MAKALAH KALKULUS PENGGUNAAN TURUNAN

(1)

MAKALAH KALKULUS

“PENGGUNAAN TURUNAN”

Nama Kelompok

Nama Kelompok :

: 1.Rudi P

1.Rudi Purniawan(09021181320054)

urniawan(09021181320054)

2.Danang Paminto L(09121002051)

3. 3. Juita Asri Lestari(09021181320025)

Juita Asri Lestari(09021181320025)

TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

(2)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan atas kehadirat allah SWT yang Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan atas kehadirat allah SWT yang telahmemberikan kesempatan, kesehatan dan karunianya kepada kami yang tak telahmemberikan kesempatan, kesehatan dan karunianya kepada kami yang tak terhingga

terhingga jumlahnya sehingga kami jumlahnya sehingga kami dapat menyelesaikan karya dapat menyelesaikan karya tulis ini tulis ini tepattepat pa

pa dda a wwakak ttuunnyaya ..Makalah Makalah Matematika Matematika Dasar Dasar ini ini ynag ynag membahas membahas tentang tentang Aplkasi Aplkasi TurunanTurunan dalam Matematika, cabang ilmu lain maupun dalam kehidupan sehari-hari

dalam Matematika, cabang ilmu lain maupun dalam kehidupan sehari-hari..

Dalam pembuatan makalah ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai pihak, maka Dalam pembuatan makalah ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan

pada kesempatan ini penulis ini penulis mengucapkan terima mengucapkan terima kasih yang kasih yang sebesar-besarnya sebesar-besarnya kepada : kepada : Drs.Drs.

Asep deni azis Kepala SMK Ma’arif Cicalengka, yang telah memberikan kesempatan dan

memberi fasilitas sehingga makalah ini dapat selesai dengan lancar. memberi fasilitas sehingga makalah ini dapat selesai dengan lancar.

Akhir kata semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan Akhir kata semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penulis pada

penulis pada khususnya, penulis menkhususnya, penulis menyadari bahwa dalam yadari bahwa dalam pembuatan makalah pembuatan makalah ini masih ini masih jauhjauh dari sempurna untuk itu penulis menerima saran dan kritik yang bersifat membangun demi dari sempurna untuk itu penulis menerima saran dan kritik yang bersifat membangun demi perbaikan kearah kesempurnaan. Akhir kata penu

(3)

(4)

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Dari pembahsan diatas dapat dijelaskan atau disimpulkan penggunaan turunan sebagai

berikut :

1.

1. Maksimum dan MinimumMaksimum dan Minimum 2.

2. Kemonotonan dan KecekunganKemonotonan dan Kecekungan 3.

3. Maksimum dan Minimum Maksimum dan Minimum LokalLokal 4.

4. Masalah Maksimum dan MinimumMasalah Maksimum dan Minimum 5.

5. Menggambar Grafik FungsiMenggambar Grafik Fungsi 6.

(5)

(6)

BAB I BAB I

PENDAHULUAN PENDAHULUAN

1.1.

1.1. Latar BelakangLatar Belakang

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan

perkembangan beberapa beberapa cabang cabang ilmu ilmu pengetahuan pengetahuan lain. lain. Dewasa Dewasa ini ini kalkulus kalkulus digunakandigunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.

pengetahuan dan teknologi. 1.2.

1.2. Rumusan MasalahRumusan Masalah

Apa saja apliksi turunan yang ada dalam ilu matematika, cabang imu lain

Apa saja apliksi turunan yang ada dalam ilu matematika, cabang imu lain atau dalamatau dalam kehidupan sehari-hari?

kehidupan sehari-hari? 1.3.

1.3. TujuanTujuan

Dapat menjelaskan beberapa Aplikasi turunan. Dapat menjelaskan beberapa Aplikasi turunan.

