Sistem Bilangan Pangkat Akar dan Logarit

Sistem Bilangan, Pangkat,Akar dan Logaritma MATEMATIKA EKONOMI

OLEH

Nama : Halma Elgita Destridianty Npm : 16.61.201.02.01197 Kelas : Manajemen 1 B

Dosen : Siti Rahmah, S. Pd., M.Pd

PROGRAM STUDI MANAJEMEN

SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI NUSANTARA SANGATTA

Sistem Bilangan

Sistem Bilangan atau Number System adalah Suatu cara untuk

mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu : Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelesan mengenai 4 Sistem Bilangan ini :

1. Desimal (Basis 10)

Desimal (Basis 10) adalah Sistem Bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat

berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction).

Untuk melihat nilai bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan :

masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah Nilai Penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.

Dengan begitu maka bilangan desimal 8598 bisa diartikan sebagai berikut :

Sistem bilangan desimal juga bisa berupa pecahan desimal (decimal fraction), misalnya : 183,75 yang dapat diartikan :

2.Biner(Basis2)

Position Value dalam sistem Bilangan Biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada tabel berikut ini :

Berarti, Bilangan Biner 1001 perhitungannya adalah sebagai berikut :

3. Oktal (Basis 8)

Position Value dalam Sistem Bilangan Oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis), seperti pada tabel berikut ini :

Berarti, Bilangan Oktal 1022 perhitungannya adalah sebagai berikut :

4. Hexadesimal (Basis 16)

Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan Desimal berarti 10 adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada Sistem Bilangan Hexadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai Huruf F mewakili angka 15.

Contoh Hexadesimal F3D4, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :

Berarti, Bilangan Hexadesimal F3DA perhitungannya adalah sebagai berikut :

Sistem Bilangan Binari

Sistem bilangan binari adalah sistem bilangan yang menggunakan basis 2. Sistem bilangan binari menggunakan 2 macam simbol yaitu : 0 dan 1 Position value dalam sistem bilangan binari merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada tabel berikut ini

Berarti, bilangan binari 1001 perhitungannya adalah sebagai berikut :

Contoh, bilangan binari 101101 dapat dilihat nilainya dalam sistem bilangan desimal menggunakan rumus diatas sebagai berikut :

Penjumlahan Bilangan Binari

Pertambahan atau penjumlahan pada sistem bilangan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan penjumlahan pada sistem bilangan desimal. Dasar pertambahan/penjumlahan pada masing-masing digit bilangan binari adalah sebagai berikut :

Contoh pertambahan bilangan binari misalnya 1111 + 10100 hasilnya adalah 100011 dengan cara sebagai berikut :

Pengurangan Bilangan Binari

Berbagai contoh pengurangan pada sistem bilangan binari bisa dilihat dibawah ini :

KOMPLEMEN (COMPLEMENT)

Pengurangan juga bisa dilakukan dengan komplemen. Komplemen ada du macam yaitu :

 Komplemen basis minus 1 (radix-minus-one complement)

 Komplemen basis (radix complement)

Pada sistem bilangan desimal dikenal dua macam komplemen yaitu :

 Komplemen 9 (9s complement)

 Komplemen 10 (10s complement)

Sedangkan pada sistem bilangan binari juga ada 2 macam komplemen yaitu :

 Komplemen 1 (1s complement)

Contoh pengurangan dengan komplemen 9 pada sistem bilangan desimal adalah seperti berikut :

Komplemen 9 dari suatu sistem bilangan desimal dilakukan dengan mengurangkan angka 9 untuk masing-masing digit dalam bilangan pengurangan. Perhatikan, pada komplemen 9, digit 1 paling ujung kiri dipindahkan untuk ditambahkan pada digit yang paling kanan.

Contoh pengurangan dengan komplemen 10 pada sistem bilangan desimal bisa dilihat pada contoh berikut :

Komplemen 10 dari bilangan desimal adalah hasil komplemen 9 ditambah 1, misalnya komplemen 10 dari nilai 321 adalah 679 (atau dengan cara 1000 – 321 = 679). Pada komplemen 10, hasil digit 1 yang

paling kiri dibuang (tidak digunakan).

Cara yang sama dapat dilakukan pada sistem bilangan binari. Contoh pengurangan pada sistem bilangan binari dengan komplemen 1 adalah

Komplemen 1 di sistem bilangan binari dilakukan dengan mengurangkan setiap bit (digit) dari nilai 1, atau dengan mengubah setiap bit 0 menjadi 1 dan bit 1 menjadi 0. Dengan komplemen 1, hasil digit paling kiri dipindahkan untuk ditambahkan pada bit paling kanan. Sedangkan contoh pengurangan dengan komplemen 2 pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :

Komplemen 2 pada sistem bilangan binari adalah hasil dari komplemen 1 ditambah 1, misalnya komplemen 2 dari binari 10110 adalah 01010 (dari komplemen 1 yaitu 01001 ditambah 1). Dengan komplemen 2, hasil digit paling kiri dibuang (tidak digunakan).

