STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN REASURANSI HERLAN BUDIAWAN

STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL

DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN

REASURANSI

HERLAN BUDIAWAN

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRAK

HERLAN BUDIAWAN. Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal dengan Reinstatements pada

Perusahaan Reasuransi. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI. Reasuransi merupakan pertanggungan mengenai seluruh atau sebagian risiko perusahaan asuransi. Perusahaan asuransi membayar sejumlah premi yang telah disepakati kepada perusahaan reasuransi (reinsurer). Selanjutnya, premi-premi tersebut akan menjadi pendapatan bagi perusahaan reasuransi. Perencanaan premi sangat diperlukan perusahaan reasuransi dalam menghadapi risiko-risiko atas klaim yang diajukan. Perencanaan premi dalam karya ilmiah ini adalah perencanaan premi pada kontrak reasuransi dengan reinstatement. Premi ini tidak dibayarkan pada awal kontrak, tetapi dibayarkan ketika kerugian reinsurer melebihi batas maksimum kemampuannya. Untuk ilustrasi secara umum, diasumsikan bahwa kerugian reasuransi mengikuti sebaran eksponensial terpotong.

Kontrak reasuransi meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara total pemasukan premi dan kerugian perusahaan reasuransi, sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal. Minimisasi nilai harapan kuadrat terhadap semua perencanaan premi tersebut dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Matriks koragam dari peubah acak penjelas pada perencanaan premi dengan reinstatement memiliki invers sehingga perencanaan premi optimal tersebut memiliki solusi unik. Perencanaan premi optimal bersifat tak bias dan tak negatif.

ABSTRACT

HERLAN BUDIAWAN. Studying on Optimal Premium Plans with Reinstatements of

Reinsurance. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.

Reinsurance is an underwrite all or a portion of the insurance risk. Insurer paid a number of premiums to reinsurer and that premiums would be income for reinsurer. Premium plan is very important for reinsurer facing risks of submitted claims. Premium plan in this paper is premium plan of reinsurance with reinstatement. This premium is not paid in the beginning of the contract, but it is paid when the loss of the reinsurer exceed maximum bound capacity of reinsurer. For illustration purpose, it is assumed that the reinsurer’s loss is satisfied a truncated exponential distribution.

Reinsurance contract minimizes the expectation of square the difference between the total premium income and the loss of the reinsurance, therefore it is said to be optimal. Minimizing the expectation of square all over premium plans can be viewed as a credibility problems. Covariance matrix of the explanatory random variables of premium plan with reinstatement is invertible, so that the premium plan has a unique solution. Optimal premium plan are unbiased and nonnegative. Keywords: reinsurance, reinstatement, truncated exponentials distribution

STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL

DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN

REASURANSI

HERLAN BUDIAWAN

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul

Skripsi

:

Studi

terhadap

Perencanaan

Premi

Optimal

dengan

Reinstatements

pada Perusahaan Reasuransi.

Nama

Rerlan Budiawan

NIM

:

G54080028

Menyetujui

Pembimbing I,

.

Dr. Ir. I Gusti Putu Pumaba, DBA.

Ir. Re

0

Budiarti, MS.

NIP: 19651218199002 1 001

NIP: 19610729 1989032001

Mengetahui:

MS.

Judul Skripsi : Studi

terhadap

Perencanaan

Premi

Optimal

dengan

Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi.

Nama

: Herlan Budiawan

NIM

: G54080028

Menyetujui

Tanggal Lulus:

Pembimbing I,

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.

NIP: 19651218 199002 1 001

Pembimbing II,

Ir. Retno Budiarti, MS.

NIP: 19610729 198903 2 001

Mengetahui:

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP: 19650505 198903 2 004

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak sekali pihak yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. keluarga tercinta: Ayah dan Ibu. Ayah sebagai pemberi motivasi dan Ibu sebagai sumber inspirasi, kakakku Eni Rustini beserta suami Hary Widjayanto, Ida Farida beserta suami Anwar Musadad, Rina Haerani beserta suami Sigit, dan Deden Komara beserta istri Lia Nuraeni (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran dan kasih sayangnya), adikku Yanti Wulandari (terima kasih atas doa, semangat, motivasi dan dukungannya). Keponakanku Irvan, Andre, Fauzi, Indria, Fadhil dan Fakhri (terimakasih atas doa dan keceriannya). 2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan

waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,

3. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, motivasi, kritik dan saran, serta doanya,

4. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan doanya,

5. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 6. staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Mas Hery, Ibu Ade, Alm. Bapak

Bono, Bapak Deni, IbuYanti atas semangat dan doanya,

7. Dewi, Hendra dan Rochmat yang telah meluangkan waktu untuk menjadi pembahas pada seminar karya ilmiah saya,

8. teman-teman satu bimbingan: Heru, Aisyah, Prama, Fenny, dan Irma,

9. sahabatku Hardono, Arbi, Khafizd, Izzudin, James, Ari, Haryanto, Ridwan, Irwan, Beni, Fuka, Nova, Achie, Fenny, Mega (terima kasih atas kebersamaannya),

10. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45 (terima kasih atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya),

11. kakak-kakak Matematika angkatan 43 dan 44 yang menjadi cermin untuk menjadi pribadi yang lebih baik,

12. adik-adik Matematika angkatan 46 dan 47 yang terus mendukung agar berkembang, 13. Gumatika Brilian, Gumakusi dan HIMAT yang menunjukkan hal-hal baru,

14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, Mei 2013

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Cianjur Jawa Barat, pada tanggal 12 Desember 1989 dari Bapak Koko dan Ibu Kokom. Penulis merupakan putra ke-5 dari enam bersaudara.

Pada tahun 2002 penulis lulus dari SD Negeri Girimukti, tahun 2005 penulis lulus dari SMP Negeri 1 Cipanas, tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sukaresmi. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1) pada tahun akademik 2010-2011. Tahun 2008-2010 penulis mendapatkan beasiswa PPA (Peningkatan Prestasi Akademik) IPB dan Beasiswa BUMN (Badan Usaha Milik Negara) pada tahun 2011-2012.

Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai Staf Divisi Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) tahun 2010-2011 dan sebagai sekretaris organisasi mahasiswa daerah Cianjur yang dikenal dengan HIMAT (Himpunan Mahasiswa Tjiandjoer). Penulis pernah menjadi sekretaris Masa Perkenalan Departemen untuk angkatan 2010 atau angkatan 47.

Penulis pernah mendapatkan penghargaan, yaitu juara 1 bulu tangkis G-5 League tahun 2010, 2011, 2012 dan juara II bulu tangkis KEJURDA UNPAD tahun 2012.

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR LAMPIRAN ... ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Kontrak Reasuransi Tak Proporsional ... 1

2.2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang ... 2

2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

2.4 Nilai Harapan dan Ragam ... 3

2.5 Matriks ... 3

III PEMBAHASAN 3.1 Kontrak Reasuransi dengan Reinstatements ... 4

3.2 Perencanaan Premi Optimal ... 5

3.3 Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal ... 5

3.4 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal ... 7

3.5 Contoh Sebaran Eksponensial Terpotong (Truncated Exponentials Distribution) ... 9

IV SIMPULAN ... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 13

LAMPIRAN ... 14

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Bukti Lema 1 ... 15 2 Bukti Persamaan 3.23 ... 18

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada dasarnya kehidupan manusia tidak lepas dari risiko, bahaya atau kerugian material yang datang di luar perhitungannya. Seseorang atau badan usaha yang selalu menghadapi risiko akan berusaha untuk mengurangi atau menghindari risiko tersebut dengan berbagai cara. Salah satu cara yang ditempuh seseorang atau badan usaha untuk memperkecil risiko yang mereka hadapi adalah dengan berasuransi. Di sisi lain, perusahaan asuransi atau pihak penanggung yang bidang usahanya justru menjual jasa asuransi untuk mengambil alih sebagian atau seluruh risiko yang dihadapi oleh tertanggung, juga akan selalu menghadapi risiko kemungkinan adanya tuntutan ganti kerugian dan/atau santunan dari tertanggung yang wajib mereka bayar sesuai dengan persyaratan dan ketentuan polis yang berlaku. Dengan demikian, pihak penanggung juga memerlukan kebijakan mengelola risiko tanggung gugat yang mungkin akan terjadi setiap saat akibat perjanjian-perjanjian asuransi dengan pihak tertanggung. Langkah yang harus ditempuh oleh para penanggung untuk memperkecil risiko tanggung gugat adalah dengan mempertanggungkan kembali kepentingan atas kelebihan tanggung gugat yang tidak mungkin mereka tanggung sendiri. Kegiatan pertanggungan ulang terhadap risiko yang dihadapi oleh perusahaan asuransi seperti ini dikenal dengan reasuransi.

