Metoda Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik

(1)

JETri,

Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372

Metoda Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien

Rangkaian Listrik

Maula Sukmawidjaja

Dosen Jurusan Teknik Elektro-FTI, Universitas Trisakti

Abstract

Many complex physical systems are described by differential equations for which a solution cannot be determined in analytical form. However, techniques are available to obtain approximate solutions of such differential equations, or sets of equations, by numerical methods. Thus the solution of differential equations is another important phase in numerical analysis. In general, methods of numerical integration employ a step-by-step process to determine a series of values for each dependent variable corresponding to a selected set of values of the independent variable. The usual procedure is to select values of the independent variable at fixed interval. The accuracy of a solution by numerical integration depends both on the method chosen and the size of interval.

Keyword: step-by-step, differential equations, numerical methods

1. Pendahuluan

Hukum-hukum dasar fisika, mekanika, rangkaian listrik, termodinamika maupun keteknikan, biasanya didasarkan pada pengamatan-pengamatan empiris yang menjelaskan perubahan-perubahan sifat fisis dan keadaan sistem. Hukum-hukum tersebut biasanya dinyatakan dalam perubahan-perubahan ruang maupun waktu.

Beberapa bentuk diberikan pada Tabel 1. pada halaman berikut. Hukum-hukum ini mendefinisikan mekanisme perubahan, yang jika digabungkan dengan hukum kekekalan energi, massa, atau momentum akan dihasilkan persamaan diferensial.

Integrasi selanjutnya dari persamaan-persamaan diferensial ini menghasilkan fungsi-fungsi matematika yang menjelaskan keadaan ruang dan waktu sebuah sistem, yang dinyatakan dalam energi, massa atau variasi kecepatan dan lain-lain. Sayangnya tidak semua persamaan diferensial dalam sistem fisis dapat diselesaikan secara analitis seperti diatas, dan biasanya dalam persolan teknik untuk mendapatkan solusi ini digunakan metoda Numerik (Stagg and El-Abiad, 1981: 343).

(2)

JETri,

Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372

Tabel 1. Hukum-hukum dasar yang ditulis atau dinyatakan dalam laju perubahan variable (t = waktu & x = posisi) (Steven C Chapra, 1988: 582)

Hukum Ekspresi Matematik Variabel dan Parameter Hukum gerak Newton

kedua

_m

F

dt

dv



Kecepatan (v), gaya (F) dan massa (m) Hukum panas Fourier

x T k panas Fluk   

 Konduktivitas panas (k), dan suhu (T)

Hukum difusi Fick

x

C

D

massa

Fluks







Koefisien difusi (D) dan konsentrasi (C) Hukum Faraday (menjelaskan perbedaan tegangan

pada suatu induktansi)

dt

di

L

Tegangan

Beda



Induktansi L dan

arus (i) Kekalan massa

dt

dc

V

Akumulasi



Volume (V) dan konsentrasi (c)

Dalam makalah ini dibatasi pada persamaan-persamaan diferensial yang berkaitan dengan rangkaian listrik, dan solusi untuk persamaan diferensial ini menggunakan metoda Numerik, dalam hal ini digunakan metoda Euler dengan bantuan software Mathcad.

Sebenarnya Ada banyak metoda numerik yang dapat digunakan, antara lain metoda Modified-Euler, Runge-Kuta (RK), Heun, RK-Fehlberg, dan lain-lain. Yang paling mudah adalah metoda Euler, namun dengan increment yang lebih kecil ternyata metoda ini ketelitiannya tidak kalah dengan metoda yang disebutkan tadi. Untuk melihat ketelitian hasil perhitungan pada transien rangkaian listrik, dibandingkan pula hasil solusi numerik ini dengan hasil dari software simulasi rangkaian listrik Pspice.

Kondisi-kondisi awal biasanya mempunyai interpretasi yang sangat jelas untuk persamaan diferensial yang diturunkan dari penempatan masalah fisis. Misalnya, pada masalah arus yang mengalir dalam induktor pada persamaan beda tegangan dalam tabel diatas.