Perkalian Bilangan Binari

Contoh perkalian pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :

Perhatikan, ada 2 keadaan dalam perkalian pada sistem bilangan binari yaitu :

 Jika pengali adalah bilangan 1, maka cukup disalin saja.

 Jika pengali adalah bilangan 0, maka hasilnya semuanya 0.

Pembagian Bilangan Binari

Contoh pembagian pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :

BENTUK PANGKAT

1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a

pangkat n didefinisikan sebagai berikut :

Pengertian pangkat tersebut diperluas, yaitu untuk

berlaku

:

2).Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat

1

. Pangkat Bulat Positif

Konsep pangkat bilangan berawal dari perkalian, yang bertujuan

untuk meringkas penulisan perkalian dari bilangan-bilangan

dengan faktor-faktor yang sama. Sehingga

2 × 2 × 2 = 2

3

3 × 3 × 3 × 3 = 3

4

dan seterusnya.

Secara umum, bilangan berpangkat dapat ditulis sebagai berikut:

a

n

= a × a × a ×……..× a ( sebanyak n faktor)

dimana a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.

a. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif

Jika a dan b bilangan real serta n,p dan q bilangan bulat positif

maka berlaku:

1.

a

p

× a

q

= a

p+q

2.

a

p

: a

q

= a

p-q

3.

(a

p

)

q

= a

pq

4.

(a × b)

n

= a

n

× b

n

5.

(a/b)

n

= ( a

n

/ b

n

)

Bagaimana buktinya? Mari kita buktikan bersama-sama!

1. a

p

× a

q

= a

p+q

Bukti:

a

p

× a

q

= (a × a × … × a) × (a × a × … × a)

= a × a × … × a p+q faktor

= a

p+q

2. a

p

: a

q

= a

p-q

Bukti:

a

p

: a

q

= (a × a × … × a) : (a × a × … × a)

= a × a × … × a …… faktor

= a

p-q

3. (a

p

)

q

= a

pq

Bukti:

(a

p

)

q

= [(a × a × … × a)]

q

= (a × a × … × a)× (a × a × … × a) ×….× (a × a × … × a)

= a × a × … × a …… faktor

= a

pq

Berdasarkan contoh-contoh di atas, coba anda buktikan

sifat-sifat yang lain.

Berkembang dari pengertian pangkat sebagai suatu perkalian

berulang, pangkat suatu bilangan bisa bulat positif, negative, nol

bahkan bilangan pecahan.

1.

a. Pengertian bilangan berpangkat nol dan pangkat

bulat negatif

Jika p dan q bilangan bulat positif, kita sudah memiliki rumus

a

p

: a

q

= a

p-q

.



Jika p = q, maka a

p

= a

q

, maka a

p

: a

q

=1.

Dari sisi lain, jika p = q maka p-q = 0, sehingga a

p-q

= a

0

=1.



Jika pq maka (p-q ) merupakan bilangan bulat negatif. Hal

ini berakibat a

p

:a

q

= a

p-q

merupakan bilangan berpangkat

bulat negatif.

Contoh

1.

a

3 :

a

5

= a

-2

dengan sifat a

p

: a

q

= a

p-q

Jika pembagian tersebut ditulis dalam perkalian berulang maka

diperoleh:

a

3

: a

5

==

Jadi, diperoleh hubungan : a

-2

=

1.

a

2

: a

7

=

Jadi diperoleh hubungan : a

-5

=

1.

b. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat negatif

Pada dasarnya sifat-sifat bilangan berpangkat negatif sama

dengan bilangan yang berpangkat bulat positif.

Buktikan p

-a

× p

-b

= p

-(a+b)

Jawab:

p

-a

× p

-b

=

=

= p

-(a+b)

3. Menyederhanakan Bentuk Pangkat

Sering kali kita menemukan bentuk-bentuk pangkat yang masih

komplek yang memuat faktor-faktor yang masih dapat

disederhanakan. Dalam menyederhanakan bentuk pangkat, kita

dapat menggunakan pengertian dan sifat-sifat bilangan

berpangkat.

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk berikut dengan menggunakan sifat-sifat

bilangan berpangkat.

1.

5

9

x 5

7

2.

e

-5

: e

7

3.

(g

7

)

-4

5.

(g

-6

/h

8

)

5t

Jawab:

1.

5

9

x 5

7

= 5

9+7

= 5

16

2.

e

-5

: e

7

= e

-5-7

= e

-12

3.

(g

7

)

-4

= g

7.-4

= g

…..

4.

(d x h)

-5y

= d

-5y

× h

-5y

5.

(g

-6

/h

8

)

5t

= ………

BENTUK AKAR

1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif,

maka :

2). Sifat-sifat bentuk akar.

3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar

LOGARITMA

1). Jika a dan b bilangan positif dengan

maka berlaku

:

Dari hubungan tersebut, diperoleh :

2). Sifat-sifat logaritma