Pertemuan 4-5 MATRIKS

Pertemuan 4-5 MATRIKS

• JENIS MATRIKS

• MATRIKS TRANSPOSE

• OPERASI MATRIKS

• DETERMINAN MATRIKS

• INVERS MATRIKS

• APLIKASI MATRIKS

SARJONO PURO, MT

TIPE MATRIKS

NAMA DESKRIPSI Contoh

Matriks Baris Matriks hanya dengan satu baris Matriks

Kolom

Matriks hanya dengan satu kolom Matriks

Bujursangkar

Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama

Matriks Nol Matriks yang semua elemennya nol



^{3 2 1− 4}





 3 2

 

 

− 1 7 4 2

 

 

0 0

0

0

Contoh :

A xB =

2.1 +3.7+4.4+5.11 -35 -49 -35 -94 -55

94 -35 -49 -35 -94 -55

=

2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A =

1 2 7 -6 4 -9 11 3 B =

BxA = tidak dapat

didefinisikan

Matriks Transpose

Definisi:

Transpose mariks A adalah matriks A^T dengan kolom-kolomnya adalah baris- baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.

4 2 6 7 5 3 -9 7

A = A^T = A’ =

4 5 2 3 6 -9

[A

^T

]

_mxn

= [A]

_nxm

Matriks Transpose

Sifat-sifat transpose matriks

1.Transpose dari A transpose adalah A:

(A^T )^T = A

2. (A+B)^{T =} A^T + B^T 3.(kA)^T = k(A) ^T

4.(AB)^T = B^T A^T

Matriks A = [aij] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolom ke j pada matriks A.

Determinan dari M disebut minor dari aij

(selanjutnya ditulis Mij).

Sedangkan cij adalah kofaktor aij dan didefinisikan sebagai:

MINOR dan Kofaktor Matriks

c

_ij

= (-1)

^i+j

det M

_ij

Contoh : 2 1 -1

5 3 4

4 7 5

A

=

Tentukan minor dan kofaktor dari a₁₁dan a₁₂! Penyelesaian:

2 1 -1

5 3 4

4 7 5

A

=

3 4 7 5

M₁₁= =3.5 – 7.4 = – 13

2 1 -1

5 3 4

4 7 5

A

=

5 4 4 5

M₁₂ = =5.5 – 4.4 = 9 c₁₁ = (-1)¹⁺¹ (-13) = - 13

c₁₂ = (-1)¹⁺² (9) = - 9

Adjoin Matriks

cij adalah kofaktor dari aij

Jika terdapat matirks A = [a_ij], maka a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ A =

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ Ajoin A =

T

a₁₁ a₂₁ a₃₁ a₁₂ a₂₂ a₃₂ a₁₃ a₂₃ a₃₃

=

Sifat2 Matriks Deteminan

Matriks Transpose

Sifat-sifat determinan

i. Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama atau det A = det A^T

ii. Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B)

iii. Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnya.

det (A) = (a₁₁.a₂₂) a₁₁ 0

a₂₁ a₂₂

=

^a₀ ¹¹ _a^a12

22

(A) =

iv) Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari mempertukarkan dua buah baris matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A

Sifat-sifat determinan

B= a₂₁ a₂₂ a₁₁ a₁₂ a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂ A =

det (A) = - det (B)

13

v) Jika matriks dan c adalah konstanta, makaa₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

A = a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

a) c c.a₁₁ c.a₁₂

a₂₁ a₂₂

= a₁₁ a₁₂

c.a₂₁ c.a₂₂

= a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

b) a₁₁ + c.a₂₁ a₁₂+c.a₂₂ a₂₁ a₂₂

=

a₁₁ a₁₂

a₂₁ + c.a₁₁ a₂₂+c.a₁₂

=

vi) Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama

dengan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.

det (A) = o

a₁₁ a₁₂ 0 0

0 0

a₂₁ a₂₂ A = =

1. Determinan dengan Aturan Sarrus

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂

+ -

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a₃₂ a₃₃ det (A) = (a₁₁.a₂₂₎ – (a₁₂.a₂₁)

