Matematika Teknik TPE 214 ( 3 + 0 ) SKS

(1)

Matematika Teknik

TPE 214 / ( 3 + 0 ) SKS

Dr. Andasuryani, STP,MSi

Putri Wulandari Zainal, STP, MSi.

Konsep Dasar Persamaan

(2)

KONTRAK PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah

: Matematika Teknik

Kode Mata Kuliah

: TPE 214

Pengajar

: Dr. Andasuryani, STP,MSi

: Putri Wulandari Z, STP,MSi

(3)

Mata Kuliah

Matematika Teknik

merupakan kelompok mata kuliah

Ipteks Pendukung

yang wajib diambil oleh mahasiswa. Mata kuliah

ini ditawarkan dengan bobot 3 (3+0) sks untuk membantu

mahasiswa mempelajari karakteristik dan jenis persamaan

diferensial, metoda pemecahan persamaan diferensial dan sistem

persamaan diferensial serta contoh aplikasinya pada bidang teknik.

Mata kuliah ini dilaksanakan secara

Team Teaching

(diampu beberapa

dosen).

Latar Belakang

(4)

Deskripsi Mata Kuliah:

Nama Mata Kuliah

: Matematika Teknik

Kode Mata Kuliah/ SKS

: TPE 214 /3 (3+0)

Pelaksanaan

: Semester (Ganjil)

Prasyarat

: Kalkulus

Status Mata Kuliah

: Wajib

No.

Pokok Bahasan

1 _{Konsep Dasar Persamaan Diferensial}

2 _{Persamaan diferensial biasa (PDB) orde satu}

3 _{Aplikasi persamaan diferensial biasa orde satu}

4 _{Persamaan diferensial biasa orde tinggi}

5 _{Integral lipat dan aplikasinya}

6 _{Matrik dan matrik eksponensial}

7 _{Pemecahan PDL dengan matrik}

8 _{Operator polinomial}

(5)

Tujuan

Pembelajaran



Setelah mengikuti mata kuliah ini diharapkan mahasiswa

mampu m

enyelesaikan persoalan-persoalan

persamaan diferensial dan sistem persamaan

diferensial serta contoh aplikasinya pada bidang

teknik khususnya teknik pertanian.

(6)



Self-Directed Learning (SDL)

: untuk merumuskan sistem

perkuliahan dan silabus MK



Contextual Teaching and Learning (CTL)

: dengan memberikan

contoh kasus dalam kehidupan sehari

–

hari



Small Grup Discussion

dan

Cooperative Learning (CL)

: membagi

mahasiswa menjadi kelompok

–

kelompok untuk berdiskusi tentang

pokok bahasan



Student Centered Learning (SCL).

(7)

Referensi



RK Jain & SRK Iyengar. 2002. Advanced Engineering

Matehmatics. Alpha Science International Ltd. Pangbourne

England.



Zill, Dennis G. 1982. A first course in differential equation with

applications. Prindle, Weber &Schmidt. Boston.



Bronson R. 2003. Theory and Problems of Differential

Equations.

Schaum’s

Outline Series, Mc Graw Hill.



John, Bird. 2007.Engineering Mathematics. Elsevier Ltd. USA

(8)



Setiap mahasiswa diwajibkan mengikuti latihan dan penyelesaian

tugas yang diberikan oleh dosen.



Setiap mahasiswa diwajibkan menyerahkan tugas-tugas yang

diberikan sesuai dengan jangka waktu yang ditetapkan.



UTS akan diadakan pada minggu ke-8 sedangkan UAS pada minggu

ke-16

(9)

Norma Akademik



Akan mengikuti perkuliahan dengan sungguh-sungguh.



Akan menjujung tinggi aspek kejujuran dan tidak akan

membuat kecurangan, mengganggu proses belajar

mengajar, dan plagiatisme.



Kecurangan dalam ujian, nilai mata kuliah yang

bersangkutan nol.



Kehadiran perkuliahan mahasiswa minimal 80% dari total

pertemuan kuliah yang terlaksana.

(10)

Norma Akademik



Kegiatan pembelajaran sesuai dengan jadwal resmi dan jika

terjadi perubahan ditetapkan bersama antara dosen dan

mahasiswa.



Baik dosen maupun mahasiswa bersedia untuk menghadiri kelas

tepat pada waktunya.



