5
LANDASAN TEORI
2.1 Interaksi Manusia dan Komputer (IMK)
Menurut Ben Shneiderman (2010: 4-5), interaksi manusia dan komputer adalah cabang ilmu yang mempelajari hubungan antara manusia dan komputer yang mencakup perancangan, evaluasi, dan implementasi user interface agar mudah digunakan oleh manusia.
Menurut Ben Sheniderman (2010: 88-89), ada delapan aturan emas yang digunakan untuk merancang suatu antarmuka, yaitu:
1. Mencoba untuk konsisten
Konsisten dalam pembuatan user interface dengan menerapkan konsistensi pada penggunaan warna, layout, kapitalisasi, jenis huruf dan lainnya. Konsistensi pada user interface sangat bermanfaat saat digunakan oleh user, dimana user akan merasa tetap dalam aplikasi yang sama walaupun telah berpindah halaman.
2. Memenuhi kebutuhan universal
Yang dimaksud dengan memenuhi kebutuhan universal adalah memahami kebutuhan berbagai macam pengguna dan membuat suatu desain yang fleksibel yang mendukung perubahan dalam konten. Pertimbangan dalam membuat sebuah desain user interface terhadap berbagai macam user, baik user pemula sampai user ahli, dan juga user dengan kekurangan fisik.
3. Memberikan umpan balik yang informatif
Umpan balik yang diberikan oleh sistem untuk setiap aksi yang dilakukan oleh user. Untuk aksi sederhana yang dilakukan oleh user akan diberikan umpan balik yang sederhana, sedangkan untuk aksi yang rumit yang biasanya jarang dilakukan oleh user atau aksi utama yang dilakukan oleh user akan diberikan umpan balik yang lebih menarik dan dibuat lebih tegas.
4. Membuat dialog untuk keadaan akhir
Urutan aksi sebaiknya disusun menjadi kategori awal, tengah, dan akhir. Umpan balik yang informatif diberikan kepada user saat satu kelompok kategori telah diselesaikan akan memberikan kepuasan untuk sebuah pencapaian, perasaan lega, dan sebagai tanda untuk mempersiapkan diri untuk kelompok kategori yang berikutnya.
5. Memberikan penanganan kesalahan dengan sederhana
Sistem harus didesain agar user tidak dapat melakukan suatu kesalahan yang besar. Contohnya, user tidak diperbolehkan untuk memasukkan karakter alfabet pada kotak entry nomor. Sistem harus dapat mendeteksi kesalahan dan memberikan penanganan kesalahan secara sederhana kepada user. Penanganan kesalahan yang diberikan harus mudah dimengerti, membangun, dan jelas.
6. Pembalikan aksi yang mudah
Dalam suatu aplikasi, pada setiap aksi harus terdapat fitur pembalikan aksi. Fitur ini dapat memperkecil kesalahan yang dapat terjadi karena user tahu bahwa aksi dapat dibatalkan. Pembalikan dapat dilakukan misalnya untuk memasukkan ulang data, terkadang user tidak familiar dengan kotak entry yang ada sehingga memungkinkan terjadi kesalahan memasukkan data.
7. Mendukung pusat kendali internal
User harus memiliki kendali atas antarmuka dan mendapatkan tanggapan pada setiap aksinya. Pada saat user sudah terbiasa dengan suatu aplikasi, biasanya mereka ingin memiliki kendali atas antarmuka dan tanggapan pada aksinya. Desain antarmuka dibuat seperti user yang memiliki kendali antarmuka agar tidak menimbulkan keresahan dan ketidakpuasan pada user.
8. Mengurangi beban memori jangka pendek
Keterbatasan manusia dalam memproses informasi dalam memori jangka pendek membuat sistem harus didesain dengan tampilan yang simpel, penggabungan halaman-halaman, penguranagan frekuensi window motion, pemberian waktu latihan untuk mengingat kode-kode hafalan dan rangkaian aksi. Dalam setiap perancangan antarmuka dibutuhkan alur aplikasi yang mudah dipelajari dan diingat oleh user.
