Kuadrat Umum. Modul Kuadrat Bilangan 2 Angka. 1.1 Pangkat Dua atau Kuadrat

(1)

Modul 1

Kuadrat

Kuadrat Umum

Umum

1.1 Pangkat Dua atau Kuadrat

Pangkat dua atau kuadrat adalah perkalian dari 2 buah bilangan yang sama. Pangkat 2 atau kuadrat dilambangkan dengan angka 2 yang posisinya agak naik ke atas.

Contoh: 12 = 1 x 1 = 1 22 = 2 x 2 = 4 32 = 3 x 3 = 9 42 = 4 x 4 = 16 52 = 5 x 5 = 25 62 = 6 x 6 = 36 72 = 7 x 7 = 49 82 = 8 x 8 = 64 92 = 9 x 9 = 81 Penting:

Kuadrat dari bilangan yang terdiri dari satu angka bilangan pokok selalu menghasilkan bilangan yang paling banyak terdiri dari 2 angka. Sebagai contoh angka paling besar adalah 9 yang jika dikuadratkan menjadi 81 (2 angka). Hasil kuadrat satu angka kadang ditulis dengan format 2 angka dengna menambahkan angka nol di depan. Sebagai conoth 12 = 01, 22 = 04, 32 = 09.

1.2 Kuadrat Bilangan 2 Angka

Dengan mengetahui sifat kuadrat (dan perkalian) di atas maka bisa diketahui bahwa hasil kuadrat 2 angka selalu menghasilkan bilangan yang paling banyak terdiri dari 4 angka. Hasil 3 angka boleh ditulis dengan menambah angka nol di depan. Contoh: 102 = 0100, 122 = 0144, 132 = 0169.

1.2.1 Keunikan kuadrat Bilangan 2 Angka

Kuadrat dari bilangan yang terdiri dari 2 Angka dapat dihitung dengan cara berikut:

1. Kuadratkan angka pertama.

2. Kalikan masing-masing angka penyusun yang tertera pada bilangan kuadrat.

3. Kuadratkan angka kedua Contoh: 122 = 12 1x2 x 2 22 = 01 04 04 = 144 322 = 32 3x2 x 2 22 = 09 12 04 = 1024 Catatan:

(2)

pertama untuk kuadrat bilangan pertama dan angka kedua untuk kuadrat bilangan kedua. Cara yang lebih muydah adalah dengan menuyliskan secara bersusun seperti conoth berikut:

682 = 62 6x8 x 2 82 = 36 96 64 = 9 6 = 4614 Cobalah 212 = 22 .. x … x 2 … 2 = … … … = … 312 = … 2 .. x … x 2 … 2 = … … … = … 232 = … 2 .. x … x 2 … 2 = … … … = … 322 = …2 … x … x 2 …2 = … … … = … 422 = …2 ... x … x 2 …2 = … … … = … 242 = …2 (.. x …) x 2 …2 = … … … = … 1. 112 = … 21 352 = … 2. 122 = … 22 362 = … 3. 132 = … 23 372 = … 4. 142 = … 24 382 = … 5. 152 = … 25 392 = … 6. 162 = … 26 412 = … 7. 172 = … 27 422 = … 8. 182 = … 28 432 = … 9. 192 = … 29 442 = … 10. 212 = … 30 452 = … 11. 222 = … 31 462 = … 12. 232 = … 32 472 = … 13. 242 = … 33 482 = … 14. 252 = … 34 492 = … 15. 262 = … 35 512 = …

(3)

16. 272 = … 36 522 = … 17. 282 = … 37 532 = … 18. 292 = … 38 542 = … 19. 312 = … 39 552 = … 20. 322 = … 40 562 = …

1.3 Kuadrat Bilangan 2 Angka Berakhiran Nol

Untuk bilangan kuadrat dengan akhiran nol, kuadratkan angka yang bukan nol, kemudian tambahkan angka nolnya sebangak 2 kali angka nol pada bilangan pokok.

Contoh:

102 = 12 ditambah 2 angka nol = 100 202 = 22 ditambah 2 angka nol = 100 302 = 32 ditambah 2 angka nol = 100 402 = 42 ditambah 2 angka nol = 100 502 = 52 ditambah 2 angka nol = 100 602 = 62 ditambah 2 angka nol = 100 702 = 72 ditambah 2 angka nol = 100 802 = 82 ditambah 2 angka nol = 100 902 = 92 ditambah 2 angka nol = 100

1.4 Kuadrat Bilangan 3 Angka Berakhiran Nol

Kuadrat berapapun yang berakhiran nol, dapat dihitung dengan mengkuadratkan angka yang bukan nol, kemudian tambahkan angka nolnya sebangak 2 kali angka nol pada bilangan pokok.

Contoh:

1002 = 12 ditambah 4 angka nol = 10000

2002 = 22 ditambah 4 angka nol = 40000 3002 = 32 ditambah 4 angka nol = 90000 4002 = 42 ditambah 4 angka nol = 160000 5002 = 52 ditambah 4 angka nol = 250000 6002 = 62 ditambah 4 angka nol = 360000 7002 = 72 ditambah 4 angka nol = 490000 8002 = 82 ditambah 4 angka nol = 640000 9002 = 92 ditambah 4 angka nol = 810000 1102 = 1102 ditambah 2 angka nol = 12100 1202 = 1202 ditambah 2 angka nol = 14400 1302 = 1302 ditambah 2 angka nol = 16900

(4)

Modul 2

Keunikan 10 dalam

Kuadrat dan

Perkalian

Dari modul pertama, kita sudah tahu kemudahan dari kuadrat dari bilangan yang berakhiran nol. Pada bagian ini, kita akan belajar memanfaatkan kemudahan perkalian nol untuk menghirtung kuadrat berapapun.

2.1 Perkalian 10 dan Kelipatannya

Berapakah 12x12? Meski tidak terlalu sulit, tetapi pasti jauh lebih mudah untuk menghitung 10x14 bukan?

Demikian juga dengan 24x24. Meski tidak terlalu sulit, tapi pasti lebih mudah menghitung 20x28 dibanding 24x24. Perkalian dengan 10, 20 atau bilangan lain yang diakhiri nol menjadi jauh lebih mudah karena kita hanya mengalikan 1 bilangan bukan nol dan kemudian menambahkan 1 angka nol pada hasil perhitungan.

Contoh:

10x14 = 140 karena 1x14=14. Jika ditambahkan satr angka nol pada 14 maka hasilnya adalah 140.

20x28 = 560 karena 2x28=56, sehingga bila ditambahkan satuangka nol, maka hasilnya adalah 560.

Kabar baik tentunya jika kamu diberi tahu bahwa kamu bisa mengubah perkalian atau kuadrat berapapun menjadi perkalian nol sehingga jauh lebih mudah dan cepat. Ingin tahu caranya? Ikuti saja penjelasan berikutnya.

2.2 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 1 atau 9

Ada sifat unik perkalian yang sangat jarang diperhatikan dan dibahas. Padahal, keunikan ini dapat sangat membantu kita mempermudah perhitungan. Mari kita lihat contohnya:

22 = 1x3 +1 32 = 2x4 +1 42 = 3x5 +1 52 = 4x6 +1 62 = 5x7 +1

Dengan memanfaatkan sifat ini maka kita dapat mempermudah perhitungan kuadrat. Meskipun bisa ddigunakan untuk kuadrat dan perkalian apapun, kemudahan terutama dalam menghitung kuadrat dengan satuan 1 atau 9. Sifat ini juga dapat digunakan untuk mempermudah perkalian antar bilangan dengan puluhan sama dan satuan 4 dan 6.

2.2.1 Kuadrat dengan Satuan 1

Semua bilangan kuadrat dengan satuan 1 dapat diubah menjadi perkalian 0 dan 2 sehingga menajadi jauh lebih mudah.

Contoh:

112 = 10x12 + 1 = 121 212 = 20x22 + 1 = 441 Cobalah:

(5)

412 = … x 42 + 1 = 1681 512 = … x … + 1 = … 612 = … x … + 1 = … 712 = … x … + 1 = … 812 = … x … + 1 = … 912 = … x … + 1 = …

2.2.2 Kuadrat dengan Satuan 9

Jika kuadrat dengan satuan 1 dapat diubah menjadi perkalian 0 dan 2, maka kuadrat dengan satuan 9 dapat diubah menjadi perkalian 8 dan 0. Dengan cara ini, maka perhitungan kuadrat 9 dapat dilakukan dengan lebih mudah.

Contoh: 92 = 8 x 10 + 1 = 81 192 = 18 x 20 + 1 = 361 Cobalah: 292 = 28 x 30 + 1 = … 392 = … x … + 1 = … 492 = … x … + 1 = … 592 = … x … + 1 = … 692 = … x … + 1 = … 792 = … x … + 1 = … 892 = … x … + 1 = … 992 = … x … + 1 = …

2. 3 Memanfaatkan Perhitungan Kuadrat

untuk Perkalian

Masih menggunakan sifat perkalian dan kuadrat yang sama, perhitungan kuadrat dapat digunakan untuk mempermudah perkalian. Caranya adalah dengan memanfaatkan sifat kuadrat dengan akhiran berjumlah 10 atau kuadrat 5.

Berikut contohnya: 4x6 = 52 – 1 = 25 – 1 = 24 14x16 = 152 – 1 = 225 – 1 = 224 24x26 = 252 – 1 = 625 – 1 = 624 34x36 = 352 – 1 = 1225 – 1 = 1224 44x46 = 452 – 1 = 2025 – 1 = 2024 54x56 = 552 – 1 = 3025 – 1 = 3024 64x66 = 652 – 1 = 4225 – 1 = 4224 74x76 = 752 – 1 = 5625 – 1 = 5624 84x86 = 852 – 1 = 7225 – 1 = 7224 94x96 = 952 – 1 = 9025 – 1 = 9024 104x106 = 1052 – 1 = 11025 – 1 = 11024 114x116 = 1152 – 1 = 13225 – 1 = 13224 124x126 = 1252 – 1 = 15625 – 1 = 15624 Catatan:

Kuadrat 5 dapat dihitung dengan cepat karena:

1. Dua angka pertama adalah hasil kali puluhan dengan (puluhan+1).

2. Angka terakhirnya selalu 25

Penjelasan lebih detil tentang hal ini akan diberikan di bagian berikutnya.

