Asimetri GARCH dan simulasi Monte Carlo
pada peramalan GBP/USD
Yun Hariadi
Dept. Dynamical System Modeling Bandung Fe Institute, Bandung Indonesia
yh@dynsys.bandungfe.net
Yohanes Surya
The Mochtar Riady Center for Nanotechnology and Bioengineering and Surya Research International
Lippo Karawaci, Tanggerang Indonesia
yohaness@centrin.net.id
Abstrak. Efek leverage membentuk metode GARCH menjadi asimetri. Paper ini mencoba membandingkan hasil peramalan secara langsung terhadap simetri GARCH (0 leverage) dengan asimetri GARCH (leverage). Hasil peramalan pada data GBP/USD pada skala waktu 1 jam, 5 menit, dan 1 menit memberi hasil bahwa metode asimetri meghasilkan peramalan yang lebih baik, hal ini ditunjukkan oleh perbedaan poin terhadap nilai data sebenarnya. Pada bagian akhir dilakukan peramalan metode GARCH dengan menggunakan simulasi Monte Carlo, hasil peramalan dengan menggunakan metode ini jauh lebih baik dibanding dengan peramalan sebelumnya. Perbedaan skala waktu peramalan memberi pengaruh terhadap perbedaan poin terhadap data sebelumnya.
kata kunci: GARCH, simetri GARCH, asimetri GARCH, GJR, leverage, simulasi Monte Carlo, volatilitas.
1. Pendahuluan
Data keuangan/saham memiliki sifat yang khas dibanding dengan data-data lain. Tiga hal yang merupakan sifat khas dari data keuangan/saham adalah: ekor gemuk, pengelompokkan return, dan efek leverage. Dengan adanya kenyataan tersebut maka pemodelan terhadap data keuangan/saham harus mengupayakan parameter tersebut hadir dalam pemodelannya. Dua sifat khas pertama diakomodir dengan menggunakan pendekatan distribusi tak-normal, sedangkan sifat yang ke tiga akan dibahas dan disimulasikan pada paper ini.
Paper ini merupakan pengembangan lebih lanjut dari paper-paper sebelumnya yang menggunakan metode GARCH sebagai metode peramalan (WPF2003 BFI dan WPP2004 BFI). Metode GARCH merupakan metode otoregresi terhadap data.
Beberapa kajian sebelumnya telah dilakukan dengan melihat pengaruh perbedaan antara distribusi normal dan distribusi tak normal, demikian juga pengaruh asimetri dalam GARCH terhadap peramalan volatilitas (Peters, J. P. 2001).
peramalan terhadap nilai return yang selanjutnya digunakan sebagai peramalan terhadap nilai data semula. Data yang digunakan dalam peramalan ini adalah data GBP/USD dengan skala waktu 1 menit, 5 menit, dan 60 menit (1 jam).
Efek leverage merupakan efek asimetri yang menghubungkan antara perubahan return
terhadap volatilitas. Hubungan ini memiliki korelasi negatif. Lebih jauh paper ini akan membahas pengaruh dari leverage ini terhadap ketepatan dalam peramalan GBP/USD dan hasil ini akan dilengkapi dengan peramalan menggunakan simulasi Monte Carlo melalui GARCH.
Susunan dalam paper ini adalah sebagai berikut: bagian ke dua adalah model asimetri GARCH sebagai modifikasi dari model GARCH yang mengakomodasi pengaruh leverage. Bagian ini kemudian dilanjutkan dengan peramalan dan simulasi terhadap data GBP/USD dan dilengkapi dengan simulasi Monte Carlo pada kedua metode GARCH yaitu simetri maupun asimetri. Bagian akhir dari paper ini ditutup dengan kesimpulan.
2. Model Asimetri GARCH
Model Asimetri ini merupakan pengembangan dari model GARCH dengan memasukkan efek leverage. Efek leverage merupakan efek asimetri yang menghubungkan antara perubahan return terhadap volatilitas, hubungan tersebut bersifat negatif artinya, perubahan volatilitas cenderung lebih besar pada perubahan return negatif dibandingkan dengan perubahan return positif. Karena terjadi perubahan yang tidak sama tersebut maka hadirnya unsur leverage ini yang membuat model GARCH menjadi tidak simetri.