(7)

BAB II BAB II PEMBAHASAN PEMBAHASAN

1.Maksimum dan Minimum

Misalkan kita mengetahui fungsi

Misalkan kita mengetahui fungsi f f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukan

maka kita akan menentukan f f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa

bahwa nilai-nilai nilai-nilai tersebut tersebut ada ada dan dan ingin ingin mengetahui mengetahui lebih lebih lanjut lanjut dimana dimana dalam dalam S S nilai-nilainilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.

itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum. Definisi :

Definisi :

Andaikan S, daerah asal

Andaikan S, daerah asal f f , memuat titik C, kita katakana bahwa:, memuat titik C, kita katakana bahwa: f

f (c) adalah nilai maksimum(c) adalah nilai maksimum f f pada S jika pada S jika f f

(c)≥

f f (x) untuk semua x di S(x) untuk semua x di S f

f (c) adalah nilai minimum(c) adalah nilai minimum f f pada S jika pada S jika f f

(c)≤

f (x) untuk semua x di S f (x) untuk semua x di S f

f (c) adalah nilai ekstrim(c) adalah nilai ekstrim f f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum

Misalkan f : D → R dan c є D. Nilai

Misalkan f : D → R dan c є D. Nilai f(c) disebut nilai maksimum apabila f(c) ≥

f(c) disebut nilai maksimum apabila f(c) ≥

f(x) untukf(x) untuk

setiap x є D.

Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) ≤ f(x)

untuk setiap x є D. Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrim.

Contoh

Contoh 1. Misalkan

1. Misalkan f(x) = x2,

f(x) = x2, x є [

x є [

-1,2]. Nilai maksimumnya adalah 4 [= -1,2]. Nilai maksimumnya adalah 4 [= f(2)], sedangkanf(2)], sedangkan nilai minimumnya adalah 0

nilai minimumnya adalah 0 [= f(0)]. Perhatikan grafiknya. [= f(0)]. Perhatikan grafiknya.

(8)

Teorema Eksistensi dan Nilai Ekstrim

Jika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapai nilaimaksimum dan minimum pada Jika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapai nilaimaksimum dan minimum pada [a,b].Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup bagi eksistensi [a,b].Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup bagi eksistensi nilai ekstrim.Fungsi pada Contoh 1, misalnya, merupakan fungsi yang kontinu pada [-1,2] nilai ekstrim.Fungsi pada Contoh 1, misalnya, merupakan fungsi yang kontinu pada [-1,2] dan fungsi ini mempunyai nilai maksimum dan minimum pada [-1,2].

dan fungsi ini mempunyai nilai maksimum dan minimum pada [-1,2].

Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :

yang didefinisikan sebagai berikut : f(x) f(x) = = -1, -1, jika jika x x = = 0,0, = x, jika 0 < x < 1, = x, jika 0 < x < 1, = 2, jika x = 1, = 2, jika x = 1,

mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilai minimum -1 [= f(0)]. mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilai minimum -1 [= f(0)]. Namun demikian, ketakkontinuan

Namun demikian, ketakkontinuan tidak menjamin eksistensi nilai ekstrim. Sebagai contoh,tidak menjamin eksistensi nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi

fungsi g(x)

g(x) = = ., ., jika jika x x = = 0 0 atau atau 1,1, = x, jika 0 < x < 1,

= x, jika 0 < x < 1,

tidak mempunyai nilai ekstrim,

tidak mempunyai nilai ekstrim, baik maksimum maupun minimum.baik maksimum maupun minimum. Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim (lokasi titk ekstrim) :

Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim (lokasi titk ekstrim) :

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang

suatu selang I I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas

tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari 1.3. beberapa dari selang ini selang ini memuat memuat titk-titik ujung; beberapa titk-titik ujung; beberapa tidak.tidak. Misalnya

Misalnya I I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri;= [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung.

pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. Jika c sebuah titik pada mana

Jika c sebuah titik pada mana f f

’(c) = 0 disebut c titik stasioner. Pada titik stasioner,

grafik

grafik f f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titikmendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner.

stasioner.

Jika c adalah titik dalam dari

Jika c adalah titik dalam dari I I dimana dimana f f

’ tidak ada, disebut c titik singular.

Grafik

Grafik f f mempunyai sudut tajam, mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal. Nilgaris singgung vertikal. Nilai-nilai ekstrim ai-nilai ekstrim dapat terjadidapat terjadi pada titik-titik singular. Walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.

pada titik-titik singular. Walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.

