250. Pada segitiga ABC diketahui AB = 5 cm, AC = 6 cm dan BC = 4 cm. Titik D terletak pada sisi AB sehingga panjang AD = 2 cm. Dari titik D dibuat garis tegak lurus AC di E dan dibuat sebuah garis lagi dari D tegak lurus BC di titik F. Tentukan DE : DF !
Jawab : C T F E A D B 9 4 3 2 4 6 3 2 . . . . 3 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = − = − = ∆ ∆ DF DE DF DE DF BC CD AC t BD t AD L L AD AB BD BDC ADC
251. Bila log 2 = a, log 3 = b dan 2x+1 = 32−3x maka tentukan nilai x + 1 !
Jawab :
(
)
(
)
(
) (
)
b a b b a b a b a a b x b a a b x b x a x x x x x 3 5 3 3 3 2 1 3 2 3 2 1 3 log 3 2 2 log 1 3 log 2 log 1 2 3 + = + + + + − = + ⇒ + − = ⇔ − = + − = + ⇔ = − +252. Pada segitiga XYZ diketahui sin x = 51 5 dan sin z = 10 10
1 . Tentukan nilai tan 2 y ! Jawab :
(
)
1 2 tan 1 1 tan 1 tan 1 tan 2 1 . 1 tan tan 1 tan tan tan 1 tan 2 ) tan( tan 1 tan 2 )) ( 180 ( tan tan 3 1 tan 10 sin 2 1 tan 5 sin 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 101 5 1 + = − − = ⇔ + − = − = − + − = − + − = − + − = − + − = = ⇒ = = ⇒ = y y y y z x z x y y z x y y z x y z z x x 253. Diketahui cos (A + B) = 5 3 dan cos (A – B) = 13 12. Tentukan nilai sin B ! Jawab :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
130 sin 130 9 sin 65 56 13 5 . 5 4 13 12 . 5 2 sin sin cos cos sin 2 1 cos 2 cos 13 5 sin 13 12 cos 5 4 sin 5 3 cos 130 2 2 2 = ⇒ = = + = − + + − + = − − − + = = − ⇒ = − = + ⇒ = + B B B A B A B A B A B B A B A B B A B A B A B A254. Batistuta akan melakukan tendangan pinalti ke gawang Buffon. Peluang membuat gol dalam sekali tendangan adalah 4/5. Jika dilakukan 5 kali tendangan pinalti, tentukan peluang membuat tiga nol !
Jawab :
Peluang tiga gol =5C3
625 128 25 1 . 125 64 . 10 5 1 5 4 3 2 = =
255. Tentukan domain dari fungsi
2 5 2 2 3 ) ( 2 2 + − − + = x x x x x f Jawab :
(
)(
)
(
)(
)
(
2 1)(
2)
0 1 2 3 0 2 5 2 2 3 ) 2 , 2 1 0 2 1 2 0 2 5 2 ) 2 2 2 ≥ − − + − ⇔ ≥ + − − + ≠ ≠ ⇒ ≠ − − ⇔ ≠ + − x x x x x x x x ii x x x x x x i + - + - + -1 2 1 3 2 2 Dari (I) dan (ii) didapat : Df : ≤ − ≤ ≤ ≥ 2 3 2 2 1 1atau x atau x x x 256. Tentukan dx dy dari y= cosx Jawab :
(
)
x x y x dx dy dx x x dy y x y x y cos 2 2 sin 2 2 sin 2 sin cos 2 2 cos cos 2 2 − = − = − = ⇒ = ⇔ =257. Tentukan nilai maksimum fungsi f(x)= 4cos2x+ 14sin2x+ 24sinxcosx+ 10 Jawab : 19 2 sin 12 2 cos 5 ) ( 10 2 sin 12 2 cos 7 7 2 cos 2 2 ) ( 10 2 sin 12 2 2 cos 1 14 2 2 cos 1 4 ) ( + + − = + + − + + = + + − + + = x x x f x x x x f x x x x f
(
15)