Hadirnya efek leverage ini dalam model GARCH diwakili oleh parameter Lj dan
ketidak simetriannya diwakili oleh unsur St dan pengembangan model GARCH(P,Q) dengan
efek leverage dikenal sebagai model GJR(P,Q) (Glosten-Jagannathan-Runkle). berikut ini adalah pengembangan model GARCH(P,Q) dengan efek leverage yang dikenal sebagi GJR(P,Q)
Untuk data stokastik Yt (dalam simulasi data ini adalah return) bisa ditulis dalam
persamaan t t t C Y = +ε ….(i) Dengan εt ~D(0,σt2) dan Ct ≈0 t
ε kita sebut innovations
∑
∑
∑
= = = − − − − − + + + = P i Q j Q j j t j t j j t j i t i t K G A L S 1 1 1 2 2 2 2 σ ε ε σ …(ii) dengan ⎩ ⎨ ⎧ < = − − − lainnya St j t j , 0 0 , 1εdan
∑
∑
∑
= = = < + + P i Q j Q j j j i A L G 1 1 1 1 2 1 Sehingga pada GJR(1,1) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 − − − − − + + + = t t t t t K Gσ Aε LS ε σ ⎩ ⎨ ⎧ < = − − − lainnya St t , 0 0 , 1 1 1 εSimulasi Monte Carlo
Untuk menentukan harapan (ekspetasi) nilai fungsi f(x) pada pdf ψ(x)
∫
= = n x f x f x x dx E v ψ( )[ ( )] ( )ψ( )Dilakukan estimasi terhadap nilai v yaitu vˆ yang disebut tebakan Monte Carlo
∑
= = N i i x f N v 1 ) ( 1 ˆSetelah koefisien GARCH termasuk pdf-nya diperoleh pada percobaan sebelumnya selanjutnya dilakukan estimasi Monte Carlo terhadap nilai 2
1 1 1, + , + + t t t C ε σ yaitu 2 1 1 1,ˆ , ˆ ˆ + + + t t t C ε σ
3. Simulasi dan Analisa
Simulasi yang dilakukan pada bagian ini menggunakan data forex GBP/USD dengan menggunakan interval waktu jam. Berisi 2000 data, dengan interval dari 9/30/2004;22:00 sampai dengan 1/24/2005;12:00. seratus data terakhir sebagi pengecekan terhadap peramalan yang dilakukan, sehingga 1900 data pertama digunakan sebagi data sejarah untuk melakukan estimasi terhadap koefisien dari GJR(1,1) dan hasil ini akan digunakan untuk melakukan peramalan pada jam ke 1901, nilai yang sebenarnya dari jam ke 1901 akan digabungkan dengan 1900 data pertama untuk melakukan peramalan pada waktu ke 1902 demikian seterusnya hingga sampai dilakukan peramalan pada waktu ke 2000. dan pada bagian akhir simulasi akan dilakukan perbandingan terhadap ketepatan peramalan menggunakan asimetri GARCH pada skala waktu yang berbeda yaitu pada: 1 menit dan 5 menit.
Metode GARCH yang digunakan dalam penentuan koefisien dan peramalan GARCH menggunakan distribusi student t sebagai pendekatan distribusi pada nilai innovations. Simulasi Monte Carlo dilakukan pada peramalan GARCH, artinya koefisien dari GARCH digunakan pada peramalan Monte Carlo. Satu iterasi pada peramalan Monte Carlo adalah nilai rata-rata dari 10000 peramalan Monte Carlo.
Data 1 menit GBP/USD mulai dari 1/21/2005;3:09:00 s/d 1/24/2005;11:52:00. Data 5 menit GBP/USD mulai dari 1/13/2005;19:50:00 s/d 1/24/2005;11:55:00
Berikut ini hasil peramalan
Gambar 1
Batas bawah peramalan GARCH, pada model asimetri hasil tebakan lebih dekat dengan data sebenarnya dibandingkan dengan model simetri.
Gambar 2
Peramalan Monte Carlo pada koefisien GJR(1,1) (asimetri GARCH) memberi nilai yang dekat dengan data sebenarnya jika dibandingkan dengan batas atas dan bawah GJR(1,1).