Reasuransi atau pertanggungan ulang pada kenyataannya mempunyai peranan yang sangat penting dalam industri asuransi. Peran dan fungsi reasuransi tidak hanya memberikan proteksi asuransi, tetapi juga dapat menaikkan kapasitas akseptasi perusahaan asuransi atas

risiko-risiko yang melampaui batas kemampuannya karena kelebihan tanggung gugat yang tidak bisa mereka tanggung sendiri akan dijamin oleh penanggung ulang.

Reasuransi mempunyai dua tipe kontrak atau perjanjian reasuransi, yaitu kontrak proporsional (proportional treaties) dan kontrak tak proporsional (non proportional treaties). Kedua kontrak tersebut mempunyai perbedaan mendasar terutama dalam hal penetapan premi.

Pada karya ilmiah ini dibahas perencanaan premi optimal dengan reinstatement untuk kontrak tak proporsional pada perusahaan reasuransi. Di dalam kontrak ini, premi reinstatement, yaitu jumlah yang harus dibayarkan ketika kerugian perusahaan reasuransi melebihi batas maksimum yang akan dibayarkan kepada tertanggung didefinisikan sebagai peubah acak. Rujukan utama karya ilmiah ini adalah tulisan Hess dan Schmidt (2004) yang berjudul “Optimal Premium Plans for Reinsurance with Reinstatements”.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:

1. Mempelajari eksistensi perencanaan premi yang meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara total pemasukan premi dan kerugian suatu perusahaan reasuransi.

2. Menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal ada, unik, dan memenuhi prinsip premi bersih.

3. Mempelajari sifat-sifat perencanaan premi optimal.

II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dibahas beberapa landasan teori yang berkaitan dengan bahasan karya ilmiah ini.

2.1 Kontrak Reasuransi Tak Proporsional

Sebagaimana telah disebut di pendahuluan, salah satu kategori kontrak reasuransi adalah kontrak reasuransi tak proporsional. Kontrak reasuransi tak proporsional mempunyai cara kerja berbeda dengan kontrak reasuransi proporsional. Kontrak reasuransi proporsional

menetapkan pembagian sesi premi secara berimbang dan beban risiko yang ditanggung penanggung pertama (pemberi sesi) dan penanggung ulang adalah sama, sedangkan dalam kontrak reasuransi tak proporsional, tidak berlaku cara kerja seperti itu. Penetapan premi dalam kontrak reasuransi tak proporsional tidak hanya tergantung pada jumlah limit tanggung gugat yang menjadi tanggungan penanggung ulang, tetapi juga didasarkan pada tingkat rasio klaim/kerugian. Risiko-risiko yang dijamin oleh kontrak

2

reasuransi tak proporsional tidak hanya terbatas pada risiko biasa, tetapi juga meliputi kejadian-kejadian yang dapat menimbulkan kerugian besar.

Adapun yang dimaksud dengan kontrak reasuransi tak proporsional adalah suatu perjanjian reasuransi yang menetapkan bahwa para penanggung ulang dengan menerima sejumlah premi yang telah disepakati bersedia membayar kepada penanggung pertama seluruh kerugian yang melampaui limit retensi (underlying net retention) sampai pada batas jumlah atau persentase tertentu akibat peristiwa-peristiwa tertentu yang telah disepakati.

(Marianto 1997)

2.2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)

Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 2 (Ruang Contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω.

(Grimmet & Stirzaker 1992)

Definisi 3 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω.

(Grimmet & Stirzaker 1992)

Definisi 4 (Kejadian Saling Lepas)

Kejadian 𝐴 dan 𝐵 disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (∅).

(Grimmet & Stirzaker 1992)

Definisi 5 (Medan-𝝇)

Medan- adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi berikut: 1. Ø ∈ ℱ, 2. Jika 𝐴 ∈ ℱ maka 𝐴𝑐_{∈ ℱ,} 3. Jika 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ maka 𝐴𝑖 ∈ ℱ ∞ 𝑖=1 .

(Grimmet & Stirzaker 1992)

Definisi 6 (Ukuran Peluang)

Misalkan ℱ adalah medan-𝜍 dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang 𝑃 pada (Ω, ℱ ) adalah suatu fungsi 𝑃: ℱ → [0,1] yang memenuhi:

1. 𝑃(Ø) = 0, 𝑃(Ω) = 1,

2. Jika 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu 𝐴i∩ 𝐴j= ∅ untuk setiap pasangan 𝑖 ≠ 𝑗, maka

𝑃 𝐴𝑖 ∞ 𝑖=1 = 𝑃 𝐴𝑖 ∞ 𝑖=1 .

(Grimmet & Stirzaker 1992)

2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah Acak)

Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi 𝑋 terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur 𝜔 ∈ Ω ke satu dan hanya satu bilangan real 𝑋 𝜔 = 𝑥 disebut peubah acak.

Ruang dari 𝑋 adalah himpunan bagian bilangan real 𝒜 = {𝑥: 𝑥 = 𝑋 𝜔 , 𝜔 ∈ Ω}.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 8 (Fungsi Sebaran)

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak dengan ruang 𝒜. Misalkan kejadian 𝐴 = (−∞, 𝑥] ∈ 𝒜, maka peluang dari kejadian 𝐴 adalah

𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝐹𝑋 𝑥 .

Fungsi 𝐹𝑋 disebut fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 9 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak 𝑋 dikatakan diskret jika nilainya berada hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari ℝ.

(Grimmet & Stirzaker 1992) Catatan:

Suatu himpunan bilangan 𝐶 disebut terhitung jika 𝐶 terdiri atas bilangan terhingga atau anggota 𝐶 dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak 𝑋 dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai

𝐹𝑋 𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 𝑥

−∞

3

untuk suatu fungsi 𝑓: ℝ → 0 , ∞ yang dapat diintegralkan. Selanjutnya, fungsi 𝑓 = 𝑓𝑋 disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi 𝑋.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 𝑋 adalah fungsi 𝑝: ℝ → 0 , 1 yang diberikan oleh

𝑝𝑋 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 .

(Grimmet & Stirzaker 1992)

Definisi 12 (Peubah Acak Eksponensial)

Suatu peubah acak 𝑋 disebut peubah acak eksponensial dengan parameter 𝛼, 𝛼 > 0, jika nilainya terletak pada [0, ∞) dan mempunyai fungsi kepekatan peluang

𝑓𝑋 𝑥 = 𝛼𝑒−𝛼𝑥, 𝑥 ≥ 0.

(Grimmet & Stirzaker 1992)

2.4 Nilai Harapan dan Ragam Definisi 13 (Nilai Harapan)

1. Jika 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋, maka nilai harapan 𝑋, dinotasikan dengan 𝐸 𝑋 adalah

𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑝𝑋 𝑥 𝑥

,

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika 𝑋 adalah peubah acak kontinu dengan

fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋, maka nilai harapan 𝑋 dinotasikan dengan 𝐸 𝑋 adalah

𝐸 𝑋 = 𝑥 ∞

−∞

𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥,

asalkan integral di atas konvergen mutlak. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari 𝑋 tidak ada.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 14 (Nilai Harapan Bersyarat)

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑋|𝑌 adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦, maka nilai harapan dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦 adalah

𝐸 𝑋|𝑌 = 𝑦 = 𝑥𝑓𝑋|𝑌 𝑥|𝑦 𝑑𝑥. ∞

−∞

(Hogg et al. 2005)

Definisi 15 (Ragam)

Ragam dari peubah acak 𝑋 adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara 𝑋 dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 2

= 𝐸 𝑋2 _{− 𝐸 𝑋} 2_. (Hogg et al. 2005)

Definisi 16 (Koragam)

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah dua peubah acak dengan 𝐸 𝑋 = 𝜇1 dan 𝐸 𝑌 = 𝜇2, maka koragam peubah acak 𝑋 dan 𝑌 adalah

𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝜇1 𝑌 − 𝜇2 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇1𝜇2.

(Hogg et al. 2005)

2.5 Matriks

Definisi 17 (Transpos dari Suatu Matriks)

Transpos dari suatu matriks 𝑨 berukuran 𝑚 × 𝑛 adalah matriks 𝑩 berukuran 𝑛 × 𝑚 yang didefinisikan oleh 𝑏𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗, untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑖 = 1,2, … , 𝑚. Transpos dari matriks 𝑨 dinotasikan dengan 𝑨𝑇_.

