama saudaranya menyusun kalkulus integral. Johann Bernoulli dianggap sebagai penemu kalkulus eksponensial. Dia juga menemukan hubungan antara fungsi invers trigonometri dengan logaritma imajiner. Dan memperkenalkan bentuk tak tentu.
Tokoh berikutnya yaitu Abraham de Moivre, menulis buku yang mengemukakan deret bolak – balik, teori peluang dan trigonometri analitik. Lalu ada juga Michael Rolle, dia menemukan teorema yang sangat penting dalam kalkulus. Yaitu Rolle Theorem. Teorema rolle tersebut adalah apabila suatu fungsi differensiabel dalam interval (a,b) dan apabila f(a) = 0, f(b)=0 maka f’(x) =0 mempunyai sekurang-kurangnya satu akar real antara a dan b, walaupun teorema ini hanya diberikan secara insidentil oleh rolle.
Pemikiran para matematikawan pada abad 18 sangatlah pesat. Dengan banyaknya terobosan – terobosan terbaru, banyak nya teorema teorema yang bermunculan mengakibatkan banyaknya bahan kajian untuk para matematikawan di masa depan. Matematika sebagai untuk penunjang ilmu lain, dan sebagai dasar berpikir. Matematika dipandang sebagai dunia empiris, tetapi khusus dalam satu cara penting yang sifat yang diperlukan dunia ditemukan melalui bukti matematika, namun untuk membuktikan sesuatu yang salah, seseorang harus menunjukkan hanya bahwa dunia mungkin berbeda. [ CITATION Pod92 \l 1057 ]
Bagi Descartes matematika adalah invariabel sehubungan dengan pengandaian ontologis, tapi begitu dibawa ke dalam konteks percobaan keraguan terlihat bahwa itu mengandung implikasi ontologis penting yang tampak sebagai objek matematika dan operasi mengandaikan eksistensi. Lalu Descartes menyatakan bahwa:
dalam cara-cara yang saya mendapatkan ide-ide dari durasi dan jumlah yang saya kemudian dapat ditransfer ke lain hal. Adapun semua elemen lain yang membentuk ide-ide dari hal-hal jasmani, yaitu perluasan, bentuk, posisi dan gerakan, ini tidak secara resmi terdapat dalam saya, karena saya hanyalah menjadi pemikiran, tetapi karena mereka hanya mode suatu zat dan saya substansi, tampaknya mungkin bahwa mereka yang terkandung dalam diriku nyata”
Soal 2
Ambil salah 1 topik yang ada di msc 2010. Jelaskan secara rinci dan kronologis bagamana ilmu tersebut berkembang dari awal hingga sekarang.
60Axx Foundations of probability theory
Teori probabilitas merupakan salah satu cabang dari matematika yang mempelajari mengenai peluang. Teori ini sampai dengan sekarang tetap dipakai dan sangat berguna untuk banyak hal. Salah satunya untuk memprediksi suatu kejadian. Teori ini merupakan pondasi di dalam matematika statistik yang berguna juga untuk menganalisis suatu data yang besar.
Dahulu, ada seorang matematikawan amatir bernama Chevalie de Mere, pada 1645 mengajukan beberapa permasalahan mengenai judi kepada seorang ahli matematika Prancis Blaise Pascal. Pada saat itu, Blaise pascal merupakan matematikawan hebat, yang sudah sering berkarya dari umur 16 tahun. Pascal tertarik akan bahasan mengenai judi ini dan berkolaborasi dengan matematikawan perancis bernama Pierre de Fermat. Lalu keduanya mencetuskan mengenai teori probabilitas.
Konsep peluang sering dikaitkan dengan distribusi variabel yang ditelaah dalam suatu populasi tertentu. Abraham Demoivre (1667-1754) mengembangkan teori galat atau kekeliruan. Pada tahun 1757 Thomas Simpson menyimpulkan bahwa terdapat suatu distribusi yang berlanjut (continuous distribution) dari suatu variabel dalam suatu frekuensi yang cukup banyak. Pierre Simon de Laplace (1749-1827) mengembangkan konsep Demoivre dan Simpson ini lebih lanjut dan menemukan distribusi normal. Hal tersebut merupakan sebuah konsep yang mungkin paling umum dan paling banyak dipergunakan dalam analisis Statistika (teori peluang).
Teknik kuadrat terkecil simpangan baku dan galat baku untuk rata-rata dikembangkan Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Pearson melanjutkan konsep-konsep Galton dan mengembangkan konsep regresi, korelasi, distribusi chi-kuadrat dan analisis statistika untuk data kualitatif di samping menulis buku The Grammar of Sience sebuah karya klasik dalam filsafat ilmu. Desain eksperimen dikembangkan oleh Ronald Alylmer Fisher (1890-1962) di samping analisis varians dan kovarians, distribusi-z, distribusi-t, uji signifikan dan teori tentang perkiraan.
untuk mengetahui hubungan variabel respon dengan prediktor dan membentuk hubungan tersebut ke dalam suatu model matematis.
Salah satu contohnya adalah aplikasi analisis regresi dengan teknik kuadrat terkecil di bidang pertanian dalam prediksi luas panen padi. Padi merupakan salah satu sumber kehidupan yang utama di Indonesia. Proses penanaman hingga panen padi sangat dipengaruhi oleh faktor alam, khususnya iklim. Curah hujan yang tidak menentu mengakibatkan penurunan luas panen produksi padi nasional secara signifikan dan pemerintah kembali harus mengambil kebijakan impor. Sehingga informasi tentang prediksi luas panen padi sangat berguna dalam upaya untuk mendukung ketahanan pangan. Metode kuadrat terkecil tidak mampu lagi memberikan prediksi yang baik dalam permasalahan ini, yaitu karena adanya pengamatan outlier. Rokhana (2009) telah melakukan penelitian untuk prediksi padi dengan melakukan permodelan regresi robust antara anomali luas panen padi per periode (AnLPp) dan curah hujan terboboti (WRI). Metode regresi robust merupakan salah satu perkembangan dari metode permodelan statistika, dimana model tersebut dipengaruhi oleh kejadian-kejadian ekstrim alam (seperti iklim) sebagai pengamatan outlier.
DAFTAR PUSTAKA
http://statisticsanalyst.wordpress.com/2010/03/09/kejadian-penting-dalam-perkembangan-probabilitas/
http://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_matematika#Mesopotamia
http://anasafrida.blogspot.com/2013/04/sejarah-perkembangan-matematika-sebelum.html
http://nandawidya28.blogspot.com/2010/04/sejarah-perkembangan-matematika.html
https://www.academia.edu/6057933/SEJARAH_MATEMATIKA
http://bambang1988.wordpress.com/2010/03/23/matematika-mesopotamia/
http://id.wikipedia.org/wiki/Saringan_Eratosthenes
http://iamathematician.blogspot.com/2011/03/sembilan-bab-di-matematika-seni.html
http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_Islam_abad_pertengahan
http://id.wikipedia.org/wiki/Induksi_matematika
http://naturalisi.blogspot.com/2013/12/makalah-perkembangan-matematika-pada.html
https://www.academia.edu/5558382/Perkembangan_matematika_abad_19_dan_20
Dr. Marsigit, M. A. (2012). Sejarah dan Filsafat Matematika. Yogyakarta.
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_theory
