BAB IV. SISTEM PERSAMAAN
LINEAR DAN KUADRAT
Persamaan Linear:
1. Persamaan linear satu variabel :
ax + b = 0 dengan a ≠0 2. Persamaan linear dua variabel
ax + by = c dengan a dan b ≠0
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ R
Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan: 1. Metoda Grafik
a. Menggambar grafik dengan metoda titik potong sumbu
b. Bila kedua garis berpotongan pada satu titik didapat sebuah anggota yaitu (x,y) c. Bila kedua garis sejajar (tidak
berpotongan maka) maka tidak didapat angota himpunan penyelesaian
d. Bila kedua garis berimpit maka didapat himpunan penyelesaian yang tak terhingga
2. Metoda Substitusi
Menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain
3. Metoda Eliminasi
Menghilangkan salah satu variabel 4. Metoda Eliminasi – Substitusi
Menggabungkan metoda Eliminasi dan Substitusi
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3
Cara penyelesaian SPLTV lebih mudah dengan
menggunakan metoda gabungan (eliminasi dan substitusi) Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua
Variabel (SPLKDV)
y = ax + b Æ bentuk linear y = px2 + qx + r Æ bentuk kuadrat
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK) y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
Cara penyelesaian SPLKDV dan SPK lebih mudah dengan menggunakan metoda substitusi yaitu
mensubtitusi persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya.
4. SOAL-SOAL PERSAMAAN LINEAR
DAN KUADRAT
EBTANAS2000
1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = + 2 4 7 21 3 6 y x y x adalah {(x0, y0) } Nilai 6. x0. y0 = ….. A. 6 1 B. 5 1 C. 1 D. 6 E. 36 jawab:
Soal-soal seperti ini pemecahannya menggunakan metoda substitusi dan eliminasi.
eliminasi y : 6+3 =21 y x | x 4 | 84 12 24+ = y x 7−4 =2 y x | x 3 | 6 12 21 = − y x + x 45 + 0 = 90
bisa + atau – (agar bisa mengeliminasi) x 45 = 90 ⇔ 45 = 90 .x x = 2 1 Substitusikan ke persamaan 6+ 3 =21 y x 21 3 2 1 6 + = y ⇔ 21 3 12+ = y ⇔ y 3 = 9 ⇔ y = 9 3 = 3 1 sehingga 6. x0. y0 = 6 . 2 1 . 3 1 = 1 jawabannya adalah C EBTANAS 2002
2. Jika suatu sistem persamaan linear: ax + by = 6
2ax +3by = 2
mempunyai penyelesaian x = 2 dan y =- 1, maka a2 + b2= …
A. 200 B.174 C. 265 D.164 E.110 jawab:
Substitusikan nilai x=2 dan y=1 ke dalam persamaan: a. 2 - b.1 = 6 2. a. 2 - 3.b.1 = 2 eliminasi a 2. a - b = 6 |x 4| 8.a - 4. b = 24 4. a - 3b = 2 |x 2| 8.a - 6.b = 4 - 2b = 20 b = 10 substitusikan nilai b = 10 2.a - b = 6 2a – 10 = 6 2a = 16 a = 8 sehingga a2 + b2= 82 + 102 = 164 jawabannya adalah D EBTANAS2002
3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − = + − = − + 1 3 4 6 6 2 2 3 4 7 2 3 z y x z y x z y x adalah {x,y,z} Nilai x – y – z = …. A. 7 B. 5 C. -1 D. -7 E. -13
jawab: 7 2 3+ −z= y x x 6 ⇒ 2x +3y – 6z = 42 …(1) 6 2 2 3 4− + =− z y x x8 ⇒ 2x – 12y + 4z = -48 ….(2) 1 3 4 6− − = z y x x 24 ⇒ 4x – 6y – 8z = 24 ….(3) Pers (1) dan (2) Æ eliminasi x