+ -

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a₃₂ a₃₃ A₂ =

det (A) = (a₁₁.a₂₂.a₃₃ + a₁₂.a₂₃.a₃₁ + a₁₃.a₂₁.a₃₂ )– (a₁₃.a₂₂.a₃₁ + a₁₁.a₂₃.a₃₂ + a₁₂.a₂₁.a₃₃)

A₁ =

Determinan matriks

2. Determinan dengan Aturan KOFAKTOR

Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai berikut. Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah

det A = a

_i1

. c

_i1

+ a

_i2

. c

_i2

+ ... a

_in

. c

_in

( i = 1,2,3,...., atau n)

det A = a

_1j

. c

_1j

+ a

_2j

. c

_2j

+ ... a

_nj

. c

_nj

( j = 1,2,3,...., atau n)

Determinan matriks n x n

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a₃₂ a₃₃ A=

c₁₁ c₁₂ c₁₃ c₂₁ c₂₂ c₂₃ c31 c₃₂ c₃₃ C =

c_ij = (-1)^i+j det M_ij

Tentukan determinan dari:

Contoh:

-4 1 5

0 2 3

3 4 7 A =

Penyelesaian:

Karena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara 1, 2, atau 3.

det A = a

_i1

. c

_i1

+ a

_i2

. c

_i2

+ a

_i3

. c

_i3

c

_ij

= (-1)

^i+j

det M

_ij

Determinan matriks n x n

det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) = –8 + 9 – 30 = –29 17

-4 1 5

0 2 3

3 4 7 A =

c

_ij

= (-1)

^i+j

det M

_ij

2 3 4 7

c₁₁= (-1)¹⁺¹ = (1)(2.7 – 4.3) = 2 -4 1 5

0 2 3

3 4 7 A =

0 3 3 7

c₁₂ = (-1)¹⁺² = (-1)(0.7 – 3.3) = 9

-4 1 5

0 2 3

3 4 7 A =

0 2 3 4

c₁₃ = (-1)¹⁺³ = (1)(0.4 – 3.2) = -6

det A = a

₁₁

.c

₁₁

+a

₁₂

.c

₁₂

+a

₁₃

.c

₁₃

a

₁₁

= -4, a

₁₂

= 1; a

₁₃

= 5

Determinan matriks n x n

3. Determinan dengan mereduksi baris

Menghitung determinan dengan reduksi baris adalah mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris atau matriks segitiga dengan menerapkan sifat-sifat determinan.

-4 1 5

0 2 3

3 4 7 A =

Contoh:Tentukan determinan dari matriks berikut dengan cara reduksi baris

Determinan matriks n x n

Penyelesaian:

R₃ – 3R₁

R₃ –

19/8R₂

-4 1 5

0 2 3

3 4 7 det (A) =

1 -1/4 -5/4

0 2 3

3 4 7

= (-4)

1 -1/4 -5/4

0 2 3

0 19/4 43/4

= (-4)

1 -1/4 -5/4

0 2 3

0 0 29/8

= (-4)

= (-4) (1) (2)(29/8)

= -29

Determinan matriks n x n

INVERS MATRIKS

Matriks A:

Determinan A:

det (A) = ad - bc

a b

c d

A =

Invers matriks A:

Contoh : Tentukan invers matriks berikut :

-2 5 -7 17 A =

17 -5 7 -2 A^-1 =

1 ad - bc

A^-1 = d -b -c a 1

(-2.17) – (-7.5)

A^-1 = 17 - 5

7 - 2 1

ad - bc

A^-1 = d -b -c a 1. Metode Sarus

INVERS MATRIKS nxn

2. Metode Adjoin Matriks

Jika matriks A adalah matriks yang dapat dibalik, maka 1

det (A)

A^-1 = adj A

Contoh :

3 -2 5

2 1 2

3 0 4

Jika A = , tentukan A^-1

INVERS MATRIKS nxn

Penyelesaian:

3 -2 5

2 1 2

3 0 4

A = 1 2

0 4

c₁₁= (-1)¹⁺¹ = (1)(4 – 0) = 4 2 2

3 4

c₁₂= (-1)¹⁺² = (-1)(8 – 6) = -2 2 1

3 0

c₁₃= (-1)¹⁺³ = (1)(0 – 3) = -3 -2 5

0 4

c₂₁= (-1)²⁺¹ = (-1)(-8 – 0) = 8

c

_ij

= (-1)