2 122 19 32 2 2 max = A + B + C = − + + = f 258. Tentukan 0 lim → x x x x x x x 3 sin sin 3 18 sin 10 sin 6 sin 2 sin − − + + Jawab : 0 lim → x(
) (
)
x x x x x x 3 sin sin 3 10 sin 18 sin 2 sin 6 sin − − − + = 0 lim →x 3sin (3sin 4sin )
4 sin 14 cos 2 2 cos 4 sin 2 3x x x x x x x − − − = 0 lim → x
(
−)
= − x x x x 3 sin 4 2 cos 14 cos 4 sin 2 0 lim → x(
−)
= − x x x x 3 sin 4 6 sin 8 sin 2 4 sin 20 lim
→
x 4sin sin sin 4.8.6 192
6 sin 8 sin 4 sin 4 = = x x x x x x 259. Tentukan b a→ lim b a b a b a b a − − + − tan tan ) 1 ( 1 tan tan Jawab : b a→ lim = − + − − b a b a b a b a tan tan ) 1 ( ) 1 ( tan tan b a→ lim
(
+)
= − − b a b a b a tan tan 1 ) 1 ( tan tan b a→ lim(
)
= − − b a b a 1 tan b a→ lim(
)
b b a b a b − = − − − ) ( tan 1260. Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik, ke dalam kerucut dimasukkan sebuah bola yang berdiameter 16 cm sehingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut. Tentukan tinggi kerucut agar mempunyai volume terkecil !
Jawab : A R F B 8 D E t - 8 C
Segitiga AFC sebangun dengan segitiga CDE
(
)
0 2 32 0 32 ) 16 ( . 1 16 2 64 0 ' 16 64 . 16 64 . 16 64 64 16 64 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ⇒ = − − ⇔ = − − − ⇒ = − = − = = − = ⇔ + − = + ⇒ − = + ⇒ = t t t t t t t t V t t t t t t R V t t R t t t R R t t R R DC DE AC AF π π π π 261. 7 3 12 1420
8
Isilah lingkaran-lingkaran kosong pada “bintang ajaib” di samping dengan bilangan sedemikian sehingga bilangan-bilangan pada setiap garis mempunyai jumlah yang sama ! Jawab : 7 3 a 12 14 20 f b c d e 8
Jumlah setiap baris = 29 + a b+20+a+7 = 29 + a atau b = 2 3+20+c+8 = 29 + a atau c = a – 2 8+d+f+14 = 7+12+f+e atau d = e – 3 b+c+d+e = 29+a
2+a-2+e-3+e = 29+a atau e = 16 d = 16-3 = 13
8+d+f+14 = 29+a
8+13+f+14 = 29+a atau f = a – 6
Soal mempunyai banyak jawaban. Bila dimisalkan a = 11 maka c = 9 dan f = 5 262. Tentukan semua pasangan bilangan bulat yang selisih kuadratnya 924 !
Jawab :
(
)(
)
924 22 − b = a+ b a− b =
a
Pasangan nilai (a + b) dan (a – b) yang mungkin adalah pasangan faktor genap dari 924.
a+b 462 154 66 42 a - b 2 6 14 22 10 32 22 42 26 40 14 66 74 80 6 154 230 232 2 462 = = ⇒ = − = + = = ⇒ = − = + = = ⇒ = − = + = = ⇒ = − = + b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a
263. Diketahui segitiga ABC dengan sisi-sisi AB, CA dan CB masing-masing menyinggung lingkaran yang pusatnya O. Jika ∠ACB = 40, tentukan ∠ AOB !
R B
S O 40
A
T Jawab :
Misal R, S dan T adalah titik-titik singgung.