(3)

Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik

Integrasi untuk mendapatkan arus yang mengalir dalam induktor memerlukan informasi kondisi awal untuk arus dalam induktor pada t=0. Kondisi awal itu adalah akibat dari kenyataan fisis (Hukum induksi Faraday dan Hukum Lenz) bahwa pada waktu no1 Gaya gerak listrik (ggl) lawan pada induktor akan maksimum jika arus mulanya nol. Jika pada t=0 arus induktor tidak nol, maka solusinya juga akan berbeda, dan Gaya gerak listrik lawan tidak pada kondisi maksimum.

Dalam menangani persamaan diferensial orde ke-n, maka ada n kondisi awal yang dibutuhkan guna memperoleh suatu solusi yang unik. Jika semua kondisi dispesifikasikan pada harga yang sama dari variabel independen (misalnya pada x atau t = 0), maka masalah itu dinamakan masalah harga awal.

Kebanyakan masalah praktis dalam bidang sains dan teknik memerlukan solusi sebuah sistem persamaan diferensial simultan, ketimbang satu persamaan diferensial tunggal. Secara umum, sistem demikian dapat ditunjukkan oleh persamaan berikut,

dx dy1 = f1(x, y1, y2, …….yn) dx dy2 = f2(x, y1, y2, …….yn) ……….. dx dyn = fn(x, y1, y2, …….yn) (1)

Solusi dari suatu sistem yang demikian memerlukan n buah kondisi awal untuk diketahui pada saat harga x permulaan yang kemudian dipakai untuk mencari solusi pada x berikutnya pada solusi langkah demi langkah, dan akan dibicarakan berikut ini

2. Solusi Langkah Demi Langkah

Untuk mencari solusi persamaan diferensial secara numerik, yang paling mudah adalah menggunakan metoda Euler. Jika diberikan persamaan diferensial yang mempunyai bentuk:

(4)

JETri,

)

,

(

x

y

f

dx

dy



(2)

Maka solusi pada langkah ke n+1 diperoleh dari harga perolehan langkah sebelumnya (ke n), sesuai hubungan:

Solusi langkah ke n+1 =

solusi langkah ke n + f(x,y) dikali ukuran langkah (3) Atau:

yn+1 = yn + f(xn, yn) ∆x (4) Perhatikan pada persamaan diatas, f(xn,yn) adalah turunan atau slope y(x) pada titik xn. y(x) adalah solusi persamaan diferensial yang hendak dicari

Ketelitian hasil perhitungan metoda euler ini tergantung dari increment ∆x. Sudah barang tentu jika ∆x diperkecil, hasil perhitungan yang diperoleh akan lebih teliti, tetapi jumlah perhitungan yn untuk suatu interval tertentu, akan lebih banyak. Namun demikian dengan makin meningkatnya kecepatan kemampuan hitung dari personal komputer sekarang ini, ternyata perhitungan/ solusi numerik persamaan diferensial diatas dapat diselesaikan dengan waktu yang relatif cepat dan solusi yang teliti akan diperoleh menggunakan metoda ini.

3. Software Mathcad

Secara singkat dapat dijelaskan bahwa Mathcad adalah sebuah software yang menggabungkan kemampuan menghitung perhitungan matematik, mengetik simbol-simbol matematik dan kemampuan untuk diprogram yang programnya juga menggunakan simbol-simbol matematik (Bahasa program Mathcad). Disamping itu Mathcad dapat digunakan pula sebagai pengolah kata (word processor) seperti halnya MS-Word dalam microsoft office. Jadi dengan menggunakan Mathcad berarti dapat langsung untuk mengolah kata (word-processor), membuat program, menghitung / mengeksekusi program,dan melihat langsung hasilnya baik dalam bentuk numerik maupun grafik. Kesemuanya itu disimpan dalam satu file (worksheet) Mathcad.