Contoh 2. Contoh 2.

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2]. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2]. Jawab:

Jawab:

Turunan f adalah f ’(x) =

-6x2 + 6x = 6x(1-6x2 + 6x = 6x(1

–

x). x).

Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis,yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujung selang dan dua demikian terdapat 4 titik kritis,yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujung selang dan dua titikstasioner).

titikstasioner).

Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut: Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut: f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) =

f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3.2, f(2) = -3.

Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mencapai nilaimaksimum 6 (di -1) dan Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mencapai nilaimaksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).

(9)

2.Kemonotonan dan Kecekungan

Fungsi f dikatakan naik pada I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x)

< f(y).Fung

si f dikatakan turun pada I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x)

> f(y).Fungsi f dikatakan monoton pada I apabila f naik atau turun pada I.

> f(y).Fungsi f dikatakan monoton pada I apabila f naik atau turun pada I. Catatan. I dapat berupa selang buka atau tutup.

Catatan. I dapat berupa selang buka atau tutup. Teorema 3.

Teorema 3.

Misalkan f kontinu dan mempunyai turunan pada Misalkan f kontinu dan mempunyai turunan pada I.I.

Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x є I,maka f naik pada I. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap xє I, maka f

turun pada I. turun pada I. Contoh 3. Contoh 3.

Diketahui f(x) = x3

–

12x. Kita hitung turunannya: 12x. Kita hitung turunannya:

f ’(x) = 3x2 –

12 = 3(x 12 = 3(x

–

2)(x + 2). 2)(x + 2).

Periksa tanda f ’(x) pada garis

bilangan real: bilangan real:

Menurut teorema di atas, f naik pada (

Menurut teorema di atas, f naik pada (--

∞,

--

2) dan juga pada (2,∞); dan turun pada (

-2,2).-2,2). Misalkan f mempunyai turunan pada I = (a,b).

Misalkan f mempunyai turunan pada I = (a,b).

Jika f ’ naik pada I,

maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I; maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I;

jika f ’ turun pada I,

maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I. maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I.

(10)

Teorema 4.

Misalkan f mempunyai turunan kedua pada I. Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka grafik

fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є

fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung

I, maka grafik fungsi f cekung

ke bawah pada I. ke bawah pada I. Contoh 4.

Contoh 4.

Diketahui f(x) = x3

–

– 12x. Maka, f ’(x) =3x2 –

12x. Maka, f ’(x) =3x2 – 12 dan f ’’(x) = 6x. Periksa tanda f ’’(x):

12 dan f ’’(x) = 6x. Periksa tanda f ’’(x):

Menurut Teorema di atas, grafik fungsi f cekung ke atas pada (0,∞) dan cekung ke bawah

pada (- pada (-

∞,0).

Grafik fungsi f(x) = x3

–

12x. 12x.

Titik (c,f(c)) disebut titik belok (di buku: titik balik) f apabila f cekung ke atas di kiri c dan Titik (c,f(c)) disebut titik belok (di buku: titik balik) f apabila f cekung ke atas di kiri c dan cekung ke bawah di kanan c,atau sebaliknya.

cekung ke bawah di kanan c,atau sebaliknya.

Pada contoh sebelumnya, (0,0) merupakan satu-satunya titik belok f(x) = x3

(11)

Turunan Pertama dan Kemonotonan Turunan Pertama dan Kemonotonan

Ingat kembali bahwa turunan pertama

Ingat kembali bahwa turunan pertama f’ f’ (x) memberi kita kemiringan dari garis(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung

singgung f f dititik x, kemudian jikadititik x, kemudian jika f’ f’ (x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’ f’ (x) <(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan.

