ANALISA TEORITIS MENGHITUNG FREKUENSI PRIBADI BALOK LENTUR PADA TUMPUAN BERBEDA
Abstrak.
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan nilai frekuensi pribadi getaran balok lentur yang menggunakan tumpuan sederhana, jepit-jepit, dan kantilever. Metode penelitian ini menggunakan balok lentur dengan ukuran panjang yaitu 850 mm dan lebar 25 mm, sedangkan ketebalannya bervarisi yaitu 10 mm, 12,5 mm, dan 15 mm. Hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk tumpuan yang sama, makin tebal spesimen makin tinggi frekuensi pribadinya. Untuk jenis tumpuan yang berbeda, frekuensi pribadi terbesar terjadi pada tumpuan jepit-jepit (223,8209 rad/s, kemdian tumpuan sederhana (98,7346 rad/s), dan yang terkecil tumpuan kantilever (35,1738 rad/s) pada ketebalan 15 mm.
I. PENDAHULUAN
Setiap benda atau sistem yang memiliki massa dan sifat elastisitas jika diberi gangguan (ransangan), maka akan bergetar. Berdasarkan gangguan (ransangan) yang diberikan pada sistem, getaran yang timbul dapat diklasifikasikan sebagai getaran bebas dan paksa. Bila ditinjau kondisi getaran bebas, maka struktur tidak diengaruhi oleh gaya luar dan gerakannya hanya dipengaruhi oleh kondis awal. Gaya luar hanya diperlukan untuk menentukan frekuensi pribadi sistem. Frekuensi pribadi adalah merupakan dasar (karakteristik) yang dimiliki oleh sistem yang bergetar. Penentuan frekuensi pribadi sistem yang mengalami getaran adalah sangat penting untuk mencegah terjadinya resonansi.
Kekuatan suatu material yang mengalami beban dinamis sangat dipengaruhi massa dan sifat elastisitas serta gangguan yang bekerja padanya Balok yang ditumpu kemudian mendapatkan beban dinamis akan mempengaruhi nilai frekuensi pribadi suatu sistem. Untuk itu dilakukan penelitian untuk mendapatkan hubungan antara pengaruh jenis tumpuan dengan nilai frekeuensi pribadi pada getaran balok lentur. Hasil penelitian ini dapat dimanfaatkan sebagai bahan informasi mengenai balok yang mengalami getaran lentur dengan berbagai jenis tumpuan.
II. TINJAUAN PUSTAKA
II.1. Getaran Lentur dari Balok-balok seragam
Perlakuan balok yang mengalami getaran flexural didasarkan pada teori “Lenturan Sederhana’ yang biasa digunakan dalam keperluan teknik. Metode
analisis ini dikenal dengan teori “Euler ( Euler Beam’s Equation )” yang menganggap bahwa sebuah penampang melintang yang datar dari sebuah balok akan tetap datar selama lenturan.
Fungsi dasar dari persaman – persamaan pada balok ( beam ) dari mekanika kekuatan bahan ditunjukkan oleh persamaan – persamaan berikut :
y = deflection slope x y moment M x y EI 2 2 shear V x y EI 3 3 ensity load x w x y EI 4 int 4
II.2. Persamaan Gerak dalam Getaran Bebas
Pada gambar 1 di bawah ditunjukkan DBB (Free Body Diagram ) dari sebuah balok seragam ( uniform beam ) yang mengalami lendutan, dan elemen dari balok yang mempunyai panjang dx dan dibatasi penampang-penampang datar yang tegak lurus sumbunya.
Gamba
r 1. Balok Seragam
Anggap massa per satuan panjang dari balok adalah γ, dan percepatan dari
elemen balok adalah 2 2 t y
, dan dengan menerapkan Hukum kedua Newton,
dx t y Fy 2 2 dx t y dx x V V V 2 2 ) 1 ...( ... 2 2 t y x V , maka : 0 2 2 4 4 t y x y EI atau ) 2 .( ... ... 0 2 2 4 4 2 t y x y a , dimana a2 EI ,
Untuk mencari solusi dari persamaan diatas maka digunakan metode pemisahan-variabel ( Separation-of-Variables Method), secara umum getaran melintang ( transverse vibration ) pada balok ditunjukkan oleh persamaan :
