Disarikan dari Malatuni 2007
Topik Bahasan
Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda.
Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka:
Tiang sangkar sebagai garis x = c; Jejak terbang burung identik dengan grafik fungsi y = f(x);
Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau mendekati c;
Ketinggian burung pada saat tiba dalam sangkar misalkan L; X L y = f(x) x=c L ) x ( f lim c x → = Ditulis:
L ) x ( f lim c x = → L ) x ( f lim dan L ) x ( f lim L ) x ( f lim c x c x c x → = ⇔ → − = → + =
Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) dekat ke L.
Seberapa dekat?
Untuk memperjelas permasalahan ini perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah kiri. 0 X Y c L f(x)
Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) akan semakin mendekati L. Jadi, kita peroleh:
0 X Y 20 40 -20 -40 4
2 x mendekati 3 dari kiri ↓ x mendekati 3 dari kanan x 2 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4 f(x) −13 −1794,01 −17994 ... ? ... 18006 1806,01 25
f(x) mendekati bilangan
negatif yang sangat kecil ↑ f(x) mendekati bilangan positif yang sangat besar
x=3 Asimtot Tegak
Contoh 2:
Tentukan nilai dari
3 x 9 x lim 2 3 x − + → Penyelesaian:
Fungsi tidak terdefinisi pada x = 3, karena diperoleh bentuk (tak tentu). Lakukan pendekatan seperti pada contoh 1.
0 0 3 x 9 x ) x ( f 2 − + = Grafik fungsi 3 x 9 x ) x ( f 2 − + =
Dari gambar grafik nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga.
Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak hingga.
Karena
maka nilai dari:
0 X Y 20 40 -20 -40 4 2 x=3 Asimtot Tegak Grafik fungsi 3 x 9 x ) x ( f 2 − + = −∞ = − + − → x 3 9 x lim 2 3 x +∞ = − + + → x 3 9 x lim 2 3 x 3 x 9 x lim 3 x 9 x lim 2 3 x 2 3 x − + ≠ − + + − → → ada tidak 3 x 9 x lim 2 3 x − + →
0
X Y
+∞ -∞
x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x mendekati bilangan positif yang sangat besar x - ∞ ... -1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ... + ∞ f(x) 0 ... -0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 ... 0
f(x) semakin mendekati nol (0) f(x) semakin mendekati nol (0)
Penyelesaian:
Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+∞) dan negatif tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan grafik. 0 x 1 lim x → ∞ =
Kita peroleh nilai:
Contoh 3: Bagaimana dengan ? x 1 lim x ∞ → Start Rasional? Bagi dengan pangkat tertinggi Rasionalkan/ kalikan akar sekawan
kemudian bagi pangkat tertinggi Hasil Stop Tidak Ya
Flowchart untuk menghitung nilai:
lim
f
(
x
)
x ∞ → Start Substitusi x = c Bentuk tak tentu? Lakukan pemfaktoran atau rasionalkan bentuk akar Lanjutkan Hitung Hasil Stop Tidak Ya
Flowchart untuk menghitung
Kalikan akar sekawan 2 2 2 2 2 2 2 2 x 3 x x x x 2 x 1 x x 4 x x 3 x 2 2 x 2 x x 3 lim 1 x 4 x 3 lim + − − + = + − − + ∞ → ∞ →
Karena fungsi rasional maka langsung bagi pangkat tertinggi ( x 2 )
c) adalah fungsi rasional. Mengapa?
2 2 x 3 x 1 x 1 x 4 x 2 3 lim + − − + = ∞ → 2 3 0 0 2 0 0 3 = + − − + = 3 x x 2 1 x 4 x 3 lim 2 2 x − + − + ∞ → 2 3 3 x x 2 1 x 4 x 3 lim 2 2 x − + = − + ∴ ∞ →
Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi.
d) bukan fungsi rasional.
Mengapa? ) x 4 x x ( lim 2 x → ∞ − + L = + − ∞ → ( x x 4 x ) lim 2 x x 4 x x x 4 x x ) x 4 x x ( lim 2 2 2 x + + + + × + − = ∞ → x 4 x x ) x 4 x ( x lim 2 2 2 x + + + − = ∞ → x x 4 x x 4 lim 2 x + + − = ∞ → 2 0 1 1 4 = − + + − = 2 ) x 4 x x ( lim 2 x − + = − ∴ ∞ → x 4 x x x 4 x x x x x x 4 x 1 1 4 lim lim 2 2 2 + + − = + + − = ∞ → ∞ →
n
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
o p q r u s
dimana: ; utk n genap
t
Kita lihat contoh penerapannya!