(kebetulan bisa langsung dikurang karena nilai x sama) 2x +3y – 6z = 42
2x – 12y + 4z = -48
15y – 10z = 90 ….(4) Pers (1) dan (3) Æ eliminasi x
2x +3y – 6z = 42 x 4 ⇒ 8x + 12y – 24z = 168 4x – 6y – 8z = 24 x 2⇒ 8x - 12y – 16z = 48
24y - 8z = 120 24y - 8z = 120 :8 ⇒ 6y – z = 30 ….(5) Pers (4) dan (5) Æ eliminasi y
15y – 10z = 90 x6 ⇒ 90y - 60z = 540 6y - z = 30 x15⇒ 90y - 30z = 450 - - 30z = 90 z = -3 substitusikan z = -3 ke pers (4) 15y – 10z = 90 ⇒ 15y +30 = 90 15y = 60 y = 4
substitusikan y=4 dan z=-3 ke pers (1) 2x +3y – 6z = 42 ⇒ 2x + 12 +18 = 42 2x = 12 x = 6 Sehingga x – y – z = 6 – 4 –(-3) = 5 Jawabannya adalah B EBTANAS1998
4. Jika x0, y0, z0 penyelesaian sistem persamaan
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = + − = − = + 1 3 2 5 2 y x z y z x maka x0+ y0+ z0 = …. A. -4 B. -1 C. 2 D. 4 E. 6 jawab: 2x + z = 5 ….(1) y – 2z = -3 …(2) x + y =1 …(3)
Pers (1) dan (2) (eliminasi z) 2x + z = 5 x2 ⇒ 4x + 2z = 10 x0, y0 y – 2z = -3 x1 ⇒ y - 2z = -3 +
x0, y
4x + y = 7 ….(4) pers (3) dan (4) (eliminasi y)
(bisa langsung dikurang) x + y = 1
4x + y = 7 - -3x = -6 x = 2
masukkan nilai x =2 ke pers (1) 2x + z = 5 ⇒ 4 + z =5
z =1
Masukkan nilai z=1 ke pers (2) y – 2z = -3 ⇒ y – 2 = -3 y = -1 didapat x = 2, y = -1 dan z =1 maka x0+ y0+ z0 = 2 – 1 + 1 = 2 jawabannya adalah C EBTANAS2002 SMK
5. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 2x + 1 dan y = 6x – 2 adalah: A. {(1,-4), (3,-16)} D. {(2,3), (3,16)} B. {(-1,-4), (-3,-16)} E. {(0,1), (0,-2)} C. {(1,4), (3,16)} Jawab:
Substitusikan y = 6x – 2 ke da;am persamaan kuadrat:
6x – 2 = x2+ 2x + 1 ⇔ x2+ 2x + 1-6x + 2 = 0 ⇔ x2- 4x + 3 = 0
⇔ (x - 3 ) (x – 1 ) = 0 x = 3 atau x = 1
Masukkan nilai x ke salah satu persamaan: Jika x = 1 maka y = 6x -2 = 6-2 = 4 jika x = 3 maka y = 6.3 – 2 = 16
didapat himpunan penyelesaian {(1,4), (3,16)} Jawabannya adalah C
EBTANAS 2003 SMK
6. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 17 5 2 2 y x y x adalah A. {(-3,2), (-2,3)} D. {(-4,1), (2,3)} B. {(1,-4), (4,-1)} E. {(4,1), (1,4)} C. {(-4,1), (-1,4)} Jawab: 5 = +y x ..(1) 17 2 2+ = y x …(2) Dari (1) y = 5 –x …(3) substitusikan ke (2) 17 ) 5 ( 2 2 + − = x x ⇔ x2 +25−10x+x2 =17 2x2 −10x+8=0 (2x - 2 ) (x – 4) = 0 didapat x = 1 atau x = 4 Masukkan ke (3) jika x=1 maka y = 5 –x = 5 – 1 = 4 jika x = 4 maka y = 5-4 = 1
Himpunan penyelesaiannya adalah {(1,4), (4,1)} Jawabannya adalah E
UN2005
7. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − + = + + 7 2 1 3 3 1 2 2 6 1 1 1 z y x z y x z y x
adalah {(x,y,z)}, Nilai dari (x+2y+3z)=…
A. 14 B.12 C. 3 D.1 E.0 jawab: 6 1 1 1 = + + z y x ….(1) = − + z y x 1 2 2 3 ….(2) 7 2 1 3 = + − z y x ….(3)
Pers (1) dan (2) Æeliminasi x 6 1 1 1 = + + z y x x2 ⇒ 12 2 2 2 = + + z y x = − + z y x 1 2 2 3 x1 ⇒ + − = z y x 1 2 2 3 z 3 = 9 z = 9 3 = 3 1 (kebetulan y juga ikut tereliminasi)