(5)

Berikut adalah beberapa hal singkat tentang kemampuan Mathcad. Mengetik simbol matematik:

  0.5  5

Mendefinisikan fungsi matematik, misalnya: f x( )  exsin



x 0.1234



Melukiskan fungsi tersebut,

0 2 4 1 1

x

1.5



f x

( )

Gambar 1: Penggambaran fungsi oleh Mathcad

Menghitung integral fungsi diatas, misalnya dari x =0 s/d x = π dilakukan sebagai berikut:

0  x exsin



x0.1234



   d 0.24

Perhatikan bahwa integral ditulis dalam Mathcad menggunakan simbol integral, demikian pula dengan batas integrasinya. Disamping itu Mathcad memiliki kemampuan perhitungan simbolik, misalnya menghitung invers matrik sebagai berikut:

a c b d













1  1 a d b c d c  b  a













 

(6)

JETri,

Tanda panah dapat diartikan “ hasil perhitungan adalah sebagai berikut ….”

Perhatikan pula bahwa simbol untuk mencari matrix invers dalam Mathcad juga ditulis dengan pangkat -1, seperti notasi yang ada dalam buku-buku matematik. Kalau akan mengkwadratkan matrix secara simbolik maka dapat tulis dengan notasi pangkat 2 atau langsung mengalikannya seperti pada bagian berikut:

a c b d













2 a2b c c a d c a b  b d b c  d2













 a c b d













a c b d













 a 2 b c  c a d c a b b d b c  d2















Seperti disebutkan diatas, Mathcad juga memiliki kemampuan untuk diprogram sesuai tugas yang diberikan, misalnya program sederhana yang di-inginkan atau ingin dibuat adalah sebagai berikut.

Jika diperintahkan pada Mathcad untuk menghitung jumlah(5), maka Mathcad harus menghitung 1+2+3+4+5. Jika diperintah ke Mathcad jumlah(n), maka akan dihitung oleh Mathcad 1+2+3+…..+n, dengan n adalah bilangan bulat sembarang. Bentuk program dalam Mathcad dan cara eksekusi programnya adalah sebagai berikut:

jumlah n( ) sum0 sumsum i i1 n for sum return  jumlah 5( )15 jumlah 25( )325 jumlah 1000( )5.005 10 5

(7)

Sudah barang tentu masih banyak kemampuan yang ada dalam Mathcad, yang tidak dituliskan disini. Namun dapat disimpulkan bahwa Mathcad adalah suatu software yang amat menarik untuk dipelajari, mudah diaplikasikan / diprogram, karena simbol-simbol yang digunakan sama seperti matematika yang umum, dan andal digunakan dalam perhitungan matematik.

Gambar 2. Tampilan Software Mathcad

4. Solusi Persamaan Diferensial Metoda Numerik

Tinjau suatu rangkaian R-L seri seperti dilukiskan dalam gambar 3 seperti pada halaman berikut.

(8)

JETri,

Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372 + -L R i(t) s t=0 e(t)

Gambar 3: Rangkaian R-L seri

Misalkan pada t=0, switch s ditutup. Kondisi mula untuk arus i(0) = 0. Persamaan diferensial untuk rangkaian diatas diperoleh dari persamaan tegangan loop, yaitu:

i

R

dt

di

L

t

e

(

)





(5)

Slope arus (tan α pada gambar 4), dari persamaan diatas adalah, i L R L t e dt di_ ( )_ atau i L R L t e i t i'(, )  ()  (6)

Solusi langkah demi langkah metoda euler adalah (sesuai persamaan 4):

t

i

_n_₁



_n



'

_n



(7)

Gambar 4: Dasar perhitungan langkah demi langkah

t  i(0)=i 0 a b i 1 = i0 + tg( ) t

(9)

Dengan menggunakan Mathcad, program untuk mencari arus adalah:

solusiPD i' a



  b ti0



nk ba t  i₀i0 i₁i0 i' a i0(  )t ta nt i_n_₁i_n i' t i

 

 _n t n1nk for i return  (8) Pada program diatas, solusiPD( ) adalah nama fungsi yang diberikan, (i', a, b, ∆t, i0) adalah argumen fungsi, dan i adalah nilai return (hasil perhitungan fungsi). Dalam badan fungsinya sendiri variabel nk adalah jumlah titik solusi numerik yang dihitung, a dan b adalah titik awal dan akhir selang/ interval untuk solusi yang diamati.

