MODEL MATEMATIKA
LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Dewi Chandra Florentina NIM: 131414028
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
i
MODEL MATEMATIKA
LIGHTHILL-WHITHAM-RICHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Dewi Chandra Florentina NIM: 131414028
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan untuk:
Allah Bapa, Putra, dan Roh Kudus yang selalu membimbing dan menuntun langkahku, baik dalam suka maupun duka
Papi Soejanto, Mami Flora, dan adikku Denny Chandra Limandaru yang sudah setia membimbing dan peduli padaku selama ini
Semua kerabat dan teman yang tak dapat penulis sebutkan satu persatu Teman-teman seperjuanganku dari Pendidikan Matematika 2013
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 22 Agustus 2017 Penulis,
vi ABSTRAK
Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau masalah pada dunia nyata dalam pernyataan matematis. Pemodelan lalu lintas ini menggunakan model Lighthill-Whitham-Richard atau yang biasa disebut model LWR, dengan jangkauan penelitian makroskopis dengan menggunakan tiga variabel, yaitu arus/ aliran kendaraan, kepadatan, dan medan kecepatan. Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka dengan penerapan berupa studi kasus.
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model Lighthill-Richard-Whitham (LWR) secara umum apakah bisa diterapkan di pertigaan Janti dengan beberapa asumsi, serta membuat visualisasi data berdasarkan analisis yang telah dilakukan terhadap data yang diambil dengan menggunakan pola First Come First Serve dan memperhatikan sisa antrian pada siklus sebelumnya. Selanjutnya dibuat model simulasi menggunakaan data riil yang diperoleh langsung dari lapangan. Visualisasi dilakukan menggunakan program Matlab untuk mensimulasikan data tersebut dalam bentuk grafik dan fuzzy interference system (FIS) pada masing-masing ruas jalan.
Berdasarkan pengambilan data yang dilakukan sebanyak dua kali yaitu pada jam lengang yaitu pukul 08.45-09.45 dan pada jam sibuk yaitu pukul 16.30-17.30, kemacetan akan terjadi pada pukul 09.10 saat jam lengang dan pukul 16.43 saat jam sibuk. Dengan menggunakan model LWR, simulasi dari pertigaan Janti dapat dilakukan dan diketahui grafiknya menggunakan program FIS pada Matlab. Kata Kunci: Lalu Lintas, Matlab, Model LWR, Pertigaan Janti, Simulasi.
vii
ABSTRACT
Mathematics modelling is a part of mathematics which tries to represent and explain physical systems or real world problems by using mathematics statements. This traffic modelling is using Lighthill-Whitham-Richards model which usually called as LWR model with macroscopic scope of research and three variables such as vehicle flow, density, and group velocity. This research is using literature review method with a study case as the application.
The purpose of this research is to analyze LWR model in general whether it can be applied in Janti t-junction with several assumptions and also by making data visualization based on the analysis of data gathered using First Come First Served method and also paying attention to the rest of the queue from the previous cycle, then the simulation model is made by using the real data gathered from the field. The visualization is conducted using Matlab program to simulate the data in the form of graph and fuzzy interference systems (FIS) for each roads.
Based on the data collection that was conducted twice in the leisure time at 08.45-09.45 and busy time at 4.30-5.30 p.m., traffic jam will happen at 09.10 a.m. in the leisure time and at 04.43 p.m. in the busy time. Simulation for Janti t-junction can be conducted by LWR model, and use FIS program in Matlab for the graphic.
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertandatangan di bawah ini, penulis mahasiswa Universitas Sanata Dharma dengan:
Nama : Dewi Chandra Florentina NIM : 131414028
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, penulis memberikan karya ilmiah penulis kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dengan judul:
MODEL MATEMATIKA
LIGHTHILL-WHITHAM-RICHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI beserta perangkat yang diperlukan, bila ada. Dengan demikian, penulis memberikan hak untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari penulis maupun memberikan royalti kepada penulis selama tetap mencantumkan nama penulis sebagai penulis kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma. Demikian pernyataan ini penulis buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 22 Agustus 2017 Yang menyatakan,
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Model Matematika Lighthill-Whitham-Richards (LWR) pada Pertigaan Janti”.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penyusun skripsi ini tidak lepas dari adanya bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Rohandi, Ph. D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.
2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S. Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Bapak Dr. Hongki Julie, M. Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika.
4. Bapak Beni Utomo, M. Sc., selaku dosen pembimbing yang telah membimbing dengan penuh kesabaran, meluangkan waktu, dan pikiran selama proses penyusunan skripsi ini.
5. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M. Pd., selaku dosen pembimbing akademik yang telah mendampingi dari awal perkuliahan sampai penyusunan skripsi ini.
6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah berbagi pengalaman dan memberikan ilmu yang berguna bagi penulis. 7. Kedua orang tua penulis yaitu Soejanto dan Flora, yang senantiasa
membimbing dan mendukung penulis dalam berbagai hal, khususnya dalam pembuatan skripsi ini.
8. Adik penulis, Denny Chandra Limandaru, yang sudah membuat warna dalam waktu penyelesaian skripsi ini.
x
9. Teman-teman terdekat penulis semasa kuliah yaitu Anbud, Thevany, Ester, Dela, dan Kress yang telah menjalani masa-masa senang dan susah bersama sejak awal perkuliahan.
10. Teman-teman terdekatku dari masa SMA yaitu Mira, Cindy, Hans, dan Michael yang walaupun berbeda kota tetap saling berbagi dan menguatkan.
11. Teman-teman satu gereja yang memberi penulis motivasi untuk terus maju walau dalam keadaan hampir menyerah.
12. Cahyo dan Totok yang selalu bersedia membantu bila penulis dalam kesulitan menuntaskan skripsi ini, serta teman satu kelompok bimbingan yang lain.
13. Teman-teman mahasiswa Pendidikan Matematika angkatan 2013 yang telah bersama-sama memulai perjuangan di program studi ini, berbagi pengalaman, ilmu, pengetahuan, dan memberikan semangat sampai penyusunan skripsi ini.
14. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dan terlibat dalam proses penyusunan skripsi ini.
15. Universitas Sanata Dharma yang memberikan ruang dan kesempatan untuk menempuh ilmu.
Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan dunia pendidikan pada umumnya.