0, garis singgung jatuh ke kanan. Turunan Kedua dan

Turunan Kedua dan KecekunganKecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyangyang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana

(Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kitagaris singgung berliku saat kita

bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung

jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam,berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah.

grafik cekung ke bawah. Titik Balik

Titik Balik Andaikan

Andaikan f f kontinu di c, kita sebut (c, kontinu di c, kita sebut (c, f f (c)) suatu titik balik dari grafik(c)) suatu titik balik dari grafik f f jika jika f f cekung cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.

menunjukkan sejumlah kemungkinan. Gambar

Gambar soal : soal :

Jika f(x) = x

Jika f(x) = x33 + 6x + 6x22+ 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?+ 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun? Penyelesaian: Penyelesaian: Mencari turunan f Mencari turunan f

f’(x) = 3x

22 + 12x + 9 + 12x + 9 = 3 (x = 3 (x22 + 4x + 3) + 4x + 3) = 3 (x+3)(X+1) = 3 (x+3)(X+1)

Kita perlu menentukan (

Kita perlu menentukan ( x x +3) ( +3) ( x x +1) > 0 dan ( +1) > 0 dan ( x x +3) ( +3) ( x x + 1) < 0 terdapat ti + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -tik pemisah 3 dan -1, membagi sumbu

1, membagi sumbu x x atas tiga selang ( - atas tiga selang ( -

∞,

-3), (-3, -1) dan (--3), (-3, -1) dan (-

1, ∞). Dengan memakai titik uji

--4, -2, 0 didapat

4, -2, 0 didapat f f `(`( x x) > 0 pada pertama dan akhir sel) > 0 pada pertama dan akhir selang danang dan f f `(`( x x) < 0 pada selang tengah.) < 0 pada selang tengah. Jadi, f naik pada

(-Jadi, f naik pada (-

∞,

-3] dan [--3] dan [-

1, ∞) dan turun pada [

-3, -1]-3, -1] Grafik Grafik f f (-3) = 3(-3) = 3 f f (-1) = -1(-1) = -1 f f (0) = 3(0) = 3

(12)

3.Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi : Definisi :

Andaikan S, daerah asal

Andaikan S, daerah asal f f , memuat titik c. kita katakan bahwa :, memuat titik c. kita katakan bahwa :

i.

i. f( f( c) nilai maksimum lokalc) nilai maksimum lokal f f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c jika terdapat selang (a,b) yang memuat c

sedemikian sehingga

sedemikian sehingga f f (c) adalah nilai maksimum(c) adalah nilai maksimum f f

pada (a,b) ∩ S

ii.

ii. f f (c) nilai minimum lokal(c) nilai minimum lokal f f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c jika terdapat selang (a,b) yang memuat c

sedemikian sehingga

sedemikian sehingga f f (c) adalah nilai minimum(c) adalah nilai minimum f f

pada (a,b) ∩ S

iii.

iii. f f (c) nilai ekstrim lokal(c) nilai ekstrim lokal f f jika jika ia ia berupa berupa nilai nilai maksimum maksimum lokal lokal atauatau

minimum lokal minimum lokal

Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.

ekstrim lokal.

Nilai f(c) disebut nilai maksimum [minimum] lokal f apabila f(c) ≥

Nilai f(c) disebut nilai maksimum [minimum] lokal f apabila f(c) ≥ f(x) [f(c) ≤ f(x)] di

f(x) [f(c) ≤ f(x)] di sekitar

sekitar

c.Nilai maksimum/minimum lokal disebut nilai ekstrim lokal. c.Nilai maksimum/minimum lokal disebut nilai ekstrim lokal. Uji Turunan Pertama.

Uji Turunan Pertama.

Jika f ’(x) > 0 di sekitar kiri c dan f’(x) <0 di sekitar kanan c, maka f(c) merupakan nilai

maksimum lokal. Jika f ’(x) < 0 di sekitar kiri c dan f’(x) >0 di sekitar kanan c, maka f(c)

merupakan nilai minimum lokal. merupakan nilai minimum lokal.

Contoh 5. Contoh 5.

Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal f(x) = x3

–

12x. 12x. Jawab:

Jawab:

f ’(x) = 3x2 –

(13)

Menurut Uji Turunan Pertama, f(-2) merupakan nilai maksimum lokal dan f(2) merupakan Menurut Uji Turunan Pertama, f(-2) merupakan nilai maksimum lokal dan f(2) merupakan nilai

nilai

minimum lokal, sesuai dengan yang kita lihat pada grafiknya. minimum lokal, sesuai dengan yang kita lihat pada grafiknya.

