HUBUNGAN DERET BERTINGKAT BERDASAR BILANGAN EULERIAN DENGAN OPERATOR BEDA

HUBUNGAN DERET BERTINGKAT

BERDASAR BILANGAN EULERIAN

DENGAN OPERATOR BEDA

Alexander A S Gunawan

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480

aagung@binus.edu

ABSTRACT

Cascade series which defines as:

4

4 3

4

4 2

1

K

m n j j j j i a a n i m m

i

i

∑ ∑∑

∑

= =

=

2 1 1 1 1

is a generalization from the sum of powers, which empirically closed-form solution has been founded by Jacob Bernoulli on 1731. In this research, it will be defined the relation between cascade series and different operator. To identify this relation, it is given examples for cases m=1,2 dan α=1,2.

Keywords: the sum of powers, cascade series, different operator

ABSTRAK

Deret Bertingkat yang didefinisikan sebagai:

4 4 3 4 4 2 1 K m n j j j j i a a n i m m i i

∑ ∑∑

∑

= = = 2 1 1 1 1 merupakan generalisasi dari Deret Pangkat Tetap (the sum of powers), yang secara empiris solusi tertutupnya telah ditemukan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1731. Dalam makalah ini, akan dicari hubungan antara Deret Bertingkat dengan Operator Beda. Untuk melihat hubungan ini, diberikan contoh-contoh untuk kasus m=1,2 dan α=1,2.

PENDAHULUAN

Permasalahan mencari solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap a n i i n S

∑

= = 1 ) ( α sudah mulai

dicari sejak 1631 oleh Johan Faulhaber (1580-1635). Solusi Deret Pangkat Tetap di atas dapat dicari dengan Fungsi Pembangkit (Gunawan, 2010a).

Sedangkan solusi tertutup dari Deret Bertingkat (Goenawan, 2003), yang merupakan perumuman dari Deret Pangkat Tetap, yang didefinisikan sebagai berikut:

4

4 3

4

4 2

1

K

M

L

L

K

m n j j j j i a a n i m a a a a a a n j j i a a n i a a a a t i a n i m

i

i

n

i

i

n

i

i

∑ ∑∑

∑

∑∑

∑

∑

∑

= = = = = =

=

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

=

=

2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

)

2

1

(

)

2

1

(

1

3

2

1

β

Untuk mencari solusi tertutup tersebut, digunakan Fungsi Pembangkit (Generating Function) dari Deret Bertingkat di atas. Sebelumnya Deret Bertingkat tersebut perlu diubah ke dalam bentuk persamaan beda (difference equation).

METODE

Persamaan Beda

Misalkan:

)

(

1

n

S

i

a m n i m α

=

∑

= dan

)

1

(

1 1

−

=

∑

− =

n

S

i

a m n i m

α maka Deret Bertingkat dalam bentuk persamaan beda (difference equation) dapat ditulis sebagai berikut:

)

(

)

1

(

)

(

1 1

n

S

n

S

n

S

i

a m m m n i m − =

+

−

=

=

∑

α α α

Fungsi Pembangkit

Untuk memecahkannya Persamaan Beda di atas dengan Fungsi Pembangkit (South, 1993), didefinisikan Fungsi Pembangkit Gm(x) (Wilf, 1994) terlebih dahulu sebagai berikut:

∑

∞ =

=

0

)

(

)

(

i i m m

_x

_S

_i

_x

G

_α (1)

dan kemudian mencari solusi persamaan beda

S

αm

(

n

)

=

S

αm

(

n

−

1

)

+

S

αm−1

(

n

)

dengan fungsi

pembangkit sebagai berikut:

∑

∑

∑

∞ = − ∞ = ∞ =

+

−

=

0 1 0 0

)

(

)

1

(

)

(

i i m i i m i i m

_i

_x

_S

_i

_x

_S

_i

_x

S

_{α α α}

∑

∑

∑

∞ = − ∞ = − ∞ =

+

−

+

=

0 1 0 1 0

)

(

)

1

(

)

0

(

)

(

i i m i i m m i i m

x

i

S

x

i

S

x

S

x

i

S

α α α α dengan S_αm(0)=0

Dengan menggunakan definisi Fungsi Pembangkit (1) di atas maka diperoleh:

)

(

)

(

)

