Teori Probabilitas
A. Diponegoro
2021
Daftar Isi
1. Terminologi 1
2. Independent & Mutually Exclusive Events 4
3. Aturan Perkalian dan Penjumlahan 5
4. Tabel Kontingensi & Diagram Pohon 6
5. Diagram Venn 7
A. Appendix 7
1. Terminologi
Istilah dalam Teori Probabilitas
Probabilitas adalah ukuran seberapa pasti yang dapat kita tahu tentang suatu hasil (outcome) dari sebuah percobaan (experiment)
Eksperimen adalah aktivitas terencana yang dikerjakan dengan keadaan yang terkontrol.
Contoh: melempar koin beberapa kali adalah sebuah eksperimen.
Eksperimen yang hasilnya tidak ditentukan sebelumnya adalah eksperimen pelu-ang.
Outcome adalah hasil dari sebuah eksperimen.
Ruang sampel (S) adalah himpunan semua outcome yang mungkin dari sebuah eksperimen
Contoh : Ruang sampel dari eksperimen melempar koin dua kali, S = {HH, HT, T T, T H} dimana H: gambar dan T : angka.
Event dan Rentang Nilai Probabilitas
Event atau kejadian adalah himpunan dari beberapa outcome. Huruf kapital semisal A atau B adalah notasi dari event.
Contoh: Pada eksperimen melemparkan koin dua kali, misal event A adalah muncul satu gambar. Maka A = {HT, T H}
Probabilitas sebuah event A diberi notasi P (A).
Probabilitas dari suatu outcome adalah frekuensi relatif dari eksperimen yang dilakukan berulang-ulang.
Rentang nilai probabilitas sebuah event adalah antara 0 dan 1 inklusif . Arti inklusif maskudnya bilangan 0, 1 dan semua bilangan real diantara keduanya termasuk dalam rentang nilai probabilitas.
Beberapa Arti dari Sebuah Probabilitas
P (A) = 0 dibaca probabilitas event A adalah nol. Artinya event A mustahil terjadi. P (A) = 1 artinya evet A selalu terjadi, atau pasti terjadi.
P (A) = 0.5 artinya probabilitas event A terjadi sama dengan probabilitasnya tidak terjadi.
Contoh: Pada eksperimen melempar koin yang imbang, secara teoretis probabilitas muncul gambar P (H) = 0.5 dan
probabilitas muncul angka P (T ) = 0.5 Probabilitas Teoretis Eksperimen Melempar Dadu
Pada eksperimen melempar dadu imbang dengan muka 1, . . . , 6, kita punya ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Secara teoretis probabilitas muncul masing-masing muka adalah adalah sama, atau diberi istilah equally likely.
Menghitung probabilitas sebuah event A dari eksperimen yang outcome-nya equally likely adalah dengan membagi cacah elemen dari event yang dimaksud dengan cacah ruang sampelnya.
P (A) = n (A) n (S)
Contoh: A adalah event muncul angka 1, atau A = {1}. Probabilitas event A adalah P (A) = n(A)
n(S) = 1 6.
Contoh: E adalah event muncul muka dengan bilangan lebih dari 4, atau E = {4, 5}. Probabilitas dari event E adalah P (E) = n(E)n(S) = 26
Contoh: G adalah event muncul muka dengan bilangan ganjil, atau G = {1, 3, 5}. Probabilitas event G adalah P (G) = n(G)n(S) = 36 = 0.5
Law of Large Number
Andikan anda melempar sebuah dadu yang imbang sebanyak 6×.
Secara teori masing-masing muka akan mempunyai probabilitas muncul 1
6, dengan kata lain setiap muka akan muncul 1×. Tetapi kenyataan empiriknya sering tidak demikian.
Tetapi jika dadu dilempar berulang dalam jumlah besar (large number), maka probabilitas munculnya setiap muka dadu akan mendekati 1
6.
Semakin besar besar pengulangan eksperimennya maka probabilitas empiriknya makin mendekati probabilitas teoretis. Inilah yang dimaskud dengan kaidah law of large number.
Gabungan Event
Gabungan atau union dari event A dan B, diberi notasi A∪B, adalah sebuah event dengan outcome yang merupakan
bagian A atau bagian B, bagian A dan bagian B.
Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {4, 5, 6, 7} maka A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Perpotongan Event
Perpotongan atau intersection dari event A dan B, diberi notasi A∩B, merupakan sebuah event dengan outcome yang merupakan bagian A dan sekaligus bagian B. Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {4, 5, 6, 7} maka
A ∩ B = {4, 5} Komplemen Event
Komplemen dari sebuah event A, diberi notasi A0, adalah sebuah event dengan outcome yang BUKAN merupakan bagian A.