(6)

2. 4 Cara Cepat Menghitung Kuadrat

Meskipun berlaku untuk semua bilangan, penggunaan sifat perkalian yang kita pakai sebelumnya tentunya tidak begitu terasa manfaatnya jika untuk menghitung kuadrat selain yang berakhiran 1 atau 9. Sebagai contoh, menghitung nilai dari 972 dengan 96x98 + 1 meski benar tapi tentu saja sama sekali tidak lebih mudah.

Kabar baiknya, ada cara lain yang dapat mempermudah perhitungan. Untuk contoh 972 misalnya, kita bisa mengubah menjadi beberapa pilihan berikut:

972 = 90x104 + 72 atau 972 = 100x94 + 32 atau 972 = 100x 100 – 6x100 + 32

Jika kamu hitung menggunakan salah satu cara yang ada, maka hasil akhirnya pasti sama (9409). Begitupun jika kamu menggunakan cara yang lebih umum (92 9x7x2 7 2 = 8100 1260 49 = 9049).

Kita akan mulai pembahasan dengan cara yang pertama.

Untuk dapat menghitung Kuadrat dengan mudah dan cepat, lakukan 3 langkah berikut:

Langkah 1: Kurang dan tambah masing-masing bilangan pokok dengan angka yang sama supaya berubah menjadi perkalian 10 atau kelipatan 10 yang lain.

Langkah 2: Kuadratkan satuannya saja.

Langkah 3: Jumlahkan hasil pada langkah 1 dan langkah 2. Contoh 1:

122 = … →kurang dan tambah 2 agar menjadi perkalian 10

Langkah 1: 10 x (12+2) = 140 Langkah 2: 22 = 4 + Jumlah 1 dan 2: = 144 Contoh 2:

Langkah 1: 10 x (13+3) = 160 Langkah 2: 32 = 9 + Jumlah 1 dan 2: = 169

Contoh 3:

Langkah 1: 30 x (35+5) = 1.200 Langkah 2: 52 = 25 + Jumlah 1 dan 2: = 1.225 Cobalah 142 = … Langkah 1: 10 x ( … + … ) = …. Langkah 2: … 2 = … + Jumlah 1 dan 2: = 196 262 = … Langkah 1: 20 x ( … + … ) = …. Langkah 2: … 2 = … + Jumlah 1 dan 2: = … 342 = … Langkah 1: 30 x ( … + … ) = …. Langkah 2: … 2 = … + Jumlah 1 dan 2: = …

(7)

Modul 3

Kuadrat dan

Perkalian Istimewa

Sejauh ini, kita sudah belajar menggunakan bantuan perkalian10 maupun kelipatan 10 lainnya (20, 30, 40, …).

Berikut, kita akan belajar kuadrat dan perkalian yang lebih istimewa dibanding kuadrat dan perkalian sebelumnya. Keistimewaan kuadrat dan perkalian berikut karena mengalikan 2 buah bilangan kelipatan 10. Berikut penjelasannya.

3.1 Kuadrat dan Perkalian Bilangan dengan

Jumlah Angka Satuan 10

3.1.1 Kuadrat dengan Satuan Berjumlah 10

Kuadrat dengan satuan 5 adalah kuadrat yang istimewa karena jumlah angka satuannya (5+5) adalah 10. Kuadrat atau perkalian Bilangan yang angka stuannya berjumlah 10 menjadi sangat istimewa karena akan menghasilkan perkalian 2 buah bilangan kelipatan 10.

Cara pengerjaan bilangan kuadrat dengan satuan 5 sebetulnya sama dengan cara cepat perhitungan kuadrat yang telah kita pelajari sebelumnya. Hanya saja karena hasilnya sudah pasti merupakan perkalian 2 buah bilangan kelipatan 10, maka cara atau langkahnya bisa disedrhanakan sebagai berkut.

1. Kalikan angka puluhan dengan angka sesudahnya.

2. Kalikan (kudratkan) angka satuannya. (untuk satuan 5, maka hasil kuadrat selalu diakhiri 25).

3. Gabungkan langkah 1 dan 2. Contoh:

152= …

1. Kalikan nilai puluhannya (1), dengan angka sesudahnya (2) = 1x2 =2

2. Kuadratkan satannya (52 = 25). 3. Gabungkan langkah 1 dan 2 (225).

252= … 1. 2x3 = 6 2. 52 = 25 3. 252 = 625 352= 35 x 35 = 1.225 (3x4 25) 452= 45 x 45 = … (4x5 25) 552= 55 x 55 = … (5x6 25) 652= 65 x 65 = … (6x7 25) 752= 75 x 75 = … (7x8 25) 852= 85 x 85 = … (8x9 25) 952= 95 x 95 = … (9x10 25)

(8)

3.1.2 Perkalian Bilangan dengan Puluhan Sama

dan Satuan Berjumlah 10

Kita dapat menggunakan langkah singkat kuadrat dengan satuan 5 karena 5 dan 5 adalah 10. Cara yang sama ternyata juga dapat digunakan untuk perkalian yang puluhannnya sama dan satuannya berjumlah 10. Dengan demikian, jika kamu mengalikan bilangan yang puluhannya sama, asal satuannya berjumlah 10, maka bisa menggunakan ketentuan yang sama (meski bukan bilangan kuadrat dengan satuan 5). Berikut contohnya: 15x15 = 1x2 5x5 = 2 25 14x16 = 1x2 4x6 = 2 24 11x19 = 1x2 1x9 = 2 09 32x38 = 3x4 2x8 = 12 16 Cobalah: 12x47 = 4x5 3x7 21x29 = 2x3 1x9 = … = … 13x17 = 1x2 3x7 23x27 = 2x3 3x7 = … = …. 14x16 = 2 24 24x26 = 6 24 15x15 = … 25x25 = … 31x39 = … 41x49 = … 32x38 = … 42x48 = … 34x36 = … 43x47 = … 35x35 = … 46x44 = … 51x59 = … 61x69 = … 52x58 = … 62x68 = … 54x56 = … 63x67 = … 55x55 = … 66x64 = … 71x79 = … 81x89 = … 72x78 = … 82x88 = … 74x76 = … 83x87 = … 75x75 = … 86x84 = … 94x96 = … 93x97 = … 95x95 = … 96x94 = … Catatan:

Cara di atas bisa digunakan untuk sembarang kuadrat atau perkalian. 24x23 misalnya bisa diubah menjadi 20x27+4x3 = 552. Penjelasan lebih rinci ada di buku yang khusus membahas perkalian.

3.1.3 Perkalian Bilangan Kembar dengan

Bilangan yang Angka Penyusunnya Berjumlah 10

Cara yang sama dengan 2 cara sebelumnya juga bisa diterapkan untuk perkalian bilangan kembar dengan bilangan yang jumlah angka penyusunnya 10. Berikut contohnya:

22x73 = 2x(7+1) 2x3 = 1606 33x64 = 3x(6+1) 3x4

(9)

= 2112 Cobalah: 11x28 = 1x3 2x8 22x73 = 2x8 2x3 = … = … 11x37 = 1x … 1x7 22x82 = 2x … 2x2 = 407 = 1804 11x46 = …x … 1x6 22x64 = 2x … 2x4 = 506 = 1408 33x28 = … 44x73 = … 33x37 = … 44x82 = … 33x46 = … 44x64 = … 55x28 = … 66x73 = … 55x37 = … 66x82 = … 55x46 = … 66x64 = … 77x28 = … 88x73 = … 77x37 = … 88x82 = … 77x46 = … 88x64 = …

3.2 Perkalian 2 Bilangan dengan Satuan

Berjumlah 10 dan Puluhan Selisih 1

Kita sudah belajar kuadrat dan perkalian dengan puluhan sama dan satuan berjumlah sepuluh. Satu hal lain yang juga sangat menarik

adalah perkalian dari bilangan yang satuannya sama dan puluhannya berbeda 1. Perhatikan beberapa perkalian berikut:

11x29, 12x28, 13x27, 14x26, 15x25, 16x24, 17x23, 18x22, 19x21 semua memiliki nilai tengah 20. dengan demikian, maka kita akan dapat menyelesaikan perkalian dengan pola seperti itu dengan sangat mudah menggunakan rujukan 20. Begini caranya:

(20) 11x29 = 202 – 92 = 400 – 90 + 9 = 319 (20) 12x28 = 202 – 82 = 400 – 70 + 6 = 336 (20) 13x27 = 202 – 72 = 400 – 50 + 1 = 351 (20) 14x26 = 202 – 62 = 400 – 40 + 4 = 364 (20) 15x25 = 202 – 52 = 400 – 30 + 5 = 375 (20) 16x24 = 202 – 42 = 400 – 20 + 4 = 384 (20) 17x23 = 202 – 32 = 400 – 10 + 1 = 391 (20) 18x22 = 202 – 22 = 400 – 10 + 6 = 396 (20) 19x21 = 202 – 12 = 400 – 10 + 9 = 399 Cobalah: 1. 26 x 34 = 302 - 42 2. 34 x 46 = 402 - 62 3. 53 x 67 = … 4. 71 x 69 = … 5. 92 x 88 = … 6. 87 x 73 = … 7. 68 x 72 = … 8. 49 x 51 = … 9. 26 x 34 = … 10. 34 x 46 = …

(10)

11. 57 x 43 = … 12. 78 x 82 = … 13. 93 x 87 = … 14. 82 x 78 = … 15. 66 x 54 = …

3.3 Kuadrat dan Perkalian dengan Puluhan

Berjumlah 10

Selain pada kuadrat dan perkalian yang satuannya berjumlah 10, keunikan juga terdapat pada kuadrat dan perkalian yang puluhannya berjumlah 10.

3.3.1 Kuadrat dengan Puluhan Berjumlah 10

Jika puluhannya 5, maka berarti puluhan berjumlah 10 dan satuannya sama. Kamu dapat menggunakan keistimewaan perkalian dengan satuan sama dan puluhannya berjumlah 10.