Yogyakarta, 22 Agustus 2017
xi DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
ABSTRAK ... vi
ABSTRACT ... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ... xivii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. LATAR BELAKANG MASALAH ... 1
B. RUMUSAN MASALAH ... 7
C. PEMBATASAN MASALAH ... 7
D. TUJUAN PENELITIAN ... 8
E. MANFAAT PENELITIAN ... 8
xii
BAB II LANDASAN TEORI ... 10
A. MODEL MATEMATIKA ... 10
B. PENDEKATAN PADA PEMODELAN MATEMATIKA ... 11
C. FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI ... 17
BAB III PEMBAHASAN ... 30
A. DAFTAR VARIABEL YANG DIGUNAKAN ... 30
B. STUDI EMPIRIS TENTANG KARAKTER ARUS LALU LINTAS ... 31
C. SIKLUS KENDARAAN ... 44
BAB IV SIMULASI MODEL MATEMATIKA ... 49
A. JENIS-JENIS TRANSPORTASI ... 49
B. SISTEM PENGONTROLAN ARUS LALU LINTAS ... 50
C. HAL-HAL YANG MEMPENGARUHI KAPASITAS SIMPANG BERSINYAL ... 51
D. PENGOLAHAN DATA PADA MATLAB ... 53
E. VISUALISASI DATA ... 71 BAB V PENUTUP ... 83 A. KESIMPULAN ... 83 B. SARAN ... 84 DAFTAR PUSTAKA ... 85 LAMPIRAN ... 88
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Daftar Variabel yang Digunakan ... 31
Tabel 4.1 Jenis-Jenis Fasilitas Transportasi ... 50
Tabel 4.2 Rata-Rata Jumlah Kendaraan per Fase ... 71
Tabel 4.3 Rata-Rata Arus/ Aliran Kendaraan per Fase ... 71
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Peta Lokasi Pertigaan Janti beserta Area Sekitarnya ... 5
Gambar 2.1 Proses Pemodelan ... 11
Gambar 2.2 Hubungan antara Model Simulasi ... 13
Gambar 2.3 Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak Banten ... 14
Gambar 2.4 Posisi Mobil 1 dan Mobil 2 saat ... 17
Gambar 2.5 Daerah Integral dari Konservasi Kendaraan pada Jalan Raya ... 23
Gambar 2.6 Kepadatan Lalu Lintas (kecepatan kendaraan turun ketika kepadatan meningkat) ... 27
Gambar 2.7 Kecepatan Kendaraan Hanya Tergantung pada Kepadatan Lalu Lintas ... 28
Gambar 2.8a Kurva Kepadatan dan Aliran ... 28
Gambar 2.8b Fungsi Menurun Turunan Kepadatan dan Aliran ... 28
Gambar 2.9 Kurva Kemacetan Tinggi dan Rendah ... 29
Gambar 2.10 Kurva Kecepatan pada Kemacetan dan Kecepatan Kendaraan ... 29
Gambar 3.1 Fungsi Medan Kecepatan dan Arus terhadap Kepadatan, (a), (b) . 38 Gambar 3.2 Sebuah Jaringan Sederhana ... 39
Gambar 3.3 Proses Antrian dalam Satu Siklus menurut Mc Neil (1968) ... 46
Gambar 4.1 Peta Pertigaan Janti ... 53
Gambar 4.2 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan ke Arah Timur pada Pukul 08.45-09.45 ... 55
xv
Gambar 4.3 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Janti pada Pukul 08.45-09.45 ... 56 Gambar 4.4 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Barat pada Pukul
08.45-09.45 ... 57 Gambar 4.5 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan ke Arah Timur pada Pukul 16.30-17.30 ... 58 Gambar 4.6 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Janti pada Pukul 16.30-17.30 ... 59 Gambar 4.7 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Barat pada Pukul
16.30-17.30 ... 60 Gambar 4.8 Grafik Perbandingan Jumlah Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul
08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 61 Gambar 4.9 Grafik perbandingan Jumlah Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul
08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 62 Gambar 4.10 Grafik Perbandingan Jumlah Kendaraan dari Arah Barat pada
Pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 63 Gambar 4.11 Grafik Kepadatan Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul
08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 64 Gambar 4.12 Grafik Kepadatan Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul
08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 65 Gambar 4.13 Grafik Kepadatan Kendaraan dari Arah Barat pada Pukul
xvi
Gambar 4.14 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul
08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 67
Gambar 4.15 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 69
Gambar 4.16 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan dari Arah Barat pada Pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 70
Gambar 4.17 Hasil dari Keadaan Lalu Lintas pada Pagi Hari jika Tanpa Lampu Lalu Lintas ... 75
Gambar 4.18 Hasil dari Keadaan Lalu Lintas pada Sore Hari jika Tanpa Lampu Lalu Lintas ... 77
Gambar 4.19 Hasil Perhitungan Menggunakan Fuzzy Logic ... 79
Gambar 4.20 Contoh Kasus Mengenai Fuzzy Logic ... 80
xvii
DAFTAR LAMPIRAN
Lamp. 1 Peta daerah yang akan diteliti dari arah selatan/ Janti (100 m) ... 88 Lamp. 2 Peta daerah yang akan diteliti dari arah barat/ Jalan Solo (200 m) ... 89 Lamp. 3 Peta daerah yang akan diteliti ke arah timur/ Jalan Solo (300 m) ... 90 Lamp. 4 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada
jalan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 ... 91 Lamp. 5 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada
jalan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 ... 92 Lamp. 6 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada
jalan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 ... 93 Lamp. 7 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada
jalan ke arah timur pada pukul 16.30-17.30 ... 94 Lamp. 8 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada
jalan dari arah Janti pada pukul 16.30-17.30 ... 95 Lamp. 9 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada
jalan dari arah barat pada pukul 16.30-17.30 ... 96 Lamp. 10 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah
kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 97 Lamp. 11 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah
kendaraan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 98 Lamp. 12 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah
xviii
Lamp. 13 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 100 Lamp. 14 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan
dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 101 Lamp. 15 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan
dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 102 Lamp. 16 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan
ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 103 Lamp. 17 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan
dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 105 Lamp. 18 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan
dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ... 107 Lamp. 19 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perhitungan kapasitas
jalan pada pagi hari ... 108 Lamp. 20 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perhitungan kapasitas
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika adalah sebuah ilmu mengenai pola berpikir, pembuktian yang logis, dan pola mengorganisasikan sesuatu. Matematika juga merupakan suatu bahasa dengan menggunakan istilah yang dapat didefinisikan secara akurat, cermat, dan jelas representasinya dengan berbagai simbol. Matematika erat kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, baik yang menurut manusia sendiri itu merupakan hal biasa maupun hal yang rumit. Contoh sederhananya adalah manusia menggunakan perkiraan jam untuk mengatur kegiatannya serta kegiatannya dengan orang lain. Hal itu menunjukkan bahwa matematika merupakan suatu bahasa komunikasi untuk memperlancar kehidupan. Contoh yang kompleks yaitu ketika kita akan memprediksi sesuatu, misalnya harga bensin. Dibutuhkan data-data yang spesifik tentang harga bensin pada waktu-waktu sebelumnya, lalu dianalisis pola kenaikan atau penurunan harga bensin tersebut, tentunya melihat kondisi perekonomian yang ada, apakah sedang ada faktor yang mendukung atau tidak. Penyelesaian matematis pada permasalahan harga bensin tersebut bisa dipecahkan menggunakan rantai Markov.
Pemodelan Matematika merupakan salah satu tahap dari pemecahan masalah matematis yang menyederhanakan fenomena-fenomena nyata dalam bentuk matematika. Model matematika yang dihasilkan dapat berupa bentuk persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan, baik linear maupun non linear dan terdiri atas sekumpulan lambang yang disebut variabel atau besaran, yang kemudian di dalamnya menggunakan operasi matematika seperti penambahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian. Dengan prinsip-prinsip matematika tersebut dapat dilihat apakah model yang dihasilkan telah sesuai dengan rumusan masalah yang dihadapi. Hubungan antara komponen-komponen dalam suatu
suatu persamaan matematis yang memuat komponen-komponen itu sebagai variabel disebut model matematika. Lalu proses untuk memperoleh model dari suatu masalah dikatakan pemodelan matematika. Manfaat yang dapat diperoleh dari model matematika adalah dapat digunakan untuk memprediksi kejadian yang akan muncul dari suatu fenomena serta sebagai dasar perencanaan dan kontrol dalam pembuatan kebijakan. Langkah-langkah pembentukan model matematika yakni pertama merupakan identifikasi masalah, kedua membuat asumsi, ketiga membuat manipulasi matematis, keempat menginterpretasikan model, dan kelima adalah memvalidasi model matematika yang telah dibuat tersebut (Johnson dan Rising, 1972).
Salah satu hal yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah kendaraan. Apabila kita ingin pergi ke suatu tempat, pasti kita membutuhkan setidaknya sebuah sepeda, motor, atau mobil yang akan mengantar kita sampai ke tempat tujuan. Namun jika jaraknya cukup dekat, beberapa di antara kita akan memilih menggunakan kaki kita sendiri untuk berjalan. Dalam perjalanan tersebut, pastilah kita melewati sebuah jalan, baik jalanan sepi, ataupun jalanan ramai. Jika tinggal di daerah perkotaan, maka jalan raya yang dilalui pada umumnya ramai, namun jika melewati daerah pedesaan, maka jalanan yang dilalui biasanya sepi atau bahkan jarang dilalui oleh penduduk sekitar. Lantas kita berpikir apa yang menyebabkan adanya keramaian yang ada di jalanan sebuah perkotaan. Hal yang pertama terlintas adalah banyaknya kendaraan yang melintas di jalan tersebut, kemudian beralih pada apakah itu merupakan jalan utama atau jalan pendukung. Lalu kita melihat apakah kondisi kota tersebut merupakan kota yang padat penduduknya atau tidak.
Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta merupakan salah satu provinsi yang paling banyak dituju oleh orang-orang dari berbagai daerah, baik untuk menimba ilmu maupun untuk rekreasi. Memanfaatkan sektor jasa untuk memenuhi kebutuhan sektor rekreasi, banyak penduduk yang tinggal di sekitar Yogyakarta mencari nafkah di daerah wisata yang ada di Yogyakarta, hal ini mengakibatkan populasi penduduk di provinsi DIY bertambah pesat. Begitu juga dengan permintaan lahan untuk pemukiman atau tempat usaha. Di samping itu, faktor
yang tak kalah penting adalah permintaan akan kendaraan (terutama kendaraan bermotor) untuk memudahkan masyarakat menuju tempat lain sesuai yang diinginkan. Dengan berkurangnya lahan kosong, meningkatnya populasi kendaraan, serta akses atau jalan raya yang tidak berubah, maka perlu dipikirkan solusi untuk menanggulangi hal-hal yang tidak diinginkan, seperti kemacetan.
Berdasarkan data Badan Pusat Statistik (BPS), pada tahun 2012 jumlah kendaraan bermotor roda dua dan roda empat di provinsi DIY mencapai 1 juta unit dengan laju pertumbuhan kendaraan bermotor untuk roda dua mencapai 93.894 unit per tahun dan 11.809 unit per tahun untuk roda empat. Namun berdasarkan data penerimaan pajak di Dinas Pendapatan Pengelolaan Keuangan dan Aset (DPPKA) DIY, jumlah kendaraan bermotor pada tahun 2011 mencapai 1.210.258 unit dengan jumlah terbesar disumbang oleh Kabupaten Sleman dengan 473.131 unit, tahun 2012 mencapai 1.270.787 unit dengan jumlah terbesar disumbang oleh Kab. Sleman dengan 533.929 unit, tahun 2013 mencapai 1.396.967 unit dengan jumlah terbesar disumbang oleh Kab. Sleman dengan 533.929 unit. Tahun 2015, jumlah kendaraan roda empat yang berplat AB di Provinsi DIY sudah mencapai 270.000, dan juga jumlah kendaraan bermotor yang jumlahnya hingga 4-5 kali lipat dari jumlah mobil yang ada. Hingga akhir tahun 2016, jumlah kendaraan di provinsi DIY mencapai 340.000 dengan perincian ada 25,537 unit sepeda motor baru di Kabupaten Sleman, kemudian diikuti Kabupaten Bantul dan Kota Yogyakarta, masing masing 18,874 dan 12,284 unit. Untuk roda empat Sleman juga masih terbanyak, yakni berjumlah 6,018 unit, kemudian Kota Yogyakarta dengan 2,838 unit serta Bantul 2,730 unit.
Dari jumlah kendaraan bermotor yang tertera, serta lebar jalan yang tidak memadai di beberapa ruas jalan di DIY, maka tak pelak lagi beberapa tahun mendatang provinsi DIY akan menjadi provinsi dengan tingkat kemacetan tinggi di Indonesia. Menurut Undang-Undang no. 38 tahun 2004 mengenai lebar jalan untuk wilayah perkotaan, lebar jalan ideal untuk jalan arteri sekunder adalah lebih dari 8 meter. Jalan arteri sekunder adalah ruas jalan yang menghubungkan antara kawasan primer (jalan raya besar/ highway) dengan kawasan sekunder (jalan raya
penghubung antara jalan raya besar yang satu dengan lainnya). Jalan arteri sekunder bisa disebut juga jalan protokol. Panjang serta lebar jalan yang tanpa adanya perubahan berarti terkadang membuat pengemudi menerobos trotoar supaya mereka bisa sampai di tujuan dengan tepat waktu. Salah satu solusi dari permasalahan kemacetan adalah dengan pengaturan rambu lalu lintas, khususnya pengaturan waktu di traffic light atau lampu lalu lintas. Dalam hal ini, yang diperhitungkan hanya lama waktu lampu berwarna merah dan hijau, sedangkan lampu berwarna kuning tidak diperhitungkan.
Permasalahan yang dihadapi kali ini adalah permasalahan kepadatan lalu lintas yang sering terjadi pada perkotaan. Hal yang akan disoroti adalah banyaknya kendaraan yang melintas, kapasitas jalan tersebut dalam radius tertentu, serta kecepatan kendaraan pada jalan tersebut. Model yang akan digunakan pada penelitian ini adalah sebuah model yang dikembangkan oleh Lighthill dan Whitham. Beberapa tahun kemudian model tersebut disempurnakan oleh Richards sehingga membentuk sebuah model matematika yang representatif dengan bidang penelitian makroskopis yang hanya memperhatikan tiga variabel yaitu arus/ aliran lalu lintas, kepadatan, serta kecepatan kendaraan. Jika aliran lalu lintas tidak bisa bergerak, kepadatannya mencapai maksimum, dan kendaraan tidak bisa bergerak sama sekali atau berhenti total, maka hal itu menimbulkan kemacetan.
Penelitian dilakukan di pertigaan Janti yang notabene merupakan daerah rawan kemacetan baik di pagi hari maupun di sore hari. Dengan lebar jalan hanya 7,5 meter di Jalan Solo dan 6 meter di Jalan Janti, maka bisa dikatakan lebar jalan di area pertigaan Janti tidak memenuhi kriteria batas minimal lebar jalan menurut UU no. 38 Tahun 2004 tentang lebar jalan ideal untuk jalan arteri sekunder adalah lebih dari 8 meter.
Sumber: Google Maps
Gambar 1.1 Peta Lokasi Pertigaan Janti beserta area sekitarnya
Terlebih lagi banyaknya kendaraan yang berputar balik dari arah Seturan yang ingin memasuki wilayah Jalan Solo menuju ke UIN Sunan Kalijaga, kemudian putar balik dari arah bandara yang ingin memasuki area UAJY Babarsari. Lalu adanya antrian panjang dari arah selatan (Ring Road Timur) yang akan naik ke flyover Janti atau melewati jalan di bawah flyover. Kendaraan yang awalnya melaju kencang hingga 1000 m/s tiba-tiba harus mengurangi kecepatannya hingga 200 m/s saat ada antrian di depannya. Hal itu juga menyebabkan kendaraan lain yang berada di belakangnya melakukan hal yang sama dengan kendaraan di depannya tersebut dan kendaraan di belakang-belakangnya pun akan berhenti total. Hal-hal seperti itulah yang menyebabkan kepadatan di pertigaan Janti, yaitu karena penumpukan kendaraan di titik-titik tertentu, terutama pada ruas jalan sebelum pertigaan Janti. Pada waktu-waktu tertentu, antrian kendaraan di pertigaan Janti dari arah barat bisa mencapai 1000 meter, dari arah selatan bisa mencapai 300 meter, dan ke arah timur bisa mencapai 500 meter di area Babarsari. Banyak kendaraan yang tidak bisa bergerak maju ataupun mundur karena tidak ada ruas jalan yang cukup untuk melakukan itu,
bahkan para pengemudi harus rela menunggu hingga bermenit-menit untuk sekadar melewati pertigaan Janti. Peneliti pun mengalami hal serupa terlebih saat waktu-waktu tertentu, waktu yang dibutuhkan untuk melewati pertigaan Janti bisa lebih dari 15 menit. Pemilihan penelitian di pertigaan Janti karena topik yang akan diteliti di sini adalah ruas jalan besar/ highway dengan 2 input dan 1 output, selain itu penelitian ini digunakan untuk memodelkan arus lalu lintas/ traffic flow yang ada di pertigaan Janti yang nantinya bisa digunakan untuk mengurai kemacetan. Masalah lain yang juga perlu dikaji dalam penelitian ini adalah “apa relevansi hasil penelitian bagi para pengguna jalan?”
Proses pengerjaan dari penelitian ini adalah menggunakan pendekatan simulasi karena pendekatan secara analitik sulit untuk dilakukan, sehingga digunakan pendekatan secara numeris dan hasil yang didapat digunakan untuk proses simulasi. Selain itu data yang didapat untuk membuat model simulasi ini tidak harus banyak, karena data yang diperoleh walau hanya sedikit bisa mewakili situasi yang ada. Hasil yang didapat dari proses simulasi bisa dibaca, serta proses simulasi bisa dilakukan dengan berbagai kondisi kepadatan jalan raya yang memungkinkan tanpa mengeluarkan biaya yang besar. Selain itu, model simulasi dalam penelitian ini mencakup detail jumlah kendaraan, berapa kecepatan kendaraan, maupun bagaimana aliran kendaraannya, interval waktu penelitiannya juga bisa ditentukan sendiri, serta sistem eksisting tidak diperlukan. Sistem eksisting yang dimaksud di sini adalah tidak perlu diadakan uji coba pada kehidupan nyata jika memang tidak diperlukan.
