I DASAR MATE MATIKAI DASAR MATEMATIKA

 I. Bilangan Rasional A. Bilangan bulat

1. Bilangan bulat negatif, letaknya di sebelah kiri angka nol

Ex. -1, -2, -3, -5 dst

2. Bilangan nol ( angka nol)

Bilangan bulat positif, letaknya di sebelah kanan angka nol

B. Bilangan pecahan

1. Bilangan pecahan positif a. Pecahan campuran

Ex.

2 ⅜, 3½, 1¾

, dll b. Pecahan biasa

 _Ex

. ⅜, ½, ¾ ,

_dll

2.

Bilangan pecahan negatif a. Pecahan campuran

Ex. -2

⅜, -3½, -1¾

, dll b. Pecahan biasa

II. Bilangan Irasional

A. Bilangan Irasional Positif Ex. √2 , √3 dst

B. Bilangan Irasional Negatif Ex. √-2 , √-3 dst

Bilangan Asli  bilangan yang dimulai dari

angka 1 Ex : 1,2,3 dst

Bilangan cacah  bilangan yang dimulai dari

angka 0

I. Penjumlahan A. Komutatif

a + b = b+a

Ex : 3 + 7 = 7 +3 B. Asosiatif

C. Unsur Identitas a + 0 = 0 + a

Angka 0 adalah unsur identitas penjumlahan

II. Pengurangan

Lawan (invers) dari penjumlahan a – b = a + (-b)

III. Perkalian

A. Komutatif

a x b = b x a

ex. 2 x 3 = 3 x 2

B. Asosiatif

(a x b ) x c = a x (b x c)

C. Distributif

a x (b + c ) = ( a x b) + ( a x c )

ex: 2 x ( 3+4) = (2x3) + (2x4)

a x (b - c ) = ( a x b) - ( a x c )

ex. 2 x ( 5 – 4 ) = (2 x 5) + ( 2 x 4)

D. Unsur Identitas

a x 1 = 1 x a

IV. Pembagian

Kebalikan (invers) dari perkalian a : b = a x 1/b

I. Penjumlahan / Pengurangan

1. + (+a) = + a

ex : (+2) + (+5) = +2 +5 =+7 (-3) + (+6) = -3 +6 =+3 2. –( - a) =+a

ex : (+4) - (-5) = 4 + 5 = +9

3. + ( - a) = - a

ex : (+4) + ( - 5) = + 4 - 5 = - 1 (-5) + ( - 8) = - 5 - 8 = - 13

4. –(+a) = - a

ex : (+6) - (+5) = +6 - 5 = + 1 (-2) - (+6) = -2 - 6 = - 8

Latihan Soal :

1. 6 + (-17) =

II. Perkalian :

1. (+) x (+) = (+)

Ex : (+3) x (+5) = (+15) 2. (-) x (-) = (+)

Ex : (-4) x (-6) = (+24)

Dua tanda sama dikalikan menghasilkan bilangan positif

3. (+) x (-) = (-)

Ex : (+3) x (-6) = (-18)

(-) x (+) = (-)

Ex : (-2) x (+6) = (-12)

Dua tanda berbeda dikalikan menghasilkan bilangan negatif

 Latihan Soal :

III. Pembagian

 Dua tanda berbeda dikalikan menghasilkan

LATIHAN SOAL : 1. -72 : 8 =

2. -81 : -9 = 3. 16 : -4 =

URUTAN PENGERJAAN TANDA OPERASI HITUNG DALAM SOAL MATEMATIKA :

 Perpangkatan

 Perkalian/pembagian

1. Perkalian atau pembagian sama kuatnya, maka yang dikerjakan dulu adalah yang paling kiri kecuali jika ada tanda dalam kurung

2. Penjumlahan / pengurangan dapat sama

Latihan Soal :

1. 16 x 22 + 15 : 5 – 10 =

 Suatu bilangan (+) jika dipangkatkan dengan bilangan genap/ganjil maka hasilnya selalu positif (+)