(Leon 2001

Definisi 18 (Matriks Simetris)

Suatu matriks 𝑨 berukuran 𝑛 × 𝑛 disebut simetris jika 𝑨𝑇 _{= 𝑨}

_.

(Leon 2001)

Definisi 19 (Matriks Idempotent)

Suatu matriks 𝑨 berukuran 𝑛 × 𝑛 disebut matriks idempotent jika 𝑨2_{= 𝑨}

_.

(Leon 2001)

Definisi 20 (Invers Matriks)

Suatu matriks 𝑨 berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan tak singular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks 𝑩 sehingga 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 = 𝑰. Matriks 𝑩 disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari 𝑨.

4

III PEMBAHASAN

3.1 Kontrak Reasuransi dengan

Reinstatements

Kontrak reasuransi tak proporsional merupakan suatu perjanjian reasuransi yang menetapkan bahwa para penanggung ulang (reinsurer) dengan menerima sejumlah premi yang telah disepakati bersedia membayar kepada penanggung pertama seluruh kerugian yang melampaui limit retensi (underlying net retention) sampai pada batas jumlah atau persentase tertentu akibat peristiwa-peristiwa tertentu yang telah disepakati.

Misalkan bilangan real 𝐻 ∈ 0, ∞ adalah konstanta yang menyatakan batas atas liabilitas total dari reinsurer dan peubah acak 𝑆: Ω → ℝ dengan 𝑃 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝐻 = 1 adalah peubah acak yang menyatakan kerugian total dari reinsurer.

Kerugian Asuransi

Kerugian total 𝑋∗ _{yang ditanggung oleh} sebuah perusahaan asuransi dapat dipresentasikan sebagai 𝑋∗ _{= 𝑌} 𝑗∗ 𝑁∗ 𝑗 =1 (3.1) dengan 𝑋∗

= total klaim/kerugian total perusahaan asuransi, 𝑁∗

= banyaknya klaim yang diajukan oleh tertanggung, 𝑌𝑗∗ = besarnya klaim dari

tertanggung ke-𝑗, dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑁∗_.

Model ini sering disebut juga model kolektif untuk kerugian total 𝑋∗_{. Secara} umum model ini merepresentasikan klaim secara menyeluruh pada periode tertentu. Peubah acak 𝑁∗ _{menyatakan banyaknya klaim} dan peubah acak 𝑌𝑗∗ menyatakan besarnya klaim ke-𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑁∗_{. Diasumsikan} 𝑌𝑗∗ _{𝑗 ∈𝑁}∗ adalah bebas stokastik identik dan bebas terhadap 𝑁∗_.

Kerugian Reasuransi

Perusahaan asuransi menentukan tingkat retensi tertinggi untuk setiap kelas risiko dari masing-masing pertanggungannya. Penetapan retensi pada kenyataannya tidak hanya penting bagi pemberi sesi, tetapi juga penting bagi para penanggung ulang dalam menentukan limit tertinggi yang dapat ditanggungnya berdasarkan kontrak reasuransi. Penentuan

limit tertinggi ini erat sekali kaitannya dengan kerugian perusahaan terutama dalam hal minimisasi tingkat kerugian.

Kerugian reinsurer dalam kontrak reasuransi dengan prioritas 𝑑 ∈ 0, ∞ dan nilai 𝑕 ∈ 0, ∞ adalah 𝑋 = 𝑚𝑖𝑛 𝑌𝑗∗− 𝑑 + , 𝑕 𝑁∗ 𝑗 =1 (3.2)

dengan 𝑑 adalah batas maksimum klaim yang akan dibayarkan perusahaan asuransi terhadap pihak tertanggung dan 𝑕 adalah batas maksimum yang dapat dibayarkan oleh perusahaan reasuransi terhadap klaim yang diajukan.

Peubah acak dari model bersama untuk kerugian tertanggung tidak dapat diamati oleh perusahaan reasuransi, tetapi model koleksi 𝑁∗_{, 𝑌}

𝑗∗ _{𝑗 ∈𝑁}∗ dapat ditransformasikan ke

dalam model kolektif 𝑁, 𝑌𝑗 _{𝑗 ∈𝑁} (Hess 2003). Oleh karena itu, kerugian total reinsurer dapat dipresentasikan sebagai

𝑋 = 𝑚𝑖𝑛 𝑌𝑗− 𝑑 , 𝑕 𝑁 𝑗 =1 (3.3) dengan 𝑋 = kerugian reinsurer,

𝑌𝑗 = besarnya klaim ke-𝑗 yang melebihi prioritas,

𝑁 = banyaknya klaim yang melebihi prioritas.

Jika kontrak reasuransi merupakan prioritas total 𝐷 ∈ 0 , ∞ dan batas maksimum total 𝐻 ∈ 0, ∞ , maka kerugian reinsurer adalah

𝑆 = 𝑚𝑖𝑛 𝑋 − 𝐷 +_{, 𝐻 (3.4)} dengan

𝑋 − 𝐷 +₌ 𝑋 − 𝐷, jika 𝑋 − 𝐷 ≥ 0 0, jika 𝑋 − 𝐷 < 0. Peubah acak 𝑆 memenuhi 𝑃 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝐻 = 1.

Kemudian diasumsikan kontrak reasuransi pada 𝑆 dengan 𝑛 ∈ ℕ0 reinstatements di dalam rentang 0, 𝐻 dibagi ke dalam 𝑛 + 1 bagian 0, 𝑕 , 𝑕, 2𝑕 , … , 𝑛𝑕, 𝐻 dengan 𝑕 = 𝐻

5

Premi awal 𝜋0∈ ℝ dibayarkan pada awal kontrak, yaitu pada rentang 0, 𝑕 , dan premi reinstatement 𝜋𝑘∈ ℝ dibayarkan ketika kerugian 𝑆 melebihi 𝑘𝑕 dengan 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑛}.

Barisan terhingga 𝜋 = 𝜋𝑘 𝑘∈ 0,1,…,𝑛 ⊆ ℝ menjadi perencanaan premi untuk kontrak reasuransi dengan n-reinstatements.

Peluang premi reinstatements yang dibayarkan adalah 𝛼_𝑘 = 𝑃 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 , 𝑘 = 0 𝑃 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 , 𝑘 ∈ 1, … , n , (3.6) 𝛼𝑘 ∈ 0,1 , ∀𝑘 ∈ 0,1, … , 𝑛 dan memenuhi 𝛼𝑘= 1. (3.7) 𝑛 𝑘=0

Jika sekurang-kurangnya terdapat 𝑚-klaim yang melebihi prioritas dan jika klaim ke-𝑚 melebihi prioritas seperti

𝑚𝑖𝑛 𝑌𝑗− 𝑑 , 𝑕 𝑚 −1 𝑗 =1 ≤ 𝑘𝑕 < 𝑚𝑖𝑛 𝑌𝑗− 𝑑 , 𝑕 , 𝑚 𝑗 =1 (3.8) maka premi reinstatement 𝜋𝑘 harus dibayar. 3.2 Perencanaan Premi Optimal

Asumsikan Π adalah kumpulan dari semua perencanaan premi untuk kontrak reasuransi dengan n-reinstatements. Untuk rencana premi 𝜋 = 𝜋𝑘 𝑘∈ 0,1,…,𝑛 ∈ Π, total premi reinstatement didefinisikan sebagai peubah acak dan dapat dipresentasikan sebagai

𝛿 𝜋 = 𝜋0+ 𝜋𝑘𝜒 𝑘𝑕 <𝑆 𝑛 𝑘=1 (3.9) dengan 𝜒 𝑘𝑕<𝑆 = 1, jika 𝑘𝑕 < 𝑆 0, jika 𝑘𝑕 ≥ 𝑆. (3.10) Premi awal, dinotasikan dengan 𝜋0 merupakan premi yang dibayarkan pada awal kontrak, dan premi reinstatement, dinotasikan dengan 𝜋𝑘 merupakan premi yang dibayarkan ketika kerugian 𝑆 melebihi 𝑘𝑕 dengan 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑛}.

Nilai harapan dari kuadrat selisih antara kerugian dan total pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi didefinisikan sebagai 𝐸 𝛿 𝜋 − 𝑆 2 _{. (3.11)}

Rencana premi 𝜋 = 𝜋𝑘 𝑘∈ 0,1,…,𝑛 ∈ Π dikatakan tak bias jika

𝐸 𝛿 𝜋 = 𝐸 𝑆 , (3.12) tak negatif jika 𝜋𝑘≥ 0, ∀𝑘 ∈ 0,1, … , 𝑛 , dan optimal jika 𝜋 mengakibatkan 𝐸 𝛿 𝜋 − 𝑆 2 minimum.