CBA RBS CAB TAS CAB CBA ∠ − = ∠ ∠ − = ∠ = − = ∠ + ∠ 180 180 140 40 180 + 140 220 360 − = = ∠ + ∠ TAS RBS
Karena AS dan AT garis singgung maka OA merupakan garis bagi ∠SAT. Begitupun BS dan BR yang merupakan garis bagi ∠ RBS
(
)
(
)
70 110 180 180 110 220 . 2 1 2 1 = − = ∠ + ∠ − = ∠ = = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ OBS OAS AOB RBS TAS OBS OAS 264. P A B C D QDua buah lingkaran L1 dan L2 masing-masing berjari-jari r1 danr2. Kedua lingkaran berpotongan di titik P dan Q. Garis singgung L1 dan L2 di titik P membentuk sudut siku-siku. Garis yang melalui pusat lingkaran-lingkaran itu memotong kedua lingkaran di A, B, C dan D. Jika AD = m dan BC = n maka tunjukkan bahwa mn = 2r1.r2
Jawab : P A M B N C D Q ND MN AM AD NP MP r NP r MP + + = ⊥ = = 1, 2
(
)
(
)
(
)(
) (
)
(
) (
)
12 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2rr r r rr r r mn MN r r r MN r r MN r mn r MN r r MN r NB MN r n r MN r m = + − + + = − + = + − + + = + − = − − = − − = + + = 265. C 2 D 2 E
2 A 4 B
Hitung luas daerah yang diarsir ! Jawab :
(
) (
)
(
.4.4 .4.2) (
.4.6 21.4.2)
12 2 1 2 1 2 1 − + − = = − + − = += L∆AED L∆BCE L∆ABD L∆ABE L∆ABC L∆ABE L
266. C 15
A H 16 B
Segitiga ABC siku-siku di C dan AC = 15. Garis tinggi CH membagi AB dalam segmen AH dan HB dengan HB = 16. Tentukan luas segitiga ABC !
Jawab : . C 15 t y A H 16 B
(
)
(
)
( )
(
)
(
)(
)
(
9 16)
.12 150 12 9 25 0 9 25 0 225 16 16 15 16 15 : ) 4 ( ) 1 ( ) 4 ...( 16 15 3 ) 2 ( ) 3 ....( 16 ) 2 ...( 15 ) 1 ....( 15 16 15 16 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = = ⇒ = − = = − + ⇔ = − + ⇔ − − + = − − = − ⇒ − = − = − + = ⇔ + = + ∆ABC L t x memenuhi tidak x x x x x x x ke Substitusi y x dan Dari y t x t x y y x 267. C N P B M ASegitiga ABC siku-siku di C. Garis berat CM tegak lurus garis berat BN. Panjang sisi BC = s. Tentukan panjang BN !
Jawab :
Misal AC = b dan AB = c.
(
)
(
)
2 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ...( ) 1 ....( 1 : 2 : 1 : 2 : 4 3 2 4 3 2 4 1 2 9 4 2 4 3 2 2 4 1 2 9 4 2 4 1 2 4 1 2 9 5 2 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 9 4 2 2 2 2 4 1 2 2 2 2 s BN s s BN s b c BN s c BN BP s c CP c BN PM BM BP BPM b s CN s BN BNC PM CP PN BP = ⇒ − = − ⇔ − − = − ⇒ − + = − + = + = ⇔ + = ⇒ ∆ + = + = ⇒ ∆ = =268. Dari segitiga ABC diketahui bahwa AD garis tinggi. Buktikan bahwa untuk setiap titik P pada AD akan berlaku BP2− PC2 = BD2 − DC2
Jawab : C D P A B 2 2 2 2 2 2 PD DC PC PD BD BP + = + = -2 2 2 2 PC BD DC BP − = − 269. D G C H F A E B
Pada sisi-sisi AB, BC, CD dan DA dari persegi panjang ABCD yang panjang sisinya a dan b dipilih titik-titik E, F, G dan H sedemikian hingga AE = 12 EB, BF =