Jika keterlambatan terjadi 15 menit setelah waktu yang

ditentukan (tanpa ada konfirmasi sebelumnya kepada penanggung

jawab kelas/dosen) maka orang/dosen tersebut bersedia untuk

tidak masuk kelas (Absen).



Jika tidak bisa menghadiri kelas karena izin / sakit maka disertai

dengan Surat Pengantar/Surat Dokter.

(11)

Diferensial-Norma Akademik



Tidak menggunakan fasilitas telekomunikasi selama

berlangsungnya perkuliahan.



Pengumpulan tugas ditetapkan sesuai jadwal.



Berpakaian sopan dan bersepatu dalam perkuliahan.



Pakai baju/ kemeja putih dan celana hitam untuk pria dan

rok hitam bagi perempuan pada saat UTS dan UAS



Mematuhi norma akademik lainnya.

(12)

Penilaian

Ujian MID

Ujian UAS

Kuis

Tugas dan

PR

Kehadiran

Keaktifan di

kelas

Etika

Persentase (%)

25

15

10

5 Pe

rs

ent

as

e

N

ila

i (

%

(13)

Pelaksanaan Mata Kuliah:

No.

Pokok Bahasan

1 Pendahuluan: Penyampaian RPS

2 Konsep Dasar Persamaan Diferensial

3 Persamaan diferensial biasa (PDB) orde satu

4 Aplikasi persamaan diferensial biasa orde satu

5 Persamaan diferensial biasa orde tinggi

6 Integral lipat dan aplikasinya

(14)

Dosen Pengampu:



Dr. Andasuryani, S.TP, M.Si

(15)



Apa yang saudara ketahui dari istilah berikut dan berikan

contoh:

1)

Orde

2) Derajat

3) Syarat awal

4) Syarat batas

5) Persamaan diferensial implisit

6) Persamaan diferensial eksplisit

(16)



Sebutkan jenis persamaan diferensial berikut:



Selesaikan persamaan diferensial berikut:

(17)

Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)

Konsep Dasar Persamaan Diferensial

Kuliah ke : 2

Dr. Andasuryani, STP, MSi

(18)

OUTLINE



Konsep Dasar Persamaan Diferensial



PENGERTIAN/ DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL



KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL

(19)

TUJUAN



Mempelajari definisi persamaan diferensial.



Mempelajari klasifikasi persamaan diferensial



Mempelajari bentuk-bentuk solusi persamaan diferensial

(20)



Persamaan diferensial sangat penting di dalam matematika

untuk

merekayasa

sebab banyak hukum dan hubungan fisika

muncul secara matematis dalam bentuk persamaan

diferensial.



Persamaan diferensial dalam bidang teknik umumnya

digunakan untuk memodelkan sistem dinamis, yaitu sistem

yang berubah menurut waktu.



Contoh:



Rangkaian linstrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu



Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran dll selalu berubah terhadap

waktu



Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah



Hubungan antara masukan dan keluaran pada sistem yang bersifat dinamis

–

(21)

(22)

Beberapa

aplikasi

(23)

a) Definisi



Persamaan diferensial (PD):



Persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan

derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas.



Contoh:

(24)

b) Klasifikasi PD

Klasifikasi

PD

Berdasarkan tipe

PD Biasa (PDB)

PD Parsil (PDP)

Berdasarkan

orde

Orde 1

Orde 2, dst

Berdasarkan

derajat (degree)

Derajat 1

Derajat 2, dst

Berdasarkan

nilai variabel

bebas

Syarat awal (IC)

Syarat Batas (BC)

Berdasarkan

liniearitas

Linear

Non linear

Berdasarkan

homogenitas

Homogen

(25)

Berdasarkan Tipe



Persamaan diferensial biasa (PDB)



Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel

independent



Persamaan diferensial parsial (PDP)



Persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel

independent

(26)

(27)



Persamaan diferensial orde 1 ditulis secara matematis sebagai

berikut:



Persamaan diferensial orde 2 ditulis secara matematis sebagai

berikut:

)

Berdasarkan Orde

(28)

(29)

Berdasarkan Derajat

(30)

Berdasarkan Nilai Variabel Bebas



Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi

tambahan dengan sebuah

nilai yang sama

pada variabel

independent-nya

(baik fungsi maupun turunannya), maka

dikatakan persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai

awal (

intial-value problem

).