Pada pembahasan selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa terdapat perencanaan premi unik 𝜋∗= 𝜋𝑘∗ 𝑘∈ 1,2,…,𝑛 ∈ Π yang meminimumkan 𝐸 𝛿 𝜋 − 𝑆 2 _{, bersifat tak} bias dan tak negatif.

3.3 Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal

Meminimumkan 𝐸 𝛿 𝜋 − 𝑆 2 _terhadap semua perencanaan premi 𝜋 ∈ Π dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Masalah kredibilitas sangat penting bagi suatu perusahaan reasuransi karena hal ini akan memengaruhi seberapa besar tingkat kepercayaan tertanggung terhadap perusahaan tersebut. Kredibilitas ini sangat erat kaitannya dengan kemampuan suatu perusahaan reasuransi dalam menanggung kerugian-kerugian yang dialami oleh pihak tertanggung.

Telah diketahui bahwa masalah kredibilitas mempunyai solusi unik. Jika matriks koragam 𝜲 dari vektor acak dibentuk oleh peubah acak penjelas yang mempunyai representasi unik sebagai penjumlahan linear dari peubah acak penjelas, dan jika invers dari matriks koragam 𝜲 diketahui, maka formula eksplisit dapat diberikan untuk koefisien pada solusinya. Didefinisikan: 𝜲 = 𝜒 _𝑕<𝑆 ⋮ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 (3.13) dengan 𝝁 = 𝐸 𝜲 , 𝜇 = 𝐸 𝑆 , dan 𝚺 = 𝑉𝑎𝑟 𝜲 , 𝝆 = 𝐶𝑜𝑣 𝜲, 𝑆 , 𝜍2_{= 𝑉𝑎𝑟 𝑆 .}

Selanjutnya untuk memperlihatkan bahwa perencanaan premi optimal mempunyai solusi yang unik, akan ditunjukkan 𝚺 mempunyai invers dan akan ditentukan invers dari 𝚺. Didefinisikan matriks 𝐁𝑘 = 𝑏𝑘:𝑖,𝑗 ∈ 𝐑𝑛𝑥𝑛 untuk 𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 dengan

𝑏𝑘:𝑖,𝑗 =

1, jika 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑘

6

Sehingga diperoleh matriks 𝐁 sebagai berikut.

𝐁1= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 , 𝐁2= 1 1 0 1 1 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 _{0 ⋯ 0} , 𝐁3= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 , … , 𝐁𝑛= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯ ⋯ ⋯ 1 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 _{1 ⋯ 1} .

Selanjutnya, matriks 𝐀 didefinisikan sebagai

𝐀 = 𝛼𝑘𝐁𝑘. (3.15) 𝑛

𝑘=1

Sehingga diperoleh matriks 𝐀 sebagai berikut.

𝐀 = 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼𝑛 𝛼𝑛 𝛼𝑛 ⋯ 𝛼𝑛 .

Kemudian didefinisikan matriks 𝐆 ∈ 𝐑𝑛𝑥𝑛 dengan 𝑔𝑖,𝑗 = 𝛼𝑘, 𝑛 𝑘=𝑖 jika 𝑗 = 1 0, selainnya. (3.16)

Sehingga diperoleh matriks 𝐆 sebagai berikut.

𝐆 = 𝛼1+ 𝛼2+ ⋯ + 𝛼𝑛 0 0 ⋯ 0 𝛼2+ 𝛼3+ ⋯ + 𝛼𝑛 0 0 ⋯ 0 𝛼3+ 𝛼4+ ⋯ + 𝛼𝑛 0 0 ⋯ 0 𝛼4+ 𝛼5+ ⋯ + 𝛼𝑛 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼𝑛−1+ 𝛼𝑛 0 0 ⋯ 0 𝛼𝑛 0 0 ⋯ 0 .

Selanjutnya hubungan antara 𝚺, 𝐀, dan 𝐆 akan ditunjukkan dalam Lema sebagai berikut.

Lema 1

Matriks 𝚺 memenuhi 𝚺 = 𝐀 − 𝐆𝐆𝐓_{. (3.17)} Bukti: Disajikan pada Lampiran 1.

Didefinisikan matriks 𝐂𝑘 ∈ 𝐑𝑛𝑥𝑛 untuk 𝑘 ∈ 0,1, … , 𝑛 dengan 𝑐𝑘:𝑖,𝑗 = 1, jika 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑘, 𝑘 , 𝑘 + 1, 𝑘 + 1 −1, jika 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑘, 𝑘 + 1 , 𝑘 + 1, 𝑘 0, selainnya. (3.18) Kemudian diperoleh 𝐂0= 𝐁1. (3.19) 𝐂0= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 _{0 0 ⋯ 0} = 𝐁1. Lema 2

Matriks 𝑨 adalah invertible dan memenuhi

𝐀−𝟏_{= 𝛼}

𝑘−1𝐂𝑘 . (3.20) 𝑛

𝑘=1

Bukti (Lema 2)

Untuk 𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 didefinisikan matriks 𝐃𝑘∈ 𝐑𝑛𝑥𝑛 dengan 𝑑𝑘:𝑖,𝑗 = 1, jika 𝑖 ≤ 𝑘 = 𝑗 −1, jika 𝑖 < 𝑘 + 1 = 𝑗 0, selainnya. (3.21) Untuk ∀𝑘, 𝑙 ∈ 1,2, … , 𝑛 didefinisikan 𝐁𝑘𝐂𝑙= 𝐃𝑘, jika 𝑘 = 𝑙 𝚶, selainnya. (3.22)

Bukti: Disajikan pada Lampiran 2.

Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (3.20) dan persamaan (3.22) diperoleh 𝐀𝐀−𝟏 = 𝛼𝑘𝐁𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘−1𝐂𝑘 𝑛 𝑘=1 = 𝛼𝑘𝛼𝑘−1 𝐁𝑘𝐂𝑘 𝑛 𝑘=1 = 𝐃𝑘 𝑛 𝑘=1 = 𝐃𝟏+ 𝐃𝟐+ 𝐃𝟑+ ⋯ + 𝐃𝐧 = 1 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 + 0 1 −1 0 ⋯ 0 0 1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 + 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 + ⋯ + 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1

7 = 1 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 = 𝚰. ∎ Lema 3

Matriks 𝚺 adalah invertible dan memenuhi

𝚺−𝟏_{= 𝛼} 𝑘−1𝐂𝑘. 𝑛 𝑘=0 3.23 Bukti (Lema 3)

Ambil 𝐆 = 𝐀𝐁𝟏 dan 𝐁𝟏 adalah simetris dan idempotent.

Dari Lema 1 diperoleh 𝚺 = 𝐀 − 𝐆𝐆𝐓 = 𝐀 − 𝐀𝐁𝟏 𝐀𝐁𝟏 𝐓 = 𝐀 − 𝐀𝐁𝟏 𝐁𝟏𝐓𝐀𝐓 = 𝐀 − 𝐀𝐁𝟏𝐁𝟏𝐀 = 𝐀 − 𝐀𝐁𝟏𝐀 = 𝐀 − 𝐆𝐀 = 𝚰 − 𝐆 𝐀.

Menggunakan Lema 2 dan persamaan 𝐆𝟐_{= 1 − 𝛼} 𝑜 𝐆, diperoleh 𝚺𝚺−𝟏_{= 𝚺 𝛼} 𝑘−1𝐂𝑘 𝑛 𝑘=0 = 𝚰 − 𝐆 𝐀 𝛼𝑜−1𝐂𝟎+ 𝛼𝑘−1𝐂𝑘 𝑛 𝑘=1 = 𝚰 − 𝐆 𝐀 𝛼𝑜−1𝐂𝟎+ 𝐀−𝟏 = 𝚰 − 𝐆 𝛼𝑜−1𝐀𝐂𝟎+ 𝐀𝐀−𝟏 = 𝚰 − 𝐆 𝛼𝑜−1𝐀𝐁𝟏+ 𝚰 = 𝚰 − 𝐆 𝛼𝑜−1𝐆 + 𝚰 = 𝛼𝑜−1𝐆 − 𝛼𝑜−1𝐆𝟐+ 𝚰 − 𝐆 = 𝛼𝑜−1 𝐆 − 𝐆𝟐 + 𝚰 − 𝐆 = 𝛼𝑜−1 𝐆 − 1 − 𝛼𝑜 𝐆 + 𝚰 − 𝐆 = 𝛼𝑜−1 𝛼𝑜𝐆 + 𝚰 − 𝐆 = 𝐆 + 𝚰 − 𝐆 = 𝚰. ∎ Lema ini menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal mempunyai solusi yang unik.