1. Kalikan puluhan dan tambah dengan nilai satuan 2. Kuadratkan nilai satuannya.

Contoh: 512 = 51 x 51 = 2601 (5x5+1 + 01) 522 = 52 x 52 = 2704 (5x5+2 + 04) 532 = 53 x 53 = 2809 (5x5+3 + 09) 542 = 54 x 54 = … 552 = 55 x 55 = … 562 = 56 x 56 = … 572 = 57 x 57 = … 582 = 58 x 58 = … 592 = 59 x 59 = … 5102 = 510 x 510 = 260 100 (5x5+10 + 100) 5112 = 511 x 511 = 261 121 (5x5+11 + 121) 5122 = 512 x 512 = 262 144 5132 = 513 x 513 = 263 169

3.3.2 Perkalian dengan Satuan Sama dan Puluhan

Berjumlah 10

Seperti halnya sifat kuadrat dengan satuan 5 yang dapat juga digunakan pada perkalian dengan satuan berjumlah 10, maka sifat kuadrat dengan puluhan 5 dapat juga diterapkan pada perkalian dengan satuan sama dan puluhan berjumlah 10.

Contoh: 11x91 = 1x9+1 12 = 1001 21x81 = 2x8+1 12 = 1701 12x92 = 1x9+2 22 = 1104 Cobalah: 31x71 = 3x7+1 12 22x82 = 2x8+2 22

(11)

= 2201 = 18 04 41x61 = … x … +1 12 32x72 = 2x8+2 22 = … = … 51x51 = … x … +1 12 62x42 = 2x8+2 22 = … = … 13x93 = … x … +1 32 24x84 = … x … +1 42 = … = … 33x73 = … x … +1 32 44x64 = … x … +1 42 = … = … 53x53 = … x … +1 32 94x14 = … x … +1 42 = … = … 65x45 = … x … +1 52 76x36 = … x … +1 62 = … = … 85x25 = … x … +1 52 96x16 = … x … +1 62 = … = … 15x95 = … x … +1 52 26x86 = … x … +1 62 = … = … 17x97 = … x … +1 72 38x78 = … x … +1 82 = … = … 27x87 = … x … +1 72 68x48 = … x … +1 82 = … = … 47x67 = … x … +1 72 58x58 = … x … +1 82 = … = …

(12)

Modul 4

Memanfaatkan

Kuadrat Puluhan

Puluhan Kuadrat (102 ,202 ,302, … adalah kuadrat yang paling mudah. Kuadrat tersebut semudah kuadrat dasar dengan 1 angka, dan hanya memerlukan tambahan 2 angka nol. Kabar baiknya lagi, kita dapat memenfaatkan kuadrat tersebut untuk menghtiung kuadrat apapun. Dengan teknik ini kita cukup menggunakan kuadrat dasar saja.

4.1 Kuadrat dengan Satuan 1 atau 9

Seperti telah kita ketahui sebelumnya, dengan memanfaatkan sifat kuadrat dan perkalian bilangan, kita dapat menghitung kuadrat atau perkalian dengan lebih mudah.

212 misalnya bisa kita ganti dengan 20x22 + 1 192 misalnya bisa kita ganti dengan 20x18 + 1 Sedangkan 74x76 bisa kita ganti dengan 752 – 1

4.1.1 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 1

Pada bab 2, kita telah belajar cara yang mudah untuk menghitung kuadrat dengan satuan 1, yaitu dengan menjadikan perkalian dengan akhiran nol.

Pada bagian ini, kita akan memperlajari secara lebih khusus perhitungan kuadrat dengan satuan 1.

Perhatikan contoh berikut:

112 = 102 + (10+11) atau 102 + 2x10 + 1 = 121 212 = 202 + (20+21) atau 202 + 2x20 + 1 = 441 312 = 302 + (30+31) atau 302 + 2x30 + 1 = 961 Cobalah: 412 = … 2 + … = … 512 = … 2 + … = … 612 = … 2 + … = … 712 = … 2 + … = … 812 = … 2 + … = … 912 = … 2 + … = …

(13)

1012 = … 2 + … = … 1212 = … 2 + … = … 1312 = … 2 + … = … 1512 = … 2 + … = … 2512 = … 2 + … = …

4.1.2 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 9

Jika kuadrat dengan satuan 1 menggunakan bantuan kuadrat yang lebih kecil (21 dengan bantuan 20, 31 dengan bantuan 30 dan seterusnya), maka kuadrat dengan satuan 9 menggunakan bantuan kuadrat yang lebih besar (19 dengan bantuan20, 29 dengan bantuan 30 dan seterusnya). Kosekuensinya, pada perhitungan kuadrat satuan 9 ini, kita harus mengurangi kuadrat puluhan.

Contoh: 192 = 202 – (19+20) = 202 – 2x20 +1 = 361 292 = 302 – (29+30) = 302 – 2x30 +1 = 841 Cobalah: 392 = 402 – (39+40) = … 2 – 2x … +1 = … 492 = …2 – (49+ … ) = … 2 – 2x … +1 = … 592 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 692 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 792 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 892 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 992 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 1092 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 1192 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = …

(14)

1292 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 1392 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 1592 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = … 2592 = …2 – ( … + … ) = … 2 – 2x … +1 = …

Mengapa Metode ini Bisa Bekerja?

Ijinkan saya memberi sedikit penjelasan mengenai asal dari formula atau rumus yang kita gunakan di atas.

Untuk kuadrat dengan satuan 1: 112 = 11 x 11

= (11-1) x (11+1) + 12 = 10x12 +1

= 10x(10+2) +1 = 10x10 + 10x2 + 1 Untuk kuadrat dengan satuan 9: 92 = (9+1) x (9-1) + 12 = 10x8 + 1 = 10x(10-2) +1 = 10x10 – 20 +1 30x28 +01 = 8100 +1 atau 8101 Dalam aljabar: (10+1) 2 = 102 + 2x10 + 12 (10–1) 2 = 102 – 2x10 + 12

4.2 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 2 dan 8

2 = 0+2 (atau 12=10+2) , sementara 8 = 10 -2. Dengan sifat ini, kamu bisa mengubah kuadrat dengan satuan 2 dan 8 menjadi kuadrat dengan satuan nol. Jika pada kuadrat dengan satuan 1 dan 9 kita menambah dengan 12 (selisih 1 dan 9 dengan nol), maka kuadrat dengan satuan 2 atau delapan ditambah dengan 22.

4.2.1 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 2

Setelah kamu tahu cara menghitung kuadrat dengan sartuan 1 menggunakan bantuan kuadrat berakhiran 0, sekarang kita akan belajar cara menghitung kuadrat dengan satuan 2 menggunakan bantuan kuadrat berakhiran 0.

Kita juga akan menggunakan keistimewaan perkalian 10 atau kelipatannya (puluhan), untuk membantu perhitungan.

(10) 122 = 10x14 + 22 = 102 + 4x10 + 22 = 144 (20) 222 = 20x24 + 22 = 202 + 4x20 + 22 = 324 Cobalah: (30) 322 = 30x34 + 22 = … 2 + 4x… + 22

(15)

= 1024 (40) 422 = … x 44 + 22 = … 2 + 4x … + …2 = … (50) 522 = … x 54 + 22 = … 2 + 4x … + 22 = … (60) 622 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2 = … (70) 722 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2 = … (80) 822 = … x … + 22 = … 2 + … x … + … 2 = … (90) 922 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2 = … (100) 1022 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2 = … (120) 1222 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2 = … (130) 1322 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2 = … (150) 1522 = … x … + 22 = … 2 + …x … + … 2 = …

4.2.2 Kuadrat Bilangan dengan Satuan 8

Setelah kamu tahu cara menghitung kuadrat dengan satuan 9 menggunakan bantuan kuadrat berakhiran 0, sekarang kita akan belajar cara menghitung kuadrat dengan satuan 8 menggunakan bantuan kuadrat berakhiran 0.

Kita juga akan menggunakan keistimewaan perkalian 10 atau kelipatannya (puluhan), sebagai ban tuan.

(10) 82 = 10x6 + 22 = 102 – 4x10 + 22 = 64 (20) 182 = 20x16 + 22 = 202 – 4x20 + 22 = 324 (30) 282 = 30x26 + 22 = 302 – 4x30 + 22 = 784 Catatan:

Dalam kasus tertentu (misalnya dalam menghitung kuadrat 8 dan 18 seperti contoh), perkalian 10 (atau 20) jauh lebih mudah.

82 = 10x6 + 22 = 64 182 = 10x26 + 82 = 324 Atau: = 20x16 + 22 = 324

(16)

Cobalah: (40) 382 = 40x36 + 22 = … 2 – 4x … + 22 = … (50) 482 = … x46 + 22 = … 2 – 4x … + 22 = … (60) 582 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = … (70) 682 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = … (80) 782 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = … (90) 882 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = … (100) 982 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = … (120) 1182 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = … (130) 1282 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = … (150) 1482 = … x … + 22 = … 2 – …x … + … 2 = …

Pada bagian sebelumnya kita telah belajar memanfaatkan kemudahan perkalian kuadrat dengan akhiran nol untuk menghitung kuadrat dengan satuan 1, 9, 2 dan 8. Perbedaan teknik matematika cepat metode Magic MATH1000 adalah bahwa kamu tidak perlu menghafal banyak persyaratan untuk mendapatkan kemudahan berhitung. Meskipun pada conoth di modul sebelumnya, aplikasi kuadrat kelipatan 10 hanya dicontohkan pada kuadrat dengan satuan tertentu, tetapi rumus tersebut sebetulnya bisa digunakan untuk kondisi apapun. Berikut contohnya.

4.3 Kuadrat 6 dan Kuadrat 4 Dihitung dengan

Kuadrat 10

Seperti bagian sebelumnya, sistematika buku mengelompokkan kuadrat 1-9, 2-8, 6-4 dan 7-3. Tujuan dari pengelompokkan ini semata-mata untuk mempermudah pemahaman dan mengingat bukan untuk membatasi. Perhatikan pasangan angka tersebut! Sama dengan jari kita kan?