Contoh: Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan event A = {1, 2, 3, 4}, maka A0 = {5, 6}
Contoh: Probabilitas event A0 adalah P (A0) = 2 6 = 1 3 Contoh: P (A) = 4 6 = 2 3 Contoh: P (A) + P (A0) = 2 3 + 1 3 = 1 Kaidah
Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersyarat A diberikan B, dinotasikan dengan P (A|B), adalah prob-abilitas event A akan terjadi ketika event B telah terjadi.
Probabilitas A diberikan B dihitung dengan
P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) dimana P (B) > 0
Contoh: Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {4, 5, 6, 7}. Hitung P (A|B) dan P (B|A).
Jawab: Hitung dahulu P (A) = 5/7, P (B) = 4/7, dan P (A ∩ B) = n(A∩B)/n(S) = 2/7. Catat disini bahwa P (B ∩ A) = P (A ∩ B)
P (A|B) = P (A∩B) P (B) = 2/7 4/7 = 1 2 P (B|A) = P (B∩A) P (A) = 2/7 5/7 = 2 5
2. Event-event yang tidak Saling Bergantung dan Saling
Eksklusif
Independent Events
Dua event, A dan B, independen satu dengan yang lain jika dan hanya jika P (B|A) = P (B)
atau
P (A|B) = P (A)
Dua event dependen apabila dua syarat tersebut tidak terpenuhi.
Dengan kata lain, event A independen dangan event lainnya B apabila event B tidak mempengaruhi terjadinya event A. Hal yang sebaliknya juga berlaku yaitu event A tidak mempengaruhi terjadinya event B.
Sampling dengan dan tanpa Penggantian
Sampling dengan penggantian adalah jika sampel yang sudah diambil dikem-balikan lagi kedalam kumpulan populasi.
Probabilitas event yang terjadi setiap pengambilan sampel bersifat indepen-den.
Sampling tanpa penggantian adalah apabila sampel yang sudah diambil tidak dikembalikan lagi kedalam kumpulan populasi.
Probabilitas event yang terjadi setiap pengambilan sampel bersifat dependen. Contoh lebih lanjut ada di Contoh 3.4 dan 3.5 [Holmes2018]
Event-Event yang Saling Eksklusif
A dan B adalah saling eksklusif apabila bagian dari kedua event tersebut tidak mungkin terjadi bersamaan. Dengan kata lain Jika A terjadi maka B tidak mungkin terjadi, ataupun sebaliknya. Secara rumusan
P (A ∩ B) = 0
Dengan kata lain, probabilitas kejadian A irisan B adalah nol. Contoh: Diketahui
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} dan C. = {7, 9}. Maka event A dan C saling eksklusif, sehingga P (A ∩ C) = 0 Contoh lebih lanjut dapat dilihat di Contoh 3.6 dan 3.7 [Holmes2018]
3. Aturan Perkalian dan Penjumlahan
Aturan Perkalian
Apabila A dan B adalah dua event yang berada dalam satu ruang sampel S maka P (A ∩ B) = P (B) P (A|B)
Apabila A dan B adalah dua event yang independen, maka P (A ∩ B) = P (A) P (B)
Aturan Penjumlahan
Apabila A dan B adalah dua event yang berada dalam satu ruang sampel S maka P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Apabila A dan B adalah dua event yang saling ekslusif maka P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Contoh lihat Contoh 3.14, 3.15 dan 3.16 [Holmes2018]
4. Tabel Kontingensi & Diagram Pohon
Tabel Kontingensi
Adalah tabel menyediakan cara menggambarkan data yang dapat memfasilitasi perhitungan probabilitas.
Membantu dalam menentukan probabilitas bersyarat dengan cukup mudah. Menampilkan nilai sampel dalam kaitannya dengan dua variabel berbeda yang
mungkin bergantung satu sama lain.
Contoh lanjut bisa dilihat di Contoh 3.20 dan 3.22 [Holmes2018]r Diagram Pohon
Diagram pohon adalah cara gra s untuk membantu perhitungan ruang sampel hasil dari sebuah eksperimen.
Contoh: Tiga buah sampel diambil secara random dari hasil sebuah proses manu-faktur. Setiap barang dikategorikan sebagai cacat (D) dan tidak cacat (N).
Maka: S = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN} Contoh lanjut dapat dilihat di Contoh 3.24 dan 3.25 [Holmes2018]
5. Diagram Venn
Diagram Venn
Adalah gambar yang memberi ilustrasi gra s outcome dari sebuah eksperimen. Terdiri dari kotak yang menggambarkan ruang sampel S. Didalam kotak terdapat lingkaran ataupun polygon yang menggambarkan event-event.
A. Appendix
Pustaka
[Holmes2018] Holmes, A., Illowsky, B. and Dean, S. (2018). Introductory Business Statis-tics. Texas: OpenStax. https://openstax.org/details/books/introductory-business-statistics