Teorema 1

Terdapat suatu perencanaan premi optimal 𝜋∗_{= 𝜋}

𝑘∗ 𝑘∈ 0,1,…,𝑛 ∈ Π yang meminimumkan

𝐸 𝛿 𝜋 − 𝑆 2 _{dan premi total dari} perencanaan premi 𝜋∗ _{yang memenuhi}

𝛿 𝜋∗ _{= 𝜇 + 𝝆}𝑻_𝚺−1 _{𝜲 − 𝝁 (3.24)} dan

𝐸 𝛿 𝜋∗ _{− 𝑆} 2 _{= 𝜍}2_{+ 𝝆}𝑻_𝚺−1_{𝝆. (3.25)} Secara khusus, premi awal 𝜋0∗ memenuhi

𝜋0∗= 𝜇 − 𝝁𝑻𝚺−1𝝆 (3.26) dan premi reinstatement 𝜋1∗, … , 𝜋𝑛∗ memenuhi

𝜋1∗

⋮ 𝜋𝑛∗

= 𝚺−1_{𝝆. (3.27)}

Perencanaan premi 𝜋∗ _{adalah tak bias.} Bukti dapat dilihat di Hess & Schmidt [2001].

3.4 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal

Teorema 1 memperlihatkan eksistensi dan keunikan dari perencanaan premi optimal yang sama baiknya dengan formula eksplisit untuk premi awal dan premi reinstatement dari rencana premi ini. Akan ditunjukkan bahwa perencanaan premi optimal adalah tak negatif. Untuk 𝑘 ∈ 0,1, … , 𝑛, 𝑛 + 1 , didefinisikan 𝜌𝑘 = 𝐶𝑜𝑣 𝑆, 𝜒 𝑘𝑕 <𝑆 , jika 𝑘 ∈ 1, … , 𝑛, 0, jika 𝑘 ∈ 0, 𝑛 + 1 (3.28) dan 𝝆 = 𝜌1 ⋮ 𝜌𝑛 . (3.29)

Pada bagian ini, akan diperoleh sebuah formula pelengkap untuk perencanaan premi optimal.

Teorema 2

Perencanaan premi optimal 𝜋∗= 𝜋𝑘∗ 𝑘∈ 0,1,…,𝑛 memenuhi 𝜋𝑘∗= 𝜇 −𝜌1 𝛼𝑜 , jika 𝑘 = 0 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝛼𝑘 −𝜌𝑘−1− 𝜌𝑘 𝛼𝑘−1 , jika 𝑘 ∈ 1, … , 𝑛 . (3.30) Bukti (Teorema 2) ∀𝑘 ∈ 0,1, … , 𝑛 , kita mempunyai 𝐂𝑘𝝆 = 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘− 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘+1 (3.31) dengan 𝐜𝑘 = 𝐞𝑘, jika 𝑘 ∈ 1, … , 𝑛, 0, jika 𝑘 ∈ 0, 𝑛 + 1 ,

8

dan 𝐞𝑘 merupakan unit ke-𝑘 dari vector 𝐑𝑛. Didefinisikan 𝝅∗₌ 𝜋1∗ ⋮ 𝜋𝑛∗ . (3.32)

Berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.27), diperoleh 𝝅∗_{= 𝚺}−1_𝝆 = 𝛼𝑘−1𝐂𝑘𝝆 𝑛 𝑘=0 = 𝛼𝑘−1 𝑛 𝑘=0 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘− 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘+1 = 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=0 − 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘+1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=0 = 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 − 𝜌𝑘−1− 𝜌𝑘 𝐜𝑘 𝛼𝑘−1 𝑛 𝑘=1 = 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝛼𝑘 −𝜌𝑘 −1− 𝜌𝑘 𝛼𝑘−1 𝐞𝑘. 𝑛 𝑘=1

Persamaan 𝜋𝑘∗ terbukti untuk 𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 . ∎ Selanjutnya, kita mempunyai

𝝁 = 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =𝑘 𝑛 𝑘=1 𝐞𝑘. (3.33)

Dengan menggunakan persamaan (3.26), diperoleh 𝜋0∗= 𝜇 − 𝝁𝑻𝚺−1𝝆 = 𝜇 − 𝝁𝑻𝝅∗ = 𝜇 − 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =𝑘 𝑛 𝑘=1 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝛼𝑘 −𝜌𝑘 −1− 𝜌𝑘 𝛼𝑘−1 = 𝜇 − 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =1 𝜌𝑘− 𝜌𝑘 +1 𝛼𝑘 −𝜌𝑘−1− 𝜌𝑘 𝛼𝑘−1 𝑗 𝑘=1 = 𝜇 − 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =1 𝜌𝑗− 𝜌𝑗 +1 𝛼𝑗 −𝜌0− 𝜌1 𝛼0 = 𝜇 − 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =1 𝜌𝑗− 𝜌𝑗 +1 𝛼𝑗 +𝜌1 𝛼0 = 𝜇 − 𝜌𝑗− 𝜌𝑗 +1+ 𝛼𝑗𝜌1 𝛼0 𝑛 𝑗 =1 = 𝜇 − 𝜌1− 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =1 𝜌1 𝛼0 = 𝜇 − 𝜌1+ 1 − 𝛼0 𝜌1 𝛼0 = 𝜇 −𝜌1 𝛼0 . ∎ Persamaan 𝜋0∗ terbukti untuk 𝑘 = 0.

Teorema ini memberikan representasi lain dari premi pada perencanaan premi optimal dan menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal adalah tak negatif.

Teorema 3

Perencanaan premi optimal 𝜋∗_{= 𝜋}

𝑘∗ 𝑘∈ 0,1,…,𝑛 memenuhi 𝜋𝑘∗= 𝐸 𝑆| 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 , jika 𝑘 = 0 𝐸 𝑆| 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 0 −𝐸 𝑆| 𝑘 − 1 𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘𝑕 , jika 𝑘 ∈ 1, … , 𝑛 . (3.34) Secara khusus, perencanaan premi optimal adalah tak negatif.

Bukti (Teorema 3)

Untuk ∀𝑘 ∈ 1, … , 𝑛 , kita mempunyai 𝐸 𝑆| 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 = 𝐸 𝑆𝜒 𝑘𝑕<𝑆≤ 𝑘+1 𝑕 𝑃 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 = 1 𝛼𝑘 𝐸 𝑆𝜒 𝑘𝑕<𝑆 − 𝐸 𝑆𝜒 𝑘+1 𝑕<𝑆 = 1 𝛼𝑘 𝜌𝑘+ 𝜇 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =𝑘 − 𝜌𝑘+1+ 𝜇 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =𝑘+1 = 1 𝛼𝑘 𝜌𝑘− 𝜌𝑘 +1 + 𝜇𝛼𝑘 = 𝜇 +𝜌𝑘− 𝜌𝑘 +1 𝛼𝑘 . 𝐸 𝑆| 𝑘 − 1 𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘𝑕 = 𝐸 𝑆𝜒 𝑘−1 𝑕<𝑆≤𝑘𝑕 𝑃 𝑘 − 1 𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘𝑕 = 1 𝛼𝑘−1 𝐸 𝑆𝜒 𝑘−1 𝑕<𝑆 − 𝐸 𝑆𝜒 𝑘𝑕 <𝑆 = 1 𝛼𝑘−1 𝜌𝑘−1+ 𝜇 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =𝑘−1 − 𝜌𝑘+ 𝜇 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =𝑘 = 1 𝛼𝑘−1 𝜌𝑘 −1− 𝜌𝑘 + 𝜇𝛼𝑘−1 = 𝜇 +𝜌𝑘−1− 𝜌𝑘 𝛼𝑘−1 .