Ex :

1. 5 2 = 25

2. 43 = 64

3. 25 =

 Suatu bilangan (-) jika dipangkatkan dengan bilangan genap maka hasilnya selalu positif (+)

Ex :

1. (-2)2 =2 x 2 = 4

2. (-3)4 = -3x-3x-3x-3 = 81

 Suatu bilangan (-) jika dipangkatkan dengan bilangan ganjil maka hasilnya selalu negatif (-)

Ex :

1. (-2)3 = -2 x-2x-2 = -8

2. (-3)3 = -3x-3x-3 = -27

 Bentuk Aljabar merupakan kalimat matematika yang dinyatakan dengan variable beserta koefisien

 Variabel merupakan nilai belum diketahui seperti x, y, z

 Koefisien adalah konstanta yang terletak didepan variabel

 

 Ex .

x koefisien 1, variable x dan pangkat 1

7x2  koefisien 7, variabel x dan pangkat 2

 SUKU SEJENIS adalah suku-suku yang

mempunyai variabel dan derajat sama

Ex :

1. 6a + 7b - 4a + 2b = 6a - 4a + 7b + 2b = 2a + 9b

2. x2 -4y2 +5x3 + 7y2 = 5x3 + x2 +7y2 -4y2

Latihan Soal :

1. 6 z2 – 3yz -3z2 + 2yz =

2. 3x2 + 2xy2+ 7xy + 4x2y + 3xy +10=

Bila terdapat tanda kurung

Jika di muka tanda kurung itu (+) maka tanda suku di dalam kurung tidak berubah

ex : + ( 3p - 5q + 4 ) + ( 4p + 3q - 3 ) = 3p - 5q + 4 + 4p + 3q – 3

 Jika di muka tanda kurung itu (-) maka tanda

suku di dalam kurung Berubah menjadi lawannya

ex : - ( 3p - 5q + 4 ) - ( 4p + 3q - 3 )

=- 3p + 5q - 4 - 4p - 3q + 3 =- 3p - 4p + 5q - 3q – 4 + 3

= - 7p + 2q – 1 Latihan Soal :

I. Penjumlahan dan Pengurangan ax + bx = (a+b) x

ex : 2x+3x = (2+3)x =5x ax - bx = (a-b) x

1. a ( b + c) = ab + ac 2. a ( b - c) = ab – ac

3. (a + b) ( c + d) = a ( c + d) + b ( c + d) 4. (a + b ) ( a – b ) = a2 – b2

Ex.

1. 4 (x + 2y ) = 4x + 4 ( 2y ) = 4x + 8 y 2. 6 ( 3x - 2 ) = 6 (3x) + 6 (-2) = 18 x -12 3. 3 x ( y +z ) = 3 xy + 3xz

4. (x - y) (x + y) = x2 + xy –xy –y2

 = x2 – y2

III. Pembagian 1. ax : x =a 2. xy :x = y ex :

IV. Pengkuadratan

1. ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2

2. ( x - y )2 = x2 - 2xy + y2

3. x2 - y 2 =(x + y)( x – y)

Ex :

1. (x + 2y )2 = x2 + 2(x)2(y) + 4y2

Bilangan prima= bilangan yang mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri

Ex : 2 bilangan prima

2  1 x 2

2 x 1 ( faktornya 1 dan 2) 4  1x4

2x2 4x1

4 bukan bilangan prima tetapi bilangan

 Faktor Persekutuan Terbesar  Ex : FPB dari 6 dan 9

Jawab : 61,2,3,6 9  1,3,9 FPB = 3

Atau dengan menggunakan pohon faktor 6 9

6 = 2 x 3 9 = 32

FPB = 3

( Pilih yang pangkat kecil dan berkawan)