2
1 FC, CG = 2
1 GD dan DH = 21 HA. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis AG, BH, CE dan DF !
Jawab : D G C Misal ET = x H T F α α β A E B 1 . tan tan 3 2 3 2 = = a a a a β α
13 3 13 2 2 3 1 3 1 a x diarsir yang daerah Luas a x a a a x CE BC AE x = = = ⇔ = ⇔ = 270. . C 9 4 P 49 A B
Dipilih titik P di dalam segitiga ABC sehingga apabila ditarik garis-garis lewat P sejajar dengan sisi-sisi ABC, maka hasilnya segitiga-segitiga yang luasnya 4, 9 dan 49. Hitung luas segitiga ABC ! Jawab : . C 2x 3y U T 3x 9 3y 2x 4 2y V P S 7x 7x 49 7y 7y A Q R B
Misal panjang PQ = 7x dan PR = 7y, maka TP = 2x, TS = 2y, UV = 3x dan UP = 3y 144 2 . 72 sin . 12 . 12 . 2 sin 49 sin . 7 . 7 . 2 1 2 1 = = = = ⇔ = = ∆ ∆ α α α y x L xy y x L ABC PQR 271.
Jika diketahui jari-jari lingkaran besar adalah R satuan dan jari-jari lingkaran kecil adalah r satuan (kedua lingkaran tidak sepusat). Tunjukkan bahwa R
(
a b c)
R abc + + = 21 4 Jawab : C
r P A B
(
)
(
a b c)
r R abc dan Dari R abc R c ab C ab L R c C R C c c b a r br ar cr L L L L ABC PAC PBC PAB ABC + + = ⇒ = = = = ⇔ = + + = + + = + + = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ....( 4 2 sin 2 sin 2 sin ) 1 ....(272. Jika AA’ dan BB’ adalah tali busur-tali busur sebuah lingkaran yang berpotongan di titik P di dalam lingkaran, maka buktikan bahwa PA.PA’ = PB.PB’ (teorema tali busur) !
Jawab : B A’ P B’ A ' . ' . ' ' ' ' ~ ' ' ' ' PB PB PA PA PA PB PB PA A PB PAB A PB PAB PB A APB = ⇔ = ∆ ∆ ⇒ ∠ = ∠ ∠ = ∠
273. Jika AA’ dan BB’ adalah tali busur-tali busur sebuah lingkaran yang berpotongan di titik P di luar lingkaran, maka buktikan PA.PA’=PB.PB’ (teorema Secant) !
Jawab : A’ A P B B’ ' . ' . ' ' ' ~ ' ' ' ' ' PB PB PA PA PA PB PB PA A PB B PA P BA P AB PA B PB A = ⇔ = ∆ ∆ ⇒ ∠ = ∠ ∠ = ∠
274. Jika P sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari titik P menyinggung lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan A’, maka buktikan PA.PA’ = (PT)2 (teorema Secant-Tangen) Jawab : P T α A O α A’ Misal ∠ PA'T = α maka : 2 ) ( ' . ' ' ~ 90 , 2 PT PA PA PT PA PA PT T PA PTA PTA OTA AOT = ⇔ = ∆ ∆ ⇒ = ∠ − = ∠ = ∠ α α α 275. R S O Q P T
Jika PT = 6 cm, SQ = 2,5 cm dan OS tegak lurus RT maka tentukan panjang TQ ! Jawab : QR = 2 SQ = 2.2,5 = 5 cm
( )
(
)(
)
4 0 4 9 6 ) 5 .( . 2 2 = = − + ⇔ = + ⇒ = TQ TQ TQ TQ TQ TP TR TQ276. Sebuah titik A terletak di luar lingkaran yang berpusat di titik M. Dari titik A ditarik garis yang memotong lingkaran di titik B dan C. (titik B terletak diantara A dan C). Dibuat garis CM sehingga memotong lingkaran di titik D, ternyata AD menyinggung lingkaran dan titik E terletak pada garis AD. Jika panjang AE = 1 cm, AB = 2 cm dan BC = 6 cm. Buktikan bahwa AM, DB dan CE berpotongan di sebuah titik !