2.2 Rekayasa Piranti Lunak
Piranti lunak adalah sekumpulan instruksi (program komputer) yang ketika dieksekusi memberikan fitur, fungsi, dan aksi yang diinginkan, struktur data yang membuat sebuah progam dapat memanipulasi informasi. (Pressman, 2011: 4).
IEEE mendefinisikan rekayasa piranti lunak sebagai penerapan suatu pendekatan yang sistematis, disiplin dan terkuantifikasi atas pengembangan, penggunaan dan pemeliharaan perangkat lunak. (Pressman, 2011: 14).
Roger S. Pressman (2011: 14) membagi rekayasa piranti lunak menjadi beberapa lapisan, yaitu lapisan a quality focus, lapisan process, lapisan methods, dan lapisan tools, lapisan tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Lapisan Rekayasa Piranti Lunak
Lapisan a quality focus merupakan landasan awal dari suatu rekayasa piranti lunak, setiap proses yang dilakukan mengacu pada kualitas akhir yang akan dihasilkan. Lapisan process merupakan dasar rekayasa piranti lunak dimana bagian ini menghubungkan lapisan teknologi bersama dan menjadi basis untuk manajemen dalam mengontrol suatu proyek piranti lunak. Lapisan methods menyediakan teknik untuk membangun sebuah piranti lunak. Kegiatan yang dilakukan dalam lapisan ini adalah melakukan analisis kebutuhan, mendesain piranti lunak, proses pembuat program, melakukan pengujian dan mendukung piranti lunak. Lapisan tools menyediakan support terhadap lapisan methods dan process sehingga ketika lapisan tools diintegrasikan dengan lapisan yang lainnya, informasi yang dibuat oleh satu tool dapat digunakan oleh yang lainnya. Sebuah sistem yang mendukung pengembangan piranti lunak disebut sebagai computer-aided software engineering (Pressman, 2011: 13-14)
2.3 Unified Modeling Language (UML)
Unified modelling language (UML) adalah sekumpulan model konvensional yang digunakan untuk mendeskripsikan sebuah sistem piranti lunak yang terkait dengan objek. (Whitten & Bentley, 2007: 371).
UML versi terbaru saat ini adalah UML 2.0 dimana terdapat 13 jenis diagram, yaitu use case diagram, activity diagram, class diagram, sequence diagram, object diagram, state machine diagram, composite structure diagram, communication diagram, interaction overview diagram, timing diagram, component diagram, deployment diagram, dan package diagram.
UML yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu aplikasi atau sistem, yaitu use case diagram, activity diagram, class diagram, dan sequence diagram. 2.4 Use Case Diagram
Menurut Whitten dan Bentley (2007: 246), use case diagram adalah sebuah diagram yang menggambarkan interaksi antara sistem, sistem eksternal, dan user. Use case diagram menjelaskan siapa yang akan menggunakan sistem dan dengan cara apa user diharapkan berinteraksi dengan sistem. Contoh use case diagram dapat dilihat pada Gambar 2.2. Sedangkan use case narrative adalah sebuah deskripsi tertulis dari suatu proses bisnis dan bagaimana user akan berinteraksi dengan sistem untuk menyelesaikan suatu hal.
Ada beberapa bagian penting dari suatu use case diagram, yaitu aktor, use case, dan relasi. Aktor adalah seseorang atau sesuatu yang berinteraksi dengan sistem untuk memberikan dan atau mendapatkan informasi. Use case adalah gambaran proses yang dilakukan oleh aktor, apa yang dikerjakan oleh suatu perangkat lunak. Relasi adalah hubungan antara aktor dan use case. Pada Gambar 2.2 dapat dilihat bahwa Customer, Vendor, dan Boss merupakan aktor, sedangkan sell merchandise, customer support, dan process complains merupakan use case.