2. FPB dari 24 dan 30 adalah…

3. Ani mempunyai 40 buah buku dan 45 buah pensil.Ani ingin membagi sama banyak

 Kelipatan Persekutuan Terkecil  Ex : KPK dari 12 dan 20

 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108, 120  20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180  KPK = 60

 Atau dengan menggunakan pohon faktor  12 20

12 = 22 x 3

20 = 22 x 5

KPK = 22 x 3 x 5 = 60

(Pilih pangkat besar dan semua)

2. KPK dari 30 dan 45

a  pembilang

b  penyebut

I. PENJUMLAHAN/PENGURANGAN

Bila penyebut tidak sama harus disamakan dengan mencari kelipatan

Ex :

1. 1 + 3 = 2+3 = 5 2 4 4 4 Note :

a. Pecahan biasa dapat diubah menjadi pecahan campuran apabila pembilang lebih besar dari penyebut (5 : 4 =1 sisa 11 1 )

2. Pecahan campuran dapat diubah menjadi pecahan biasa

Ex : 3

2 4 = 2 x 4 + 3 4

2. 3 - 2 = 9-10 = -1 5 3 15 15 3. 4 - 5 =

5 7

 II. PERKALIAN

Langsung dikalikan Ex :

1. 2 x 3 = 6 5 7 35

2. 3 x 6 = 18 = 2 5 9 45 5 3. 4 x 2 =

 III. PEMBAGIAN a : c = a x d b d b c

Ex : 1. 3 : 6 = 3 x 9 = 27 = 9 5 9 5 6 30 10 2. 4 : 5 =

5 7

 Bentuk baku penulisan bilangan desimal:

a x 10

n

dengan 1 < a < 10 dan n ε bilangan bulat

bukan nol.

Ex : 3.000.000 = 3 x 10

6

500.000 = 5 x 10

5

 Bagaimana penulisan bilangan baku dari :

0,4 ?

Jawab : 0,4 = 4 = 4 x 10-1 10

Ex :

1. 0,03 = 3x 10-2

2. 0,005 = 5 x 10-3

3. 0, 00075 = 7,5 x 10-4

4. 5x 10-2 = 0,05

5. 3x103

 I. PECAHAN KE DESIMAL Ex : 2/3 =…

0, 0, 66 3 2  3 20  3 20

 III. PECAHAN KE PERSEN ( PER SERATUS)

 IV. PERSEN ( PER SERATUS) KE PECAHAN

Ex :

1. 20 % = 20/100 = 1/5 2. 40 % =

3. 35 % =

 V. DESIMAL KE PERSEN ( PER SERATUS) Ex :

1. 2,5 = …%

JAWAB : 2,5 X 100 % =250 %

Perkalian desimal dengan bilangan

kelipatan10 maka koma bergeser ke kanan sebanyak angka nol tersebut

 VI. PERSEN ( PER SERATUS) KE DESIMAL

Pembagian desimal dengan bilangan

kelipatan 10, 100,1000 dst  koma bergeser kekiri sebanyak angka nol tsb

 75 % = ¾ 10 % = 1/10  50 % ½ 5 % = 1/20

 331/3 % =1/3 4 _16/21 % = 1/21  25 % = ¼ 4 _6/11 % = 1/22  20% = 1/5 4 _1/6 % = 1/24  16 _2/3 % = 1/6 4 % = 1/25

Berapakah nilai pada soal berikut :

1.15 % dari Rp 450.000= 2.33 1/3 % dari 210.000 =

3.Pak Badrun membagikan hartanya Rp

150.000.000 kepada ke 4 anaknya. Anak 1,2 dan 3 masing-masing mendapat 1/3, 1/4 dan 1/5. Sisanya diberikan kepada anaknya yang ke 4. Berapakah harta yang diterima masing-masing anak?

4.Anita membeli baju dengan diskon 30%. Jika

 Perbandingan Umum

 Perbandingan dua besaran sejenis a dan b dinyatakan dalam bentuk a : b atau .