Jawab : C 6 R B M 2 R A E D 1 1 3 . . 6 2 . . 3 1 4 4 16 ) 6 2 ( 2 . 2 = = = − = = ⇒ = + = = R R EA DE MD CM BC AB EP AD AC AB AD
277. C E D’ E’ D A F’ F B
Sebuah lingkaran memotong sisi-sisi segitiga ABC pada bagian dalam yaitu BC di D dan D’, CA di E dan E’ serta AB di F dan F’. Jika AD, BE dan CF konkuren, tunjukkan bahwa AD’, BE’ dan CF’ juga konkuren !
Jawab :
Membuktikan AD’, BE’ dan CF’ konkuren sama artinya dengan membuktikan 1 ' ' . ' ' . ' ' = A E CE C D BD B F AF 1 ' ' . ' ' . ' ' 1 ' ' . ' ' . ' ' 1 ' ' . ' ' . ' ' 1 . . 1 . . : , , ' ' ' . ' . ' ' ' . ' . ' ' '. '. = ⇔ = = = = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = A E CE C D BD B F AF CD CE BF BD AE AF CE CD BD BF AF AE DC CE FB BD EA AF EA CE DC BD FB AF maka konkuren CF dan BE AD CE CD CD CE CD CD CE CE BD BF BF BD BF BF BD BD AF AE AE AF AE AE AF AF 278.
Luas daerah yang diarsir adalah A. Tunjukkan bahwa luas persegi panjang juga adalah A ! Jawab : q y p x b x p a
2p + 2q = A x + p = 2 1 luas lingkaran =
( )
2 4 1 2 2 1 2 1π b ⇔ 2x+ 2p = πb ……. (1) y + q = 2 1 luas lingkaran =( )
2 41 2 2 1 2 1π a ⇔ 2y+ 2q = πa ……. (2) (1) + (2) :(
)
(
a b)
A y x b a A y x b a q p y x − + = + + = + + + = + + + 2 2 4 1 2 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 π π π πLuas lingkaran = Luas persegi + 2x + 2y
(
2 + 2)
= 4 1π a b Luas persegi +(
a2+ b2)
− A 4 1π Luas persegi = A 279. A P Q B C TLingkaran besar merupakan lingkaran luar segitiga sama sisi ABC. Lingkaran kecil menyinggung sisi AB dan AC di titik P dan Q dan menyinggung lingkaran besar di T. Jika BC = 12 cm, tentukan panjang PQ ! Jawab : A P Q B C T R T S Misal R jari-jari lingkaran luar, maka :
cm RT PQ RT AP AP PQ RT AP RT RT AT R AT R R R A BC 8 8 8 3 3 8 60 tan 3 8 2 3 4 60 sin 12 2 2 sin = = ⇒ = = = = = = ⇒ = = = = ⇔ = ⇒ =
280.
x
10 5
15
Di dalam lingkaran yang berjari-jari 15 cm, digambar tiga lingkaran saling bersinggungan yang berjari-jari 10 cm, 5 cm dan x cm. Tentukan x !