Waktu Atas Bawah
Asimetri Simetri Bawah Monte Carlo 1991 26.0224 23.6205 50.6710 0.0817
1992 22.5977 19.8477 43.6930 0.1507 1993 11.4486 26.3353 48.4804 8.9575 1994 20.1630 15.7545 35.8608 1.1625 1995 33.7889 0.3603 17.9675 16.2134 1996 9.1341 28.0367 49.9313 10.8607 1997 46.0329 10.2553 9.5330 27.1963 1998 28.5386 17.8180 43.5698 4.1525 1999 6.9450 32.7504 54.6499 13.8592 2000 19.7228 19.0114 40.8693 0.8096 Tabel 1
Perbedaan poin antara data sebenarnya dengan peramalan pada waktu ke 1991 s/d 2000. Coba bandingkan antara batas bawah simetri dan asimetri denga Monte Carlo.
Pada gambar 1, terlihat bahwa hadirnya parameter leverage mempersempit jarak antara nilai sebenarnya dengan nilai peramalan. Dalam tabel 1 terlihat bahwa perbedaan poin antara batas bawah asimetri dengan simetri sekitar 2 kali dan penting diperhatikan bahwa perbedaan poin pada asimetri tidak pernah lebih besar dari perbedaan poin bawah simetri. kenyataan ini memberi informasi bahwa kehadiran leverage memberi efek yang sangat penting dalam model peramalan GARCH.
Sedangkan pada gambar 2, jika dibandingkan dengan peramalan langsung model asimetri GARCH hasil simulasi dengan Monte Carlo mampu memberi hasil yang jauh lebih baik. perbedaan ini secara umum jauh lebih baik jika dibandingkan perbedaan poin pada model simetri dengan asimetri.
Pertanyaan selanjutnya adalah, apakah hasil simulasi di atas konsisten jika kita lakukan simulasi dan peramalan pada skala waktu yang berbeda? Dan apakah skala waktu akan mempengaruhi tingkat ketepatan peramalan yang ditunjukkan oleh perbedaan poin terhadap nilai sebenarnya?
Berikut ini hasil simulasi pada skala satuan waktu yang berbeda yaitu 1 menit, 5 menit, dan 1 jam.
1 menit 5 menit 1 jam
leverage 0-leverage MC leverage 0-leverage MC leverage 0-leverage MC
1.2670 3.9187 0.9486 7.4347 12.2530 3.1502 28.0897 61.8299 0.0179 4.2882 6.9676 2.0529 6.5785 11.5440 2.1480 23.6205 50.6710 0.0817 1.5471 4.5268 0.9478 6.4807 11.3397 2.1442 19.8477 43.6930 0.1507 1.5575 1.3075 3.9473 5.4151 10.1960 1.1404 26.3353 48.4804 8.9575 7.5316 11.6804 4.0601 4.2487 8.8508 0.1367 15.7545 35.8608 1.1625 2.8842 7.4818 0.9387 1.0851 5.5156 2.8658 0.3603 17.9675 16.2134 9.7345 5.8694 12.9417 5.3408 10.0516 1.1406 28.0367 49.9313 10.8607 22.1840 33.0191 13.0880 5.1982 9.7509 1.1376 10.2553 9.5330 27.1963 7.6175 20.3429 2.9017 0.8998 3.5418 4.8396 17.8180 43.5698 4.1525 10.2054 20.0587 2.0852 4.9447 10.3130 0.1477 32.7504 54.6499 13.8592 4.3500 11.9821 1.9250 3.5766 8.5284 0.8458 19.0114 40.8693 0.8096 rata-rata 3.5486 6.8748 1.6494 5.1170 10.1797 2.3783 29.8665 53.4497 17.3281
Perbedaan poin terhadap nilai sebenarnya untuk waktu yang tidak sama. Semakin skala waktu diperkecil semakin kecil perbedaan poin terhadap nilai sebenarnya. Peramalan Monte Carlo menggunakan asimetri
GARCH, baris terakhir merupakan nilai rata-rata dari 100 peramalan terakhir.