Menurut Whitten dan Bentley (2007: 248-250), ada beberapa jenis relasi yang terdapat dalam sebuah use case diagram, yaitu:
1. Association
Association adalah hubungan interaksi antara satu aktor dan satu use case. Sebuah association yang memiliki ujung panah yang menyentuh use case mengindikasikan bahwa use case dilakukan oleh aktor yang berada pada ujung lainnya, sedangkan association yang tidak memiliki ujung panah sama sekali mengindikasikan interaksi antara use case dan sebuah sistem eksternal atau aktor yang menerima informasi (dapat dilihat pada Gambar 2.3) . Association dapat bersifat bidirectional atau unidirectional.
Gambar 2.3 Contoh Association Pada Use Case Diagram
2. Extends
Extends adalah relasi yang digunakan apabila use case akan dihubungkan dengan extension use case. Extension use case adalah use case yang terdiri dari beberapa use case yang berasal dari sebuah use case yang cukup rumit dan terdapat beberapa tahapan di dalamnya sehingga harus dipisahkan agar lebih sederhana. Contoh relasi extends dan extension use case dapat dilihat pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Contoh extension use case dan relasi extend
3. Includes atau Uses
Includes atau uses digunakan ketika terdapat dua atau lebih use case yang melakukan fungsi yang sama. Langkah tersebut dipisahkan menjadi sebuah use case baru yang disebut abstract use case. Tujuan dari abstract use case adalah untuk mengurangi pengulangan atau redudansi pada use case. Contoh relasi includes dan abstract use case dapat dilihat pada Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Contoh Relasi Includes Dan Abstract Use Case
4. Depends On
Depends on adalah hubungan keterkaitan antara sebuah use case dan use case lainnya, dimana sebuah use case tersebut dapat dijalankan apabila use case yang lainnya sudah dijalankan. Contoh relasi depends on dapat dilihat pada Gambar 2.6.
Gambar 2.6 Contoh Relasi Depends On
5. Inheritance
Inheritance adalah suatu keadaan dimana terdapat dua aktor atau lebih yang melakukan langkah yang sama. Inheritance akan membuat sebuah aktor abstrak yang baru dengan tujuan untuk menyederhanakan use case. Contoh relasi inheritance dan aktor abstrak dapat dilihat pada Gambar 2.7.
2.5 Activity Diagram
Activity diagram adalah sebuah diagram grafik yang menggambarkan serangkaian aktivitas proses bisnis, langkah-langkah use case, atau logika perilaku dari objek. Activity diagram digunakan untuk membuat pemodelan aktivitas yang dilakukan ketika sebuah aksi dijalankan dan memodelkan hasil dari aktivitas tersebut (Whitten & Bentley, 2007: 390-391).
Menurut Whitten dan Bentley (2007: 391), dalam sebuah activity diagram terdapat beberapa notasi yang digunakan, yaitu:
1. Initial Node
Initial node dilambangkan dengan sebuah lingkaran dengan warna yang padat dan utuh, menandakan awal dari sebuah proses.
2. Actions
Actions dilambangkan dengan kotak dengan sudut bulat (rounded rectangle), menandakan langkah yang akan dijalankan.
3. Flow
Flow dilambangkan dengan sebuah garis dengan ujung panah di dalam diagram, menandakan adanya perkembangan dalam sebuah aksi yang dijalankan.
4. Decision
Decision dilambangkan dengan bentuk wajik, dimana terdapat satu aliran yang masuk dan dua atau lebih aliran yang keluar yang ditandai untuk mengidentifikasi kondisi.
5. Merge
Merge dilambangkan dengan bentuk wajik, dimana terdapat dua atau lebih aliran yang masuk dan satu aliran yang keluar. Merge menggabungkan aliran yang sebelumnya dipisahkan oleh decision menjadi satu aliran kembali.
6. Fork
Fork dilambangkan dengan balok hitam dengan satu aliran masuk dan dua atau lebih aliran yang keluar. Aliran pararel di bawah fork dapat terjadi dalam urutan yang tidak sama ataupun bersamaan.