4.3.1 Kuadrat 6 Dihitung dengan Kuadrat 10

Sebagai contoh, kita akan menggunakan bilangan pokok 86. Nilai kuadrat dari 86 dapat dihitung dengan lebih sederhana tidak hanya dengan menggunakan puluhan terdekat (80 atau 90) tapi juga 100. (80) 862 = (86-6) x (86+6) + 62

= 80x92 + 62

(17)

= 802 + 80x12 + 62 = 7396 (90) 862 = (86+4) x (86-4) + 42 = 90x82 +42 = 90x(90-8) + 42 = 902 – 90x8 + 42 = 7396 (100) 862 = (86+14) x (86-14) + 142 = 100x72 + 142 = 7200 + 196 = 7396

4.3.2 Kuadrat 4 Dihitung dengan Kuadrat 10

Berikut adalah contoh menghtung kuadrat dengan satuan 4 menggunakan bantuan kuadrat 10. Sebagai contoh, akan dihitung kuadrat 84. (80) 842 = (84-4) x (84+4) + 42 = 80x88 + 42 = 80x(80+8) + 42 = 802 + 80x8 + 42 = 6400+640+16 = 7056 (90) 842 = (84+6) x (84-6) + 62 = 90x78 +62 = 90x(90-12) + 62 = 902 – 90x12 + 62 = 8100-1080+36 = 7056 (100) 842 = (84+16) x (84-16) + 162 = 100x68 + 162 = 6800 + 256 = 7056

4.4 Kuadrat 7 dan Kuadrat 3 yang Dihitung

dengan Kuadrat 10

Meski tidak begitu ideal, kuadrat dengan satuan 7 dan 3 juga dapat dihitung dengan memanfaatkan kuadrat 10. Perhatikan contoh yang diberikan, dan cobalah menarik kesimpulan cara menggunakan bilangan rujukan yang paling mudah dan membantu.

4.4.1 Kuadrat 7 Dihitung dengan Kuadrat 10

Sebagai contoh, kita akan menggunakan bilangan pokok 87. Seperti kuadrat 86, nilai kuadrat dari 87 dapat dihitung dengan lebih sederhana tidak hanya dengan menggunakan puluhan terdekat (80 atau 90) tapi juga 100.

(80) 872 = (87-7) x (87+7) + 72 = 80x94 + 72 = 80x(80+14) + 72 = 802 + 80x14 + 72 = 7569 (90) 872 = (87+3) x (87-3) + 32 = 90x84 +32 = 90x(90-6) + 32 = 902 – 90x6 + 32 = 7569

(18)

(100) 872 = (87+13) x (87-13) + 132

= 100x74 + 132

= 7400 + 169 = 7569

4.4.2 Kuadrat 3 Dihitung dengan Kuadrat 10

Berikut adalah contoh menghitung kuadrat dengan satuan 3 menggunakan bantuan kuadrat 10. Sebagai contoh, akan dihitung kuadrat 83. (80) 832 = (83-3) x (83+3) + 32 = 80x86 + 32 = 80x(80+6) + 32 = 802 + 80x6 + 32 = 6889 (90) 832 = (83+7) x (83-7) + 72 = 90x86 +72 = 90x(90-14) + 72 = 902 – 90x14 + 72 = 6889 (100) 832 = (83+17) x (83-17) + 172 = 100x66 + 172 = 6600 + 289 = 6889

Ringkasan kuadrat dengan angka berakhiran nol:

1. Ubah menjadi kuadrat dengan akhiran nol agar menjadi lebih mudah dengan membulatkan ke bilangan berakhiran nol terdekat.

2. Tambah atau kurang 2 kali selisih bilangan yang dikuadratkan dengan pembulatan yang dgunakan.

3. Kuadratkan selisihnya saja. 4. Jumlahkan langkah 1-3.

Catatan:

Selain memanfatkan kuadrat kelipatan 10, kamu juga bisa memanfaatkan kuadrat dengan satuan 5. Penjelasan lebih lengkap dapat dilihat di modul berikutnya.

(19)

Modul 5

Cara Mudah

Menghitung Kuadrat

yang Dekat dengan 5

Pada bagian sebelumnya kita telah belajar memanfaatkan kemudahan perkalian kuadrat dengan akhiran nol atau kelipatan 10 untuk menghitung kuadrat dengan satuan 1-9, 2-8, 6-4 dan 7-3. Selain menggunakan keistimewaan kuadrat 10, kamu juga bisa menggunakan kuadrat 5. Perbedaan teknik matematika cepat metode Magic MATH1000 adalah bahwa kamu tidak perlu menghafal banyak persyaratan untuk mendapatkan kemudahan berhitung. Meskipun pada dibuat pengelompokkan, tetapi tersebut pengelompokkan bukan merupakan syarat yang harus dipenuhi. Pengelompokkan lebih dimaksudkan untuk mempermudah belajar dan mengingat.

5.1 Kuadrat 6 dan Kuadrat 4 Dihitung dengan

Kuadrat 5

Meskipun bisa menggunakan kuadrat kelipatan 10 untuk memudahkan perhitungan, kamu juga dapat menggunakan bantuan kuadrat dengan satuan 5 atau kelipatan 5 untuk memudahkan

perhitungan. Bantuan kemudahan kuadrat keliupatan 5 terutama untuk menghitung kuadrat dengan satuan yang dekat dengan 5 (6 atau 7). Selain 6 dan 7, kuadrat yang bisa dihitung menggunakan bantuan kuadrat 5 adalah 4 dan 3. Kekurangan penggunaan kuadrat 5 untuk menghitung kuadrat 3 atau 4 adalah kita harus mengurang (karena 3 dan 4 lerbih kecil dari 5). Umumnya titik kesulitan adalah pada pengurangan ini. Hanya saja sekali lagi, teknik ini bisa untuk menghitung semua jenis kuadrat tidak peduli berapapubn satuannya.

5.1.1 Kuadrat 6 Dihitung dengan Kuadrat 5

Jika sebelumnya kita selalu memanfaatkan keistimewaan perkalian 10 atau kelipatannya (puluhan), pada kesempatan ini kita akan memanfaatkan keistimewaan kuadrat 5. Sebagai perbandingan, mari kita simak cara menghitung 862 menggunakan rujukan yang berbeda. Berikut ini, kita akan coba menggunakan keistimewaan kuadrat dengan satuan 5 dengan menggunakan 85 sebagai bilangan rujukan. Seperti kita tahu, kuadrat 5 adalah kuadrat yang sangat istimewa dan mudah penuyelesaiannya. Keistimesawaan dan kemudahan dari kuadrat 5 tersdebut dapat digunkan untuk membantu menghitung kuadrat yang lain, khususnya kuadrat yang satuannya dekat dengan 5. (85) 862 = 852 + 2x85 + 1 atau 852 + (85+86) = 7225 +171 = 7396 (85) 842 = 852 – 2x85 + 1 atau 852 – (85+86) = 7225 – 170 + 1 = 7056 Cobalah: (15) 162 = 152 + (15+16) = 225 + 2x15 + 1 = 256

(20)

(25) 262 = 252 + (25+26) = 625 + 2x25 +1 = 676 (35) 362 = 152 + (35+36) = ... + 2x ... + 1 = … (45) 462 = …2 + (… + …) = ... + 2x ... + 1 = … (55) 562 = …2 + (… + …) = ... + 2x ... + 1 = … (65) 662 = …2 + (… + …) = ... + 2x ... + 1 = … (75) 762 = …2 + (… + …) = ... + 2x ... + 1 = … (85) 862 = …2 + (… + …) = ... + 2x ... + 1 = … (95) 962 = …2 + (… + …) = ... + 2x ... + 1 = …

5.1.2 Kuadrat 4 yang Dihitung dengan Kuadrat 5

Karena 4 sangat dekat dengan 5, sehingga menggunakan keistimewaan 5 untuk menghitung 4 pasti akan memberikan banyak kemudahan dalam perhitungan. Perhatikan bahwa 4 kurang dari 5 sehingga kita juga harus mengurang. Berikut adalah contoh penggunaan kuadrat 5 untuk menghitung kuadrat 4.

(85) 842 = 852 – (84+85) → atau 852 – (84+85) = 852 – 2x85 +1 = 7226 – 200 + 30 = 7056 Cobalah: (15) 142 = 152 – (14+15) = 225 – 2x15 + 1 = 196 (25) 242 = 252 – (24+25) = 625 – 2x25 +1 = … (35) 342 = 352 – (34+35)

(21)

= ... – 2x ... + 1 = … (45) 442 = …2 – (… + …) = ... – 2x ... + 1 = … (55) 542 = …2 – (… + …) = ... – 2x ... + 1 = … (65) 642 = …2 – (… + …) = ... – 2x ... + 1 = … (75) 742 = …2 – (… + …) = ... – 2x ... + 1 = … (85) 842 = …2 – (… + …) = ... – 2x ... + 1 = … (95) 942 = …2 – (… + …) = ... – 2x ... + 1 = …

Mengapa cara tersebut bisa bekerja? 162 = (15+1) x (15+1) = 15(15+1) + (15+1) = 152 + 15+15 +1 atau = 152 + 15+16 = 152 + 2x15 + 12 = 256 142 = (15-1) x (15-1) = 15(15-1) – (15-1) = 152 – 15 – 14 atau = 152 – (14+15) = 152 – 2x15 + 12 = 196 Aljabar: (15+1)2 = 152 + 2x15 + 1 (15-1)2 = 152 - 2x15 + 1

5.2 Kuadrat 7 dan Kuadrat 3 yang dihitung

dengan kuadrat 5

Meski tidak sedekat 6 atau 4, 7 dan 3 lebih dekat dengan 5 dibanding 10 sehingga kamu juga bisa memanfaatkan kuadrat 5 sebagai alternative/pilihan selain kuadrat 10.

5.2.1 Kuadrat 7 yang dihitung dengan kuadrat 5

Setelah kamu tahu cara menghitung kuadrat 6 dan 4 dengan bantuan kuadrat 5, sekarang, kita akan belajar cara menghitung kuadrat 7 dengan bantuan kuadrat 5.