4 lim x lim 7 1 x 1 x → − → = 4 lim x 7 lim 1 x 1 x → − → = Contoh 5:
Tentukan nilai dari: a) b) Penyelesaian: a) lim ( 7 x 4 ) 1 x → − 4 ) 1 ( 7 − = 3 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + → 2 x 1 2 x 3 x lim 2 2 2 x
(
f ( x ) g ( x ))
lim f ( x ) lim g ( x ) lim c x c x c x → ± = → ± → ) x ( f lim k ) x ( kf lim c x c x → = → ) 4 x 7 ( lim 1 x → −1 x 2 lim ) 2 x 3 x ( lim 2 2 x 2 2 x + − + = → → ) 1 x 2 ( lim 2 lim x 3 lim x lim 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x + − + = → → → → b) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + → 2 x 1 2 x 3 x lim 2 2 2 x 1 lim x 2 lim 2 lim x 3 lim x lim 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x → → → → → + − + = 1 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 3 2 2 2 + − + = 1 8 2 6 4 + − + = 3 8 =
(
f ( x ) g ( x ))
lim f ( x ) lim g ( x ) lim c x c x c x → ± = → ± → Teorema p Teorema u Teorema s ; lim g ( x ) 0 ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c x c x c x c x ⎟ ⎠ = ≠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → → → → n c x n c x lim → f ( x ) = lim → f ( x )1. 2 ∞ 0 2 − 1 −
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
2.
3 4
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
Rasionalkan bentuk akar 4 x 4 x 4 x 16 x lim 4 x 16 x lim 2 4 x 2 4 x − − × − − = − − → → 3. 3 4 − 0 3 − 4
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban Kalikan akar sekawan x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 lim 0 x + + − − + + × − − + = → ) x 1 x 1 ( x x 2 lim 0 x + + − = → 4. 2 − 1 1 − 3 − 0
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
Kalikan akar sekawan x h x x h x h x h x lim 0 h + + + + × − + = → 5. .... h x h x lim 0 h = − + → .... h x h x lim 0 h = − + → ) x h x ( h x ) h x ( lim 0 h + + − + = → ) x h x ( h h lim 0 h + + = → x h x 1 lim 0 h + + = → x 2 1 x x 1 x 0 x 1 = + = + + = x 2 1 h x h x lim 0 h = − + ∴ → Bagi pangkat tertinggi x x x x 3 x x x x 3 x 2 2 2 lim + + = ∞ → Kalikan akar sekawan x x 3 x x x 3 x ) x x 3 x ( lim 2 2 2 x + + + + × − + = ∞ → 1. lim ( x 2 3 x x ) .... x → ∞ + − = lim ( x 2 3 x x ) .... x → ∞ + − = x x 3 x x x 3 x lim 2 2 2 x + + − + = ∞ → x x 3 x x 3 lim 2 x + + = ∞ → 1 1 3 lim x 3 x + + = ∞ → 2 3 1 0 1 3 = + + = 2 3 ) x x 3 x ( lim 2 x + − = ∴ ∞ → 4 7 3 7 3 4 2 3 3 2
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
Kalikan akar sekawan 4 x x 2 x x x 2 x x 4 x ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2 2 2 2 2 x − + + + + − × + − − = ∞ → Bagi pangkat tertinggi 2. 2 − 1 − .... ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2 x → ∞ − − + = lim ( x 2 4 x x 2 2 x ) .... x → ∞ − − + = x 2 x x 4 x ) x 2 x ( ) x 4 x ( lim 2 2 2 2 x − + + + − − = ∞ → x 2 x x 4 x x 6 lim 2 2 x − + + − = ∞ → 2 2 2 2 2 2 x x 2 x x x x 4 x x x x 6 x lim − + + = − ∞ → x 2 x 4 x 1 1 6 lim + + − − = ∞ → 3 2 6 0 1 0 1 6 = − = − + + − − = 3 ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2 x − − + = − ∴ ∞ → 6 − 4 − 3 −
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
Bagi pangkat tertinggi
Kalikan akar sekawan
3. lim x ( x 2 1 x ) .... x → ∞ + − = lim x ( x 2 1 x ) .... x → ∞ + − = x 1 x x 1 x ) x 1 x ( x lim 2 2 2 x + + + + × − + = ∞ → x 1 x ) x 1 x ( x lim 2 2 2 x + + − + = ∞ → x 1 x x lim 2 x + + = ∞ → x x x 1 x x x x x 2 2 2 lim + + = ∞ → 1 1 1 lim 2 x 1 x + + = ∞ → 2 1 1 0 1 1 = + + = 2 1 ) x 1 x ( x lim 2 x + − = ∴ ∞ → 0 2 4 1 2 1 3 1
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
Bagi pangkat tertinggi 4. 2 ∞ 3 .... 1 x x 2 1 x x 3 lim x ⎟ ⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∞ → .... 1 x x 2 1 x x 3 lim x ⎟ ⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∞ → ) 1 x )( 1 x ( ) 1 x ( x 2 ) 1 x ( x 3 lim x − + − − + = ∞ → 1 x x 2 x 2 x 3 x 3 lim 2 2 2 x − + − + = ∞ → 1 x x 5 x lim 2 2 x − + = ∞ → 2 2 2 2 2 2 x 1 x x x x 5 x x x lim − + = ∞ → 1 0 1 0 1 1 1 lim 2 x 1 x 5 x − = + = − + = ∞ → 1 1 x x 2 1 x x 3 lim x ⎟ ⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∴ ∞ → 1 9
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban Bagi pangkat tertinggi .... 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 3 4 2 3 x + − + = + − ∞ → 4 4 4 2 4 3 4 4 3 4 4 x 2 x x x x x x x 6 x x 2 x x 3 x lim + − + + − = ∞ → 4 3 2 4 x 2 x 1 x 1 x 1 x 6 x 2 x 3 lim + − − + + = ∞ → 0 0 0 0 0 0 3 + − + + − = ∞ = = 0 3 ada) (tidak 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 3 4 2 3 x + − + + − ∴ ∞ → 5. 0 2 − 1 − 3 − ∞ .... 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 3 4 2 3 x + − + = + − ∞ →