(

x

xG

x

G

1

x

G

m

₌

m

₊

m−

Selanjutnya diketahui bahwa di antara Fungsi Pembangkit dari Deret Bertingkat mempunyai hubungan sebagai berikut:

sehingga untuk menurunkan Fungsi Pembangkit dari Deret Bertingkat yang lebih tinggi dapat dengan mudah dilakukan denan Fungsi Pembangkit orde 1 sebagai berikut:

dengan

∑

∞ =

=

0 1

)

(

)

(

i i

x

i

S

x

G

_α dan i i a

_x

i

x

G

∑

∞ =

=

0 0

)

(

Maka dihasilkan Fungsi Pembangkit dari Deret Bertingkat sebagai berikut:

(2)

(

1

)

(

)

)

(

x

x

G

1

x

G

m

₋

₌

m−

(

1

)

(

)

)

(

x

x

1

G

1

x

G

m

₋

m−

₌

(

)

m i i a m

x

x

i

x

G

−

=

∑

∞ =

1

)

(

0

Bentuk Tanpa Deret Tak Hingga dari Fungsi Pembangkit

Perhatikan dalam hasil (2) di atas, pada bagian numerator terdapat deret

i i a

_x

i

∑

∞ =0 dan untuk mendapatkan bentuk Fungsi Pembangkit dari deret tak hingga ini perlu memperhatikan dulu hasil ekspansi Taylor dari deret i

i

x

i

∑

∞ =0 0 , yaitu: i i

x

i

x

x

x

x

∑

∞ =

=

+

+

+

+

=

−

0 0 3 2

1

1

1

K

Selanjutnya untuk mendapatkan bentuk Fungsi Pembangkit dari deret

i i a

_x

i

∑

∞ =0 , dapat dikenakan operator turunan

dx d

dan kemudian mengalikan hasilnya dengan variable x pada fungsi x

−

1

1 _{secara berulang-ulang, sehingga didapat:}

(3)

dengan konstanta bi dalam persamaan (3) dapat dilihat dalam Tabel 1 dalam lampiran untuk nilai i=1

sampai dengan i=10.

Bilangan Eulerian

Dalam Kombinatorik, bilangan Eulerian A (n, m), adalah jumlah permutasi dari angka 1 sampai n dalam m elemen yang lebih besar dari elemen sebelumnya (permutasi dengan m ‘naik’).

Untuk suatu nilai n>0, indeks m dalam A(n, m) dapat mengambil nilai dari 0 sampai n-1. Untuk n tertentu terdapat satu permutasi yang memiliki 0 ‘naik’; yaitu permutasi turun (n, n-1, n-2, ..., 1). Ada juga satu permutasi yang telah n-1 ‘naik’; yaitu permutasi naik (1, 2, 3, ..., n). Oleh karena itu A (n, 0) dan A (n, n-1) sama dengan 1 untuk semua nilai n. Untuk nilai n yang lain, A (n, m) dapat dihitung dengan menggunakan rumus rekursi, yaitu:

A(n, m) = (n-m) A(n-1, m-1) + (m+1) A(n-1, m)

Ternyata bilangan Eulerian ini, mempunyai hubungan dengan Fungsi Pembangkit pada persamaan (3) di atas. Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut:

(4)

dengan A(α,i) adalah bilangan Eulerian.

Tabel bilangan Eulerian dapat dilihat pada (Gunawan, 2010b).

1 1 1 1 1 0

(

1

)

+ − − ∞ =

−

+

+

+

=

∑

α α α α α

x

x

b

x

b

x

b

x

i

i i a

K

1 1 0 1 0

(

1

)

)

,

(

+ − = + ∞ =

−

=

∑

∑

α α

α

x

x

i

A

x

i

i i i i a

Mendapatkan Solusi Tertutup

Selanjutnya untuk mencari solusi tertutup dari Deret Bertingkat, perlu dicari konstanta dari suku ke xn pada Fungsi Pembangkit dari Deret Bertingkat. Dengan menggunakan formula Binomial Umum maka konstanta dari suku ke xndari adalah;

(5)

Contoh solusi dari Deret bertingkat secara rinci dapat dilihat di (Gunawan, 2010b).

Operator Beda Δ

Jika suatu barisan S = {sn}, maka operator beda didefinisikan (Kunin, 1999) sebagai

ΔS = {sn+1 - sn}. Sebagai ilustrasi dapat dilihat tabel dibawah ini.