(22)

= 7225 +171 = 7396 Cobalah: (15) 172 = 152 + 4x15 + 4 atau 202 - 6x20 + 9 = 225 + 60 + 4 atau 102 +14x10 + 49 = 289 (25) 272 = 252 + 4x25 + 4 = 625 + 100 + 4 = … (35) 372 = 352 + 4x35 + 4 = ... + ... + 4 = … (45) 472 = 452 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (55) 572 = 552 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (65) 672 = 652 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (75) 772 = 752 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (85) 872 = 852 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (95) 972 = 952 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (105) 1072 = 1052 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (115) 1172 = 1152 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (125) 1272 = 1252 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (135) 1372 = 1352 + 4x … + 4

(23)

= ... + ... + 4 = … (155) 1572 = 1552 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = … (255) 2572 = 2552 + 4x … + 4 = ... + ... + 4 = …

5.2.2 Kuadrat 3 yang dihitung dengan kuadrat 5

Kuadrat dengan satuan 3 mirip dengan satuan 7. KArena 3 lebih kecil dari 5, maka kuadrat 5 perlu dikurangi untuk menghitung kuadrat 3 agar benar. (85) 832 = (83+2) x (83-2) + 22 = 85 x (85-4) + 22 = 852 – 85x4 + 22 = 7225 – 340 + 4 = 7225 – 400 + 64 = 6889 (15) 132 = 152 – 4x15 + 4 = 225 – 60 + 4 = 169 (25) 232 = 252 – 4x25 + 4 = 625 – 100 + 4 = … (35) 332 = 352 – 4x35 + 4 = ... – ... + 4 = … (45) 432 = 452 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (55) 532 = 552 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (65) 632 = 652 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (75) 732 = 752 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (85) 832 = 852 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = …

(24)

(95) 932 = 952 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (105) 1032 = 1052 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (115) 1132 = 1152 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (125) 1232 = 1252 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (135) 1332 = 1352 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (155) 1532 = 1552 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … (255) 2532 = 2552 – 4x … + 4 = ... – ... + 4 = … Catatan: (80) 832 = 80x86 + 32 → (83-3) x (83+3) + 32 = 6880 + 9 = 6889 (90) 832 = 90x76 + 72 → (83+7) x (83-7) + 72 = 6840 + 49 = 6889 (100) 832 = 100x66 + 172 → (83+17) x (83-17) + 172 = 6600 + 10x24+49 = 6889

Tentu saja pendekatan tersebut bukan suatu keharusan. Setiap orang punya cara berpikir dan gaya belajar sendiri. Kamu tidak perlu ragu untuk menggunakan cara yang berbeda. Yang paling penting, pahami dasarnya dan kembangkan sesuai dengan kebutuhan dan gaya yang paling sesuai dengan kamu.

(25)

Modul 6

Memeriksa Jawaban

dengan Angka 9

Maukah kamu mendapat nilai 100 setiap kali ulangan atau quiz? Meskipun membuat kesalahan itu wajar dan sangat manusiawi (apalagi bagi yang masih dalam tahap belajar), tidakkah kamu bangga jika dikenal sebagai siswa yang tidak pernah membuat kesalahan? Bahasan pada modul berikut barangkali bisa membantu. Berlatihlah untuk tidak berhenti sampai menjawab soal saja. Pastikan jawaban kamu benar. Seringkali guru meminta siswanya untuk tidak terburu-buru mengakhiri pekerjaan, sayangnya satu-satunya cara yang paling sering dilakukan adalah mengerjakannya lagi. Meskipun kamu termasuk siswa yang rajin memeriksa kembali pekerjaan kamu, masih tetap terbuka lebar kemungkinan kamu memberikan jawaban salah jika kamu hanya mengulang perkerjaan dengan cara yang sama. Mari kita langsung coba saja.

13x14 = 182 Apalah ini sudah benar? Ada 2 cara yang akan kita gunakan

6.1 Menjumlahkan Angka Penyusun

Mari kita periksa dengan menjumlah angka penyusunnya. 13 = 1+3 = 4

14 = 1+4 = 5

182 = 1+8+2 = 11

11 = 1+1 = 2

Karena hasil perkalian dari jumlah angka pada bilangan kiri 2 dan jumlah angka pada bilangan kanan juga = 2 maka kemungkinan besar jawaban tersebut benar.

Catatan:

Kata kemungkinan benar digunakan karena jawaban 821, 812, 281 memberikan jumlah angka yang sama.

Contoh 2:

jumlah masing angka 256 2+5+6 = 13 1+3 = 4

125 x 1+2+5 = 8 4x8 = 32 3+2 = 5 31000 3+1+0+0+0 = 4

Karena jumlah tidak sama, maka jawaban di atas pasti salah.

Contoh 3:

jumlah masing-masing angka 256 2+5+6 = 13 1+3 = 4

125 x 1+2+5 = 8 4x8 = 32 3+2 = 5 31100 3+1+1+0+0 = 5

Karena jumlah sama, maka jawaban di atas mungkin benar. Ngomong-ngomong jawaban yang benar adalah 32.000.

(26)

Contoh 4:

jumlah masing-masing angka 2564 2+5+6+4 = 17 1+7 = 8

1235 x 1+2+3+5 = 11 1+1 = 2 8x2 = 16 1+6 = 7 3.166.440 3+1+6+6+4+4+0 = 24 2+4 = 6 Karena jumlah tidak sama, maka jawaban di atas pasti salah. contoh 5:

jumlah masing-masing angka 2564 2+5+6+4 = 17 1+7 = 8

1235 x 1+2+3+5 = 11 1+1 = 2 8x2 = 16 1+6 = 7 3.166.540 3+1+6+6+5+4+0 = 25 2+5 = 7 Karena jumlah sama, maka jawaban di atas mungkin benar.

6.2 Menghilangkan 9 – dan Menjumlahkan

Sisanya

Cara ini sama persis denagn cara sebelumnya tapi menggunakan cara pintas. Cara ini lebih cepat yaitu dengan menghilangkan angka penyusun yang berjumlah 9. Dalam contoh di atas, 182 bisa kita hilangkan angka 1 dan 8 sehingga hanya tinggal angka 2 (182). Contoh 2: 267 x 346 = 91.382. Apakah benar?

1. Menjumlahkan Angka

267 x 346 = 91.382 2+6+7 = 15 3+4+6 = 13 9+1+3+8+2 = 23 1+5 =6 1+3=4 2+3=5 6x4 = 24 2+4=6 Jawabnya pasti salah.

2. Menghilangkan Angka 9 – dan Menjumlahkan Sisanya

2 67 x 3 4 6 = 9 1.382

6 = 6 4 3+2 = 5

6x4 = 24 2+4=6

Sama dengan hasil sebelumnya, Jawabnya pasti salah. Contoh 3: 456 x 831 = 368.936 Apakah benar? 1. Menjumlahkan Angka 456 x 831 = 368.936 4+5+6 = 15 8+3+1 =12 3+6+8+9+3+6 = 35 1+5 = 6 1+2 = 3 3+5 =8 6 x 3 = 18 1+8 = 9

Jawaban PASTI salah

2. Menghilangkan Angka 9 – dan Menjumlahkan Sisanya

456 x 831 = 368.936

6 3 8

6 x 3 = 18

Jawaban PASTI salah

Cobalah:

Periksa, apakah perkalian berikut benar atau salah menggunakan cara yang telah dijelaskan.

(27)

42 x 42 = 1684 51 x 51 = 2601 102 x 102 = 10404 103 x 103 = 10609 107 x 107 = 11448 108 x 108 = 11664 302 x 302 = 91204 403 x 403 = 162409 102 x 302 = 30804 503 x 606 = 304818 135 x 135 = 13225 145 x 145 = 15625 155 x 155 = 24025 165 x 165 = 27225

6.3 Memeriksa Pembagian

Untuk memeriksa pembagian, kamu musti ubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian.

Contoh 1: 42:2 = 21 → ubah menjadi 21x2 = 42 2+1 = 3: 3x2 = 6 4+2=6 bandingkan Contoh 2: 161:7 = 23 → ubah menjadi 23x7 = 161 2+3 = 5: 5x7 = 35 1+6+1=8 3+5 bandingkan

6.4 Memeriksa Pembagian Bersisa

Berikut ini contoh cara memeriksa pembagian bersisa. Contoh:

178:7 = 25 sisa 3

Apakah jawaban tersebut sudah benar? Berikut cara kita memeriksa:

1. Ubah menjadi bentuk perkalian 25x7 + 3 =178 2. Hitung jumlah masing-msing angka penyusunnya:

Kiri: 2+5=7: 7x7 = 49: 4: 4+3 = 7 Kanan: 1+7+8: 7

3. Karena jumlah kiri dan kanan sama, maka kemungkinan jawabnya benar. Cobalah: 1. 4370 : 56 = 78 sisa 2 2. 4346 : 77 = 46 sisa 4 3. 1955 : 31 = 63 sisa 2 4. 4370 : 56 = 78 sisa 2 5. 1304 : 42 = 31 sisa 2 6. 1328 : 53 = 25 sisa 3 7. 1474 : 32 = 46 sisa 1 8. 4340 : 51 = 75 sisa 2

(28)

Modul 7

Kuadrat

Bilangan Desimal

Jika kamu sudah lancar menghitung kuadrat, maka kuadrat bilangan decimal tentu akan sangat mudah buatmu. Cara menghitung kuadrat decimal:

1. Abaikan desimalnya dan hitung seperti biasa.

2. Tambahkan decimal sebanyak 2 kali bilangan pokok.

Contoh:

312 = 302 + (30+31) = 9,61

3,12 = 9,61 (2 angka di belakang koma)

292 = 302 – (29+30) = 841 2,92 = 8,41 262 = 252 + (25+26) = 676 2,62 = 6,76 242 = 252 - (24+25) = 576 2,42 = 6,76 222 = 202 + 4x20 + 22 282 = 302 – 4x30 + 22 = 484 = 784 2,22 = 4,84 2,82 = 7,84 232 = 252 - 4x25 + 22 272 = 252 + 4x25 + 22 = 529 = 729 2,32 = 5,29 2,72 = 7,84 Catatan:

Pada semua contoh di atas, digunakan bantuan kuadrat dengan akhiran nol dan kuadrat dengan akhiran 5 untuk memudahkan perhitungan.