) 3 ...( ... ... )... ( ) ( ) , (x t x q t y ,
maka kita assumsikan sebuah solusi yang memiliki bentuk seperti pada persamaan (3) yang menghasilkan dua persamaan
q dx d t y 4 4 4 4 , Dan q dt q d t y 2 2 2 2 ,
substitusikan ke dalam persamaan (2),
) 4 ...( ... ... ... 1 4 4 2 q q dx d a ,
Karena sisi kiri dari fungsi bervariabel x dan fungsi pada sisi kanan bervariabel t, kedua sisi harus sama dengan nilai sebuah konstanta.Melihat sisi kanan persamaan diatas dan berpikir agar menjadi sebuah fungsi sinusoidal dan juga turunannya, maka, ω2 cocok sebagai pilihan yang logis.Sehingga persamaan diatas akan menjadi :
) 5 ...( ... ... 0 2 q q , ) 6 ( ... ... 0 2 4 4 a dx d ,
Persamaan (6) dapat dituliskan sebagai :
) 7 ...( ... ... 0 4 4 4 k dt d , dimana 2 2 4 a k
Persamaa (4) mempunyai solusi :
q =A cos ωt + B sin ωt,... (8)
) 9 ..( ... ... ... rx e
agar persamaan (9) memenuhi persamaan (7) maka kita turunkan untuk mendapatkan : ) 10 ...( ... ... 4 4 4 rx e r dx d
Substitusikan persamaan (9) dan persamaan (10) ke dalam persamaan (7) untuk menghasilkan :
r4 – k4 = 0
atau ( r4 – k4 )( r2 – k2 ) = 0...(11)
Empat akar dari persamaan (10) yang memenuhi persamaan (9) dan (7) adalah
r1,2 = ± k, dan r3,4 = ± jk ( j= 1)
Solusi persamaan (7) dapat ditulis sebagai penjumlahan akar-akar diatas :
jkx jkx kx kx Fe Ee De Ce ...(12) dimana : a k
Assumsikan E dan F sebagai konstanta kompleks yang mempunyai bentuk :
E = C3 – jC4
dan dengan menggunakan persamaan identitas : kx kx ekx cosh sinh kx kx e kx cosh sinh kx j kx ejkx cosh sinh kx j kx e jkx cosh sinh
Persamaan (12) dapat diubah ke dalam bentuk :
kx C kx C kx C kx
C1cosh 2sinh 3cos 4sin
dimana konstanta – konstanta C1,C2,C3,dan C4 adalah konstanta real dan
berhubungan kepada konstanta C, D, E, dan F dari persamaan (12) oleh :
C1 = C+D C3 = E + F
C2 = C – D C4 = j( E – F )
Kita dapat menulis solusi dari persamaan balok Euler sebagai :
t q kx C kx C kx C kx C t x
y( , ) 1cosh 2sinh 3cos 4sin ...(13)
dimana q(t) adalah fungsi waktu yang diberikan oleh persamaan (8).
Mengingat kembali bahwa ak 2 k2 EI ,... (14)
bisa kita liha bahwa frekuensi pribadi ω diatas tergantung dari harga k. Karena k muncul dalam fungsi Φ, harga k untuk balok diatas jelas tergantung pada jenis tumpuan pada masing-masing ujung balok.Karena ada empat konstanta dalam
persamaan (13), empat kondisi batas diperlukan untuk mencari frkuensi pribadi dan fungsi mode-normal dari balok.
II.3. Balok pada Tumpuan engsel (Pinned-pinned Beam)
Pertama kita akan melihat pada balok tumpuan sederhna ( pinned-pinned beam ).Dapat dilihat bahwa defeksi y dan M bernilai nol pada kedua ujung dari balok untuk semua harga t.Keempat kondisi batas dari balok pada gambar 2 di bawah adalah : (1) y(0,t) = 0 (3) y(l,t) = 0 (2) 0, 0 2 2 EI M t t y (4) , 0 2 2 EI M t l t y
Gambar 2. Balok tumpuan sederhana ( pinned-pinned beam )
Dengan menerapkan kondisi batas pertama dan kedua pada persamaan (13), dan turunan parsial kedua terhadap x, maka :
C1 + C3 = 0
C1 – C3 = 0,
Dengan mencari solusi persamaan diatas didapat bahwa ,
Menggunakan kondisi batas ketiga dan keempat pada persamaan (13) dengan cara yang sama kita mendapatkan bahwa :
C2 sinh kl + C4 sin kl = 0
C2 sinh kl – C4 sin kl = 0
Karena kl=0 menunjukkan sebuah solusi trivial dan sinh kl=0 hanya pada kl=0, kita lihat bahwa C2=0 dan
Sin kl = 0
Maka,
kil = iπ i =1,2,3,...
dan frekuensi pribadi pada persamaan (14) :
EI l i aki i 2 2 2 2 rad/s atau EI l i fi i 2 2 2 2 2 Hz i =1,2,3,...