Jika kondisi tambahan yang diberikan merupakan

nilai yang

(31)



Contoh:



merupakan bentuk

initial-value problem

, karena terdapat dua kondisi

tambahan yaitu pada x=

π

_{dengan y(}

π

_{)=1 dan}

y’(π

₎₌₂



merupakan bentuk

boundary

–

value problem

, karena dua kondisi

tambahan diberikan pada nilai x yang berbeda yaitu pada x=0 dan x =

1. Berdasarkan Nilai Variabel Bebas

2

(32)

(33)



Persamaan diferensial dikatakan linear jika:



Variabel

dependent

dan turunannya berpangkat satu



Tidak ada perkalian antara variabel

dependent

dan turunannya



Variabel

depedent

tidak berbentuk fungsi non-linear, seperti fungsi

sinus, cosinus, eksponensial

Berdasarkan Linearitas dan

Homogenitas

linear

(34)

(35)

t

Contoh:

Tentukan apakah persamaan berikut linear atau tidak linear

(36)

Contoh:

(37)



Solusi eksplisit :



Solusi PD dengan variabel bebas dan tak bebas

dapat

dibedakan

dengan jelas



Contoh: y=x

2 + 5x +4



Solusi implisit:



Solusi PD dengan variabel bebas dan tak bebas

tidak dapat

dibedakan

dengan jelas



Contoh: x

2 + y

2 = 25 atau x

2 + y

2 -25 =0

BENTUK SOLUSI

(PENYELESAIAN) PDB

(38)

Matematika Teknik (TPE 214 / 3+0 SKS)

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

Kuliah ke : 3

(39)

OUTLINE



Persamaan Diferensial Orde 1



PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG



PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL



PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI



PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK



PENYELESAIAN PERSAMAAN BERNOULLI



PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK

Q

(40)

TUJUAN



Mampu memahami dan menyelesaikan PD orde 1 dengan integral langsung

dan pemisahan variabel



Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan homogen dengan subsitusi

y =v. x



Mampu memahami dan menyelesaikan PD linear dalam bentuk



Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Bernoulli



Mampu memahami dan menyelesaikan PD Eksak dan Tak Eksak

Q

Py

dx

(41)

a).

Penyelesaian PDB dengan Integral Langsung



Persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk



Solusinya dapat diselesaikan dengan integral sbb:

)

(42)



Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c :

SOLUSI UMUM/ PRIMITIF

(43)

Contoh



Selesaikan persamaan diferensial berikut:



Selesaikan persamaan diferensial berikut:



Selesaikan persamaan diferensial berikut:



Selesaikan persamaan diferensial berikut:



Tentukan solusi khusus dari persamaan

5

(44)

Tugas



Tentukan PDB dari persamaan berikut:



Tentukan solusi PD dengan nilai awal yang diketahui:

(45)

b).

Penyelesaian PDB dengan Pemisahan Variabel



Persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk



Solusinya dapat diselesaikan dengan integral sbb:

)

(46)

Contoh 1-PDB dengan pemisahan variabel

)

1 )(

1 (

x

y

dx

dy



(47)

Contoh 2- PDB dengan pemisahan variabel

0

4

9 

x



dx

dy

y

(48)

Tugas PDB dengan pemisahan variabel



Tentukan PDB dari persamaan berikut:

(49)

c).

Persamaan homogen dengan subsitusi y = vx



Bila persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan maka

penyelesaiannnya dapat dilakukan dengan

subsitusi y =

v.x

, dengan v adalah fungsi x dari y = v. x.



Diferensial dari persamaan y = v.x:

dx

(50)

Contoh 1- PDB dengan subsitusi y = v. x

x

y

x

dx

dy

(51)

Latihan



Selesaikan PD berikut

0 )

(

)

(

x

2 

y

2 dx



x

2 

xy

dy



(52)

d).

Persamaan diferensial dalam bentuk



Bila persamaan diferensial dalam bentuk



Dapat diselesaikan dengan mengalikan ke dua ruas

dengan

faktor integrasi

Q

Py

dx

dy





Q

Py

dx

dy







P

x

dx

(53)

Contoh

(54)

(55)

Latihan

(56)

Latihan subsitusi y= v x



Selesaikan PD berikut

0 )

(

)

(57)

Latihan



Selesaikan PD berikut

0 )

(

)

(

x

2 

y

2 dx



x

2 

xy

dy



(58)

Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

(Lanjutan)

Kuliah ke : 4

(59)

OUTLINE



Persamaan Diferensial Orde 1



PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG



PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL



PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI



PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK



PENYELESAIAN PERSAMAAN BERNOULLI



PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK

Q

(60)

TUJUAN



Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan homogen dengan subsitusi



Mampu memahami dan menyelesaikan PD linear dalam bentuk



Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Bernoulli

Q

Py

dx

dy





n

Qy

Py

dx

dy





(61)

c).