7. Join
Join dilambangkan dengan balok hitan dengan dua atau lebih aliran yang masuk dan satu aliran yang keluar. Setiap aksi uang masuk ke dalam join harus selesai terlebih dahulu sebelum melanjutkan ke proses selanjutnya. 8. Activity Final
Activity final dilambangkan dengan lingkaran yang memiliki lingkaran lagi didalamnya dan memiliki warna yang padat dan utuh, menandakan bahwa proses telah selesai.
2.6 Sequence Diagram
Sequence diagram adalah sebuah diagram UML yang menggambarkan proses logika dari sebuah use case dengan cara menggambarkan bagaimana suatu objek berinteraksi satu sama lain. Diagram ini mengilustrasikan bagaimana pesan dikirim dan diterima di antara objek dan dalam sequence apa. (Whitten & Bentley, 2007: 659).
Menurut Whitten dan Bentley (2007: 660), dalm sequence diagram terdapat beberapa notasi yang digunakan, yaitu:
1. Actor
Actor berinteraksi dengan objek interface class. 2. Interface class
Interface class adalah kotak yang mengindetifikasikan kode kelas dari tampilan antarmuka.
3. Controller class
Setiap use case akan memiliki satu atau lebih controller classes, digambar dengan notasi yang sama dengan interface class dan diberi tanda <<controller>>.
4. Entity classes
Entity classes adalah kotak tambahan untuk setiap kesatuan yang membutuhkan kolaborasi dalam tahap-tahap sequence.
5. Messages
Messages digunakan untuk menyampaikan method dari setiap objek. 6. Activation bars
Activation bars adalah kotak yang berfungsi untuk mengidentifikasikan waktu keberadaan dari setiap objek yang ada.
7. Return messages
Return messages adalah jawaban atas pesan yang disampaikan oleh suatu objek.
8. Self-call
Self-call adalah sebuah objek yang dapat mengirimkan pesan ke objek itu sendiri.
9. Frame
Frame digunakan untuk menandakan area pada diagram yang mengalami perulangan (looping), mengalami seleksi (alternative), atau memiliki sebuah ketentuan (optional)
Contoh dari sequence diagram dan notasinya dapat dilihat pada Gambar 2.9.
Gambar 2.9 Contoh sequence diagram dan notasinya
2.7 Python
Python merupakan bahasa pemrograman tangkat tinggi (high level language) yang dikembangkan oleh Guido van Rossum pada tahun 1989 dan diperkenalkan untuk pertama kalinya pada tahun 1991. Python dirancang untuk memberikan kemudahan kepada programer baik dari segi efisiensi waktu, maupun kemudahan dalam pengembangan program dan dalam hal kompabilitas dengan sistem. Python dapat digunakan untuk membuat program standalone dan pemrograman skrip (scripting programming). (Sianipar & Wadi, 2015: 1-2). Dalam bahasa Python sendiri terdapat bahasa tingkat rendah (low level language) yang berhubungan dengan bahasa mesin atau assembly.
Menurut Sianipar dan Wadi (2015: 19), Python memiliki beberapa kelebihan dibandingkan dengan bahasa pemrograman lainnya, yaitu:
1. Pemrograman tingkat tinggi (High Level Language). 2. Mudah dipelajari.
4. Mudah dalam pengembangan. 5. Manajemen memori dinamis.
6. Pemrograman berorientasi objek (Object Oriented Programming). 7. Platform independent.
8. Bersifat open source dan gratis.
2.8 Integrated Developer Environment
Integrated Developer Environment (IDLE) merupakan salah satu editor yang sudah terintegrasi dengan interpreter bahasa pemrograman Python. IDLE memudahkan software developer dalam mengembangkan aplikasi berbasis bahasa pemrograman Python. Gambar 2.9 merupakan contoh tampilan dari IDLE yang disebut window interpreter. Dengan interpreter, setelah sebuah perintah dimasukkan, maka akan langsung dieksekusi dan ditampilkan hasilnya.
