Determinan Matriks 3x3 Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor

(1)

Determinan Matriks 3×3 Metode

Determinan Matriks 3×3 Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor

Sarrus dan Minor-Kofaktor

Ogin Sugianto Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id sugiantoogin@yahoo.co.id Wordpress & FB: Penma2B Wordpress & FB: Penma2B Majalengka, 20

Majalengka, 20 November November 20162016

Tidak lengkap rasanya membahas matriks tanpa membahas tiga metode populer. Tidak lengkap rasanya membahas matriks tanpa membahas tiga metode populer. Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor untuk menghitung determinan.

Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor untuk menghitung determinan. Serta metode Cramer untuk menyelesaikan SPL 3

Serta metode Cramer untuk menyelesaikan SPL 3 variabel.variabel. Namun, kali ini yang di bahas

Namun, kali ini yang di bahas yaitu metode Sarrus dan Minor-Kofaktor.yaitu metode Sarrus dan Minor-Kofaktor. Determinan Cara Sarrus

Determinan Cara Sarrus

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini! Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

(2)

Maka determinan matriks A, yaitu: Maka determinan matriks A, yaitu:



 

 == (−2)(3

(−2)(3)(−8) +

)(−8) + (4)(−

(4)(−7)(−1

7)(−1) ) + (−5)(1)(4

+ (−5)(1)(4) ) – ((−5)

– ((−5)(3)(−

(3)(−1)

1)

+ (−2)(−7)(4) + (4)(1)(−8))

=

= (4

(48 8 +

+ 228 8 – 20

– 20) ) – (1

– (15 5 +

+ 56 −

56 − 32

32) ) =

= 556 6 – 39

– 39 =

= 1177

Matriks 3×3 mempunyai sembilan elemen. Matriks 3×3 mempunyai sembilan elemen. Jika salah satu atau beberapa elemennya ber

Jika salah satu atau beberapa elemennya bernilai nol.nilai nol.

Perhitungan determinan dengan cara sarrus akan sedikit lebih cepat. Perhitungan determinan dengan cara sarrus akan sedikit lebih cepat.

Satu Elemen Nol Satu Elemen Nol

Matriks yang salah satu elemennya nol,

Matriks yang salah satu elemennya nol, maka kita hanya perlu menghitung 4 maka kita hanya perlu menghitung 4 jalur.jalur. Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

Penyelesaian: Penyelesaian:



 

 =

= (−2)(3

(−2)(3)(−8) +

)(−8) + (−5)(1

(−5)(1)(4)

)(4) – ((−5)(3)

– ((−5)(3)(−1) +

(−1) + (4)(1

(4)(1)(−8)

)(−8)))

=

= (4

(48 – 20

8 – 20) ) – (

– (15

15 −− 32

32) ) =

= 228 +

8 + 117 7 =

= 4455

(3)

Dua Elemen Nol Dua Elemen Nol

Dua elemen nol dalam dua

Dua elemen nol dalam dua baris berbeda,baris berbeda, determinan dapat dihitung dengan 3 determinan dapat dihitung dengan 3 jalur.

jalur.



   =

= (−2)(

(−2)(3)(−8

3)(−8) ) +

+ (−5)(

(−5)(1)(−4

1)(−4) ) – – ((−5)(

((−5)(3)(−1

3)(−1) ) ))

=

= (4

(48 8 – 20

– 20) ) – 15

– 15 =

= 228 8 – 15

– 15 =

= 1133

Dua elemen nol dalam

Dua elemen nol dalam barisbaris yang yang sama,sama, maka determinan dapat ditentukan maka determinan dapat ditentukan dengan 2 jalur saja.

dengan 2 jalur saja.



(4)

Tiga Elemen Nol Tiga Elemen Nol

Ada beberapa kemungkinan posisi tiga e

Ada beberapa kemungkinan posisi tiga elemen nol.lemen nol. Saya hanya akan membahas dua

Saya hanya akan membahas dua diantaranya.diantaranya. Pertama,

Pertama, tiga elemen nol dalam satu baris. tiga elemen nol dalam satu baris.

Det E = 0 Det E = 0

Dalam pembahasan SPL homogen 3 persamaan dan 3 variabel, matr

Dalam pembahasan SPL homogen 3 persamaan dan 3 variabel, matriks yang salahiks yang salah satu barisnya nol.

satu barisnya nol.

Maka, nilai determinannya adalah nol dan solus

Maka, nilai determinannya adalah nol dan solusi SPL homogen tersebut non i SPL homogen tersebut non trivial.trivial.