S

Δ

S

Δ

2

_S

_…

s

0

s

1

s

1

– s

0

s

2

s

2

– s

1

s

2

–

2s

1

+s

0

s

3

s

3

– s

2

s

3

–

2s

2

+s

1

…

HASIL DAN PEMBAHASAN

Contoh Kasus

Untuk α =1 dan m = 1 didapat :

(

)

!

2

1

)

(

1 1 1 1

n

n

i

n

S

n i

+

=

=

∑

=

Jika hasil ini kita kenakan Operator Beda didapat

(

( 2)

) (

1

)

2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 )( 1 1 ( ) ( 1 1 + = − + + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + ₋ + = Δ n n n n n n n n n S

Hasilnya adalah barisan S = {i1}, i=1,…,n+1

k

x

−

−

)

1

(

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + 1 1 k n k

Untuk α = 1 dan m = 2 didapat :

6

)

1

(

)

1

(

1

2

2

)

(

1 1 2 2 1

−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

=

∑

=

n

n

n

n

i

n

S

n i

Jika hasil ini kita kenakan Operator Beda didapat

2 ) 1 ( 6 ) 1 ( ) 1 ( 6 ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( 2 1 n n n n n n n n n S + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + ₋ + − = Δ

Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas didapat:

)

1

(

)

(

2 1 2

=

+

Δ

S

n

n

Hasilnya juga barisan S={i1}, i=1,…,n+1

Untuk α = 2 dan m = 1 maka didapat

(

)(

)

6 1 1 2 ) ( 1 2 1 2 n n n i n S n i + + = =

∑

=

Jika hasil ini kita kenakan Operator Beda didapat

6 ) 4 5 ( ) 1 ( 6 ) 1 )( 1 2 ( 6 ) 1 )( 2 )( 2 2 ( ) ( 1 2 + + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − + + + = Δ n n n n n n n n n S

Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas didapat:

) 1 ( 6 ) 4 5 ( ) 1 ( 6 ) 5 5 ( ) 2 ( ) ( 1 2 2 + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + ₋ + + = Δ n n n n n n S

Hasilnya juga barisan S = {i1}, i =1,…,n+1

Untuk α = 2 dan m = 2 maka didapat

12

)

1

)(

2

(

2

2

1

2

2

2

2

)

(

2 1 2 2 2 2

n

n

n

n

n

i

n

S

n i

+

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

=

∑

=

Jika hasil ini kita kenakan Operator Beda didapat 6 ) 3 2 )( 1 ( ) 2 ( ) ( 2 2 + + + = ΔS n n n n

Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas didapat:

4

)

5

3

)(

2

(

)

(

2 2 2

=

+

+

Δ

S

n

n

n

Ulangi lagi operasi beda pada hasil di atas didapat:

)

2

(

)

(

2 2 3

=

+

Δ

S

n

n

Hasilnya juga barisan S = {i1}, i=1,…,n+2

SIMPULAN

Dengan mempelajari berbagai kasus, dapat dilihat hubungan yang erat antara Deret Bertingkat dengan Operasi Beda berulang. Di mana jika dikenakan operator beda sebanyak (m+α-1) maka akan menghasilkan barisan bilangan cacah. Jika diamati dengan seksama maka didapat analogi antara Deret Bertingkat dan Opeasi Beda dengan operasi pengintegralan dan operasi diferensial, dimana Deret Bertingkat analog dengan integral berganda sedangan Operasi Beda berulang analog dengan operasi diferensial berulang.

DAFTAR PUSTAKA

Goenawan, S. I. (2003). Deret Bertingkat Berderajat Satu dalam Teori Keteraturan, Metris: Jurnal

Mesin, Elektro, Industri dan Sains vol. 4 no. 1

Gunawan, A. (2010a). Solusi Deret Pangkat Tetap dengan Fungsi Pembangkit. Comtech Vol 1 No 2 Desember 2010

Gunawan, A. (2010b). Solusi Deret Bertingkat dengan Fungsi Pembangkit dan Bilangan Eulerian, Seminar Nasional Matematika 2010 UI – UNPAD, Jakarta.

Kunin, G., (1999). The Finite Difference Calculus and Application to the Interpolation od Sequences,

MIT Undergraduate Journal of Mathematics Vol 1.

South, K. A. (1993). Solving Recurrence with Generating Function, University of Maryland Baltimore County