^i+j

det M

_ij

3 5 3 4

c₂₂= (-1)²⁺² = (1)(12 – 15) = -3 3 -2 5

2 1 2

3 0 4 A =

3 -2 3 0

c₂₃= (-1)²⁺³ = (-1)(0 –(-6) = -6 -2 5

1 2

c₃₁= (-1)³⁺¹ = (1)(-4) –(5) = -9 3 5

2 2

c₃₂= (-1)³⁺² = (-1)(6 –10) = -4 3 -2

2 1

c₃₃ = (-1)³⁺³ = (1)(3 –(-4) = 7

INVERS MATRIKS nxn

c

_ij

= (-1)

^i+j

det M

_ij

INVERS MATRIKS nxn

4 -2 -3 8 -3 -6 Adjoin A =

T 4 8 -9 -2 -3 -4

=

det (A) =(3)(4)+(-2)(-2)+(5)(-3) = 12+ 4 - 15 = 1

3 - 2 5

2 1 2

3 0 4 A =

4 -2 -3

8 -3 -6

-9 -4 7 c

=

INVERS MATRIKS nxn

1 det (A)

A^-1 = adj A

4 8 -9 -2 -3 -4 -3 -6 7 Adjoin A =

A^-1

= det (A)

4 8 -9 -2 -3 -4 -3 -6 7

=

1

INVERS MATRIKS nxn

3. Operasi baris elementer (OBE)

Untuk menentukan balikan (invers) dari matriks A yang dapat dibalik dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer, kita harus melakukan sejumlah operasi baris elementer untuk mereduksi A menjadi matriks identitas dan melakukan opersi yang sama terhadap I_n untuk memperoleh A^-1.

Langkah penyelesaian

1. Gabungkan matriks identitas ke sebelah kanan A [ A | I ]

2. Lakukan operasi baris elementer, sehingga [ A | I ]menjadi [ I | A^-1]

INVERS MATRIKS nxn

Tentukan balikan dari matriks berikut dengan menggunakan operasi baris elementer.

Contoh :

Penyelesaian

1/3 R₁

3 -2 5

2 1 2

3 0 4 A =

3 -2 5

2 1 2

3 0 4 (A)(I) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1 1 -2/3 5/3

2 1 2

3 0 4

=

1/3 0 0

0 1 0

0 0 1

R₂–2R₁ R₃–3R₁

INVERS MATRIKS nxn

1 -2/3 5/3 0 7/3 -4/3 0 2 -1 (A)(I) =

1/3 0 0 -2/3 1 0 -1 0 1

3/7 R₂

R₁+ 2/3R₂ R₃– 2R₂

1 -2/3 5/3 0 1 -4/7 0 2 -1

=

1/3 0 0 -2/7 3/7 0 -1 0 1 1 0 9/7

0 1 -4/7 0 0 1/7

=

1/7 2/7 0 -2/7 3/7 0

-3/7 -6/7 1 7R

INVERS MATRIKS nxn

1 0 9/7 0 1 -4/7 0 0 1 (a)(I)=

1/7 2/7 0 -2/7 3/7 0 -3 -6 7

R₁– 9/7R₃ R₂+ 4/7R₃

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

4 8 -9

-2 -3 4

-3 -6 7 Maka A^-1 =

4 8 -9

-2 -3 4

-3 -6 7

APLIKASI MATRIKS nxn

1. Aturan Cramer dapat digunakan untuk penyelesaian 3 x 3 system.

ax + by + cz = j dx + ey + fz = k gx + hy + iz = l

j b c

k e f

l h i

y =

a j c d k f g l i

a b j d e k g h l a b c

d e f g h i A =

det (A) X

_k

= det (A

_k

)

k = 1,2,3,……,n

APLIKASI MATRIKS nxn

31

• Contoh : Selesaikan SPL berikut !