Persamaan homogen dengan subsitusi y = vx



Bila persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan maka

penyelesaiannnya dapat dilakukan dengan

subsitusi y =

v.x

, dengan v adalah fungsi x dari y = v. x.



Diferensial dari persamaan y = v.x:

dx

(62)

Contoh 1- PDB dengan subsitusi y = v. x

x

y

x

dx

dy

(63)

Latihan



Selesaikan PD berikut

0 )

(

)

(

x

2 

y

2 dx



xy



x

2 dy



(64)

d).

Persamaan diferensial dalam bentuk



Bila persamaan diferensial dalam bentuk



Dapat diselesaikan dengan mengalikan ke dua ruas

dengan

faktor integrasi

Q

Py

dx

dy





Q

Py

dx

dy







P

dx

(65)

Contoh 1

(66)

(67)

Latihan

(68)

e).

PDB Bernoulli

Persamaan diferensial dalam bentuk dengan P dan Q

merupakan fungsi x atau konstanta.

Solusinya dapat diselesaikan dengan cara

(69)

Supaya suku pertama dari persamaan dapat

(70)

C). Persamaan didapat diselesaikan dengan faktor

integrasi

D). Setelah diperoleh penyelesaian untuk z, subsitusi untuk

mendapatkan

1 1

.

z

Q

P

dx

dz





n

y

z



1

(71)

Contoh PD Bernoulli



Selesaikan persamaan diferensial berikut:

2 .

y

x

y

dx

dy





(72)

Latihan PD Bernoulli



Selesaikan persamaan diferensial berikut:

(73)

Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

(Lanjutan)

Kuliah ke : 5

Dr. Andasuryani, STP,MSi.

(74)

OUTLINE



Persamaan Diferensial Orde 1



PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG



PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL



PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI



PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK



PENYELESAIAN PERSAMAAN BERNOULLI



PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK

(75)

TUJUAN



Mampu memahami dan menyelesaikan PD Eksak



Mampu memahami dan menyelesaikan PD Tak Eksak

(76)

f).

PDB Eksak

Persamaan diferensial dalam bentuk

dikatakan eksak jika terdapat fungsi Q(x,y) sehingga

(77)

1. Tulislah PD dalam bentuk diferensial

2. Lakukan uji eksak

3. Jika sudah eksak, integral M terhadap x atau N terhadap y.

Misalkan pilih M, maka

Langkah-langkah untuk penyelesaian eksak





(78)

4. Turunkan Q terhadap y dan samakan hasilnya dengan N(x,y)

Turunkan Q terhadap x dan samakan hasilnya dengan M(x,y)

5. Integralkan

g’(y)

untuk mendapatkan g(y)

Integralkan

g’(x)

untuk mendapatkan g(x)

6. Tuliskan persamaan umum dalam bentuk implisit

7. Tentukan nilai c jika diberi kondisi awal



(

,

)



'

(

)

Langkah-langkah untuk penyelesaian eksak



(

,

)



'

(

)

(79)

Contoh PD Eksak



Selesaikan persamaan diferensial berikut:

3

(80)

f).

PDB Tak-Eksak

Persamaan diferensial dalam bentuk dikatakan

tidak eksak jika



Untuk mengubah PD tak eksak menjadi eksak, maka dikalikan

dengan faktor integral x.

(81)

1. Tulislah PD dalam bentuk diferensial

2. Lakukan uji eksak, jika tidak eksak kalikan dengan faktor

integral x,

3. Lakukan uji eksak lagi, jika sudah eksak maka

langkah-langkahnya sama dengan penyelesaian PD eksak.

0 )

,

(

)

,

(

x

y

dx



N

x

y

dy



M

Langkah-langkah untuk penyelesaian PD tak-eksak

(82)

Contoh PD Tak-Eksak



Selesaikan persamaan diferensial berikut:

0 )

.