Jawab : x x 10 15-x 5 5 5 5
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
7 30 15 5 2 3 : ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ....( 15 cos 5 3 cos 15 . 5 2 15 5 10 ) 1 ....( 5 2 cos 5 cos 10 . 5 2 10 5 15 2 2 2 2 2 2 = ⇔ + − = − + − = + + − + + = + − = + + − + + = − x x x ke Substitusi x x x x x x x x x x α α α α281. Buktikan pada segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku a dan b serta sisi miring c berlaku 2 2 2 a b c = + Jawab : D b R a C a c c b Q S C a b c A a P b B Luas ABCD = 4 Luas APS + Luas PQRS
(
)
2 2 2 2 2 1 2 4. ab c a b c b a+ = + ⇔ + =282. Jika panjang sisi-sisi BC, CA dan AB pada segitiga ABC adalah a, b, c dan 2s = a + b + c. Buktikan bahwa luas daerah segitiga ABC adalah L= s
(
s− a) (
s− b)(
s− c)
B t a A x c – x B
(
)
+ + − − − + = + + − − + − = + − − = − + = ⇔ − + − = − − + − = − − = − = c a c b bc c a c b bc t c a c b b c a c b b t c a c b b t ke Substitusi c a c b x x cx c a x b dan Dari x cx c a t x c a t x b t 2 2 2 2 2 2 2 : ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ...( 2 2 : ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( 2 ) 1 ...( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(
)
(
)
(
)(
)(
)(
)
(
)(
)(
)( )
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
s a)(
s b)(
s c)
s L c s b s a s s c c ct L c s b s a s s c t c s a s c s b s t c a c b a c b c b a c b a t c a c b c c b a t − − − = − − − = = − − − = − − − = + + − + − + + − = + − − − = 2 . 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2283. Segitiga ABC siku-siku di C. Titik P dan Q terletak pada AB sedemikian sehingga AB terbagi menjadi tiga bagian yang sama. Buktikan bahwa CP2+ PQ2+ QC2 = 32AB2 Jawab : B
Q
P
(
)
(
)
2 3 2 2 5 4 2 3 1 2 9 1 2 9 1 2 3 1 2 2 2 2 9 1 2 2 5 4 2 3 1 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 9 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 2 2 2 ) ( : ) 3 ( ) 2 ( ), 1 ( ) 3 ...( ) 2 ...( . . 2 cos . 2 ) 1 ...( . . 2 cos . 2 AB AB CA AB AB CA QC PQ CP dan Dari AB PQ AB CA QC AB CA AB CA AB CA QC A AQ CA AQ CA QC AB CA CP AB CA AB CA AB CA CP A AP CA AP CA CP = + − + + + = + + = + − = − + = − + = + = − + = − + = 284. z γ C β a b B A α x c yBuktikan bahwa jumlah luas bujur sangkar yang di luar sama dengan tiga kali jumlah luas bujur sangkar yang di dalam !
(
)
(
)
(
)
(
2 2 2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 180 cos 2 2 2 2 2 cos 2 180 cos 2 2 2 2 2 cos 2 180 cos 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 c b a z y x c b a a c b b c a z y x c b a ab c b a ab b a ab b a ab b a z a c b bc a c b bc c b bc c b bc c b y b c a ac b c a ac c a ac c a ac c a x ab c b a ab b a c ac b c a ac c a b bc a c b bc c b a + + = + + − + + − + + − + = + + − + = − + + + = + + = − − + = − + = − + + + = + + = − − + = − + = − + + + = + + = − − + = − + = ⇔ − + = − + = ⇔ − + = − + = ⇔ − + = γ γ α α β β γ γ β β α α 285. Jika sebuah garis transversal memotong sisi-sisi BC, CA dan AB dari segitiga ABC di titik-titik D, E dan F, maka buktikan . . = −1