Uji Turunan Kedua.

Misalkan f ’(c) = 0 dan f mempunyai turunan kedua pada suatu selang yang memuat c. Jika f

’’(c) < 0, maka f (c)

’’(c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f ’’(c) > 0, maka f(c)

merupakan nilai maksimum lokal. Jika f ’’(c) > 0, maka f(c) merupakan

merupakan

nilai minimum lokal. nilai minimum lokal. Contoh 6.

Contoh 6.

Untuk f(x) = x3

–

– 12x, f ’(x) = 3x2 –

12x, f ’(x) = 3x2 –

12 = 0 di x = -2 dan di x = 2. 12 = 0 di x = -2 dan di x = 2.

Dengan Uji Turuan Kedua, kita hitung f ’’(x) = 6x < 0 di x =

-2;jadi f(-2) merupakan nilai-2;jadi f(-2) merupakan nilai

maksimum lokal. Sementara itu f ’’(x)

> 0 di x = 2, dan karenanya f(2) merupakan nilai minimum lokal. > 0 di x = 2, dan karenanya f(2) merupakan nilai minimum lokal. Catatan. Hasil di atas sesuai dengan hasil sebelumnya.

Catatan. Hasil di atas sesuai dengan hasil sebelumnya.

4.Masalah Maksimum dan Minimum

Contoh 7. Contoh 7.

Tentukan titik pada lingkaran x2 + y2 = 1 yang terdekat ke titik P(1,2). Tentukan titik pada lingkaran x2 + y2 = 1 yang terdekat ke titik P(1,2). Jawab:

Jawab:

Misalkan s menyatakan jarak titik (x,y) pada li

Misalkan s menyatakan jarak titik (x,y) pada lingkaran x2 + y2 = 1 ke titik P(1,2), yakningkaran x2 + y2 = 1 ke titik P(1,2), yakni

Karena meminimumkan s sama dengan meminimumkan s2, kita tinjau D = s2, Karena meminimumkan s sama dengan meminimumkan s2, kita tinjau D = s2,

Turunkan terhadap x, kita peroleh Turunkan terhadap x, kita peroleh

Perhatikan bahwa dD/dx = 0 apabila Perhatikan bahwa dD/dx = 0 apabila

yaitu apabila x = 1/√5.

Dengan memeriksa tanda dD/dx di

Dengan memeriksa tanda dD/dx di sekitar 1/√5,kita simpulkan bahwa

sekitar 1/√5,kita simpulkan bahwa

D mencapai minimumD mencapai minimum

di x =1/√5.Jadi titik terdekat ke P(1,2) adalah (1/√5,2/√5).

(14)

5.Menggamb

5.Menggambar

ar Grafik Fungsi

Grafik Fungsi

Kita telah melihat bagaimana informasi tentang kemonotonan dan kecekungan dapat dipakai Kita telah melihat bagaimana informasi tentang kemonotonan dan kecekungan dapat dipakai untuk menggambar grafik fungsi f(x) = x3

untuk menggambar grafik fungsi f(x) = x3

–

12x. 12x. Berikut adalah sebuah contoh lainnya.

Berikut adalah sebuah contoh lainnya.

Gambarlah grafik fungsi f(x) = √x.(x –

5)2, dengan memperhatikan: 5)2, dengan memperhatikan: * daerah asal dan daerah hasilnya,

* daerah asal dan daerah hasilnya,

* titik-titik potong dengan sumbu koordinat, * titik-titik potong dengan sumbu koordinat, * kemonotonan dan titik-titik ekstrim lokalnya, * kemonotonan dan titik-titik ekstrim lokalnya, * kecekungan dan titik-titik beloknya (bila ada). * kecekungan dan titik-titik beloknya (bila ada).