9 Sehingga diperoleh 𝜋𝑘∗= 𝐸 𝑆| 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 −𝐸 𝑆| 𝑘 − 1 𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘𝑕 = 𝜇 +𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝛼𝑘 − 𝜇 +𝜌𝑘−1− 𝜌𝑘 𝛼𝑘−1

=

𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝛼𝑘 −𝜌𝑘−1− 𝜌𝑘 𝛼𝑘−1 , untuk 𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 . ∎ Dengan argumen serupa, dihasilkan

𝐸 𝑆| 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 = 𝐸 𝑆𝜒 0≤𝑆≤𝑕 𝑃 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 = 1 𝛼𝑘 𝐸 𝑆𝜒 0<𝑆 − 𝐸 𝑆𝜒 𝑕 <𝑆 = 1 𝛼𝑘 𝜇 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =0 − 𝜌1+ 𝜇 𝛼𝑗 𝑛 𝑗 =1 = 1 𝛼0 𝜇𝛼0− 𝜌1 = 𝜇 −𝜌1 𝛼0 , untuk 𝑘 = 0. ∎ Premi dari perencanaan premi optimal selanjutnya mengikuti Teorema 2. Sebagai tambahan, kita mempunyai

𝐸 𝑆| 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 ≥ 𝑘𝑕 ≥

𝐸 𝑆| 𝑘 − 1 𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘𝑕 , untuk ∀𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 dan 𝐸 𝑆| 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 ≥ 0. Sehingga secara tidak langsung premi optimal adalah tak negatif.

Teorema 4

Nilai harapan dari kuadrat galat penduga premi total pada perencanaan premi optimal memenuhi persamaan 𝐸 𝛿 𝜋∗ _{− 𝑆} 2 _{= 𝜍}2_{+ 𝛼} 𝑘−1 𝑛 𝑘=0 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 2 (3.35) dan variannya memenuhi persamaan

𝑉𝑎𝑟 𝛿 𝜋∗ _{= 𝛼} 𝑘−1 𝑛 𝑘=0 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 2. (3.36) Bukti (Teorema 4) Untuk ∀𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 , didefinisikan 𝐂𝑘2= 2𝐂𝑘 (3.37) dan 𝐂𝑘𝝆 = 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘− 𝜌𝑘− 𝜌𝑘 +1 𝐜𝑘+1, (seperti ditunjukkan dalam bukti Teorema 2), diperoleh 𝝆𝑇_𝐂 𝑘𝝆 = 1 2𝝆 𝑻_𝐂 𝑘2𝝆 =1 2𝝆 𝑻_𝐂 𝑘𝐂𝑘𝝆 =1 2 𝐂𝑘𝝆 𝑻 _𝐂 𝑘𝝆 =1 2( 𝜌𝑘− 𝜌𝑘 +1 𝐜𝑘− (𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1)𝐜𝑘 +1) 𝑻_. 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘− 𝜌𝑘− 𝜌𝑘 +1 𝐜𝑘+1 =1 2 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 𝐜𝑘− 𝐜𝑘 +1 𝑻 _{. ((𝜌} 𝑘 −𝜌𝑘 +1)(𝐜𝑘− 𝐜𝑘 +1)) =1 2 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 2 _𝐜 𝑘− 𝐜𝑘+1 𝑻 𝐜𝑘− 𝐜𝑘+1 =1 2 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 2 _𝐞 𝑘− 𝐞𝑘 +1 𝑻 𝐞𝑘− 𝐞𝑘+1 =1 2 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 2_(𝐞 𝒌 𝑻_𝐞 𝑘− 𝐞𝒌𝑻𝐞𝑘+1 −𝐞𝒌+𝟏 𝑻 𝐞𝑘+ 𝐞𝒌+𝟏 𝑻 𝐞𝑘 +1) =1 2 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 2 _{1 + 1} = 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 2.

Berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.25), diperoleh 𝐸 𝛿 𝜋∗ _{− 𝑆} 2 = 𝜍2_{+ 𝝆}𝑻_𝚺−1_𝝆 = 𝜍2_{+ 𝝆}𝑻 _𝛼 𝑘−1 𝑛 𝑘=0 𝐂𝑘 𝝆 = 𝜍2_{+ 𝛼} 𝑘−1 𝜌𝑘− 𝜌𝑘+1 2 𝑛 𝑘=0 . ∎

3.5 Contoh Sebaran Eksponensial Terpotong (Truncated Exponentials Distribution)

Untuk ilustrasi secara umum, diasumsikan kerugian reasuransi memenuhi sebaran eksponensial terpotong.

Anggap peubah acak 𝑋 dengan

𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 0, jika 𝑥 ≤ 0 𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡, 𝑥 0 jika 𝑥 > 0, untuk parameter 𝛼 ∈ 0, ∞ , yang berarti bahwa 𝑋 menyebar eksponensial dengan parameter 𝛼.

10

Didefinisikan 𝑆 = 𝑚𝑖𝑛 𝑋, 𝐻 = _𝐻,𝑋, _{jika 𝑋 > 𝐻.}jika 𝑋 ≤ 𝐻

Besarnya premi bersih untuk 𝑆 adalah 𝐸 𝑆 = 𝐸 𝑋 ≤ 𝐻 + 𝐸 𝑋 > 𝐻 = 𝑡𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝐻 0 + 𝐻𝑒−𝛼𝐻 = −𝑡𝑒−𝛼𝑡 ₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝑡_| 0 𝐻_{+ 𝐻𝑒}−𝛼𝐻 = −𝐻𝑒−𝛼𝐻₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝐻 _{− 0 −}1 𝛼 +𝐻𝑒−𝛼𝐻 = −1 𝛼𝑒 −𝛼𝐻₊1 𝛼 =1 𝛼 1 − 𝑒 −𝛼𝐻 _.

Besarnya peluang premi reinstatement yang dibayarkan adalah 𝑃 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 = 𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝑕 0 = 𝛼 𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝑕 0 = 𝛼 −1 𝛼𝑒 −𝛼𝑡_| 0 𝑕 = −𝑒−𝛼𝑡_| 0 𝑕 = −𝑒−𝛼𝑕_{− −𝑒}0 = 1 − 𝑒−𝛼𝑕_. 𝑃 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 = 𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝑘+1 𝑕 𝑘𝑕 = 𝛼 𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝑘+1 𝑕 𝑘𝑕 = 𝛼 −1 𝛼𝑒 −𝛼𝑡_| 𝑘𝑕 𝑘+1 𝑕 = −𝑒−𝛼𝑡_| 𝑘𝑕 𝑘+1 𝑕 = −𝑒−𝛼 𝑘+1 𝑕_{− −𝑒}𝛼𝑘 𝑕 = 𝑒−𝛼𝑘𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘+1 𝑕_. 𝑃 𝑛𝑕 < 𝑆 ≤ 𝐻 = 𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝐻 𝑛𝑕 + 𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 ∞ 𝐻 = 𝛼 𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝐻 𝑛𝑕 + 𝛼 𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 ∞ 𝐻 = 𝛼 −1 𝛼𝑒 −𝛼𝑡_| 𝑛𝑕 𝐻 _{+ 𝛼 −}1 𝛼𝑒 −𝛼𝑡_| 𝐻 ∞ = −𝑒−𝛼𝑡_| 𝑛𝑕 𝐻 _{+ −𝑒}−𝛼𝑡_| 𝑛𝑕 𝐻 = −𝑒𝛼𝐻− −𝑒−𝛼𝑛 𝑕 + −𝑒∞_{− −𝑒}𝛼𝐻 = 𝑒−𝛼𝑛 𝑕_.

Besarnya premi yang harus dibayarkan adalah 𝐸 𝑆𝜒 0≤𝑆≤𝑕 = 𝑡𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝑕 0 = −𝑡𝑒−𝛼𝑡 _{+ 𝑒}−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝑕 0 = −𝑡𝑒−𝛼𝑡 ₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝑡_| 0 𝑕 = −𝑕𝑒−𝛼𝑕₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝑕 _{− 0 −}1 𝛼 = −𝑕𝑒−𝛼𝑕 ₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝑕₊1 𝛼 =1 𝛼 1 − 𝑒 −𝛼𝑕 _{− 𝑕𝑒}−𝛼𝑕_. 𝐸 𝑆𝜒 𝑘𝑕 <𝑆≤ 𝑘+1 𝑕 = 𝑡𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝑘+1 𝑕 𝑘𝑕 = −𝑡𝑒−𝛼𝑡 _{+ 𝑒}−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝑘+1 𝑕 𝑘𝑕 = −𝑡𝑒−𝛼𝑡 −1 𝛼𝑒 −𝛼𝑡_| 𝑘𝑕 𝑘+1 𝑕 = − 𝑘 + 1 𝑕𝑒−𝛼 𝑘+1 𝑕₋1 𝛼𝑒 −𝛼 𝑘+1 𝑕 − −𝑘𝑕𝑒−𝛼𝑘 𝑕₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝑘 𝑕 = 𝑘𝑕𝑒−𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑘 + 1 𝑕𝑒}−𝛼 𝑘+1 𝑕 +1 𝛼𝑒 −𝛼𝑘 𝑕₋1 𝛼𝑒 −𝛼 𝑘 +1 𝑕 =1 𝛼 𝑒 −𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘 +1 𝑕 _{+ 𝑘𝑕𝑒}−𝛼𝑘 𝑕 − 𝑘 + 1 𝑕𝑒−𝛼 𝑘+1 𝑕_. 𝐸 𝑆𝜒 𝑛𝑕<𝑆≤𝐻 = 𝑡𝛼𝑒−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝐻 𝑛𝑕 + 𝐻𝑒−𝛼𝐻 = −𝑡𝑒−𝛼𝑡 _{+ 𝑒}−𝛼𝑡_𝑑𝑡 𝐻 𝑛𝑕 + 𝐻𝑒−𝛼𝐻