2 (







y

x

e

dx

dy

(83)

Latihan PD Eksak



Selesaikan persamaan diferensial berikut:

)

(84)

Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)

Aplikasi Persamaan Diferensial Orde 1

Kuliah ke : 6

(85)

OUTLINE



Aplikasi Persamaan Diferensial Orde 1



PERTUMBUHAN DAN KERUSAKAN



PENDINGIAN



RANGKAIAN LISTRIK



CAMPURAN KIMIA

(86)

TUJUAN



Mampu memahami dan menyelesaikan beberapa

(87)

a).

Pertumbuhan dan Kerusakan

Persamaan diferensial yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan persoalan

pertumbuhan dan kerusakan adalah

konstant

)

(

₀ ₀



k

x

t

x

kx

dt

dx

(88)

Contoh

N

₀

adalah jumlah bakteri pada kondisi awal. Pada t=1 jam,

jumlah bakteri yang terukur adalah 3/2 N

₀

. Jika laju

pertumbuhan bakteri adalah proporsional terhadap jumlah

bakteri, maka

a). Tentukan jumlah bakteri sekarang

(89)

Diketahui:

t

₀

= N

₀

t

₁

= 3/2 N

₀

Ditanya:

N

_(t)

t

pada saat N= 3N

₀

(90)

(91)

b).

Pendinginan

Hukum Newton tentang pendinginan menyatakan bahwa laju

perubahan suhu adalah sebanding dengan perbedaan suhu

antara benda dengan lingkungan

konstanta

(92)

Contoh

(93)

Diketahui:

t

₀



T= 300

0

F. t

₃



T= 200

0

F. Ditanya:

T

_(t)

t

pada saat T= 70

0

F.

(94)

t(menit)

Tt

20.1317

75

(95)

c).

Rangkaian seri L-R

Pada rangkaian seri yang terdiri dari resistor dan induktor,

Hukum Kirchoff ke dua menyatakan bahwa penjumlahan

tegangan yang melewati induktor (L(di/dt)) dan resistor (i

R) adalah sama dengan E(t) padan rangkaian.

sistem

dari

response

dengan

disebut

kadng

(96)

Contoh

(97)

Diketahui:

L= 0.5

R = 10

E = 12

i

₀



i= 0

Ditanya:

I

_(t)

(98)

(99)

Contoh

Pada saat awal, sebanyak 50 pounds garam dilarutkan dalam

tangki dengan 300 gallon air. Larutan air garam dipompakan

ke dalam tangki pada kecepatan 3 gallon per menit dan

larutan yang teraduk dengan baik akan dipompakan keluar

pada kecepatan yang sama. Jika konsentrasi larutan yang

masuk adalah 2 pounds per gallon, tentukan jumlah garam di

dalam tangki pada suatu waktu. Berapa banyak garam

setelah 50 menit.

Jika larutan yang teraduk dengan baik dipompakan keluar

dengan kecepatan 2 galloan per menit, berapa jumlah garam

dalam tangki pada suatu waktu

(100)

Diketahui:

A

₀

= 50

vi = 3 gallon/ menit

vo = 3 gallon/ menit

ci = 2 pound/ gallon

Ditanya:

A

_{(t) ,}

A

₍₅₀₎

pada kecepatan masuk bahan=keluar

A

_(t)

pada kecepatan masuk

bahan≠keluar

(101)

t

At

0

50

266.408

100

397.666

150

477.278

200

525.566

250

554.853

300

572.617

(102)

Matematika Teknik

Integral Lipat dan Aplikasinya

(103)

OUTLINE



Integral Lipat 2



Intehral Lipat 3

(104)

TUJUAN



Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan

(105)

Tentukan penyelesaian dari persamaan integral lipat 2

berikut:

 

1 ).

Integral

Lipat

a

(106)

Tentukan penyelesaian dari persamaan integral lipat 2

berikut:

  

).

Integral

Lipat

(107)



Mencari luas bidang yang dibatasi grafik.