Daerah asal f adalah [0,∞) dan daerah hasilnya juga [0,∞), sehingga grafiknya akan terletak di

kuadran pertama. Titik potong dengan sumbu x adalah 0 dan 5, sedangkan titik potong kuadran pertama. Titik potong dengan sumbu x adalah 0 dan 5, sedangkan titik potong dengan sumbu y adalah 0. Untuk x > 0, turunan pertama f adalah

dengan sumbu y adalah 0. Untuk x > 0, turunan pertama f adalah

Jadi,

titik-Jadi, titik-

titik stasionernya adalah 1 dan 5,dan tanda f ’(x) adalah

Jadi f naik pada [0,1), turun pada [1,5], dan naik pada (5,∞). Menurut Uji Turunan Pertama,

f(1) =16 merupakan nilai maksimum lokal dan f(5) = 0 merupakan nilai minimum lokal f(1) =16 merupakan nilai maksimum lokal dan f(5) = 0 merupakan nilai minimum lokal (sekaligus global).Sekarang kita hitung turunan keduanya:

(sekaligus global).Sekarang kita hitung turunan keduanya:

Menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, kita dapatkan f ’’(x)

Menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, kita dapatkan f ’’(x) = 0 ketika x =

= 0 ketika x = 1 + 2√6/3 ≈

1 + 2√6/3 ≈

2,6. 2,6.

Di kiri 2,6, f ’’(x) < 0, shg grafiknya cekung ke bawah;sedangkan di kanan 2,6, f ’’(x) > 0,

sehingga grafiknyacekung ke atas. (2,6;f(2,6)) merupakan titik

sehingga grafiknyacekung ke atas. (2,6;f(2,6)) merupakan titik belok.belok.

Dengan semua informasi ini, kita dapat menggambar grafik fungsi f(x) = √x.(x –

5)2 sebagai 5)2 sebagai berikut:

(15)

6.Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus

–

tidak begitu penting, tetapi sering tidak begitu penting, tetapi sering kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri, kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titi

grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titi k antara Ak antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang singgung di titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa.

demikian, dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa. GAMBAR 1 dan 2

GAMBAR 1 dan 2 Teorema A

Teorema A

(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan)

(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika. Jika f f kontinu pada selang tertutup [a,b] dankontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

dalam (a,b) dimana f

f (b)(b)

–

f f (a) / b(a) / b

–

a = a = f’ f’ (c)(c) atau secara setara, dimana atau secara setara, dimana f

f (b)(b)

–

f f (a) =(a) = f’ f’ (c) (b-a)(c) (b-a) Teorema B

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua –

x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikianx dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C

sehingga F(x) = G(x) + C Untuk semua x dalam (a,b) Untuk semua x dalam (a,b)

Pak Dono mengatakan bahwa ia telah menempuh 112 km dalam 2 jam tanpa pernah Pak Dono mengatakan bahwa ia telah menempuh 112 km dalam 2 jam tanpa pernah melampaui 55 km/jam.Tentu saja ia berbohong. Tetapi bagaimana kita dapat

melampaui 55 km/jam.Tentu saja ia berbohong. Tetapi bagaimana kita dapat membuktikannya?

membuktikannya?

Teorema Nilai Rata-rata. Jika f kontinu pada [a,b] Teorema Nilai Rata-rata. Jika f kontinu pada [a,b]

dan mempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu c є (a,b) sedemikian sehingga

Catatan. [f(b)

–

f(a)]/(b f(a)]/(b

–

a) adalah nilai rata-rata f . a) adalah nilai rata-rata f . Contoh Soal :

Contoh Soal :

Diketahui f(x) = x2, x є [0,1]. H

itung nilai rata-rata fitung nilai rata-rata f

dan tentukan c є (

0,1) sedemikian0,1) sedemikian

sehingga f ’(c)

sama dengan nilai rata-rata f.sama dengan nilai rata-rata f. Jawab:

Jawab:

Nilai rata-rata f pada [0,1] adalah[f(1)

–

f(0)]/(1 f(0)]/(1

–

0) = 1. 0) = 1.

Sementara itu f ’(

x) = 2x = 1 jika dan hanya jikax = 1/2x) = 2x = 1 jika dan hanya jikax = 1/2 Jadi c = . adalah bilangan yang kita cari.