11 = −𝑡𝑒−𝛼𝑡 ₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝑡_| 𝑛𝑕 𝐻 _{+ 𝐻𝑒}−𝛼𝐻 = −𝐻𝑒−𝛼𝐻₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝐻 _{− −𝑛𝑕𝑒}−𝛼𝑛 𝑕 −1 𝛼𝑒 −𝛼𝑛 𝑕 _{+ 𝐻𝑒}−𝛼𝐻 = 𝑛𝑕𝑒−𝛼𝑛 𝑕₊1 𝛼𝑒 −𝛼𝑛 𝑕₋1 𝛼𝑒 −𝛼𝐻 =1 𝛼 𝑒 −𝛼𝑛 𝑕_{− 𝑒}−𝛼𝐻 _{+ 𝑛𝑕𝑒}−𝛼𝑛 𝑕_. Oleh karena itu, diperoleh

𝐸 𝑆| 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 = 𝐸 𝑆𝜒 0≤𝑆≤𝑕 𝑃 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 = 1 𝛼 1 − 𝑒 −𝛼𝑕 _{− 𝑕𝑒}−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕 =1 𝛼− 𝑕𝑒−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕. 𝐸 𝑆| 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 = 𝐸 𝑆𝜒 𝑘𝑕<𝑆≤ 𝑘+1 𝑕 𝑃 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 = 1 𝛼 𝑒 −𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘 +1 𝑕 _{+ 𝑘𝑕𝑒}−𝛼𝑘 𝑕 − 𝑘 + 1 𝑕𝑒−𝛼 𝑘+1 𝑕 𝑒−𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘 +1 𝑕 = 1 𝛼 𝑒 −𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘 +1 𝑕 𝑒−𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘+1 𝑕 +𝑘𝑕 𝑒 −𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘+1 𝑕 𝑒−𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘+1 𝑕 − 𝑕𝑒 −𝛼 𝑘 +1 𝑕 𝑒−𝛼𝑘 𝑕_{− 𝑒}−𝛼 𝑘+1 𝑕 =1 𝛼− 𝑕𝑒−𝛼𝑘 𝑕_𝑒−𝛼𝑕 𝑒−𝛼𝑘 𝑕 _{1 − 𝑒}−𝛼𝑕 + 𝑘𝑕 =1 𝛼− 𝑕𝑒−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕 + 𝑘𝑕. 𝐸 𝑆| 𝑛𝑕 < 𝑆 ≤ 𝐻 = 𝐸 𝑆𝜒 𝑛𝑕<𝑆≤𝐻 𝑃 𝑛𝑕 < 𝑆 ≤ 𝐻 = 1 𝛼 𝑒 −𝛼𝑛 𝑕_{− 𝑒}−𝛼𝐻 _{+ 𝑛𝑕𝑒}−𝛼𝑛 𝑕 𝑒−𝛼𝑛 𝑕 =1 𝛼− 𝑒−𝛼𝑕 𝛼 + 𝑛𝑕.

Sehingga besarnya premi dari perencanaan premi optimal 𝜋∗_{= 𝜋} 𝑘∗ 𝑘∈ 0,1,…,𝑛 memenuhi 1. Untuk 𝑘 = 0 𝜋𝑘∗ = 𝐸 𝑆| 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 =1 𝛼− 𝑕𝑒−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕. 2. Untuk 𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 − 1 𝜋𝑘∗ = 𝐸 𝑆| 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 −𝐸 𝑆| 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑕 =1 𝛼− 𝑕𝑒−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕+ 𝑘𝑕 − 1 𝛼+ 𝑕𝑒−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕 = 𝑘𝑕. 3. Untuk 𝑘 = 𝑛 𝜋𝑘∗ = 𝐸 𝑆| 𝑛𝑕 < 𝑆 ≤ 𝐻 −𝐸 𝑆| 𝑘𝑕 < 𝑆 ≤ 𝑘 + 1 𝑕 = 1 𝛼− 𝑒−𝛼𝑕 𝛼 + 𝑛𝑕 − 1 𝛼− 𝑕𝑒−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕+ 𝑘𝑕 = 𝑕𝑒 −𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕− 𝑒−𝛼𝑕 𝛼 .

Sehingga dapat disimpulkan bahwa perencanaan premi optimal memenuhi

𝜋𝑘∗= 1 𝛼− 𝑕𝑒−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕, jika 𝑘 = 0 𝑘𝑕, jika 𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 − 1 𝑕𝑒−𝛼𝑕 1 − 𝑒−𝛼𝑕− 𝑒−𝛼𝑕 𝛼 , jika 𝑘 = 𝑛 dan 𝜋0∗< 𝑘𝑕 < 𝜋𝑛∗.

12

IV SIMPULAN

Reasuransi merupakan perjanjian antara beberapa perusahaan asuransi mengenai pengalihan sebagian atau seluruh risiko untuk menghindari kebangkrutan akibat risiko katastropik, yaitu risiko yang dapat mengakibatkan kerugian yang sangat besar. Perencanaan premi sangat diperlukan perusahaan reasuransi dalam menghadapi risiko-risiko atas klaim yang diajukan. Salah satu upaya yang dapat dilakukan perusahaan reasuransi untuk mengoptimalkan premi yang akan dibayarkan adalah dengan memberlakukan kontrak reasuransi dengan reinstatement. Total premi yang dibayarkan merupakan penjumlahan antara 𝜋0 (premi yang dibayarkan pada awal kontrak) dan 𝜋𝑘 (premi reinstatement) yang dibayarkan ketika kerugian perusahaan melebihi batas atas liabilitas reinsurer.

Eksistensi dari suatu perencanaan premi adalah meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara kerugian dan total

pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal dan dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Masalah kredibilitas ini sangat penting bagi perusahaan reasuransi karena sangat erat kaitannya dengan kemampuan perusahaan reasuransi dalam menanggung kerugian-kerugian yang dialami tertanggung sehingga akan memengaruhi seberapa besar tingkat kepercayaan tertanggung terhadap perusahaan tersebut.

Perencanaan premi optimal memenuhi prinsip premi bersih dan mempunyai solusi unik karena matriks koragam dari perencanaan premi tersebut mempunyai invers. Selain itu, perencanaan premi optimal mempunyai beberapa sifat, yaitu tak bias dan tak negatif. Perencanaan premi bersifat tak bias ketika kerugian perusahaan reasuransi sama dengan total pemasukan premi pihak tertanggung.

13

DAFTAR PUSTAKA

Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd Ed. Oxford: Clarendon Press.

Hess KT. 2003. Das kollektive modelle der risikhotheorie in der schadenexzedenten ruckvericherung. Allg. Statist. Archiv 87:309-320.

Hess KT, Schmidt KD. 2001. Credibility modelle in tarifierung und reservierung. Allg. Statist. Archiv 85:225-246.

Hess KT, Schmidt KD. 2004. Optimal premium plans for reinsurance with

reinstatements. Astin Bulletin 34(2):299-313.

Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6th Ed. New Jersey: Prentice Hall.

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. 5th Ed.

Marianto AJ. 1997. Reasuransi. Jakarta: Ghalia Indonesia.

14

15 Lampiran 1 Bukti Lema 1 Matriks 𝚺 memenuhi 𝚺 = 𝐀 − 𝐆𝐆𝑻_. Berdasarkan persamaan (3.13), 𝚺 = 𝑉𝑎𝑟 𝜲 = 𝐸 𝜲𝜲𝑻 _{− 𝐸 𝜲 𝐸 𝜲} 𝑻_.

Jadi, akan dibuktikan bahwa 𝐀 = 𝐸 𝜲𝜲𝑻 _{dan 𝐆𝐆}𝑻_{= 𝐸 𝜲 𝐸 𝜲} 𝑻 _{sehingga matriks 𝚺} memenuhi 𝚺 = 𝐀 − 𝐆𝐆𝑻.