Kedua,

Kedua, tiga elemen nol membentuk matriks segitiga tiga elemen nol membentuk matriks segitiga atas atau bawah.atas atau bawah. Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

(5)



  

 =

= (−

(−2)

2)(3

(3)(

)(−8

−8) ) =

= 48

48

Cara diatas adalah sebagian dari determinan matriks 3×3 metode operasi baris Cara diatas adalah sebagian dari determinan matriks 3×3 metode operasi baris elementer (OBE) matriks segitiga atas.

elementer (OBE) matriks segitiga atas.

Untuk determinan matriks 3×3, sebagian orang

Untuk determinan matriks 3×3, sebagian orang mungkin lebih memilih metodemungkin lebih memilih metode sarrus daripada metode Minor-Kofaktor dan

sarrus daripada metode Minor-Kofaktor dan OBE.OBE. Tapi ketika bahasannya adalah determinan matriks

Tapi ketika bahasannya adalah determinan matriks berordo 4×4 dan seterusnya,berordo 4×4 dan seterusnya, cara OBE mungkin lebih efisien jika dibandingkan dengan

cara OBE mungkin lebih efisien jika dibandingkan dengan dua metode lainnya.dua metode lainnya.

Determinan Cara Minor Kofaktor Determinan Cara Minor Kofaktor

(6)

Gambar di atas menunjukan minor matriks 3 x 3, misalnya: Gambar di atas menunjukan minor matriks 3 x 3, misalnya:



 MinorMinor a =a =



 Minor eMinor e = =

  Minor hMinor h = =   Dst.Dst. Kofaktor Kofaktor

Gambar diatas memperlihatkan kofaktor misalnya +a, -b, +

Gambar diatas memperlihatkan kofaktor misalnya +a, -b, +e, -h, dll.e, -h, dll. Determinan menggunakan cara Minor-Kofaktor, yaitu:

Determinan menggunakan cara Minor-Kofaktor, yaitu:

  Det A =Det A =   Det A =Det A =   Det A =Det A =

(7)

Dari beberapa rumus diatas kita bisa memilih salah satu rumus yang akan Dari beberapa rumus diatas kita bisa memilih salah satu rumus yang akan digunakan.

digunakan.

Namun, pembahasan kali ini ketiga rumus akan

Namun, pembahasan kali ini ketiga rumus akan digunakan untuk menyelesaikandigunakan untuk menyelesaikan contoh soal determinan matriks, yaitu:

contoh soal determinan matriks, yaitu:

Penyelesaian: Penyelesaian: Baris Pertama Baris Pertama



 

  == −2

−2((

((3)

3)(−

(−8)

8)−− (−

(−7)

7)(4

(4) )

) ) −− 4(

4((1

(1)(

)(−8

−8)) −− (−

(−7)

7)(−

(−1)

1))) −− 5(

5((1

(1)(

)(4)

4)−− (3

(3)(

)(−1

−1))

))

== −−22((−−2244 −− ((−−2288)))) −− 44((−−88 −− 77)) −− 55((44 −− ((−−33))))

=−2(4)−4(−15)−5(7)=17

Baris Kedua Baris Kedua  



 

  == −1

−1((

((4)

4)(−

(−8)

8)−− (−

(−5)

5)(4

(4) )

) ) ++ 3(

3((−

(−2)

2)(−

(−8)

8)−− (−

(−5)

5)(−

(−1)

1) )) ++ 7(

7((−

(−2)

2)(4

(4)) −−

(4)(−1))

=12+33−28=17

(8)

Baris Ketiga Baris Ketiga  

 

== −1

−1((

((4)

4)(−

(−7)

7) −− (−

(−5)

5)(3

(3) )

) ) −− 4(

4((−

(−2)

2)(−

(−7)

7) −− (−

(−5)

5)(1

(1) )

) )8(

8((−

(−2)

2)(3

(3)) −− (4

(4)(

)(1) )

1) )

=13−76+80=17

Dari tiga rumus diatas semunya menghasilkan jawaban yang sama yaitu Det G = 17. Dari tiga rumus diatas semunya menghasilkan jawaban yang sama yaitu Det G = 17. Cara mana yang digunakan?

Cara mana yang digunakan?

Tergantung …. jika salah satu barisnya terdapat

Tergantung …. jika salah satu barisnya terdapat satu atau lebih elemen nol, makasatu atau lebih elemen nol, maka baris itulah yang digunakan.

baris itulah yang digunakan.

Contoh soal: tentukan determinan matriks berikut ini! Contoh soal: tentukan determinan matriks berikut ini!