2.9 QtDesigner
QtDesigner adalah suatu aplikasi yang dapat membantu proses pembuatan GUI (Graphical User Interface) untuk Python. QtDesigner memudahkan programmer untuk membangun GUI sehingga waktu programming menjadi lebih singkat dan dapat digunakan untuk berkonsentrasi pada konten lainnya. Ini dimungkinkan karena QtDesigner menggunakan konsep visual design yang sangat mudah digunakan seperti halnya pada visual basic. Fasilitas yang menonjol adalah kemampuan untuk 'Signal dan Slot' secara visual. Dalam konteks programming dengan bahasa C++ dan Python, signal dan slot adalah istilah untuk menghubungkan antara suatu event (misalnya klik mouse pada salah satu button) dengan slot, yaitu perintah yang harus dijalankan jika aksi tertentu dilakukan.
2.10 Air Tanah
Air tanah adalah sejumlah air di bawah permukaan bumi yang dapat dikumpulkan dengan sumur-sumur, terowongan atau sistem drainase atau dengan pemompaan. Dapat juga disebut aliran yang secara alami mengalir ke permukaan tanah melalui pancaran atau rembesan (Bouwer, 1978; Freeze dan Cherry, 1979; Kodoatie, 1996). Sedangkan menurut Soemarto (1989) air tanah adalah air yang menempati rongga-rongga dalam lapisan geologi. Lapisan tanah yang terletak di bawah permukaan tanah dinamakan lajur jenuh (saturated zone), dan lajur tidak jenuh terletak di atas lajur jenuh sampai ke permukaan tanah, yang rongga-rongganya berisi air dan udara.
Air yang berada pada lajur jenuh adalah bagian dari keseluruhan air bawah permukaan yang biasa disebut air tanah (groundwater). Air bawah bawah tanah (underground water dan subterranean water) adalah istilah lain yang digunakan untuk air yang berada pada lajur jenuh, namun istilah yang lazim digunakan adalah air tanah (Johnson, 1972).
Air tanah (groundwater) adalah nama untuk menggambarkan air yang tersimpan di bawah tanah dalam batuan yang permeabel. Periode penyimpanannya dapat berbeda waktunya bergantung dari kondisi geologinya (mulai dari beberapa minggu sampai tahun). Pergerakan air tanah dapat muncul ke permukaan, dengan manifestasinya sebagai mata air (spring) atau sungai (river).
Gambar 2.11 Lapisan Air Tanah
Seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.11, lapisan air tanah terdiri dari dua lapisan utama, yaitu lapisan tidak jenuh (unsaturated zone) dan lapisan jenuh (saturated zone). Pada lapisan tidak jenuh terdapat air tetapi tidak dapat diambil airnya karena tertahan oleh gaya kapiler. Bagian di atas lapisan tidak jenuh adalah lapisan soil-water, lapisan ini tempat akar tumbuhan berada, air yang ada pada lapisan ini akan diserap oleh tumbuhan. Air tersebut digunakan tumbuhan untuk bertahan hidup dan bernafas, air ini juga dapat langsung berevaporasi ke atmosfir. Pada lapisan jenuh, lapisan ini terisi dengan air, air ini kemudian yang disebut sebagai air tanah. (Winter dkk, 1998).
2.11 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan untuk sebuah fungsi tertentu, yang menghubungkan nilai dari fungsi tersebut dengan nilai dari turunannya. Ada dua jenis persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP). Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial untuk sebuah fungsi dengan satu variabel, contohnya . Sedangkan persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial untuk sebuah fungsi dengan beberapa variabel, contohnya . Sebuah PDB mengandung turunan biasa dan sebuah PDP mengandung turunan parsial. (Chaznov, 2009, hal. 11).
Orde dari persamaan diferensial parsial adalah turunan tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial parsial tersebut. Contohnya untuk fungsi dua peubah , bentuk umum persamaan diferensial parsial orde satu adalah , sedangkan bentuk umum persamaan diferensial parsial orde
dua adalah . Contoh persamaan diferensial parsial adalah persamaan panas atau persamaan difusi dan persamaan
Laplace .