Pendekatan simulasi pada penelitian ini merupakan sebagian kecil dari sistem transportasi yang rumit dan dinamis. Pemilihan pendekatan menggunakan model simulasi dilakukan karena permasalahan transportasi adalah permasalahan pada suatu sistem dinamis yang bisa berubah sewaktu-waktu tanpa bisa diprediksi. Faktor-faktor yang mendukung suatu sistem transportasi dalam dunia real sangat banyak sehingga dibutuhkan penyederhanaan terhadap faktor-faktor tersebut supaya bisa memaksimalkan sistem transportasi yang ada sekarang maupun ke depannya melalui simulasi komputer. Model simulasi juga dipilih karena adanya kebutuhan untuk mengetahui kelakuan sistem transportasi guna
menjelaskan bagaimana hasil yang diperoleh untuk memutuskan langkah apa yang harus dipilih. Simulasi juga diperlukan guna menentukan ketepatan waktu terpadat sehingga bisa dilakukan prediksi untuk pengontrolan lalu lintas sebelum waktu terpadat tersebut dan membuat prediksi kondisi lalu lintas yang mungkin terjadi di pertigaan Janti. Namun kebijakan lalu lintas yang akan diambil oleh para pengambil keputusan juga melihat dari berbagai segi, tidak hanya melihat dari segi analisis matematisnya saja, bisa dari segi ekonomis maupun geografis, sehingga hasil pemodelan lalu lintas pada penelitian ini merupakan alat bantu bagi para pengambil keputusan dalam menentukan kebijakan yang akan diambil, bukan sebagai penentu kebijakan. Pada penelitian ini, simulasi dilakukan menggunakan program Matlab serta fuzzy interference system (FIS).
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah:
1. Bagaimana hasil analisis model matematika khususnya model Lighthill-Richard-Whitham (LWR) dan diterapkan di pertigaan Janti?
2. Bagaimana visualisasi data berdasarkan analisis yang telah dilakukan berdasarkan data, khususnya pada pertigaan Janti?
3. Apa manfaat hasil penelitian bagi masyarakat Yogyakarta dan sekitarnya? C. Batasan Masalah
Tidak ada kendaraan yang salah arah atau berputar balik, tidak ada tilang atau pemberhentian mendadak dari polisi, lampu lalu lintas yang digunakan hanya lampu merah dan lampu hijau, cuaca dan kondisi jalan rusak juga tidak diperhitungkan, panjang dan lebar jalan yang diamati juga terbatas. Ruas jalan yang diteliti adalah pertigaan Jalan Janti, tepatnya pada ruas jalan sepanjang 200 m dari arah barat (Jalan Solo), 100 m dari arah Selatan (Jalan Janti), serta 300 m ke arah timur (Jalan Solo). Penelitian ini dilakukan dengan perhitungan jumlah kendaraan yang berada pada setiap jalan pada jam-jam tertentu di setiap lampu lalu lintas. Jam yang dimaksud adalah pada jam lengang yaitu pukul 08.45-09.45
dan jam sibuk yaitu pukul 16.30-17.30. Gang kecil yang berada di sekitar pertigaan Janti juga diabaikan.
D. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk:
1. Menentukan hasil analisis model matematika khususnya model Lighthill-Richard-Whitham (LWR) dan bisa diterapkan di pertigaan Janti.
2. Membuat visualisasi data berdasarkan analisis yang telah dilakukan berdasarkan data, khususnya pada pertigaan Janti.
3. Mengetahui relevansi antara hasil penelitian dengan masyarakat Yogyakarta dan sekitarnya.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang bisa diambil dari penelitian ini adalah menambah pustaka atau referensi keilmuan bidang penerapan pemodelan matematika dan sebagai dasar penelitian selanjutnya.
F. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab I akan membahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II LANDASAN TEORI
Bab II akan membahas mengenai teori-teori yang akan digunakan dalam membuat model matematika mengenai arus/aliran lalu lintas dengan kajian makroskopis, serta
hubungan yang terjadi antara medan kecepatan, kepadatan, dan arus/ aliran lalu lintas.
BAB III PEMBAHASAN
Bab III akan membahas mengenai beberapa model lalu lintas yang telah ada, khususnya model LWR.
BAB IV PENGOLAHAN DATA
Bab IV akan membahas mengenai simulasi model LWR yang diterapkan pada pertigaan Janti.
BAB V KESIMPULAN
Pada Bab V akan membahas mengenai kesimpulan dan saran dari penelitian ini.
10 BAB II
LANDASAN TEORI
A. MODEL MATEMATIKA
Pengertian model menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) adalah pola (contoh, acuan, ragam, dan sebagainya) dari sesuatu yang akan dibuat atau dihasilkan, sedangkan pengertian matematika menurut KBBI adalah ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan. Sehingga model matematika bisa diartikan sebagai pola yang terdapat pada matematika.
Pemodelan matematika adalah sebuah representasi dari suatu sistem atau skenario yang digunakan untuk mendapatkan pengertian secara kuantitatif maupun kualitatif pada suatu permasalahan matematis. Pemodelan matematika berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau masalah pada dunia nyata dalam pernyataan matematis, sehingga diperoleh pemahaman dari masalah dunia nyata ini menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini dikenal sebagai “model matematika”. Konstruksi, analisis, dan penggunaan model matematika dipandang sebagai salah satu aplikasi matematika yang paling penting. Model matematika juga dapat diterapkan di banyak disiplin ilmu yang berbeda, seperti fisika, ilmu biologi dan kedokteran, teknik, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, juga masalah-masalah pada jaringan komputer.
Menurut Widowati dan Sutimin (2007), esensi proses pemodelan matematika umumnya sama dan dapat dinyatakan dalam alur diagram berikut.
Gambar 2.1 Proses pemodelan
B. PENDEKATAN PADA PEMODELAN MATEMATIKA
Menurut Widowati dan Sutimin (2007), terdapat beberapa jenis model matematika yang meliputi model empiris, model simulasi, serta model deterministik dan stokastik.
1. Model Empiris
Pada model empiris, data yang berhubungan dengan masalah menentukan peran yang penting. Gagasan utamanya adalah mengkonstruksi formula atau persamaan matematika yang dapat menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocokkan data. Salah satu contoh model empiris yaitu:
Dunia Real Dunia Matematika
Problem Dunia Real Problem Matematika Solusi Dunia Real Interpretasi Solusi Penyelesaian Persamaan/ Pertidaksamaan Formulasi Persamaan/ Pertidaksamaan Membuat Asumsi Bandingkan Data
Suatu jenis bakteri di suatu wilayah membelah menjadi dua bagian setiap detik sehingga penyebaran bakteri tersebut sulit dibendung. Para peneliti berniat mengidentifikasi bakteri tersebut, namun awalnya mereka harus memodelkan bakteri tersebut terlebih dahulu, sehingga jumlah bakteri yang didapat:
di mana:
jumlah bakteri waktu (detik)
Untuk mencari kapan bakteri mencapai jumlah tertentu adalah:
2. Model Simulasi
Pendekatan lain untuk pemodelan matematika adalah konstruksi model simulasi. Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata. Hubungan yang terdapat dalam model simulasi tampak seperti pada gambar 2.2.
Gambar 2.2 Hubungan antara Model Simulasi
Dengan menggunakan simulasi, penelitian ini bertujuan membuat model yang dapat merepresentasikan sistem tersebut serta membuat sistem alternatif yang meningkatkan optimasi dari sistem lama. (Sudradjat, Diah Chaerani, dan Farida C. Kusuma, “Rancangan Model Simulasi Antrian untuk Mengurangi Kemacetan Kendaraan di Pelabuhan Merak Banten”, 45-52 (2012)). Langkah-langkah dalam perancangan model simulasi adalah sebagai berikut :
a. Menentukan Objek Penelitian
Objek penelitian ini adalah Pelabuhan Merak Banten, serta mekanisme pelayanan dalam sistem antrian yang digunakan oleh pelabuhan.
b. Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak
Ketentuan yang diterapkan oleh pengelola Pelabuhan Merak Banten, untuk dapat masuk ke kapal, kendaraan harus melewati beberapa titik/ gerbang pelayanan yang ada di lokasi pelabuhan, seperti dijelaskan oleh Masalah yang akan dikaji Metode Numeris Landasan Teori Model Matematis Program Laporan Hasil
gambar 2.3 berikut ini.