FB AF EA CE DC BD (Teorema Menelaos) Jawab : C E D P A F B 1 . . 1 . . . ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ....( 1 . ~ ) 1 ....( 1 . ~ − = ⇒ = ⇒ = ⇔ = ∆ ∆ = ⇔ = ∆ ∆ FB AF EA CE DC BD AE BP BF AF BP EC DC BD x AE BP BF AF BP AE BF AF BFP AFE BP EC DC BD EC BP DC BD CDE BDP Catatan :
- Transversal sisi : sembarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi sebuah segitiga
286. Sebuah garis transversal memotong sisi-sisi AB, BC, CD, DA dari segi empat ABCD di P, Q,
R dan S. Buktikan bahwa . . . = 1
SA DS RD CR QC BQ PB AP Jawab : A D S R x B Q C P
Menurut teoreme Menelaos pada segitiga ABC berlaku : . . = −1 ....(1)
xA Cx QC BQ PB AP
Pada segitiga ACD berlaku : . . 1 . ...(2)
RD CR SA DS xA Cx RC DR SD AS xA Cx − = ⇔ − = Substitusi (2) ke (1) : 1 . . . 1 . . = − ⇔ = − RD CR SA DS QC BQ PB AP RD CR SA DS QC BQ PB AP
287. Jika titik-titik D, E , F terletak pada sisi-sisi BC, CA dan AB dari segitiga ABC sedemikian sehingga garis-garis AD, BE, CF adalah konkuren melalui titik P, maka buktikan bahwa
1 . . = FB AF EA CE DC BD Jawab : D E P A F B Pada segitiga ABE berlaku :
) 1 ....( 1 . . = − CA EC PE BP FB AF
Pada segitiga BCE berlaku :
) 2 ....( . 1 . . AE CA DC BD PE BP PB EP AE CA DC BD = − ⇔ = − Substitusi (2) ke (1) : 1 . . 1 . . . = − ⇔ = − FB AF EA CE DC BD CA EC AE CA DC BD FB AF
Jadi jika titik-titik D, E, F terletak pada sisi-sisi BC, CA dan AB sedemikian sehingga 1 . . = FB AF EA CE DC BD
maka garis-garis AD, BE dan CF konkuren.
288. Buktikan bahwa ketiga garis bagi suatu segitiga konkuren ! Jawab : C
S
A B T
Misal garis-garis baginya AP, BQ dan CR.
b c PS b PT c L L PC BP PS PT ASP ATP PAC PAB = = = = ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆ . . ~ 2 1 2 1
Dengan cara yang sama akan didapat :
a b RB AR dan c a QA CQ = = Sehingga : 1 . . . . = = a b c a b c RB AR QA CQ PC BP
Berarti AP, BQ dan CR konkuren
289. Diketahui lingkaran dalam segitiga ABC menyinggung sisi-sisi BC, CA dan AB di D, E dan F.Buktikan bahwa AD, BE dan CF konkuren !
Jawab : C E D A F B 1 . . . . . . , , = = = = = FB AF EA CE DC BD FB AF AF CE CE BF FB AF EA CE DC BD CE CD BF BD AF AE
Jadi AD, BE dan CF konkuren.
290. Pada lingkaran, buktikan sudut keliling = 21 sudut pusat yang menghadap busur yang sama ! Jawab : A x C y O B AOB ACB AOB y x AOB y AOB COB COA y COB y OCB x COA x OCA ∠ = ∠ ∠ = + = ∠ + − + − = ∠ + ∠ + ∠ − = ∠ ⇒ = ∠ − = ∠ ⇒ = ∠ 2 1 2 1 360 2 180 180 360 2 180 2 180
291. 45 O X 50 Tentukan x ! Jawab :
(
)
50 40 45 = 21 x+ ⇔ x=292. Diketahui segitiga ABC, AD adalah garis tinggi dan AE diameter lingkaran luar. Buktikan bahwa AB.AC = AD.AE
Jawab : A C D B O E AE AD AC AB AC DA AE AB ECA BDA ACE ADB AEC ABD . . ~ 90 = ⇔ = ∆ ∆ ⇒ = ∠ = ∠ ∠ = ∠ 293.
Setengah lingkaran besar berjari-jari 20 cm. Dua buah setengah lingkaran di dalam berjari-jari 10 cm. Lingkaran kecil menyinggung lingkaran-lingkaran lainnya. Tentukan panjang jari-jari lingkaran kecil !
Jawab : R 20 - R R 10
(
) (
)
3 20 10 20 10+ R 2= − R 2+ 2 ⇔ R= 294.P Q R
Tiga lingkaran dengan pusat P, Q dan R jari-jarinya berturut-turut 4 cm, 1 cm dan k cm. Ketiga lingkaran bersinggungan. Tentukan k !