pers (1) dan (3) 6 1 1 1 = + + z y x x 3 ⇒ 18 3 3 3 = + + z y x 7 2 1 3− + = z y x x 1 ⇒ 7 2 1 3− + = z y x - z y 1 4 + = 11 …(4) Masuikkan nilai z ke (4) z y 1 4 + = 11 ⇔ 3 / 1 1 4 + y = 11
4 +3 y = 11 y 4 = 8 ⇒ y = 2 1
Masukkan nilai y dan z ke (1) 6 1 1 1 = + + z y x ⇒ 1/3 6 1 2 / 1 1 1 = + + x 1+2+3=6 x 1+5=6 x 1 =1 x ⇒ x = 1 sehingga (x+2y+3z)= 1 + 2. 2 1 + 3. 3 1 = 3 jawabannya adalah C UN2006
8. Jika (x0, y0, z0) memenuhi sistem persamaan linear berikut
2x + y – 3x = -11 x + 2y + z = 4 3x – 3y + 2z = 25 maka nilai x0 adalah:
A. -6 B. -3 C.1 D. 3 E. 6 jawab:
2x + y – 3z = -11 …..(1) x + 2y + z = 4 …..(2) 3x – 3y + 2z = 25 …..(3) Pers (1) dan (2) Æ eliminasi x
2x + y – 3z = -11 x1 ⇒ 2x + y – 3z = -11 x + 2y + z = 4 x2 ⇒ 2x + 4y +2z = 8 - -3y -5z = -19 3y + 5z = 19 ..(4) Pers (1) dan (3) Æ eliminasi x
2x + y – 3z = -11 x3 ⇒ 6x +3y – 9z = -33
3x – 3y + 2z = 25 x2 ⇒6x – 6y +4z = 50 - 9y – 13 z = -83 ..(5) pers (4) dan (5) Æ eliminasi y
3y + 5z = 19 x9 ⇒ 27y + 45z = 171 9y – 13 z = -83 x3 ⇒27y - 39z = -249 - 84z = 420 z = 5 Masukkan nilai z ke (4) 3y + 5z = 19 ⇒ 3y + 25 = 19 3y = -6 y = -2 masukkan nikai y dan z ke (1)
2x + y – 3z = -11 ⇒ 2x – 2 – 15 = -11 2x = -11 + 17 2x = 6 x = 3 jawabannya adalah D UN2005
9.Tujuh tahun lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah…
A. 39 tahun D. 54 tahun B. 43 tahun E. 78 tahun C. 49 tahun
jawab:
perhatikan kata-katanya dengan teliti !! misal umur ayah = x
umur Budi = y
x – 7 = 6 (y-7) ⇒ x – 7 = 6y - 42 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 ⇒2x +8 = 5y+20 +9 x – 7 = 6y - 42 ⇒ x – 6y = -35 ….(1) 2x +8 = 5y+20 +9 ⇒2x – 5y = 21 ….(2)
pers (1) dan (2) Æeliminasi x x – 6y = -35 x2 ⇒ 2x – 12y = -70 2x – 5y = 21 x1 ⇒ 2x - 5y = 21 - - 7y = -91 y = 13 masukkan nilai y ke (1) x – 6y = -35 ⇒ x – 78 = -35 x = 78 -35 = 43 jawabannya adalah B catatan:
x – 7 = 6 (y-7) Æ kondisi 7 tahun yang lalu antara umur ayah dan Budi (masing-masing umur dikurang 7 tahun)
2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 Æ kondisi 4 tahun yang akan datang, umur ayah dan Budi masing-masing ditambah 4 tahun
EBTANAS1999
10. Lia membeli 2 buah kue A dan 3 buah kue B dengan harga Rp.1400. Pada tempat yang sama Mety membeli 3 buah kue A san 4 kue B dengan harga Rp.1950. Jika Nova membeli 1 buah kue A dan 1 kue B kemudaian ia membayar dengan selembar uang Rp.1000, maka uang yang dikembalikan adalah…
A. Rp.250 C. Rp. 350 E. 550 B. Rp.300 D. Rp. 450
jawab:
Dari soal dapat dibuat persamaan linearnya: 2A + 3B = 1400 ….(1) 3A + 4B = 1950 (2) Pers (1) dan (2) 2A + 3B = 1400 x 3 ⇒ 6A + 9B = 4200 3A + 4B = 1950 x 2 ⇒6A + 8B = 3900 - B = 300 masukkan nilai B ke (1) 2A + 3B = 1400 ⇒ 2A + 3 . 300 = 1400 2A = 1400 – 900 2A = 500 A = 250 Yang ditanyakan: A + B = 1000 – kembalian kembalian = 1000 – (300+250) = 1000 – 550 = Rp.. 450 Jawabannya adalah D