Gambar 2.3 Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak Banten c. Kajian Pustaka
Kajian pustaka ini berisi tentang semua referensi yang diperlukan dalam pembahasan masalah pada penelitian ini.
d. Formulasi Masalah
Beberapa hal yang ditentukan dalam langkah ini adalah merancang model simulasi menggunakan program simulasi serta menentukan tingkat fasilitas pelayanan dan jumlah server optimal untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian.
e. Pengambilan Data
Untuk menganalisis dan mensimulasikan sistem antrian agar dapat mendekati keadaaan sebenarnya, diperlukan pengambilan data melalui observasi langsung di Pelabuhan Merak Banten.
f. Menentukan Model Antrian
Langkah-langkah analisis yang harus dilakukan sebelum menentukan model antrian adalah menentukan rata-rata jumlah kendaraan yang datang dalam satu waktu, menentukan rata-rata waktu pelayanan Gerbang Utama Masuk Pelabuhan Gerbang Penimbangan Tonase Lokasi Pembelian Tiket Masuk Dermaga Kapal
yang dibutuhkan oleh kendaraan, menentukan disiplin antrian dalam sistem, menghitung jumlah sistem pelayanan, dan menentukan notasi Kendall dari model antrian yang diperoleh.
g. Pengolahan Data
Pengolahan data dilakukan dalam beberapa tahapan yang didukung dengan teori antrian. Tahapan dalam pengolahan data terdiri dari analisis statistik dan analisis sistem antrian.
h. Pembuatan Program
Pemilihan perangkat lunak mempengaruhi keakuratan model, waktu eksekusi dan waktu penyelesaian penelitian secara keseluruhan. Maka dalam penelitian ini, penulis memilih untuk menggunakan software C#.
i. Uji Coba Program
Setelah program selesai dibuat, perlu dilakukan uji coba progam untuk melihat apakah program tersebut dapat berjalan dengan baik.
j. Verifikasi dan Validasi Program
Hasil uji coba program diteliti kembali untuk mendeteksi apakah ada kesalahan dalam program dan jika ada yang perlu dimodifikasi.
k. Analisis Model
Analisis model meliputi tingkat kepadatan sistem atau traffic intensity, rata-rata jumlah kendaraan dalam sistem, rata-rata waktu tunggu kendaraan dalam antrian, jumlah loket pelayanan, dan time service optimal.
3. Model Deterministik
Model deterministik adalah model matematika dimana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang cukup tinggi. Pada model deterministik diasumsikan bahwa kejadian-kejadian yang ada memiliki peluang yang tetap, dapat pula diasumsikan pasti terjadi maupun tidak mungkin terjadi. Contoh model deterministik adalah masalah transportasi, masalah penugasan, masalah transhipment, dan model jaringan (salah satu aplikasi dari teori graf) di mana metode ini umumnya merupakan pengembangan dari metode simpleks yang merupakan metode dasar semua masalah program linear Model deterministik digunakan untuk menyatakan masalah dunia nyata yang diformulasikan berdasarkan pada hubungan dasar faktor-faktor yang terlibat.
4. Model Stokastik
Metode stokastik adalah model matematika di mana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil. Contoh model stokastik adalah teori antrian dan teori permainan, di mana ini merupakan pengembangan dari riset operasi modern. Contoh penerapan pemodelan stokastik adalah rantai Markov dengan waktu diskret, proses Poisson, rantai Markov dengan waktu kontinu, proses bercabang dan proses pembaruan dan penerapannya.
Kejadian stokastik adalah kejadian yang hanya dapat ditentukan distribusi frekuensinya. jadi kejadian stokastik ini tidak dapat ditentukan fungsinya dengan pasti, namun hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat ditetapkan. Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yang berguguran setiap harinya. Helai-helai daun berguguran dari hari ke hari, namun belum dapat dipastikan berapa jumlahnya dan fungsi seperti apa yang dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun tersebut.
C. Faktor - Faktor yang Mempengaruhi Arus Lalu Lintas
Menurut Iswanto (2012), faktor-faktor yang mempengaruhi arus lalu lintas adalah kecepatan, kepadatan, dan aliran kendaraan.
1. Kecepatan
Kecepatan adalah laju gerak kendaraan pada arus kendaraan yang ada di jalan raya, sehingga dapat diketahui mengenai perpindahan posisi kendaraan yang satu dengan posisi yang lain. Sedangkan medan kecepatan adalah kumpulan dari kecepatan dengan arah yang sama. Pada arus kendaraan yang ada di jalan raya, akan dapat diketahui mengenai perpindahan posisi kendaraan yang satu dengan posisi yang lain. Jika posisi kendaraan diberikan dengan , maka laju adalah bentuk turunan pertamanya yaitu dan percepatannya merupakan turunan keduanya yaitu . Untuk mengukur medan kecepatan , setiap kendaraan yaitu dengan , dengan N jumlah kendaraan yang berbeda dalam kecepatannya, yang tergantung oleh waktu, yaitu = 1, 2, 3, ... N. Dalam beberapa kasus, jumlah kendaraan di jalan raya sangat banyak sehingga kecepatannya tidak bisa stabil, dan kecepatan masing-masing individu akan menjadi kecepatan tunggal yang dinamakan kecepatan sesaat.
Adanya medan kecepatan menunjukkan bahwa adalah fungsi posisi dan adalah fungsi waktu. Misal mobil 1 melaju dengan kecepatan 1200 m/s dan mobil 2 melaju dengan kecepatan 800 m/s, sedangkan untuk posisinya, mobil 1 berada pada , pada , sedangkan mobil 2 berada pada posisi pada seperti ditunjukkan pada gambar 2.4.
0 L
Gambar 2.4 Posisi mobil 1 dan mobil 2 saat
Persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:
Dengan mengintegralkan kedua persamaan tersebut terhadap fungsi , kita akan mendapatkan nilai masing-masing posisi kedua mobil sebagai fungsi waktu.
2. Kepadatan Lalu Lintas
Kepadatan (density) adalah jumlah kendaraan yang menempati suatu unit/ panjang jalan pada saat bersamaan. Pengukuran tingkat kepadatan sangatlah tergantung pada pemilihan interval waktu. Jika penggunaan interval waktu sangat kecil maka grafik yang dihasilkan tampak tidak memiliki pola, namun jika digunakan interval waktu yang tepat, maka akan diperoleh kurva yang lebih smoothy yang menandakan bahwa fungsi kepadatan merupakan salah satu jenis fungsi yang kontinu. Beberapa kesalahan dalam pemilihan interval waktu ini dinyatakan dengan beberapa asumsi, yaitu:
a. Interval terlalu panjang sehingga terlalu banyak kendaraan yang lewat dan terekam oleh pengamat.
b. Interval terlalu pendek sehingga variasi yang ada kurang mendukung, yaitu dengan adanya jarak atau rentang yang panjang pada ketegangan kendaraan yang lewat.
3. Aliran Kendaraan
Aliran kendaraan adalah banyaknya kendaraan yang lewat sebuah titik di waktu/ periode yang telah ditentukan. Rumus untuk mencari aliran kendaraan adalah kepadatan dikalikan dengan medan kecepatan. Aliran kendaraan dengan kecepatan konstan disimbolkan dengan dan kepadatan konstan dilambangkan dengan . Sehingga aliran lalu lintas (traffic flow) yang dilambangkan dengan adalah
aliran lalu lintas = (kepadatan) (medan kecepatan)
Jika lalu lintas tergantung pada dan sedemikian sehingga dapat ditunjukkan bahwa
(1) Jika terdapat sejumlah kendaraan yang lewat pada setiap selisih waktu yang sangat kecil , sedemikian sehingga dan . Pada waktu yang sangat kecil kendaraan tidak dapat bergerak jauh sehingga jika dan merupakan fungsi yang kontinu terhadap dan , maka dan dapat diaproksimasi dengan konstanta yang nilainya dan . Pada nilai waktu yang sangat kecil , kendaraan yang melaju dengan ruang yang pendek diaproksimasi dengan menggunakan . Sedangkan jumlah kendaraan yang lewat dapat dihitung seperti rumus awal yaitu .