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:
a. x .... 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x ⎟ ⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = → → x 3 x 2 lim 1 x 3 2 lim 2 x 2 x x lim 3 x 2 lim 1 x 3 lim 2 lim 2 x 2 x 2 x 2 x → → → → − + + = 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 2 − + + = 14 45 2 7 7 2 − = − = 14 45 x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x ⎟ ⎠ = − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ∴ → 1a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → = − 3 ) x ( f lim c x → = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x → + − 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 lim c x → + − =[
f ( x ) 3]
6 ) x ( g lim 3 c x → + = − .... ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x → + − = ) 5 x 2 ( lim ) 4 x ( lim 5 x 5 x + ⋅ − = → → ) 5 lim x 2 lim ( ) 4 lim x lim ( 5 x 5 x 5 x 5 x → + → ⋅ → − → = ) 5 5 2 ( ) 4 5 ( + ⋅ ⋅ − = 5 9 ⋅ = 45 = 45 ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x + − = ∴ → 1b. 1. Dengan menggunakan teorema limithitunglah nilai dari: a. ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → = − 3 ) x ( f lim c x → = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x → + − 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 lim c x → + − =[
f ( x ) 3]
6 ) x ( g lim 3 c x → + = −Bukti: 2a. (terbukti) .... ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x → + = ) x ( g lim ) x ( f lim 2 c x 2 c x → + → = 2 c x 2 c x lim f ( x )] [ lim g ( x )] [ → → + = 2 2 [ 1 ] 3 + − = 1 9 + = 10 = 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x + = ∴ →
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:
a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → = − 3 ) x ( f lim c x → = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x → + − 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 lim c x → + − =[
f ( x ) 3]
6 ) x ( g lim 3 c x → + = − Bukti: 2b. (terbukti)[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
.... lim c x → + − = ) x ( g lim ) c x ( lim ) x ( f lim c x c x c x → + → − ⋅ → = ) 1 ( ) c c ( 3 + − ⋅ − = ) 1 ( 0 3 + ⋅ − = 3 =[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 lim c x + − = ∴ →1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:
a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → = − 3 ) x ( f lim c x → = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x → + − 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 lim c x → + − =[
f ( x ) 3]
6 ) x ( g lim 3 c x → + = −Bukti: 2c. (terbukti)
[
f ( x ) 3]
.... ) x ( g lim 3 c x → + =[
f ( x ) 3]
lim ) x ( g lim c x 3 c x ⋅ + = → → ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ = → → → g ( x ) lim f ( x ) lim 3 lim c x c x 3 c x [ 3 3 ] 1 3 − ⋅ + = [ ] 6 1 ⋅ − = 6 − =[
f ( x ) 3]
6 ) x ( g lim 3 c x + = − ∴ →1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:
a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + → x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x → = − 3 ) x ( f lim c x → = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x → + − 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x → + =
[
f ( x ) ( x c ) g ( x )]
3 lim c x → + − =[
f ( x ) 3]
6 ) x ( g lim 3 c x → + = −3. Berat (dalam gram) dari suatu benda uji pada saat t adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertambahan berat benda uji jika t = 10 minggu?
2. Sebuah perusahaan semen dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5?
1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4.
Andi Hakim Nasution dkk,
Matematika 2
, Departemen
Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994.
Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White,
CliffsQuickReview
TMCalculus
, Pakar Raya, Bandung, 2004.
B.K. Noormandiri,
Buku Pelajaran Matematika SMA
, Jilid 2A,
Erlangga, Jakarta, 2004.
Edwin J. Purcell dan Dale Varberg,
Kalkulus dan Geometri Analitis
,
Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990.
http://www.answer.com/topik/limit-of-a-function.
http://www.garizhdizain.com.
Ke slide terakhir Ke slide sebelum Ke slide selanjutnya Ke slide yang aktif terakhir Awal presentasi Akhiri presentasi Tampilkan pilihan materiTampilkan referensi Tampilkan bantuan Tampilkan evaluasi
Lihat jawaban (optional) Jalankan animasi
(optional)
Fungsi dari setiap menu dan ikon yang digunakan dalam slide