II.3. Balok pada Tumpuan Jepit-engsel (Pixed-pinned Beam)
Sekarang kita akan meninjau balok yang ada pada gambar 3 dibawah yang mempunyai empat kondisi batas:
(1) y(0,t) = 0 (3) y(l,t) = 0 (2) 0 t, 0 x y (4) , 0 2 2 EI M t l x y (15)
Gambar 3. Balok tumpuan jepit-sederhana ( fixed-pinned beam )
Menggunakan kondisi batas pertama dan kedua pada persamaan (13), kita mendapat : C1 + C3 = 0 C2 + C4 = 0 dimana C3 = - C1 C4 = - C2
Dengan cara yang sama , menggunakan kondisi batas ketiga dan keempat pada persamaan (13),
C1( cosh kl – cos kl )+C2( sinh kl – sin kl ) = 0
C1( cosh kl + cos kl )+C2( sinh kl + sin kl ) = 0
Karena persamaan aljabar ini sama ( homogenous ), persamaan frekuensi ditentukan dengan menerapkan determinan │D│ pada koefisien – koefisien dari C1 dan C2 sama dengan nol,kita memperoleh persamaan :
kl kl kl kl cosh sinh cos sin
Salah satu metode untuk mendapatkan akar-akar dari persamaan (16) adalah dengan mensketsakan grafik dari tan kl dan tanh kl pada jarak yang mungkin ( logis ) seperti yang ditunjukkan pada gambar 4 dibawah ini,untuk memperoleh nilai akar-akar yang mendekati, dan selanjutnya dengan trial and
error pada rentang nilai akar-akar yang mendekati ini dengan menggunakan
kalkulator kita dapat menentukan nilai yang akurat.Menggunakan cara ini, tiga akar-akar pertama dapat ditentukan :
k1l = 3,926602 k2l = 7,068583 k3l = 10,210176
Selanjutnya dari persamaan (14) kita mendapatkan :
EI l2 1 4182 , 15 rad/s, EI l f 2 1 1 4539 , 2 2 Hz
EI l2 2 9651 , 49 rad/s EI l f2 2 7,95222 2 Hz EI l2 3 2461 , 104 rad/s EI l f 2 3 3 5913 , 16 2 Hz
III. METODE PENILITIAN
Penelitian ini dilakukan pada balok lentur persegi panjang yang diletakkan pada dua jenis tumpuan yaitu sederhana dan jepit-engsel. Tumpuan sederhana adalah tumpuan yang terdiri dari tumpuan engsel dikedua ujungnya. Tumpuan jepit-engsel dimana ujung yang satu dijepit dan ujung yang lain diberiengsel.
Dimensi balok yang digunakan dengan panjang 850 mm dan lebar 25 mm, sedangkan tebal(t) balok divariasikan yaitu 10 mm dan 15 mm. Massa persatuan panjang tergantung pada tebal balok. Nilai elastisitas balok E= 2,819x1010 N/m2.
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil perhitungan yang diperoleh bahwa getaran balok lentur yang mempunyai panjang dan lebar yang sama dengan ketebalan yang bervariasi untuk setiap spesimen yang ditumpu jenis tumpuan yang berbeda diperoleh nilai freukensi pribadi untuk 3 mode pertama pada tabel berikut:
NO t (mm) γ (kg/m)
Tumpuan engsel (pinned-pinned beam)
rad/s
Tumpuan jepit-engsel (fixed-pinned beam)
rad/s
ω1 ω2 ω3 ω1 ω2 ω3
1. 10 3,084 29,80 119,20 268,20 93,10 301,726 629,51
Frekuensi pribadi pada balok getaran lentur untuk tumpuan engsel dan jepit-engsel, dengan tebal 10 mm,dan 15 mm mempunyai harga yang berbeda-beda. Nilai frekuensi pribadi dari variabel ketebalan, dapat dikatakan bahwa semakin tebal suatu spesimen maka frekuensi pribadi juga semakin besar. Frekuensi pribadi terbesar terjadi pada ketebalan 15 mm dan frekuensi pribadi terkecil pada ketebalan 10 mm.
Berdasarkan jenis tumpuan (ketebalan sama), frekuensi terbesar terjadi pada tumpuan jepit-engsel pada mode ketiga (1131,05 rad/detik) dan terkecil pada tumpuan engsel mode pertama ( 53,54 rad/detik) pada ketebalan 15 mm. Adanya perbedaan frekuensi pribadi pada kedua jenis tumpuan ini disebabkan oleh kondisi tumpuan yang berbeda, dimana freukensi pribadi merupakan fungsi dari kekakuan. Semakin besar kekakuan suatu spesimen maka semakin besar frekuensi pribadinya karena lebih mampu menahan getaran. Kekakuan terbesar terjadi pada tumpuan jepit-engsel, ini disebabkan karena pada salah satu ujungnya dijepit sehingga tidak terjadi perpindahan baik perpindahan translasi maupun perputaran sudut. Tumpuan sederhana dimana pada setiap tumpuan tidak terdapat perpindahan translasi tetapi terjadi perputaran sudut.
V. KESIMPULAN
Pada tumpuan yang sama getaran lentur yang terjadi pada balok dengan dimensi panjang 850 mm, lebar 25 mm, dan tebalnya bervariasi, 10mm dan 15 mm, serta nilai elastisitasnya ( Modulus Young ) 2,819x1010 N/m2 diperoleh nilai frekuensi pribadi semakin besar untuk 3 mode pertama, dengan bertambahnya ketebalan spesimen.Sedangkan pengaruh tumpuan terhadap nilai frekuensi pribadi
spesimen ( ketebalan sama ), frekuensi terbesar terjadi pada tumpuan jepit-engsel ( 1131,05 rad/s, mode 3 ) dan terkecil terjadi pada tumpuan engsel-engsel ( 53,54 rad/s, mode 1 ) pada ketebalan 15 mm.
VI. DAFTAR PUSTAKA
1. Thomson, W.T.1986.Theori of Vibration with Aplication.New Delhi.Prentice
2. James, M.L./Smith, G.M. and Wolford,J.C./Whaley, P.W.1989.Vibration of Mechanical and Structural System.New York.Harper and Row Publisher, Inc.