4. Jumlah Konservasi Kendaraan
Konservasi kendaraan adalah upaya untuk mempertahankan atau meminimalisir banyaknya kendaraan yang ada di jalan raya karena kondisi jalan raya yang sudah tidak memadai. Sebagaimana telah diketahui bahwa variabel utama dalam arus lalu lintas adalah dan . Variabel lalu lintas yang berupa medan kecepatan, kepadatan, dan juga aliran tidak hanya tertuju pada satu kendaraan, namun harus dipakai dalam jumlah kendaraan yang lebih dari satu.
Jika pada saat posisi dan , maka jumlah kendaraan dapat dirumuskan dengan mengintegralkan kepadatan lalu lintas.
(2) Jika pada jalan tersebut tidak terdapat pintu, baik yang masuk maupun yang keluar, maka sejumlah kendaraan pada interval dan masih tetap dapat berubah sesuai waktu. Maka terdapat penurunan jumlah kendaraan karena terdapat kendaraan yang keluar dari posisi , sebaliknya terdapat arus peningkatan, yaitu dengan masuknya sejumlah kendaraan dari segmen . Jika diasumsikan bahwa jumlah kendaraan yang masuk dan keluar hanya dari dalam segmen dan , maka perubahan jumlah kepadatan hanya tergantung pada segmen dan . Misalnya kendaraan yang masuk ke segmen sebanyak 20 per detik, tetapi kendaraan yang keluar dari segmen sebanyak 15 per detik, sehingga jumlah peningkatan arus sebesar 5 kendaraan per detik.
Menggunakan generalisasi yang sama, dapat pula ditentukan bahwa jika terdapat sejumlah aliran kendaraan pada setiap segmen yaitu segmen dan , yang diberikan dengan dan yang bukan suatu konstanta, karena tergantung oleh waktu, sehingga laju perubahan jumlah kendaraan yaitu , sama dengan jumlah unit yang ada per satuan waktu yang memotong segmen (bergerak ke kanan) dikurangi dengan jumlah unit yang ada per satuan waktu yang memotong segmen (bergerak ke kanan) dapat dirumuskan sebagai
(3)
Jumlah kendaraan per unit waktu dikatakan sebagai aliran (flow) yang diberikan dengan . Persamaan (3) diintegralkan terhadap waktu, kemudian disubstitusikan menggunakan perbedaan selisih waktu, selisih dimaksud adalah selisih jumlah kendaraan antara waktu dan sehingga membentuk:
Misalkan dan 𝑁 𝜌 𝑥 𝑡 𝑎 𝑏 𝑑𝑥
Pembagian persamaan dengan menggunakan dan mengambil limitnya
Dengan teorema dasar Kalkulus yang menyatakan bahwa turunan dari integral adalah fungsi itu sendiri.
( )
Karena masing-masing nilai dapat berubah sesuai dengan waktu, maka variabel tersebut dapat diganti dengan menggunakan nilai sesuai keumumannya. Dengan menggunakan kombinasi dari beberapa persamaan sebelumnya, dapat diperoleh hubungan mengenai kepadatan, yaitu
Persamaan di atas berarti kendaraan tidak ada yang keluar dari jalur tersebut. Misalkan contohnya, terdapat sebuah jalan yang sangat panjang, maka arus aliran kendaraan dimodelkan dengan panjang jalan sampai dengan tak terhingga. Jika diasumsikan bahwa kendaraan mendekati nol sepanjang mendekati keduanya (posisi dan waktu) , maka dapat dirumuskan secara matematis sebagai
Dari persamaan sebelumnya 𝑑
𝑑𝑡 𝜌 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑞 𝑎 𝑡 𝑞 𝑏 𝑡
𝑏
Dengan mengintegrasikannya akan diperoleh
Persamaan di atas menunjukkan jumlah total kendaraan adalah konstan sepanjang waktu. Konstan dapat dievaluasi jika jumlah awal kendaraan atau kepadatan awal
(4) Pada hukum konservasi integral dengan segmen jalan, yaitu dan masing-masing sebagai variabel independen, sehingga dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial biasa yaitu:
(5) a. Berdasarkan integral konservasi sepanjang jalan raya dari sampai dengan
, persamaan dapat dimodifikasi menjadi
Dengan membagi dengan dan mengambil limitnya 𝜌 𝑥 𝑡 𝑑𝑥 𝜌 𝑥 𝑑𝑥 𝜕 𝜕𝑡 𝜌 𝑥 𝑡 𝑑𝑥 𝑞 𝑎 𝑡 𝑞 𝑏 𝑡 𝑏 𝑎
Pada bagian kiri persamaan tersebut adalah definisi turunan parsial dengan tetap, atau yang lebih sering dikatakan sebagai ( ) . Nilai limit di sebelah kanan pun dapat dilakukan dengan menggunakan dua buah pendekatan, yaitu
1) Integralnya adalah area di bawah kurva antara dan . Karena sangat kecil, maka integral dapat diaproksimasi dengan satu buah kotak saja (seperti tampak pada gambar 2.5).
Gambar 2.5 Daerah integral dari konservasi kendaraan pada jalan raya Banyaknya kendaraan antara dan dapat diaproksimasi dengan penambahan panjang suatu ruas jalan sebanyak kali dengan kepadatan lalu lintasnya ada di
Sebagai hasil dari penurunan ini maka diperoleh nilai eror yang semakin baik dengan kenaikan sehingga dapat diturunkan menjadi
(6)
2) Di samping itu dapat pula diberikan fungsi ̅ sebagai jumlah kendaraan yang berjalan di jalan raya antara posisi tetap dan variabel posisi ̅
̅
̅
Maka jumlah kendaraan per meter antara dan adalah 𝑎 𝑎
𝑎
Jika diambil limit , sisi kanan akan menjadi
( )
Nilai dapat digantikan dengan nilai sehingga menjadi persamaan baru yaitu
Atau bisa ditulis dengan bentuk yang lebih sederhana sehingga menjadi
(7)
Model ini merupakan salah satu bentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan tersebut mengekspresikan mengenai hubungan antara kepadatan lalu lintas dan aliran kendaraan yang diasumsikan dengan jumlah yang tetap, karena tidak ada kendaraan yang masuk dan keluar dari jalur yang sudah ditetapkan. Semuanya berada dalam jalur untuk setiap waktu. Hal inilah yang disebut sebagai bilangan konservasi kendaraan.
b) Berdasarkan hukum konservasi integral, pendekatan segmen jalan dilakukan dengan menggunakan interval , namun selanjutnya dengan mengambil nilai diferensial parsial dari sehingga
c) Alternatif penurunan yang lain adalah dengan mengambil panjang jalan yang terbatas pada interval .
Sehingga persamaan tersebut dapat menjadi
(8)
Persamaan tersebut menunjukkan integral pada interval sampai dengan nilai yang berbeda dan memberikan hasil berupa nol. Integral yang demikian disebut dengan integral nol. Fungsi integral yang memberikan nilai nol pada setiap pengambilan interval apapun disebut sebagai fungsi integral nol.
Dari ketiga metode tersebut, dapat ditunjukkan bahwa
Beberapa eksperimen menunjukkan bahwa untuk menggunakan aliran juga ditentukan oleh beberapa kriteria yang lain yaitu , sehingga konservasi kendaraan dapat ditulis menjadi
(9)
yang merupakan persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan medan kecepatan.
5. Hubungan kepadatan (density) dengan medan kecepatan (velocity)
Dua variabel yakni kepadatan dan medan kecepatan kendaraan dihubungkan dalam satu persamaan yaitu
𝜕𝜌 𝑥 𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑞 𝑥 𝑡 𝜕𝑥 𝑏 𝑎 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝜕 𝜌𝜇 𝜕𝑥
Persamaan tersebut juga dapat digunakan untuk memprediksi tingkat kepadatan masa mendatang dengan mengetahui tingkat kepadatan mula-mula. Secara teknisnya, medan kecepatan dalam kendaraan tergantung pada pengendara yang mengendarainya. Namun di lain pihak, kepadatan juga berpengaruh pada laju kendaraan. Secara umum, pengendara akan melaju kencang pada kepadatan rendah dan melaju lambat pada kepadatan tinggi.
Dari pernyataan di atas, dapat diperoleh asumsi bahwa kecepatan kendaraan sepanjang jalan akan bergantung pada kepadatan kendaraan.