2.12 Darcy’s Law
Darcy’s law atau hukum Darcy adalah persamaan yang mendefinisikan hubungan aliran fluida yang mengalir pada suatu media berpori. (Brown, 2015). Hukum Darcy ditemukan oleh Henry Darcy pada tahun 1856. Henry Darcy melakukan percobaan mengenai aliran air melalui suatu media berpori, pada saat itu Darcy menggunakan media pasir sebagai bahan percobaannya. Kemudian berdasarkan dari hasil percobaannya yang dilakukannya itu maka ditemukan Darcy’s Law .Ilustrasi untuk percobaan yang dilakukan oleh Henry Darcy dapat dilihat pada Gambar 2.12.
Gambar 2.12 Ilustrasi dari Percobaan Henry Darcy
Secara matematis, hukum Darcy dirumuskan sebagai berikut, yaitu:
(2.1) dimana adalah debit aliran yang keluar setelah melewati media berpori, adalah luas area penampang yang dilewati oleh fluida , adalah konduktivitas hidrolik , adalah panjang jarak penampang , atau adalah
perubahan ketinggian air atau hydraulic head . Hydraulic head adalah ketinggian air pada suatu pipa yang ada pada sebuah penampang, air yang keluar dan berada pada hydraulic head menandakan banyaknya air pada titik tersebut. Tanda negatif pada persamaan ini menunjukkan bahwa fluida mengalir dari tekanan tinggi ke tekanan rendah. Penggambaran Hukum Darcy untuk persamaan (2.1) dapat dilihat pada Gambar 2.13.
Gambar 2.13 Penggambaran Hukum Darcy
Persamaan (2.1) dapat dilihat pada Gambar 2.13 dimana air masuk ke dalam suatu penampang, adalah debit aliran yang keluar setelah melewati media berpori, adalah luas area penampang yang dilewati oleh fluida , adalah panjang jarak penampang , adalah ketinggian air yang masuk atau ketinggian hydraulic head ketika air masuk ke dalam media berpori , adalah ketinggian air yang keluar atau ketinggian hydraulic head ketika air keluar dari media berpori
, atau adalah perbedaan ketinggian air atau hydraulic head . Persamaan (2.1) dapat juga digeneralisasikan bentuknya dengan mengubah menjadi , sehingga persamaan baru adalah:
(2.2) Darcy flux atau kecepatan Darcy adalah flux volume fluida dan bukanlah kecepatan fluida yang sebenarnya . Darcy’s flux dirumuskan sebagai berikut:
Kecepatan fluida yang sebenarnya didapat dengan membagi kecepatan Darcy dengan porositas. Substitusikan persamaan (2.2) ke dalam persamaan (2.3) sehingga didapatkan bentuk umum dari persamaan Darcy, yaitu:
(2.4) Persamaan (2.4) dapat juga dituliskan sebagai:
(2.5) 2.13 Persamaan Kontinuitas
Nuralim (2015) mendefinisikan persamaaan kontinuitas sebagai persamaan yang menghubungkan kecepatan fluida dalam dari suatu tempat ke tempat lain. Fluida yang mengalir pada suatu penampang memiliki debit yang sama pada setiap titiknya, atau dapat dikatakan bahwa debit fluida yang masuk sama dengan debit fluida yang keluar. Ilustrasi persamaan kontinuitas dapat dilihat pada Gambar 2.14.
Gambar 2.14 Ilustrasi Persamaan Kontinuitas
Persamaan kontinuiatas dapat dirumuskan sebagai berikut:
(2.6) (2.7) (2.8) dimana adalah debit aliran yang keluar setelah melewati media berpori, adalah luas area penampang yang dilewati oleh fluida , dan adalah kecepatan aliran fluida .