Bukti:

Berdasarkan persamaan (3.13), ∀𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 dan 𝑗 ∈ 1, … , 𝑖 , kita mempunyai 𝑿𝑖 = 𝜒 𝑖𝑕 <𝑆 , 𝑿𝑗 = 𝜒 𝑗 𝑕<𝑆 . Sehingga 𝑿𝑖𝑿𝑗 = 𝜒 𝑖𝑕 <𝑆 ∩ 𝑗 𝑕<𝑆 = 𝜒 𝑖𝑕<𝑆 = 𝑿𝑖 Oleh karena itu,

𝐸 𝑿𝑖𝑿𝑗 = 𝐸 𝑿𝑖 = 𝑃 𝑖𝑕 < 𝑆 = 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=𝑖 . 1. 𝐸 𝜲𝜲𝑻 𝜲 = 𝜒 𝑕 <𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ⋮ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 𝜲𝜲𝑻₌ 𝜒 _𝑕<𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ⋮ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 𝜒 𝑕 <𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 = 𝜒 𝑕<𝑆 ∩ 𝑕<𝑆 𝜒 𝑕 <𝑆 ∩ 2𝑕<𝑆 𝜒 𝑕<𝑠 ∩ 3𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 𝑕 <𝑆 ∩ 𝑛𝑕<𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 ∩ 𝑕<𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 ∩ 2𝑕<𝑆 𝜒 2𝑕<𝑠 ∩ 3𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 2𝑕 <𝑆 ∩ 𝑛𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ∩ 𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ∩ 2𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑠 ∩ 3𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 3𝑕 <𝑆 ∩ 𝑛𝑕<𝑆 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 ∩ 𝑕<𝑆 𝜒 𝑛𝑕 <𝑆 ∩ 2𝑕<𝑆 𝜒 𝑛𝑕<𝑠 ∩ 3𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 𝑛𝑕 <𝑆 ∩ 𝑛𝑕<𝑆 = 𝜒 𝑕<𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 𝜒 𝑛𝑕 <𝑆 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 ⋯ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆

16 Sehingga 𝐸 𝜲𝜲𝑻 ₌ 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼𝑛 𝛼𝑛 𝛼𝑛 ⋯ 𝛼𝑛 = 𝐀. Terbukti 𝐸 𝜲𝜲𝑻 _{= 𝐀. ∎} 2. 𝐸 𝜲 𝐸 𝜲 𝑻. 𝜲 = 𝜒 𝑕<𝑆 𝜒 2𝑕<𝑆 𝜒 3𝑕<𝑆 ⋮ 𝜒 𝑛𝑕<𝑆 𝐸 𝜲 = 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋮ 𝛼𝑛 dan 𝐸 𝜲 𝑻= 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 . Sehingga 𝐸 𝜲 𝐸 𝜲 𝑻= 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋮ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛

17 = 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛𝛼𝑛 Sedangkan 𝐆𝐆𝑻₌ 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 0 0 ⋯ 0 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 0 0 ⋯ 0 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼𝑛 0 0 ⋯ 0 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 = 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=1 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=2 𝛼𝑛 𝛼𝑘 𝑛 𝑘=3 ⋯ 𝛼𝑛𝛼𝑛 = 𝐸 𝜲 𝐸 𝜲 𝑻. Terbukti 𝐸 𝜲 𝐸 𝜲 𝑻= 𝐆𝐆𝑻_{. ∎} Jadi, berdasarkan (1) dan (2) terbukti bahwa matriks 𝚺 memenuhi 𝚺 = 𝐀 − 𝐆𝐆𝑻 _{dengan 𝐀 = 𝐸 𝜲𝜲}𝑻 dan 𝐆𝐆𝑻= 𝐸 𝜲 𝐸 𝜲 𝑻.

18

Lampiran 2

Bukti persamaan 𝟑. 𝟐𝟐

Berdasarkan persamaan 3.14 , 3.18 , dan (3.21), didefinisikan matriks 𝐁𝑘, 𝐂𝑘, dan 𝐃𝑘 berturut-turut sebagai berikut.

𝐁𝑘 ∈ 𝐑𝑛𝑥𝑛 dengan 𝑏𝑘:𝑖,𝑗 = 1, jika 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑘 0, selainnya, untuk 𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 . 𝐂𝑘∈ 𝐑𝑛𝑥𝑛 dengan 𝑐𝑘 :𝑖,𝑗 = 1, jika 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑘, 𝑘 , 𝑘 + 1, 𝑘 + 1 −1, jika 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑘, 𝑘 + 1 , 𝑘 + 1, 𝑘 0, selainnya, untuk 𝑘 ∈ 0,1, … , 𝑛 . 𝐃𝑘∈ 𝐑𝑛𝑥𝑛 dengan 𝑑𝑘 :𝑖,𝑗 = 1, jika 𝑖 ≤ 𝑘 = 𝑗 −1, jika 𝑖 < 𝑘 + 1 = 𝑗 0, selainnya, untuk 𝑘 ∈ 1,2, … , 𝑛 .

Oleh karena itu, diperoleh

𝐁1𝐂1= 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 −1 0 0 ⋯ 0 −1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 1 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝐃𝟏 𝐁1𝐂2= 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 −1 0 ⋯ 0 0 −1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 =𝚶 𝐁1𝐂3= 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 −1 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝚶 𝐁1𝐂𝑛= 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝚶 𝐁2𝐂1= 1 1 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 −1 0 0 ⋯ 0 −1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 =𝚶

19 𝐁2𝐂2= 1 1 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 −1 0 ⋯ 0 0 −1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 0 1 −1 0 ⋯ 0 0 1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝐃𝟐 𝐁2𝐂3= 1 1 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 −1 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝚶 𝐁2𝐂𝑛= 1 1 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝚶 𝐁3𝐂1= 1 1 1 0 ⋯ 0 1 1 1 0 ⋯ 0 1 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 −1 0 0 ⋯ 0 −1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝚶 𝐁3𝐂2= 1 1 1 0 ⋯ 0 1 1 1 0 ⋯ 0 1 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 −1 0 ⋯ 0 0 −1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝚶 𝐁3𝐂3= 1 1 1 0 ⋯ 0 1 1 1 0 ⋯ 0 1 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 −1 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 1 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝐃𝟑 𝐁3𝐂𝑛= 1 1 1 0 ⋯ 0 1 1 1 0 ⋯ 0 1 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 =𝚶 𝐁𝑛−1𝐂𝑛= 1 1 1 ⋯ 1 0 1 1 1 ⋯ 1 0 1 1 1 ⋯ 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 1 1 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝚶 𝐁𝑛𝐂𝑛−1= 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 −1 0 0 0 ⋯ −1 1 = 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 = 𝚶

20 𝐁𝑛−1𝐂𝑛−1= 1 1 1 ⋯ 1 0 1 1 1 ⋯ 1 0 1 1 1 ⋯ 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 1 1 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 −1 0 0 0 ⋯ −1 1 = 0 0 0 ⋯ 1 −1 0 0 0 ⋯ 1 −1 0 0 0 ⋯ 1 −1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 −1 0 0 0 ⋯ 0 0 = 𝐃𝐧−𝟏 𝐁𝑛𝐂𝑛= 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 1 1 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 = 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 = 𝐃𝐧

Uraian tersebut di atas dapat ditulis sebagai berikut.

𝐁1𝐂1 = 𝐃𝟏 𝐁2𝐂2 = 𝐃𝟐 𝐁3𝐂3 = 𝐃𝟑 ⋮ 𝐁𝑛−1𝐂𝑛−1= 𝐃𝐧−𝟏 𝐁𝑛𝐂𝑛 = 𝐃𝐧 𝐁𝑘𝐂𝑙= 𝐃𝑘 jika 𝑘 = 𝑙. 𝐁1𝐂2 =𝚶 𝐁1𝐂3 =𝚶 ⋮ 𝐁1𝐂𝑛 =𝚶 𝐁2𝐂1 =𝚶 𝐁2𝐂3 =𝚶 ⋮ 𝐁2𝐂𝑛 =𝚶 𝐁3𝐂1 =𝚶 𝐁3𝐂2 =𝚶 ⋮ 𝐁3𝐂𝑛 =𝚶 𝐁𝑛−1𝐂𝑛=𝚶 𝐁𝑛𝐂𝑛−1=𝚶 𝐁𝑘𝐂𝑙= 𝚶 jika 𝑘 ≠ 𝑙.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa 𝐁𝑘𝐂𝑙 =

𝐃𝑘, jika 𝑘 = 𝑙