(10) Lighthill dan Whitham (Lighthill, M.J. and Whitham, G. B., “On Kinematic Waves II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads, “Proc. Roy. Soc. A, 229, 317-345 (1955)) serta Richards (Richards, P.L., “Shock Waves on the Highway, “Operations Researches 4, 42-51 (1956)) secara independen mengusulkan mengenai model Matematika pada aliran lalu lintas yaitu jika tidak terdapat kendaraan lain atau tidak ada mobil yang ada di jalan (kepadatan rendah), maka kendaraan akan berjalan dengan kecepatan maksimum, yaitu .
dikatakan sebagai “kecepatan bebas” yang berhubungan dengan
kecepatan kendaraan yang akan bergerak jika bebas dari kendaraan lain. Namun jika terdapat peningkatan dalam jumlah kepadatan, maka dapat menyebabkan laju kendaraan semakin lambat yang dapat dituliskan menjadi
Dalam perkembangannya, jika kepadatan kendaraan menjadi maksimum, maka keadaan menjadi bumper to bumper traffic, yang diberikan dengan
Dalam keadaan tersebut, kendaraan tidak dapat melaju karena tidak memiliki ruang untuk bergerak dan akan saling bertabrakan jika dipaksakan, sehingga
, dengan adalah panjang kendaraan. Kurva yang dijumpai untuk
memberikan ilustrasi di atas adalah
Gambar 2.6 Kepadatan Lalu Lintas (kecepatan kendaraan turun ketika kepadatan meningkat)
Gambar 2.6 menunjukkan hubungan antara dua variabel lalu lintas, yaitu medan kecepatan dan kepadatan merupakan perbandingan terbalik sehingga membentuk kurva menurun secara kontinu yaitu . Namun dalam realita, kecepatan tidak selalu dipengaruhi oleh kepadatan dalam setiap kondisi jalan, tetapi ada beberapa faktor lain yang mempengaruhi, misalnya adanya kerusakan jalan, cuaca yang ekstrem, dll. Akan tetapi dalam penelitian ini, diasumsikan bahwa medan kecepatan hanya dipengaruhi oleh kepadatan.
Sebagai tambahan, mengindikasikan bahwa jika berubah maka juga berubah secara spontan.
6. Aliran kemacetan (traffic flow)
Keadaan aliran yang padat akan terjadi jika kendaraan berada dalam keadaan bumper to bumper atau . Dalam hal ini, diasumsikan bahwa jalan sangat homogen sedemikian rupa sehingga kecepatan kendaraan tergantung pada kepadatan dan bukan waktu atau posisi sepanjang jalan. Secara matematisnya, diberikan dalam bentuk medan kecepatan dikalikan dengan kepadatan.
𝜇𝑚𝑎𝑥𝑥
𝜌𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌
(12)
Gambar 2.7 Kecepatan kendaraan hanya tergantung pada kepadatan lalu lintas Berdasarkan gambar 2.7, aliran akan memenuhi beberapa kriteria yaitu akan bernilai nol dalam dua cara;
a. Jika tidak ada kemacetan
b. Jika terdapat kemacetan, maka kendaraan tidak dapat bergerak sehingga
Untuk nilai kepadatan yang lain , aliran kemacetan harus menjadi positif. Dalam hal ini diasumsikan bahwa hubungan antara aliran kepadatan diberikan dalam bentuk konkaf menurun, ( ) , dengan kata lain diasumsikan bahwa
menurun sepanjang meningkat, seperti ditunjukkan pada
gambar 2.8 (a dan b).
Gambar 2.8a Kurva kepadatan dan aliran Gambar 2.8b Fungsi menurun turunan kepadatan dan aliran 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌 𝜇 𝜌𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌 𝑞 𝑞𝜇 𝜌 𝑑𝑞𝑑𝜌 𝜌𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌
7. Tingkat kepadatan kemacetan
Pada gambar 2.9 di bawah menunjukkan garis yang memisahkan antara kemacetan tinggi dengan kemacetan rendah dengan kemacetan rendah merupakan titik optimum kepadatan.
Gambar 2.9 Kurva kemacetan tinggi dan rendah
Kepadatan erat kaitannya dengan kapasitas jalan, terutama mengenai jumlah kendaraan yang dapat dimuat oleh badan jalan. Pada masalah kemacetan, terdapat dua jenis kecepatan, yakni kecepatan masing-masing kendaraan dan kecepatan sejauh mana kemacetan ada dan dilambangkan dengan diagram kemacetan jalan yaitu terhadap , dengan
| (13)
Gambar 2.10 Kurva kecepatan pada kemacetan dan kecepatan kendaraan Kemiringan garis dari titik awal terhadap titik pada kurva aliran-kepadatan (pada gambar 2.10) memberikan nilai aliran-kepadatan konstan adalah medan kecepatan , karena
Kepadatan optimum 𝜌 Kemacetan rendah Kemacetan tinggi 𝑞 𝑐 𝑑𝑞 𝑑𝜌 𝜌 𝑞 𝜌 𝜌 𝑞
30 BAB III PEMBAHASAN A. Daftar Variabel yang Digunakan
Model matematika adalah hubungan antara komponen-komponen dalam suatu masalah yang dirumuskan dalam suatu persamaan matematis yang memuat komponen-komponen itu sebagai variabel. Variabel-variabel tersebut ada untuk mendukung terciptanya suatu model matematika dan semua variabel mempunyai makna masing-masing. Berikut ini adalah daftar beberapa variabel yang digunakan pada penelitian ini beserta artinya:
No. Variabel Arti
1 posisi )
2 waktu (sekon)
3 medan kecepatan ( )
4 kepadatan lalu lintas ( ) 5 arus lalu lintas ( )
6 banyak kendaraan
7 medan kecepatan arus bebas ( )
8 kepadatan dalam kemacetan ( ) 9 kepadatan maksimum ( )
10 flow rate
11 kepadatan yang berada pada interval ke- ( )
12 kepadatan yang masuk ( ) 13 kepadatan yang keluar ( ) 14 aliran kendaraan dalam kemacetan ( ) 15 aliran kendaraan yang berada pada interval ke-
16 aliran kendaraan yang masuk ( ) 17 aliran kendaraan yang keluar ( ) 18 kapasitas “pengirim” pada arus masuk (sending) 19 kapasitas “penerima” pada arus masuk (receiving)
20 faktor prioritas
21 aliran yang dapat dicapai dalam suatu waktu tertentu 22 kapasitas “pengirim” dari arah Janti (selatan) 23 kapasitas “pengirim” dari arah barat (Jalan Solo) 24 kapasitas “penerima” ke arah timur (Jalan Solo)
Tabel 3.1 Daftar variabel yang digunakan B. Studi Empiris Tentang Karakteristik Arus Lalu Lintas
Menurut Khisty dan Lall (2005), pemodelan lalu lintas dibagi menjadi dua, yaitu pemodelan arus lalu lintas makroskopis dan pemodelan arus lalu lintas mikroskopis. Variabel yang terdapat dalam pemodelan arus lalu lintas makroskopis di antaranya yaitu arus lalu lintas, kepadatan, dan medan kecepatan. Variabel yang terdapat dalam pemodelan arus lalu lintas mikroskopis antara lain panjang kendaraan dan hal-hal lain yang berfokus pada perilaku pengemudi itu sendiri.
Dalam penelitian ini, lebih difokuskan pada pemodelan arus lalu lintas makroskopis yang di antaranya terdapat model-model lain yang mendukung yaitu (Tiwari & Marsani, 2011):
1. Model Greenshields
Model ini dikemukakan oleh Greenshields (1935) berdasarkan pengukuran atas kecepatan, arus, dan kepadatan, beberapa ahli mulai mengembangkan model arus lalu lintas berdasarkan pencocokan kurva dan uji statistik yang sebenarnya. Evaluasi modelnya dilakukan melalui dua jalur:
a. Hubungan antara arus kecepatan, dan kepadatan dari sisi ketepatannya dengan data lapangan yang sebenarnya.
1) Arus sama dengan nol ketika kepadatan sama dengan nol. 2) Arus sama dengan nol ketika kepadatan maksimum.
3) Kecepatan bebas rata-rata terjadi pada waktu kepadatan sama dengan nol. 4) Kurva-kurva arus-kepadatan terbentuk cembung (dengan kata lain,
terdapat sebuah titik arus maksimum)
(14) dengan
= kecepatan
= kecepatan arus bebas = kepadatan
= kepadatan dalam kemacetan
Model Greenshields memenuhi keempat kondisi batas di atas, meskipun secara statistik hasilnya relatif buruk (sebagai contoh, koefisien penentuan yang rendah dan standar eror yang tinggi).