Sebagai pengingat, berikut pedoman yang bisa kamu gunakan: Menghitung kuadrat dengan bantuan kuadrat berakhiran nol atau 5: 1. Untuk bilangan yang lebih besar dari rujukan ditambah,

sementara untuk bilangan lebih kecil dikurang.

2. Besarnya tambahan/pengurangan adalah 2x dari selisih bilangan yang dikuadratkan terhadap rujukan.

(29)

4. Kuadrat dengan akhiran 1, 9, 2 dan 8 sebaiknya (tidak harus) diselesaikan dengan bantuan kuadrat 10 karena lebih dekat dengan nol/sepuluh.

5. Kuadrat dengan akhiran 6, 4, 7 dan 3 dapat diselesaikan dengan bantuan kuadrat 10 atau kuadrat 5.

7.1 Kuadrat Desimal dengan Rujukan

Kelipatan 10

Contoh: Rujukan 20 212 = 202 + 2x20 + 12 192 = 202 – 2x20 + 12 222 = 202 + 4x20 + 22 182 = 202 – 4x20 + 22 232 = 202 + 6x20 + 32 172 = 202 – 6x20 + 32 242 = 202 + 8x20 + 42 162 = 202 – 8x20 + 42

Cobalah hitung masing-masing contoh dan bandingkan hasilnya. Amati dan pelajari dengan cermat teknik pengerjaannya. Cara ini berlaku untuk perhitungan kuadrat berapapun sehingga akan sangat membantu jika kamu menguasainya dengan baik.

Kalau kamu cermati, maka menghitung kuadrat dengan bialangan rujukan hanya perlu menghitung kuadrat bilangan rujukan dan satuan (selisih bilangan yang dihitung dengan bilangan rujukan) nya saja. Latihan Kuadrat Desimal

Gunakan rujukan 30 Gunakan rujukan 40

312 = 302 + 2x30 + 12 412 = 402 + 2x40 + 12 = … = … 3,12 = … 4,12 = … 322 = … 2 + 4x … + 22 422 = …2 + 4x … + 22 = … = … 3,22 = … 4,22 = … 332 = … 2 + 6x … + 22 432 = …2 + 6x … + 22 = … = … 3,32 = … 4,32 = … 342 = … 2 + 8x … + 22 442 = …2 + 8x … + 22 = … = … 3,42 = … 4,42 = …

512 = … 2 + 2x … + 12 612 = … 2 + …x … + 12 = … = … 5,12 = … 6,12 = … 522 = … 2 + 4x … + 22 622 = … 2 +… x … + 22 = … = … 5,22 = … 6,22 = … 532 = … 2 + 6x … + 22 632 = … 2 + …x … + 22 = … = … 5,32 = … 6,32 = … 542 = … 2 + 8x … + 22 642 = … 2 + …x … + 22

(30)

= … = … 5,42 = … 6,42 = …

712 = … 2 + 2x … + 12 812 = … 2 + …x … + 12 = … = … 7,12 = … 8,12 = … 722 = … 2 + 4x … + 22 822 = … 2 +… x … + 22 = … = … 7,22 = … 8,22 = … 732 = … 2 + 6x … + 22 832 = … 2 + …x … + 22 = … = … 7,32 = … 8,32 = … 742 = … 2 + 8x … + 22 842 = … 2 + …x … + 22 = … = … 7,42 = … 8,42 = …

912 = … 2 + 2x … + 12 112 = … 2 + …x … + 12 = … = … 9,12 = … 1,12 = … 922 = … 2 + 4x … + 22 122 = … 2 +… x … + 22 = … = … 9,22 = … 1,22 = … 932 = … 2 + 6x … + 22 132 = … 2 + …x … + 22 = … = … 9,32 = … 1,32 = … 942 = … 2 + 8x … + 22 842 = … 2 + …x … + 22 = … = … 9,42 = … 8,42 = …

192 = … 2 – 2x … + 12 292 = … 2 – …x … + 12 = … = … 1,92 = … 2,92 = … 182 = … 2 – 4x … + 22 282 = … 2 –… x … + 22 = … = … 1,82 = … 2,82 = … 172 = … 2 – 6x … + 22 272 = … 2 – …x … + 22 = … = … 1,72 = … 2,72 = … 162 = … 2 – 8x … + 22 262 = … 2 – …x … + 22

(31)

= … = … 1,62 = … 2,62 = …

392 = … 2 – 2x … + 12 492 = … 2 – …x … + 12 = … = … 3,92 = … 4,92 = … 382 = … 2 – 4x … + 22 482 = … 2 –… x … + 22 = … = … 3,82 = … 4,82 = … 372 = … 2 – 6x … + 22 472 = … 2 – …x … + 22 = … = … 3,72 = … 4,72 = … 362 = … 2 – 8x … + 22 462 = … 2 – …x … + 22 = … = … 3,62 = … 4,62 = …

592 = … 2 – 2x … + 12 692 = … 2 – …x … + 12 = … = … 5,92 = … 6,92 = … 582 = … 2 – 4x … + 22 682 = … 2 –… x … + 22 = … = … 5,82 = … 6,82 = … 572 = … 2 – 6x … + 22 672 = … 2 – …x … + 22 = … = … 5,72 = … 6,72 = … 562 = … 2 – 8x … + 22 662 = … 2 – …x … + 22 = … = … 5,62 = … 6,62 = …

792 = … 2 – 2x … + 12 892 = … 2 – …x … + 12 = … = … 7,92 = … 8,92 = … 782 = … 2 – 4x … + 22 882 = … 2 –… x … + 22 = … = … 7,82 = … 8,82 = … 772 = … 2 – 6x … + 22 872 = … 2 – …x … + 22 = … = … 7,72 = … 8,72 = … 762 = … 2 – 8x … + 22 862 = … 2 – …x … + 22

(32)

= … = … 7,62 = … 8,62 = …

7.2 Kuadrat Desimal dengan Rujukan Kuadrat

5

Rujukan bilangan berakhiran nol atau puluhan memang bisa sangat membantu meskipun bukan satu-satunya rujukan yang dapat digunakan. Jika kamu membutuhkan alternative lain, maka rujukan bilangan berakhiran 5 bisa menjadi pilihan. Karena bilangan rujukannya berbeda, tentu saja, selisih bilangannya juga berbeda. Penggunaan rujukan kuadrat 5 tidak jauh berbeda dengan rujukan bilangan kelipatan 10. Kamu hanya perlu menguasai kuadrat dengan satuan 5 dengan sangat baik, sebaik kuadrat bilangan kelipatan 10 untuk bisa melakukan perhitungan ini dengan cepat dan benar. 1. Abaikan desimalnya dan hitung seperti biasa.

2. Tambahkan decimal sebanyak 2 kali bilangan pokok. Contoh rujukan 25 dan 15

Rujukan 25 Rujukan 15

242 = 252 – 2x25 + 12 162 = 152 + 2x15 + 12 232 = 252 – 4x25 + 22 172 = 152 + 4x15 + 22 222 = 252 – 6x25 + 32 182 = 152 + 6x15 + 32 212 = 252 – 8x25 + 42 192 = 152 + 8x15 + 42

Contoh Menghitung Kuadrat Desimal dengan Kuadrat 5: 162 = 152 + (15+16) = 152 + 2x15 + 12

= 256 1,62 = 2,56 (2 angka di belakang koma)

142 = 152 – (14+15) = 152 – 2x15 + 12 = 196 1,42 = 1,96 (2 angka di belakang koma)

172 = 152 + 4x15 + 22 132 = 152 – 4x15 + 22 = 289 = 169 1,72 = 2,89 1,32 = 1,69 182 = 152 + 6x15 + 32 122 = 152 – 6x15 + 32 = 324 = 144 1,82 = 3,24 1,22 = 1,44 192 = 152 + 8x15 + 42 112 = 152 – 8x15 + 42 = 361 = 121 1,92 = 3,61 1,12 = 1,21 Catatan:

Kamu pasti merasakan perbedaan yang cukup nyata pada kemudahan yang ditawarkan rujukan kelipatan 10 dan kelipatan 5. Hal tersebut sangat nyata terutama pada contoh 192 = 152 + 8x15 + 42. Terasa agak rumit bukan? Jauh lebih mudah dan sederhana jika menggunakan rujukan 20 seperti berikut: 192 = 202 – 2x20 +1 = 361. Dengan alasan tersebut, kita hanya perlu menggunakan bantuan kuadrat kelipatan 5 untuk bilangan yang kurang atau lebihnya dari bilangan rujukan tidak lebih dari 2 (satuan 3, 4 atau 6,7). Mari kita berlatih:

(33)

162 = 152 + 15+16 142 = 152 – (14+15) = … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = 256 = 196 1,62 = … 1,42 = … 172 = … 2 + 4x … + 22 132 = … 2 – 4x … + 22 = … + 60 + 4 = … – 60 + … = 289 = 169 1,72 = … 1,32 = … 262 = 252 + 25+26 242 = 252 – (24+25) = … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = … = … 2,62 = … 2,42 = … 272 = … 2 + 4x … + 22 232 = … 2 – 4x … + 22 = … + … + 4 = … – … + … = … = … 2,72 = … 2,32 = … 362 = 352 + 35+36 342 = 352 – (34+35) = … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = … = … 3,62 = … 3,42 = … 372 = … 2 + 4x … + 22 332 = … 2 – 4x … + 22 = … + … + 4 = … – … + … = … = … 3,72 = … 3,32 = … 462 = 452 + 45+46 442 = 452 – (44+45) = … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = … = … 4,62 = … 4,42 = … 472 = … 2 + 4x … + 22 432 = … 2 – 4x … + 22 = … + … + 4 = … – … + … = … = … 4,72 = … 4,32 = … 562 = 552 + 55+56 542 = 552 – (54+55) = … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = … = … 5,62 = … 5,42 = … 572 = … 2 + 4x … + 22 532 = … 2 – 4x … + 22 = … + … + 4 = … – … + … = … = … 5,72 = … 5,32 = … 662 = 652 + 65+66 642 = 652 – (64+65)