Jawab : P Q F 4-k 1-k D E R A B C
(
) (
)
(
) (
)
9 4 3 2 4 2 4 4 3 5 2 4 1 1 4 16 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ⇒ = ⇔ = + = + = + = = ⇒ − = ∆ = ⇒ = − − + = ∆ = ⇒ = − − + = ∆ k k k k RE PR BC AB AC FQ FQ QFP Pada k RE k k k RE ERQ Pada k DR k k k DR DRP Pada 295.Tujuh buah pipa dengan diameter 2 cm disusun seperti gambar dan diikat dengan tali. Tentukan panjang tali !
Jawab : l b l = 2 cm b = π π 31π 6 1.2 .1 2 360 60 = = R cm Panjang tali = 6l + 6b = 6.2 cm + 6.31π cm = (12 + 2π ) cm
296. Dalam gambar di bawah, sudut θ = 41π . Tunjukkan bahwa kedua daerah yang diarsir mempunyai luas yang sama !
D E
θ
A B C Jawab :
Misal jari-jari lingkaran besar adalah R. Luas I = Luas juring BAE – Luas segitiga BAE
=
( )
( )( )
2 81 2 161 2 1 2 1 2 1 2 2 1 360 90 R R R R R − = π − π ………….. (1)Luas II = Luas juring ACD – Luas juring BCE – Luas segitiga BAE
=
( )
( )( )
2 8 1 2 16 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 4 1 . 360 90 . 2π πR − π R − R R = πR − R π ……… (2)Jadi Luas I = Luas II
297. C II y I x A P B
Setiap sisi dari segitiga ABC merupakan diameter dari masing-masing setengah lingkaran. Buktikan bahwa luas daerah yang diarsir sama dengan luas segitiga !
Jawab : 2 2 2 90 c a b ACB= ⇒ = + ∠
Misal luas tembereng PAC = x dan PBC = y Luas daerah yang diarsir = Luas I + Luas II
=
{
( )
b − x}
+{
( )
a 2 − y}
2 1 2 1 2 2 1 2 1π π =(
)
( )(
)
( )
21 2 ( ) 2 1 2 8 1 2 2 8 1π a + b − x+ y = πc − x+ y = π c − x+ y = Luas segitiga ABC.298. ABCD adalah persegi dengan sisi 1 m. Busur lingkaran dengan pusat A, B, C dan D terlihat seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan luas daerah yang diarsir ! D C P x y y x x y y x A B Jawab :
Segitiga APB adalah segitiga sama sisi.
Luas juring APD = x + y + luas tembereng AP
(
)
π π π π 12 1 4 1 2 1 2 2 3 60 sin . 1 . 1 . 1 . . 360 60 12 1 . . 1 . . 360 30 − = − − = ∆ − − = BAP L BAP juring LLuas = Luas ABCD – 4 (x + y) =
(
) (
)
23 1 121 4 1 3 1 3 4 1− − π = − + π m 299. Buktikan a b ab
(
AM GM HM)
b a ≥ ≥ + ≥ ≥ + 1 1 2 2 Jawab :(
)
...( )
1 2 0 2 ab b a b a− ≥ ⇔ + ≥Persamaan (1) dibagi ab maka :
b a a b ab ab 1 1 1 1 1 2 2 ≥ ⇔ ≥ + + …… (2)
Dari (1) dan (2) didapat : a b ab
(
AM GM HM)
b a ≥ ≥ + ≥ ≥ + 1 1 2 2
Secara lengkap dapat ditulis :
n a a a n n n a a a n n a a a 1 1 1 2 1 2 1 .... ... . ... 2 1 + + + ≥ ≥ + + +
300. Untuk p,q,r > 0 dan p+q+r = 1, buktikan bahwa 1 + 1+ 1≥ 9
r q p Jawab : 9 1 1 1 3 3 1 3 3 ≥ 1 + 1 + 1 ⇔ ≥ 1 + 1 + 1 ⇔ + + ≥ + + r q p r q p r q p r q p