2. Model Greenberg
Model ini diusulkan oleh Greenberg (1959) untuk melakukan pengukuran kecepatan, arus, dan kepadatan di terowongan Lincoln yang menghasilkan sebuah model kecepatan-kepadatan. Greenberg menggunakan analogi konsep arus fluida, dengan menggunakan bentuk berikut:
(15) di mana
C = konstanta
dan dengan mensubstitusikan untuk
( ) 𝜇𝑠 𝜇𝑓 𝜇𝑓
𝜌𝑗 𝜌
𝜇𝑠 𝐶 (𝜌𝑗 𝜌)
Dengan mendiferensiasi terhadap , kita akan memperoleh
( ( ) ) Dan agar maksimum
( ) Sehingga ( ) dan ( )
Dengan mensubstitusikan persamaan
( )
Sehingga didapatkan
(16)
maka adalah kecepatan ketika arus maksimum.
Model Greenberg memperlihatkan tingkat ketepatan yang lebih baik daripada model Greenshields, meskipun model ini melanggar kondisi-kondisi batas karena kepadatan nol hanya akan tercapai bila nilai kecepatan tak terhingga.
3. Model Eksponensial Underwood
Model ini diusulkan oleh Underwood (1961) untuk memperbaiki model Greenshields. Model Underwood berupa:
( ) (17)
dengan
= kepadatan maksimum
Model ini memiliki tingkat ketepatan yang lebih baik daripada model Greenshields dan model Greenberg saat kondisi lalu lintas tidak terlalu padat, tetapi gagal dalam memodelkan saat kondisi lalu lintas padat.
4. Model LWR
Model LWR atau model Lighthill-Whitham-Richards pertama kali dipublikasikan oleh Lighthill-Whitham pada 1955 dalam sebuah jurnal yang mendeskripsikan teori gerak gelombang kinematic yang mereka aplikasikan untuk memodelkan aliran lalu lintas pada jalur utama, kemudian pada 1956 Richards secara independen mempublikasikan hal serupa (Lighthill, M.J. and Whitham, G. B., “On Kinematic Waves II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads, “Proc. Roy. Soc. A, 229, 317-345 (1955)) serta (Richards, P.L., “Shock Waves on the Highway, “Operations Researches 4, 42-51 (1956)). Kunci utamanya adalah hubungan antara aliran lalu lintas dan kepadatan. Model ini diukur dengan menggunakan karakteristik dari jalan tersebut, seperti jumlah jalur pada suatu jalan, kecepatan, dan jenis jalan. Namun model yang dihasilkan bukan merupakan model pasti dari suatu jalan tertentu, masih ada beberapa hal yang perlu dikonfirmasi untuk diterapkan dalam suatu ruas jalan tertentu, seperti kecepatan umum kendaraan, kepadatan, maupun sebaran titik yang merupakan arus masuk dan keluar yang melalui jalur tersebut.
Pada umumnya, nilai kepadatan yang ada di sebuah jalur adalah sekitar 1 kendaraan per 6,5 meter per jalur dan nilai kepadatan ketika arus maksimum
adalah 1 kendaraan per 32 meter. (Polson, Nicholas and Vadim Sokolov, “Bayesian Analysis of Traffic Flow on Interstate I-55: The LWR Model,” Vol. 9, No. 4, 1864–1888 (2015)). Asumsi yang digunakan menggunakan fungsi posisi dan waktu yang dinyatakan dengan:
(18)
dengan = kecepatan = aliran kendaraan = kepadatan
a. LWR yang berada pada single road/ jalan tunggal
Untuk mencari rumus LWR yang berada pada single road/ jalan tunggal diberikan:
Jumlah kendaraan ( ) berada di posisi dan ( dan ).
di mana sehingga di mana dan
Kedua ruas dikali sehingga menjadi
(19) Berdasarkan definisi dari turunan, ruas kiri merupakan turunan parsial dengan tetap, sehingga menjadi
( ) (20)
Ruas kanan:
= aliran lalu lintas dari ke
= (21)
dari persamaan (19) dan (21) menjadi Ruas kanan (22) Berdasarkan definisi dari Kalkulus, persamaan sehingga
(23) sehingga 𝑎 𝑎 𝜕 𝜕𝑡 𝜌 𝑥 𝑡 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 𝑞 𝑎 𝑡 𝑞 𝑎 𝑎 𝑡 𝑎 𝑁 𝑎 𝑎 𝑁 𝑎 𝑎 𝜕𝑁 𝑎 𝑡 𝜕𝑎 𝜕𝑁 𝑎 𝑡 𝜕𝑎 𝜌 𝑎 𝑡
(24) Persamaan (24) menjadi
( )
( ) ( ) variabel diubah menjadi karena merupakan variabel posisi
(25) atau ( ) ( ) (26) dengan = kepadatan = medan kecepatan = aliran lalu lintas
Persamaan (26) di atas disebut model LWR atau adveksi satu dimensi. Adveksi satu dimensi adalah perpindahan suatu benda yang tidak mempengaruhi bentuk atau massa dari benda tersebut. Pada model LWR, para pengemudi bereaksi terhadap kecepatan kendaraan mereka pada kepadatan sekitar, seperti tampak pada fungsi
(27) Sedangkan fungsi (28) 𝑎 𝑎 𝜕 𝜕𝑡 𝜌 𝑥 𝑡 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑𝑡 𝜕 𝜕𝑡 𝜌 𝑎 𝑡 𝜕 𝜕𝑥(𝑞 𝑥 𝑡 ) 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌 𝑥 𝑡 ) 𝜕 𝜕𝑥 𝜌𝜇 𝜕 𝜕𝑡 𝜌
dengan = flow rate, yaitu banyaknya kendaraan per satuan waktu yang melalui suatu fungsi posisi dalam suatu keadaan lalu lintas tertentu, sehingga fungsi menjadi
(29) Sesuai dengan observasi yang telah dilakukan sebelumnya, dapat diasumsikan bahwa hubungan kecepatan-kepadatan adalah suatu fungsi menurun ( ) yang didefinisikan pada interval [ ] dengan :
: kecepatan maksimal ketika jalan sepi atau kosong
: kecepatan berkurang hingga berhenti ketika kepadatan maksimal dan lalu lintas tersendat.
Lalu flow rate adalah suatu fungsi yang bukan monoton dengan and di mana nilai kritis maksimum dari adalah ketika arus lalu lintas berjalan lancar dan lalu lintas tersendat yang ditunjukkan pada gambar 3.1 di bawah ini.
Gambar 3.1 Fungsi medan kecepatan dan arus terhadap kepadatan, (a) , (b) 𝜇 𝜌 𝜌 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝑓 𝜌 𝜌 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝜎 𝜕 𝜕𝑥 𝑓 𝜌 𝜕 𝜕𝑡 𝜌 a b
Masalah yang umum dipelajari untuk hukum konservasi dari bentuk
adalah masalah Riemann mengenai metode penawaran dan permintaan
(Daganzo, 1995) di mana kondisi ini dipengaruhi oleh dua variabel konstan yaitu: { (30)
b. Model Jaringan
Model LWR adalah model matematika yang digunakan untuk jalan tunggal yang searah, namun kali ini kita akan membahas tentang analisis lalu lintas yang padat pada jaringan jalan raya. Jaringan yang akan dibahas kali ini adalah sebuah pertigaan dengan dua arus masuk dan satu arus keluar yang tanpa batas. Kepadatan di setiap ruas menggunakan persamaan jalan tunggal LWR, yaitu
{ (31)
Kondisi yang ada dapat digambarkan dalam persamaan
(32)
Gambar 3.2 Sebuah jaringan sederhana
Seperti model jalan tunggal yang telah dipelajari di atas adalah salah satu masalah Riemann mengenai metode permintaan dan penawaran yang kali ini diaplikasikan di jalan raya. Permintaan datang dari ruas jalur nomor 3 dan penawaran datang dari ruas jalur nomor 1 dan 2 (gambar 3.2). Masalah Riemann pada pertigaan, kita ambil sebagai kondisi awal dengan kepadatan konstan pada tiga ruas jalan:
(33) 1 2 3 𝑓(𝜌𝑖 𝑡 ) 𝑓 𝜌 𝑡 𝑖= 𝑡