Jika kita perhatikan tabel 2, terlihat bahwa hasil yang kita peroleh pada simulasi ini konsisten dengan yang kita peroleh sebelumnya. Bahwa perbedaan poin pada asimetri GARCH (efek leverage) selalu lebih kecil dibandingkan dengan simetri GARCH (0-leverage). Lebih jauh, Rata-rata perbedaan poin antara leverage dengan 0 leverage adalah sekitar 2 kali lebih besar, dan rata-rata perbedaan poin antara simulasi Monte Carlo dengan leverage adalah sekitar 2 kali lebih besar, hal ini ditunjukkan oleh baris terakhir pada tabel 2.
Perbedaan skala waktu sangat mempengaruhi tingkat ketepatan peramalan, hal ini ditunjukkan oleh perbedaan poin tehadap nilai data sebenarnya. Pembesaran skala waktu dari 1 menit ke 5 menit menyebabkan pembesaran sekitar 2 kali terhadap perbedaan poin. Dan pembesaran skala waktu dari 5 menit ke 60 menit (1 jam) menyebabkan pembesaran sekitar 6 kali tehadap perbedaan poin. Hal ini mudah dipahami karena dengan semakin kecilnya skala waktu menyebabkan perbedaan poin pada setiap waktu terurut menjadi lebih kecil jika dibandingkan dengan skala waktu yang lebih besar, dan ini langsung berpengaruh terhadap peramalan, coba perhatikan persamaan ii.
Jika kita perhatikan hasil peramalan di atas, terlihat bahwa terjadi perbedaan yang cukup penting terhadap ketepatan peramalan pada asimetri GARCH dan simetri GARCH, dan hasil ini konsisten dengan skala waktu yang berbeda. Dan jika hal ini kita bandingkan dengan simulasi Monte Carlo kita peroleh hasil yang jauh lebih baik termasuk dalam skala waktu yang berbeda. Lantas bagaimana pengaruh leverage terhadap ketepatan peramalan pada simulasi Monte Carlo?
leverage 0-leverage P.Poin
0.0179 0.0922 0.0743 0.0817 0.0085 0.0902 0.1507 0.0252 0.1255 8.9575 8.9576 0.0001 1.1625 1.0608 0.1017 16.2134 16.0938 0.1196 10.8607 10.9075 0.0468 27.1963 27.1186 0.0777 4.1525 3.9896 0.1629 13.8592 13.9787 0.1195 0.8096 0.9664 0.1568 17.3281 17.3187 0.1097 Tabel 3
Perbedaan poin antara nilai sebenarnya terhadap simulasi Monte Carlo dengan efek leverage dan tanpa efek
leverage (0-leverage). Kolom paling kanan adalah perbedaan di antara ke dua simulasi Monte Carlo tersebut.
Hasil yang diperoleh pada simulasi Monte Carlo menunjukkan bahwa efek leverage
tidak begitu berpengaruh seperti peramalan dengan asimetri GARCH dan simetri GARCH. Meski terjadi perbedaan pada nilai rata-rata pada simulasi Monte Carlo namun perbedaan
poin tersebut kecil (1/100), lebih jauh jika kita amati perbaris pada tabel 3 terjadi hubungan yang tidak konsisten yaitu tidak selalu pada model leverage memiliki perbedaan poin yang lebih besar dibanding pada model 0-leverage meski secara umum pada model 0-leverage
menghasilkan perbedaan poin yang lebih kecil jika dibandingkan dengan model leverage.
4. Kesimpulan
Efek leverage merupakan efek asimetri yang menghubungkan atara return dan volatilitas, dan hubungan itu berkorelasi negatif, lebih jauh, pengaruh terhadap volatilitas akan besar pada return negatif dibandingkan pada return positif, dan hal ini memberi pengaruh langsung terhadap kesimetrisan metode GARCH.
Leverage memberi pengaruh sangat penting terhadap peramalan GARCH, hal ini ditunjukkan pada perbedaan poin antara nilai sebenarnya (GBP/USD) terhadap hasil peramalan asimetri GARCH (leverage) dan simetri GARCH (0-leverage). Hadirnya efek leverage
ini membuat selang peramalan GARCH menyempit. Penyempitan selang ini hanya dialami pada batas bawah GARCH karena efek leverage tersebut memberi efek asimetri dan efek ini berpengaruh pada arah nilai innovations negatif (persamaan ii).