(34)

= … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = … = … 6,62 = … 6,42 = … 672 = … 2 + 4x … + 22 632 = … 2 – 4x … + 22 = … + … + 4 = … – … + … = … = … 6,72 = … 6,32 = … 762 = 752 + 75+76 742 = 752 – (74+75) = … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = … = … 7,62 = … 7,42 = … 772 = … 2 + 4x … + 22 732 = … 2 – 4x … + 22 = … + … + 4 = … – … + … = … = … 7,72 = … 7,32 = … 862 = 852 + 85+86 842 = 852 – (84+85) = … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = … = … 8,62 = … 8,42 = … 872 = … 2 + 4x … + 22 832 = … 2 – 4x … + 22 = … + … + 4 = … – … + … = … = … 8,72 = … 8,32 = … 962 = 952 + 95+96 942 = 952 – (94+95) = … 2 + 2x … + 12 = … 2 – 2x … + 12 = … = … 9,62 = … 9,42 = … 972 = … 2 + 4x … + 22 932 = … 2 – 4x … + 22 = … + … + 4 = … – … + … = … = … 9,72 = … 9,32 = …

(35)

Modul 8

Kuadrat/Perkalian

yang Dekat 50, 100

dan 500

8.1 Kuadrat bilangan yang mendekati 50

Kamu sudah memahami dan munguasai dengan baik kuadrat dengan puluhan 5? Apakah cukup mudah dan dapat membantu kamu merasakan mudahnya mengolah angka? Apakah kemampuan barumumu itu membuat kamu lebih menyukai matematika dan membuatmu lebih percaya diri?

Berikut ini, kamu akan belajar 1 jurus lagi yang tidak kalah hebatnya. Sebelumnya, mari kita ulang kuadrat dengan puluhan 5 (dan juga perkalian yang angka satuannya sama dan jumlah puluhannya = 10). (50+3) → 532 = 52+3 32

= 2809 (50+4) → 542 = 52+4 42

= 2916

Bagaimana dengan kuadrat dengan puluhan 4? Kamu beruntung karena mengetahui bahwa jurus yang sama juga bisa digunakan bukan hanya untuk kuadrat dengan puluhan 5, tetapi juga untuk kuadrat berapapun. Pada tahap pertama ini, mari kita bahas terlebih dulu kuadrat mendekati 50 dengan puluhan 4. Karena kuadrat dengan puluhan 4 kurang dari 50, maka selisih dari 50 adalah negatif. Berikut contohnya: (50-3) → 472 = 52 – 3 32 = 2209 (50-4) → 462 = 52 – 4 42 = 2116 Cobalah: 492 = …2 – 1 12 = 2401 512 = …2 + 1 12 = 2601 482 = …2 – 2 22 = … 522 = …2 + 2 22 = … 472 = …2 –… …2 = … 532 = …2 + … …2 = … 462 = …2 –… …2 = … 542 = …2 + … …2 = … 452 = …2 –… …2 = … 552 = …2 + … …2 = … 442 = …2 –… …2 = … 562 = …2 + … …2 = … 432 = …2 –… …2 = … 572 = …2 + … …2 = … 422 = …2 –… …2 = … 582 = …2 + … …2 = … 412 = …2 –… …2 = … 592 = …2 + … …2 = … 402 = …2 –… …2 = … 602 = …2 + … …2 = …

Mengapa metode ini bisa bekerja?

Perhatikan bahwa 50 adalah 100/2. Mengalikan 2 satuan dengan 50 sama dengan mengalikan satuan dengan 100.

Meskipun sedikit lebih rumit, dan tidak semudah pada bilangan yang mendekati 50, prinsip ini sebetulnya bisa digunakan untuk menghitung kuadrat berapapun.

(36)

Contoh: 612 = 52 + 11 112 = 37 121 = 3821 392 = 52 – 11 112 = 14 121 = 1521 Cobalah: 512 = 612 = = = = = 492 = 392 = = = = = 522 = 622 = = = = = 482 = 382 = = = = = 532 = 632 = = = = = 472 = 372 = = = = = 542 = 642 = = = = = 562 = 662 = = = = = 462 = 362 = = = = = 572 = 672 = = = = = 432 = 342 = = =

(37)

= =

582 = 682 =

= =

8.2 Perkalian Bilangan yang Mendekati 50

Selain kuadrat, maka perkalian bilangan yang mendekati 50 juga bisa diselesaikan dengan mudah menggunakan keistimewaan perkalian 50. Sedikit berbeda dengan kuadrat maka dalam perkalian, perlu diperhatikan apakah perkalian ini antar bilangan yang keduanya lebih besar dari 50, keduanya lebih kecil dari 50 atau antar bilangan yang lebih besar dan lebih kecil dari 50.

Berikut tahap penyelesaiannya:

1. Ubah menjadi perkalian 50 dengan menambah dan mengurang dengan nilai yang sama.

2. Hitung selisihnya terhadap 50 dan bagi 2. Tambahkan hasilnya dengan 25.

3. Tambahkan dengan hasil kali selisih.

Contoh: 54x58 = … (54-4) x (58+4) = 50x(50+12) 12:2 = 6 →25+6 = 31 4x8=32. Jadi 54x58 = 3132 48x47 = … (48+2)x(47-2) = 50x(50-5) -5/2 = -2,5, 25-2,5 = 22,5 2x3=6. Jadi 48x47 = 2250+6 = 2256 48x53 = … (48+2)x(53-2) = 50x(50+1) 1:2 = 0,5. 25 + 0,5 = 25,5 -2x3 = -6. Jadi 48x53 = 2550 – 6 = 2544 52x63 = … (52-2)x(63+2) = 50x(50+15) 15:2 = 7,5. 25 + 7,5 = 32,5 2x13 = 26. Jadi 52x63 = 3250 + 26 = 3276 Cobalah: 53x56 = … 59x58 = … 56x57 = … 54x56 = … 44x46 = … 42x48 = … 43x49 = … 45x58 = … 47x54 = … 46x53 = …

(38)

8.3 Kuadrat yang Mendekati 100

Kuadrat dengan puluhan 9 atau 90an dapat diselesaikan menggunakan rujukan 90 atau 100. Karena perkalian 100 jauh lebih mudah dibanding perkalian 90, maka akan sangat membantu jika kamu menggunakan rujukan 100. Meski demikian, sah-sah saja jika kamu ingin mencoba dengan rujukan 90. Berikut contoh dan perbandingannya. Contoh 1: (90) 942 = 90 x 98 = 8820 → (94-4) x (94+4) 42 = 16 + Jadi 942 = 8836 (100) 942 = 100 x 88 = 8800 → (94+6) x (94-6) 62 = 36 + Jadi 942 = 8836 Contoh 2: (90) 972 = 90 x 104 = 9.360 → (97-7) x (97+7) 72 = 49 + Jadi 972 = 9.409 (100) 972 = 100 x 94 = 9.400 → (97-3) x (97+3) = 32 = 09 + Jadi 972 = 9.409

8.3.1 Menggunakan Perkalian 100

Lebih mudah menggunakan rujukan 100 bukan? Cobalah: 912 = (91- …) x (91+ .. ) = … 92 = … + Jadi 912 = … 922 = (92- …) x (92+ .. ) = … 82 = … + Jadi 922 = … 932 = (93- …) x (93+ ..) = … …2 = … + Jadi 932 = … 952 = ( … - … ) x ( … + ... ) = … …2 = … + Jadi 952 = … 962 = ( … - … ) x ( … + ... ) = … …2 = … + Jadi 962 = … 982 = ( … - … ) x ( … + … ) = … …2 = … + Jadi 982 = …

(39)

992 = ( … - … ) x ( … + ..) = …

…2 = … + Jadi 992 = …

8.3.2 Menggunakan Kuadrat 100

Selain menggunakan rujukan 100 (atau rujukan 90), kita juga dapat menghitung kuadrat mendekati 100 dengan dengan bantuan kuadrat seratus. Ingat bahwa 1002 = 10 000. Cara ini menggunakan formula sebagai berikut:

Ingat bahwa 1002 = 10 000.

Kuadrat bilangan yang lebih dari 100 akan ditambah 2x 100 x selisih, sementara yang kurang akan dikurang.

Tambahkan kuadrat dari selisihnya.

Contoh: 1012 = 1002 + 2x100 + 12 = 10201 1022 = 1002 + 4x100 + 22 = 10404 1032 = 1002 + 6x100 + 32 = 10609 1042 = 1002 + 8x100 + 42 = 10816 Catatan:

Khusus untuk kuadrat atau perkalian bilangan dengan nol di tengah, ada cara lain yang juga sama mudahnya.

1. Kuadratkan ratusannya. 2. Kalikan angka penyusunnya. 3. Kuadratkan satuannya.

Pada contoh diatas: 1012 = 12 1x1x2 12 = 10201 1022 = 12 1x2x2 22 = 10404 1032 = 12 1x3x2 32 = 10609 1042 = 12 1x4x2 42 = 10816 2082 = 22 2x8x2 82 = 43264 992 = 1002 – 2x100 + 12 = 9801 982 = 1002 – 4x100 + 22 = 9604 972 = 1002 – 6x100 + 32 = 9409 962 = 1002 – 8x100 + 42 = 9216

Meski paling mudah diterapkan pada bilangan yang dekat dengan 100 (91-109), cara yang baru saja kita lakukan tentu saja tidak hanya bisa digunakan hanya terbatas untuk kuadrat dengan bilangan itu. Sekali lagi, di Magic MATH100, kami memberikan metode yang umum dan berlaku untuk segala kondisi. Percuma kalau mudah menghitungnya tapi susah menghafal persyaratannya bukan?