Misalkan diambil data-data rangkaian adalah: e(t) = 5 sin (t) R = 1 L = 1 a = 0 b = 6 ∆t = 0,1

i0 = 0 : harga mula arus

Solusi numerik menggunakan Mathcad adalah sebagai berikut,

i

t

e

i

t

i

'

(

,

)



(

)



i = solusi PD(i', a, b, ∆t, i0) n = 0,1 ….. t a b  

(10)

JETri,

tn = a + n. ∆t (9)

Jika digambarkan bentuk arus hasil perhitungan diatas, serta gambar tegangan yang dipasang pada rangkaian, hasilnya adalah (lihat gambar 5):

0 1 2 3 4 5 6 5 5

i

_n

e t

 

_n

t

n

Gambar 5: Bentuk arus solusi numerik serta tegangan sumber. Pada bagian berikut diperlihatkan rangkaian seri R-L-C seperti terlukis dalam gambar 6: + -L R i(t) s t=0 e(t) C 0 1 2 3

Gambar 6: Rangkaian seri R-L-C

Pada rangkaian diatas ada 2 kondisi mula yang diperlukan yaitu untuk induktor dan untuk kapasitor. Misalkan kondisi mula arus induktor i(0) = 0. Demikian pula tegangan awal kapasitor diambil = 0, v(0) = 0. Persamaan diferensial yang akan dibentuk diperoleh dari persaman tegangan dan arus dari rangkaian diatas, yaitu:

(11)

Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik e(t) = VL + VR + VC = L. dt d I + R.i + Vc i = dt dq = C. dt dVc (10)

Slope arus dan tegangan yang diperlukan untuk solusi numerik, dan bentuk solusinya adalah, dt di = L R V t e() c  i dt dV_c = C i in+1 = in + i'n∆t V 1  n C = VC_n + V’Cn∆t (11) Sebut, i' (t, Vc, I) = L i R V t e() c  . io = 0 v' (t, Vc, I) = C i yo = 0 (12)

(12)

JETri,

Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372 solusiPD2 i' v'



 a b ti0v0



nk ba t  i 0i0 v 0 v0 i 1i0i' a v



 0i0



t v 1 v0v' a v



 0i0



t ta nt i n 1 ini' t v



 nin



t v n 1 vnv' t v



 nin



t n1 nk for i v       return  (13) Argumen fungsi yang dibuat diatas ada 7 buah, terdiri dari 2 buah persamaan diferensial orde 1, yaitu i' dan v', selang yang diamati [a,b], increment ∆t, serta kondisi mula arus io dan tegangan mula vo.

Nama fungsi yang diberikan adalah solusiPD2( ) dan nilai return fungsi diatas adalah solusi i dan v.

Ambil data-data rangkaian adalah sebagai berikut: R = 1, L = 1, C = 1, a = 0, b = 6, ∆t = 0,1 e(t) = 5sin(t)       c c v i = solusi PD2 (i', v’, a, b, ∆t, Io, vo) n = 0,1 …. t  a b tn = a + n. ∆t (15)

(13)

Bentuk keluaran yang diperoleh:

0 1 2 3 4 5 6 5 5

ic

_n

vc

n



e t



_n

t

_n

Gambar 7. Bentuk keluaran solusi numerik untuk arus dan tegangan kapasitor

Hasil pada gambar 8 pada halaman berikut adalah hasil solusi numerik menggunakan Mathcad. Untuk membandingkan ketelitian hasil perhitungan menggunakan program Mathcad yang telah dibuat diatas, telah dicoba pula disimulasikan dengan program simulasi Pspice.