 Pada perbandingan berbentuk A:B= p:q, berlaku :

A = p/q x B B = q/p x A

Jika nilai A+B diketahui berlaku : A = p x (A+B) p+q

Jika nilai A-B diketahui berlaku : A = p x (A-B) p-q

B = q x (A - B) p-q

Contoh :

 1. Perbandingan p:q = 4:7. Jika q=49. Tentukan nilai p.

Jawab : p : q = 4 :7

 Perbandingan senilai Jika A dan B adalah dua besaran yang

diperbandingkan, semakin besar nilai A semakin besar nilai B atau sebaliknya.

A

B

a1

b1

 Contoh :

1. Untuk menempuh jarak 150 km, sebuah mobil membutuhkan bensin sebanyak

15Liter. Berapa Ltr bensin yang dibutuhkan untuk menempuh jarak 100km?

Jawab :

JARAK

BENSIN

150

15

100

X

 Perbandingan senilai jika A dan B adalah dua besaran yang diperbandingkan,

semakin besar nilai A semakin kecil nilai B atau sebaliknya.

A

B

a1

b1

 Contoh :

 Sebuah pekerjaan akan selesai dalam waktu 8 hari jika dikerjakan 10 orang. Jika

pekerjaan tersebut harus selesai dalam 5 hari, berapa orang yang dibutuhkan ?

Waktu Orang

8 10

5 y

1. Alia mempunyai uang Rp 350.000.

Perbandingan uang Alia dan Icha =5:9. Uang Icha sebesar ….

2. Selisih jepit Ana dan Ani =16. Jika

perbandingan jepit Ana dan Ani =7:9, Berapa jumlah jepit Ana?

3. Jumlah berat Lisa dan Lina 98 kg. Jika

4. Makanan untuk 150 ekor ayam habis

dalam 7 hari. Jika ayam hanya 120 ekor, makanan akan habis dalam berapa hari ? 5. 27 pekerja menyelesaikan proyek selama

 Adalah perbandingan antara ukuran pada gambar (peta) dan ukuran sebenarnya.

Skala digunakan untuk membuat peta, miniature dan maket.

 Skala 1 : 10.000 artinya 1 cm pada gambar mewakili 10.000 cm pada ukuran

sebenarnya.

 Skala = Ukuran gambar

 Contoh :

1.Jarak sebenarnya kota A-B=75 km. Jika jarak kedua kota adalah 2,5 cm. Tentukan skala

peta.

2. Jarak kota A-B pada peta 1,5 cm, berskala 1 : 1.500.000 , maka jarak sebenarnya ?

3. Ana menggambar dengan skala 1:250. Jika tinggi pohon sebenarnya 12 m, maka tinggi pohon di gambar?

4. Andi menggambar denah tanah ukuran 2,5 cm x 5 cm dengan skala 1:38. Maka luas

sebenarnya tanah tersebut …m2 ?

 Jawab :

2. Jarak sebenarnya = Jarak peta skala

= 15

1/ 1.500.000 =15 x 1.500.000

 Akar senama adalah akar yang memiliki indeks sama, ex : √3, √5 , √7 dll

 Akar sejenis adalah akar yang memiliki indeks dan bilangan pokok sama

Ex : Sederhanakan 1. 4√5 + 2 √5 =

Jawab : (4+2) √5 = 6 √5 2. √75 + √12- √300 =

Jawab : √25.3 + √4.3 - √100.3

5 √3 + 2 √3 -10 √3 = -3 √3 3. √18+ √32- √50 =

1. ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2

2. ( x - y )2 = x2 - 2xy + y2 3. x2 - y 2 =(x + y)( x – y)

MENYAMAKAN PECAHAN BERBENTUK AKAR

DIKALIKAN DENGAN AKAR SEKAWAN

1. 2 = √2

2. 3 = 2+√b

Jawab : 3 x 2-√b = 6- √b 2+√b 2-√b 4- b 3. 5 =

3-√a