Kuadrat 120

1232 = 1202 + 6x120 + 32 = 14400 + 720 + 9 = 15129

(40)

Atau kuadrat 100 1232 = 1002 + 46x100 + 232 = 10000 + 4600 + 529 (202+ 6x20+9) = 15129 Atau perkalian 100 1232 = 100 x 146 + 232 = 14600 + 20x26 + 9 = 15129 Catatan:

Dalam banyak hal, perkalian 100 lebih mudah karena tinggal menambah 2 angka nol dan tidak musti mengurang. (kecuali untuk perkalian antar dua bilangan kurang dan lebih dari bilangan rujukan).

8.4 Kuadrat Bilangan yang Mendekati 500

Kamu sudah cukup mahir menghitung kuadrat mendekati 50 bukan? Untuk bilangan kuadrat mendekati 500, caranya mirip dengan kuadrat mendekati 50.

Bedanya pada kuadrat yang mendekati 500, gunakan nilai 250 sebagai pengganti nilai 25 pada kuadrat yang mendekati 50. Hal tersebut terjadi karena hasil kuadrat mendekati 50 adalah 4 angka sementara kuadrat mendekati 500 adalah 6 angka.

Kuadrat mendekati 500 Kuadrat mendekati 50

5122 = 250+12 122 =144 512 = 25+1 22 = 01 = 262 144 = 26 01 5352 = 250+35 352 = 1225 522 = 25+2 22 = 04 = 286225 = 27 04 4852 = 250-15 152 =225 482 = 25-3 22 = 01 = 235 225 = 22 01 4872 = 250-13 132 = 169 432 = 25-7 72 = 49 = 237 169 = 18 49 Cobalah: 5062 = 250+06 62 = … 5212 = 250+21 212 → 212 = 202+2x20 + 12 = … 5292 = 250+29 292 → 292 = 302 – 2x30 + 12 = … = 841 5362 = 250+36 362 → 362 = 352 + 2x35+ 12 = … = 1296 4292 = 250-71 712 → 712 = 702 + 2x70 + 12 = … = 5041 4362 = 250-64 642 → 642 = 652 - 2x65+ 12 = … = 4096

(41)

Modul 9

Kuadr

Kuadrat Bilangan

at Bilangan

3 Angka

Semua bilangan 3 angka bisa dikuadratkan dengan cukup mudah. Untuk keperluan belajar, bahasan kuadrat bilangan 3 angka ini akan dibagi menjadi beberapa bagian.

9.1 Kuadrat Bilangan 3 Angka dengan Angka

Nol di Tengah

Kuadrat (dan juga perkalian) dengan nol di tengah sangat special karena dapat dikerjakan dengan sangat mudah. Berikut contoh dan langkah pengerjaannya.

2032 = …

1. Kuadratkan angka pertamanya (ratusan). 22 = 4

2. Kalikan nilai ratusan dan satuan dan kalikan dua. 2x3x2 = 12. 3. Kuadratkan angka terakhirnya (satuan). 32 = 09

Jadi: 2032 = 41.209 1022 = 12 1x2x2 22 = 10404 2012 = 22 2x1x2 12 = 40401 Cobalah: 1032 = …2 …x…x2 …2 3012 = …2 …x…x2 …2 = … = … 1052 = …2 …x…x2 …2 5012 = …2 …x…x2 …2 = … = … 1062 = …2 …x…x2 …2 6012 = …2 …x…x2 …2 = … = … 1072 = …2 …x…x2 …2 7012 = …2 …x…x2 …2 = … = … 1082 = …2 …x…x2 …2 8012 = …2 …x…x2 …2 = … = … 1092 = …2 …x…x2 …2 9012 = …2 …x…x2 …2 = … = … 1022 = 10404 1032 = 10609 1042 = 10816 1052 = 11025 1062 = 10609 1072 = 10609 1082 = 10609 1092 = 10609

(42)

21. 1012 = … 11. 3052 = … 22. 1022 = … 12. 3062 = … 23. 1032 = … 13. 3072 = … 24. 1042 = … 14. 3082 = … 25. 1052 = … 15. 3092 = … 26. 1062 = … 16. 4012 = … 27. 1072 = … 17. 4022 = … 28. 1082 = … 18. 4032 = … 29. 1092 = … 19. 4042 = … 30. 2012 = … 20. 4052 = …

9.2 Jika Satuan/Akhirannya Nol

Bilangan dengan akhiran angka nol cukup dikuadratkan angka di depan nol dan kemudian tambahkan angka nol sebanuyak 2x angka nol bilangan yang dikuadratkan.

1102 = 112 (121) ditambah 2 angka nol = 12100

1202 = 122 (144) ditambah 2 angka nol = 14400

1302 = 132 (169 ditambah 2 angka nol = …

1402 = 142 (196) ditambah 2 angka nol = …

1502 = 152 (225) ditambah 2 angka nol = …

2102 = 212 (441) ditambah 2 angka nol = … 1. 2202 = … 11. 4602 = … 2. 2302 = … 12. 4702 = … 3. 2402 = … 13. 4802 = … 4. 2502 = … 14. 4902 = … 5. 2602 = … 15. 5102 = … 6. 2702 = … 16. 5202 = … 7. 2802 = … 17. 5302 = … 8. 2902 = … 18. 5402 = … 9. 3102 = … 19. 5502 = … 10. 3202 = … 20. 5602 = …

9.3 Jika Satuan/Akhirannya 5

Kuadrat dengan satuan 5 dapat dihitung menggunakan keistimewan kuadrat dengan satuan 5.

Caranya:

1. Pisahkan angka didepan angka 5 dan angka 5 nya. 2. Kalikan angka di depan 5 dengan angka sesudahnya. 3. Tambahkan dengan 25.

(43)

Contoh: 1052 = …

1. Pisah 105 menjadi 10 dan 5.

2. Hitung 10x(10+1) = 10x11 = 110 3. Jadi 1052 = 11.025 1152 = 11x12 52 1252 = 12x13 52 = 132 25 = 10x15+6 25 = 13.225 = 156 25 = 15.625 Cobalah: 1352 = 13x14 52 1452 = 14x15 52 = 10x17+12 25 = 10x19+20 25 = 182 25 = 210 25 = 18.225 = 21.025 1552 = 15x16 52 1652 = 16x17 52 = 10x21+30 25 = 10x23+42 25 = 240 25 = 272 25 = 24.025 = 27.225 1952 = 19x20 52 2952 = 29x … 52 = … 25 = … 25 = ... = … 3952 = … x … 52 4952 = … x … 52 = … 25 = … 25 = ... = … 5952 = … x … 52 6952 = … x … 52 = … 25 = … 25 = ... = … 7952 = … x … 52 8952 = … x … 52 = … 25 = … 25 = ... = …

9.4 Jika Satuan/Akhirannya 1 atau 9

Kamu pasti masih ingat, bahwa kita pernah belajar sifat kuadrat dan perkalian bilangan yang dapat dimanfaatkan untuk mempermudah perhitungan di bab 2. Kita juga telah belajar menggunkan kuadrat kelipatan 10 untuk mempermudah perhitungan kuadrat berapapun. Pengetahuan itu tentunya sangat berguna untuk menyelesaikan kuadrat 3 angka dengan satuan 1 atau 9. Berikut contohnya

9.4.1 Jika Satuan/Akhirannya 1

Untuk kuadrat dengan satuan 1, kuadratkan puluhannya saja (dengan menghilangkan angka 1), kemudian tambah dengan 2x bilangan yang dikuadratkan dan tambah 1.

Contoh:

1212 = 1202 + 2x120 + 1 = 14400+240+1 = 14641

(44)

Cobalah: 1312 = … 2 + 2x … + 1 = … + … + 1 = … 1512 = … 2 + 2x … + 1 = … + … + 1 = … 2512 = … 2 + 2x … + 1 = … + … + 1 = …

9.4.2 Jika Satuan/Akhirannya 9

Untuk kuadrat dengan satuan 9, bulatkan ke puluhan terdekat (ke atas), kemudian kurangi dengan 2x bilangan yang dikuadratkan dan tambah 1. Contoh: 1292 = 1302 - 2x130 + 1 = 16900 – 260 + 1 = 16641 Cobalah: 1192 = … 2 - 2x … + 1 = … - … + 1 = … 1392 = … 2 - 2x … + 1 = … - … + 1 = … 2492 = … 2 - 2x … + 1 = … - … + 1 = … 3492 = … 2 - 2x … + 1 = … - … + 1 = … 4492 = … 2 - 2x … + 1 = … - … + 1 = …

9.5 Jika Satuan/Akhirannya 2 atau 8

Kuadrat dengan satuan 2 atau 8 dikerjakan dengan cara yang sama dengan kuadrat dengan satuan 1 atau 9. Perbedaan terletak pada factor kali (bukan 2 tapi 4) dan selisih kuadratnya (bukan 1 tapu 2 kuadrat).

9.5.1 Jika Satuan/Akhirannya 2

Kuadrat dengan satuan 2 dikerjakan dengan menghilangkan satuan 2 dan mengkuadratkan bilangan kelipatan sepuluh, yang kemudian ditambah dengan 4x bilangan kelipatan 10 dan 4.

Contoh:

1122 = 1102 + 4x110 + 22 = 12100+ 440 + 4 = 12544

(45)

1222 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = … 1322 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = … 1422 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = … 1522 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = … 2522 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = … 3522 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = … 4522 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = … 6522 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = … 7522 = … 2 + 4x … + 22 = … + … + 4 = …

9.5.2 Jika Satuan/Akhirannya 8

Ahhirtan 8 dapat dikerjakan dengan membulatkan keatas dan mengurangi 4x puluhan ditambah 22 atau jika kamu tidak begirtu suka dengan pengurangan, bulatkan saja ke bawah dan tambah dengan 16x nilai puluhan ditambah 82.

Contoh: 1282 = 1302 - 4x130 + 22 atau 1282 = 1202 + 16x120 + 82 = 16900 – 520 + 22 = 14400+ 1920 + 64 = 16384 = 16384 Cobalah: 1182 = … 2 - 4x … + 22 = … - … + 22 = … 1382 = … 2 - 4x … + 22