Program simulasi Pspice untuk rangkaian R-L-C diatas, dengan konstanta rangkaian yang sama adalah sebagai berikut:

Rangkaian RLC, masing-masing 1 satuan, no simpul sama seperti dalam gambar 6

Vs 1 0 sin(0 5 0.15915) ;w= 1, f =1/(2*pi) = 0.15915

L 1 2 1 IC=0 ; L = 1 henry, initial condition

i(0)=0

R 2 3 1

C 3 0 1 IC=0 ; C = 1 Farad, initial condition

vc(0)=0

.tran 0.1 6 0 0.1

.probe

(14)

JETri,

Gambar 8: Tampilan keluaran dilihat dalam Mathcad

Jika program diatas di run menggunakan Pspice, bentuk keluaran yang dihasilkan adalah sebagaimana yang dilukiskan dalam gambar 9. Terlihat bahwa hasil simulasi Pspice persis sama dengan hasil perhitungan yang dilakukan secara numerik menggunakan metoda euler. Catat bahwa v(1) adalah tegangan simpul 1, yaitu tegangan sumber. v(3) adalah tegangan

(15)

pada simpul 3, yaitu tegangan pada kapasitor, sedangkan I(R) adalah arus dalam resistor, juga merupakan arus dalam kapasitor (rangkaian seri). Nomor simpul sesuai nomor yang diberikan pada gambar 6.

Tampilan program simulasi menggunakan Pspice dan Hasil simulasinya digambarkan pada gambar 13 dan 14 , diakhir sub bagian 5.

Time 0s 1.0s 2.0s 3.0s 4.0s 5.0s 6.0s V(1) V(3) I(R) -5.0 0 5.0 _e(t) I_c(t) v_c(t)

Gambar 9: Simulasi rangkaian R-L-C menggunakan Pspice

5. Menuliskan Persamaan Diferensial Untuk Solusi Numerik

Untuk dapat membuat program solusi numerik, pada sub bab (4) diatas perlu dituliskan persamaan diferensial dari sistemnya, lihat persamaan (1). Sebagai mana halnya untuk rangkaian R-L seri, telah ditulis sebuah persamaan diferensial, persamaan (6), yang kemudian digunakan untuk menuliskan program numeriknya (persamaan 8) untuk mendapatkan solusinya. Demikian pula untuk rangkaian R-L-C seri, juga telah dituliskan persamaan (11), yang juga sering disebut sebagai persamaan keadaan. Persamaan keadaan adalah persamaan yang menguraikan dinamika dari sistem tersebut.

Dari persamaan diferensial tersebut, baru dapat dicari solusi numeriknya. Dalam rangkaian R-L-C, disini ada 2 persamaan diferensial, jadi ada 2 syarat batas yang diperlukan untuk menguraikan dinamika sistem, yaitu berupa solusi dari persamaan diferensial. Program solusi numeriknya telah dibuatkan pula, yaitu persamaan (13), yang menghasilkan 2 buah solusi yaitu untuk arus dan tegangan kapasitor. Untuk rangkaian

(16)

JETri,

listrik yang agak rumit diperlukan cara-cara sistematis untuk mendapatkan sistem persamaan diferensial ini. Setelah persamaan ini diperoleh, baru dapat dituliskan program solusi numeriknya.

Berikut diberikan beberapa rangkaian listrik dan cara mendapatkan sistem persamaan diferensialnya. Tinjau rangkaian listrik seperti ditunjukan dalam gambar 10 berikut.

R₂ + -L₁ L₂ i₁(t) i2(t) s t=0 e(t) R₁

Gambar 10: Rangkaian dengan 2 loop

Persamaan tegangan loop untuk rangkaian diatas yang kemudian diatur agar persamaan diferensialnya terletak pada matrix kolom sebelah kanan, adalah:

                        2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ' ' . . . ) ( i i L L L L L R i R i t e (16)

Dengan menggunakan perhitungan simbolik yang disediakan Mathcad, maka diperoleh persamaan diferensial seperti dalam persamaan (1), sebagai berikut:                         2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 . . 1 ) . ) ( ( 1 . . 1 ) . ) ( .( . ' ' R i L R i t e L R i L R i t e L L L L i i (17)

Dari persaaman diatas serta syarat batas yang diperlukan dapat dibuatkan solusi numeriknya seperti diuraikan dalam sub bagian (4) diatas.