Perbedaan skala waktu mempengaruhi ketepatan dalam peramalan. Pada skala waktu lebih kecil diperoleh nilai peramalan yang makin mendekat dengan nilai sebenarnya jika dibandingkan dengan hasil peramalan pada skala waktu yang lebih besar. Hasil simulasi dengan data GBP/USD menunjukkan bahwa peramalan dalam skala waktu 1 menit memiliki perbedaan poin yang lebih kecil sekitar 2 kali dibanding dengan skala waktu 5 menit, dan pada skala waktu 5-menit memiliki perbedaan poin yang lebih kecil sekitar 6 kali dibanding dengan skala waktu 60 menit (1 jam). Hal ini karena semakin kecilnya skala waktu menyebabkan perbedaan poin pada setiap waktu terurut menjadi lebih kecil jika dibandingkan dengan skala waktu yang lebih besar, dan ini langsung berpengaruh terhadap peramalan coba perhatikan persamaan 1.
Simulasi Monte Carlo memberi hasil peramalan GARCH yang lebih baik dibandingkan dengan peramalan langsung dari GARCH. Ketepatan peramalan ini jauh lebih baik jika dibandingkan dengan perbedaan peramalan pada model asimetri GARCH dengan simetri GARCH. Dibandingkan dengan hasil peramalan langsung asimetri GARCH, hasil peramalan melalui simulasi Monte Carlo pada asimetri GARCH memberi hasil sekitar 2 kali lebih kecil pada perbedaan poin baik pada skala waktu 1 menit, 5 menit, dan 60 menit. Dan sekitar 4 kali lebih kecil jika dibandingkan dengan peramalan langsung dengan simetri GARCH.
Namun perbedaan hasil simulasi Monte Carlo tidak menunjukkan hasil yang begitu berbeda jika dilakukan pada asimetri GARCH (leverage) dan simetri GARCH(0-leverage). Meski secara umum (rata-rata) hasil yang diperoleh pada simetri GARCH memberi perbedaan poin yang lebih kecil dibandingkan dengan asimetri GARCH, namun belum bisa dikatakan bahwa setiap peramalan simulasi Monte Carlo melalui simetri GARCH selalu memiliki perbedaan poin lebih kecil dibandingkan peramalan simulasi Monte Carlo melalui asimetri GARCH, hal ini ditunjukkan pada tabel 3.
Penulis mengucapkan terimakasih kepada civitas akademika Bandung Fe Institute atas komentar dan kritiknya. Simulasi dilakukan pada komputer Intel Celeron 1.7GHz, 256 MB dengan mengguanakan Toolbox GARCH pada Matlab 7.0.1.
Daftar Pustaka
1. Craig, A. T. and Hogg, R. V. Introduction Mathematical Statistics. Prentice Hall, Inc. 1995.
2. Hariadi, Y. and Surya, Y. ‘Kulminasi Prediksi Data Deret Waktu Keuangan: Volatilitas dalam GARCH(1,1)’. WPF2003.Bandung Fe Institute 2003.
3. Hariadi, Y. and Surya, Y. ‘GARCH(2,1) Pada LQ45*’. WPP2004. Bandung Fe Institute 2004.
4. Jackel, Peter. Monte Carlo methods in finance. John Wiley & Son Ltd. 2002.
5. Lux, Thomas and Kaizoji, Taisei. ‘Forecasting Volatility and Volume in the Tokyo Stock Market: The Advantage of Long Memory Models’. Economics Working Paper No 2004-05. 2004.
6. Marcucci, Juri. ‘Forecasting Stock Market Volatility with Regime-Switching GARCH Models’. Eleventh Annual Symposium of the Society for Nonlinear Dynamics and Econometrics, held in Florence, March 2003.
7. Peters, J. P. ‘Estimating and forecasting volatility of stock indices using asymmetric GARCH models and (Skewed) Student-t densities’. Ecole d’Administration des Affaires, University of Li`ege, Belgium March 20, 2001
8. Stentoft, Lars. ‘Least Squares Monte-Carlo and GARCH Methods for American Options: Theory and Applications’. A dissertation submitted to The Faculty of Social Sciences in Economics University of Aarhus, Denmark. 2004.
9. Tyalor, H. M. and Karlin, S. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, Inc. 1975.