2.14 Model Transient dan Model Steady State
Essink (2010), mengatakan bahwa suatu model dikatakan sebuah model transient jika variabel waktu diperhitungkan dalam persamaan diferensial parsial dan
variabel waktu dihitung dalam setiap langkah. Suatu model dikatakan sebuah model steady state jika variabel waktu tidak diperhitungkan atau sama dengan nol dalam persamaan diferensial parsial.
Suatu model dikatakan sebagai model steady state jika perhitungan dilakukan hanya untuk satu lapisan tanah (homogen) dan bersifat isotropik. Kemudian, suatu model dikatakan sebagai model transient jika perhitungan dilakukan untuk beberapa lapisan tanah (heterogen) dan brsifat anisotropik.
2.15 Kondisi Syarat Batas
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial ada tiga syarat batas yang dapat digunakan (Wang dan Anderson, 1995), yaitu:
1. Syarat batas Dirichlet
Syarat batas Dirichlet adalah suatu keadaan dimana ketinggian hydraulic head diketahui.
2. Syarat batas Neumann
Syarat batas Neumann adalah suatu keadaan dimana kecepatan aliran atau diketahui.
3. Syarat batas gabungan
Syarat batas gabungan adalah suatu keadaan gabungan dari syarat batas Dirichlet dan syarat batas Neumann.
2.16 Bentuk Batasan untuk Perhitungan Aliran Air Tanah
Pada Gambar 2.16 merepresntasikan contoh skema dari bentuk lapisan tanah untuk sistem aliran air tanah dua dimensi. Dapat dilihat bahwa untuk setiap sisinya, ada batas-batas tertentu. Pada sisi kiri, kanan, dan bawah tidak ada aliran air, sehinga dapat dikatakan bahwa kecepatannya adalah nol. Dari bentuk di Gambar 2.15, akan dibuat representasi matematikanya menjadi seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.16.
Gambar 2.15 Skema Lapisan Tanah
Gambar 2.16 Representasi Matematika Untuk Skema Lapisan Tanah
2.17 Metode Finite Difference (Metode Beda Hingga)
Metode finite difference (metode beda hingga) adalah suatu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan mengaproksimasi turunannya. Metode finite difference membagi suatu bagian menjadi sebuah grid yang berdasarkan jarak dan waktu, dapat dilihat pada Gambar 2.17.
Gambar 2.17 Grid untuk Metode Beda Hingga
Metode beda hingga meggunakan deret Taylor untuk melakukan aproksimasi. Deret Taylor untuk fungsi disekitaran adalah sebagai berikut:
(2.9)
(2.10)
(2.11) Kemudian dari persamaan (2.10) dan persamaan (2.11) dapat dituliskan kembali menjadi:
(2.12)
Terdapat tiga jenis aproksimasi untuk deret Taylor orde satu, yaitu forward difference, backward difference, dan central difference. Kemudian ada satu jenis aproksimasi untuk deret Taylor orde dua, yaitu central difference.
2.17.1 Forward Difference Orde Satu
Aproksimasi ini berdasarkan dari persamaan (2.12) yang berlaku dari penurunan deret Taylor di persamaan (2.10). Untuk aproksimasi forward difference orde satu, berlaku:
(2.14)
(2.15)
2.17.2 Backward Difference Orde Satu
Aproksimasi ini berdasarkan dari persamaan (2.13) yang berlaku dari penurunan deret Taylor di persamaan (2.11). Untuk aproksimasi backward difference orde satu, berlaku:
(2.16)
(2.17)
2.17.3 Central Difference Orde Satu
Aproksimasi ini berdasarkan dari gabungan persamaan forward difference di persamaan (2.14) dan persamaan backward difference di persamaan (2.16). Untuk aproksimasi central difference orde satu, berlaku:
(2.18)
(2.19)
2.17.4 Central Difference Orde Dua
Aproksimasi ini berdasarkan dari persamaan (2.12) dan persamaan (2.13) yang berlaku dari penurunan deret Taylor di persamaan (2.10) dan persamaan (2.11). Untuk aproksimasi central difference orde dua, berlaku:
(2.20) (2.21)