(17)

Perhatikan bahwa pada rangkaian gambar 10. ada 2 buah induktor, jadi ada 2 syarat batas yang diperlukan yaitu i1(0) dan i2(0), untuk

mendapatkan solusi numerik persamaan (17). Tinjau rangkaian pada gambar 11 berikut:

R₂ R₁ + -L₁ L₂ i₁(t) i2(t) s t=0 e(t) C

Gambar 11. Rangkaian dengan 2 L dan 1C

Pada rangkaian diatas ada 2 induktor dan satu kapasitor. Jadi ada 3 syarat batas yang diperlukan (2 buah untuk induktor dan satu buah untuk kapasitor).

Persamaan tegangan loop untuk rangkaian diatas setelah diatur, dalam bentuk matrix adalah:

                                     2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' ' . 0 0 0 0 ) ( i i v L L L L L C R i v R i t e i c c (18)

Pada persamaan diatas diatur agar persamaan diferensialnya muncul pada matrix kolom sisi paling kanan.

Kemudian dengan mengambil invers matrix untuk matrix koefisiennya (ukuran 3x3) dan kembali menggunakan fasilitas simbolik Mathcad, didapatkan persamaan diferensialnya adalah:

          2 1 ' ' ' i i vc = 2 1. . 1 L L C _          1 1 1 2 1 2 1 . . 0 . ) .( 0 0 0 . L C L C L C L L C L L              2 2 1 1 1 ) ( R i v R i t e i c (19)

(18)

JETri,

Atau setelah dilakukan perkalian matrix pada (19) menghasilkan

          2 1 ' ' ' i i vc =                          2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ) . ) ( ( 1 1 ) . ) ( ( . . 1 R i L v R i t e L R i L v R i t e L L L L i C c c (20)

Dengan menggunakan kondisi mula vc(0) i1(0) dan i2(0), akan dapat dibuat

solusi numeriknya seperti dalam persamaan (13) sub bab (4) diatas. Terakhir tinjau rangkaian listrik dalam gambar 12 berikut:

+ -L₁ L₂ i₁(t) i₂(t) s t=0 e(t) C R1 R2

Gambar 12: Rangkaian R-L-C pada kedua loop

Dari persamaan tegangan loop, setelah mengatur persamaan diferensial pada sisi paling kanan matrix, diperoleh:

                                   2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ' ' ' . 0 0 0 0 0 0 ) ( i i v L L C R i v v R i t e i i c c c (21)

Dari persamaan diatas diperoleh persamaan diferensialnya adalah:

          2 1 ' ' ' i i vc =                       ) . ( 1 ) . ) ( ( 1 ) .( 1 2 2 2 1 1 1 2 1 R i v L v R i t e L i i C c c (22)

(19)

Gambar 13: Tampilan Program Simulasi Dengan Pspice

(20)

JETri,

6. Kesimpulan

Kebanyakan masalah praktis dalam bidang sains dan teknik memerlukan solusi sebuah sistem persamaan diferensial simultan. Secara umum, sistem demikian dapat ditunjukkan oleh persamaan berikut:

)

,

.

,

(

....

)

,

.

,

(

)

,

.

,

(

2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dx

dy



Solusi dari suatu sistem yang demikian memerlukan n buah kondisi awal untuk diketahui pada saat harga x permulaan yang kemudian dipakai untuk mencari solusi pada x berikutnya.

Beberapa bentuk rangkaian listrik telah diberikan untuk membentuk persamaan diferensial seperti persamaan (1) diatas. Dengan memanfaatkan fasilitas perhitungan Simbolik Mathcad, sistem persamaan diferensialnya akan mudah diperoleh. Setelah itu barulah dibuatkan program solusi numeriknya. Untuk melihat ketelitian perhitungan Solusi numerik yang dibuat, hasilnya juga dibandingkan dengan program simulasi Pspice, yang ternyata ketelitiannya cukup memuaskan.

Daftar Pustaka

1. Stagg and El-Abiad, 1981, Computer Methods in Power System Analysis. Tokyo: McGraw-Hill Kogakusha, Ltd.

2. Steven C Chapra, Ph.D, 1988, Numerical Methods For Engineers, 2nd Edition. New York: McGraw-Hill, Inc.