(108)



Pias vertikal

pias

Jenis

-10 -5 0 5 10 15 20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y=x^2 Y=2x+3

(109)



Pias horizontal

pias

Jenis

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y^2=4-4x Y^2=4-x

dy

dx

(110)

Hitung luas kurva antara

y



x

2 dan

y



2 x



3 vertikal

Pias

Contoh

-10 -5 0 5 10 15 20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y=x^2 Y=2x+3

(111)

Hitung luas kurva antara

(112)

Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)

Matrik

Kuliah ke : 8-9

(113)

Matriks



Adalah set bilangan real atau bilangan

kompleks (elemen-elemen) yang disusun

dalam baris dan olom sehingga membentuk

jajaran persegi panjang (rectangular array)

(114)

o

suatu matriks yang memiliki baris (m) dan

kolom (n) disebut sebagai matriks yang

memiliki orde m x n

= 2 x 3

Contoh soal :

(115)

2. = matriks berode ...

3. = matriks berode ...

(116)

Matriks Baris & Matriks Kolom

o

Matriks baris adalah suatu matriks baris yang

terdiri dari satu baris saja

o

Matriks kolom adalah suatu matriks kolom

(117)

Contoh Soal :

1. = matriks ... Berode ...

2. = matriks ...

Berode...

3. = matriks...

Berode...

(118)

Penambahan & Pengurangan Matriks

1. + =

=

2. - =

(119)

Perkalian Matriks

1. Perkalian Skalar

4 x =

2. Perkalian dua matriks

Jika A = (aij) =

b = (bij) =

(120)

Maka A.b = .

=

Contoh :

(121)

Maka A . B =

=

Matriks 3 x 2 dan 2 x4 menghasilkan matriks 3

x 4

(122)

Transpos



Jika baris dan kolom suatu matriks disaling

tukarkan :

Yaitu baris pertama menjadi kolom pertama

baris kedua menjadi kolom kedua

baris ketiga menjadi kolom ketiga



Maka matriks yang baru dibentuk disebut

(123)

Jika A = , maka =

(124)

Determinan Suatu Matriks Bujur Sangkar

Determinan dari ialah

Det A = = - -

(125)

Quiz (45 menit)

1. A = , dan B = , maka A. B

=...

dan = ...

(126)

Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)

Pemecahan DPL dengan Matrik

Kuliah ke : 10-12

(127)

ADJOIN SUATU MATRIKS BUJUR

SANGKAR

Langkah-langkah untuk adjoin matriks

bujur-sangkar A adalah

1. Bentuk matriks C kofkator

2. Tulis transpos C, yakni

A =

(128)

Matriks baru C dari kofaktor-kofaktornya

C = dimana merupakan

kofaktor

merupakan

kofaktor

= + = +(0-24) = - 24

= - = -(0-6) = 6

(129)

= - = 20

= + = -5

= - = -5

= + = 13

= - = 8

= + = -10



Matriks kofaktor ialah

C =

(130)

INVERS SUATU MATRIKS

BUJUR-SANGKAR



Jika setiap elemen adjoin A dibagi dengan nilai

determinan A (asalkan ≠ 0) maka matriks yang

dihasilkan disebut invers A ( )



Langkah-langkah untuk membentuk invers:

1. Tentukan nilai determinan A

2. Bentuklah matriks C kofaktor dari elemen

3. Tulislah transpos C ( ) untuk memperoleh adjoin

A

4. Bagilah setiap elemen dengan

5. Matriks yang dihasilkan ialah invers dari matriks

(131)

Det A = =

= 2 (0-24)

–

3 (0-6) + 5 (16-1)

= 45

Matriks kofaktor C =

Adjoin A yakni =

Invers A adalah

=

(132)

Hasil Kali Suatu Matriks Bujur-Sangkar

dan Inversnya

Mis A =

= 1/28

Maka . A = 1/28

= 1/28

=

= I

(133)



Maka hasil kali dari matriks bujur sangkar dan

inversnyaialah matriks satuan dengan orde

matriks yang sama



Matriks satuan ialah suatu matriks diagonal

(134)

Invers Suatu Matriks Bujur Sangkar

mengggunakan Vektor



Cara ini didasarkan atas suatu fakta bahwa

inverse suatu matriks A memenuhi syarat

sebagai berikut :

(135)

A = , cari

Misalkan

=

(1)

=

(2)

2a + 3c = 1

(3)

2b + 3d = 0

(4)

3a + 5c = 0

(5)

3b + 5d = 1

(136)

a = 5, b = -3

= =

Subsitusi (1) & (2)

2a + 3c = 1 x3 6a + 9c = 3

3a + 5c = 0 x2 6a + 10c = 0

• C = -3

Subsitusi

(2) & (3)

(137)

PENYELESAIAN SET PL

(138)

(139)

(140)

Contoh soal

(141)