2 8 6

4 2 – 2

3 - 1 1

det (A) = = 4 – 48 - 24 -36 -32 – 4 = -140

2 0 8 6 - 2 2 – 2 11 - 1 1

det (A₁) = = 40 – 176 +12-132+16-40 = -280

Penyelesaian :

2 20 6 4 - 2 – 2 3 11 1

det (A₂) = = -40 – 120 +264+36-80+44 = 140

2 8 20 4 2 – 2 3 -1 11

det (A₃) = = 44 – 48 – 80 -120 -352 -4 = - 560 2x₁ + 8x₂ + 6x₃ = 20

4x₁ + 2x₂ – 2x₃ = -2 3x₁ - x₂ + x₃ = 11

APLIKASI MATRIKS nxn

det (A) X

_k

= det (A

_k

)

det (A) X

₁

= det (A

₁

)

X₁= -140-280 = 2

det (A) X

₂

= det (A

₂

)

X₂= -140140 = -1

det (A) X

₃

= det (A

₃

)

X₃= -560-140 = 4

APLIKASI MATRIKS nxn

2. Menggunakan invers matriks

• Bila Det(A)≠ 0, maka A^-1 ada

• AX = B

• A^-1.AX = A^-1.B

• Jadi : X = A^-1 penyelesaian sistem ini.

• Catatan :

• Bila m=n dan Det(A) = 0, maka sistemnya mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.

• Contoh : selesaikan SPL berikut dengan menggunakan invers matriks !

2x₁ + 8x₂ + 6x₃ = 20 4x₁ + 2x₂ – 2x₃ = -2 3x₁ - x₂ + x₃ = 11

APLIKASI MATRIKS nxn

Penyelesaian:

2 8 6 4 2 -2 3 -1 1

A = 2 -2

-1 1

c₁₁= (-1)¹⁺¹ = (1)(2 – 2) = 0 4 -2

3 1

c₁₂= (-1)¹⁺² = (-1)(4 + 6) = -10

4 2

3 -1

c₁₃= (-1)¹⁺³ = (1)(-4 – 6) = -10

8 6

-1 1

c₂₁= (-1)²⁺¹ = (-1)(8 +6) = -14

c

_ij

= (-1)

^i+j

det M

_ij

APLIKASI MATRIKS nxn

35

2 6 3 1

c₂₂= (-1)²⁺² = (1)(2 – 18) = -16 2 8 6

4 2 -2 3 -1 1 A =

2 8 3 -1

c₂₃ = (-1)²⁺³ = (-1)(-2 –24)= 26

8 6

2 -2

c₃₁= (-1)³⁺¹ = (1)(-16 –12) = -28

2 6

4 -2

c₃₂= (-1)³⁺² = (-1)(-4 –24) = 28

2 8

4 2

c₃₃= (-1)³⁺³ = (1)(4 –32) = -28

c

_ij

= (-1)

^i+j

det M

_ij

APLIKASI MATRIKS nxn

2 8 6 4 2 -2 3 -1 1 A =

0 -10 -10 -14 -16 26

-28 28 -28 c =

det (A) =(2)(0)+(8)(-10)+(6)(-10) = 0-80 - 60 = -140

0 -10 -10 -14 -16 26

-28 28 -28 c^T =

T

Matriks Adjoint (A):

0 -14 -28 -10 -16 28

=

1 det (A)

A^-1 = adj A

1 - 140 A^-1 =

0 -14 -28 -10 -16 28

-10 26 -28

APLIKASI MATRIKS nxn

2x₁ + 8x₂ + 6x₃ = 20 4x₁ + 2x₂ – 2x₃ = -2 3x₁ - x₂ + x₃ = 11

2 8 6 4 2 -2 3 -1 1

x₁ x₂ x₃

20 -2 11

A X = B X = A^-1.B

x₁ x₂ x₃

= 1 - 140

0 -14 -28 -10 -16 28

-10 26 -28

20 -2 11

x₁ x₂ x₃

=

2 -1 4 1

- 140 x₁

x₂ x₃

0.20+ (-14)(-2)+(-28).11 -10.20+(-16)(-2)+ 28.11 -10.20+26.(-2)+(-28)11

=