(142)

Metode Eliminasi Gaus untuk

(143)

(144)

Contoh Soal

(145)

2. Hitunglah x1, x2, x3, dan x4 dari Persamaan

(146)

ATURAN CRAMER

Beberapa langkah langkah pemecahan

Sistem Persamaan Linear menggunakan

metode cramer antara lain :

1. Ubah persamaan linier menjadi matriks

2. Hitung nilai determinan A

3. Nilai variabel

a. Ganti kolom pertama dengan nilai ruas

kanan (h1, h2, h3)

(147)

3. Nilai variabel

a. Ganti kolom kedua dengan nilai ruas

kanan (h1, h2, h3)

b. Hitunglah nilai variabel dengan

cara :

(148)

Contoh Soal

(149)

Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)

Persamaan Lininer dan Persamaan Linier

Simultan

Kuliah ke : 13-14

Putri Wulandari Zainal, STP, MSi

(150)

Penyelesaian persamaan sederhana



Pada dasaranya berupa penyederhanaan

pernyataan pada setiap sisi persamaan

tersebut untuk memperoleh suatu persamaan

yang berbentuk :

ax + b = cx + d

menghasilkan,

Ax

–

cx = d

–

b

(151)

contoh

KPK dari 2,3,4,&6 ialah 12

6(x+2)

–

4(x+5) = 3(2x-5) + 2(x+3)

(152)

Persamaan linear simultan dengan dua anu

(Variabel)

Suatu PL dalam dua variabel meiliki sejumlah

penyelesaian yang tak terhingga. Contoh:

y

–

x = 3 y = x + 3

Penyelesaian PL dapat dilakukan dengan 2 cara

yaitu :

1. Penyelesaian subsitusi

2. Penyelesaian dengan menyamakan koefisien

(153)

1. Penyelesaian dengan subsitusi

Untuk menyelessaikan sepasang persamaan :

5x + 2y = 14...(1)

3x

–

4y = 24...(2)

Dari (1) : 5x + 2y = 14

y = 7

–

5x/2 ...(3)

Subsitusikan (3) pada (2), maka

(154)

2. Penyelesaian dengan menyamakan

koefisien

Untuk menyelesaikan persamaan berikut :

3x + 2y

–

z = 19 ...(1)

4x

–

y + 2z = 10 ...(2)

2x + 4y

–

5z = 32 ...(3)

(1)

3x + 2y

–

z = 19 x2 6x + 4y

–

2z = 38

(2)

4x

–

y + 2z = 10 x1 4x

–

y + 2z = 4

(155)

(1) 3x + 2y

–

z = 19 x5 15x + 10y

–

5z = 95

(3) 4x

–

y + 2z = 10 x1 2x + 4y - 5z = 32

13x + 6y = 63.(5)

(4) 10x + 3y = 42 x2 20x + 6y = 84

(5) 13x + 6y = 63 x1 13x + 6y = 63

x = 3

(4) 10x + 3y = 42

y = 4

(2) 4x

–

y + 2z = 10

(156)

Persamaan polinom



Persamaan kuadratik

1. Penyelesaian dengan faktor

2. Penyelesaian dengan melengkapi kuadrat

(157)

1. Penyelesaian dengan faktor

1. (x+7)(x-2)=0 ; x = -7 , x = 2

2. x = 3 , x = 6

3. x = -4 , x = -7

4.

(158)

Contoh 1

a=3, b=14, c=8

Pengujian untuk faktor sederhana :

= 100 =

ac = 24 , faktor-faktor 24 yg mungkin ialah (1 ,

24), (2 ,12), (3 , 8), dan (4 , 6).

C positif : faktor tersebut dijumlah menjadi b yaitu

(2 , 12)

(159)

=

= x(3x+2) + 4(3x+2) =0

= (3x + 2)(x+4) = 0

(160)

2. Penyelesaian dengan melengkapi

kuadratnya



Syarat : jika persamaan kuadratik tidak dapat

difaktorisasi menjadi dua faktor sederhana.

Tambahkan 4 dikedua sisi

(161)

3. Penyelesaian dengan rumus



Kita dapat membuat suatu rumus untuk

menyelesaikan persamaan kuadratik umum

yang didasarkan pada metode

penyelesaian kuadratnya :

Bagi dengan koefesien x yaitu a

Kurangkan c/a dari kedua sisi

(162)

(163)