Sejarah Bilangan dan Perkembangannya Sejarah Angka di Dunia
Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmu matematika. Sulit dibayangkan, andai tak ditemukan angka-angka tersebut. Dalam berbagai literatur yang ada, tak disebutkan siapa orang yang pertama kali menemukan angka-angka atau bilangan tersebut. Yang pasti, menurut Abah Salma Alif Sampayya, dalam bukunya Keseimbangan Matematika dalam Al-qur’an, catatan angka pertama kali ditemukan pada selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggal didaerah Mesopotamia sekitar tahun 3.000 SM. Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yang dilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan ke atas untuk puluhan, lengkungan setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan tangan.Sistem ini kemudian dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik.
pembagi angka nol,'' jelas Sampayya. Komputer diperintahkan berhenti berpikir bila bertemu dengan sang divisor nol. Hasil yang tertera pada komputer angka menunjukkan #DIV/0!.
Bilangan dan angka
Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap sebagai dua h a l y a n g s a m a . S e b e n a r n y a , a n g k a d a n b i l a n g a n m e m p u n y a i p e n g e r t i a n y a n g b e r b e d a . B i l a n g a n a d a l a h s u a t u k o n s e p m a t e m a t i k a y a n g d i g u n a k a n u n t u k p e n c a c a h a n d a n pengukuran. Sedangkan angka adalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk m e w a k i l i s a t u b i l a n g a n. C o n t o h n y a , b i l a n g a n l i m a d a p a t d i l a m b a n g k a n d e n g a n a n g k a 5 m a u p u n m e n g g u n a k a n a n g k a r o m a w i V . L a m b a n g ” 5 ” d a n ” V ” y a n g d i g u n a k a n u n t u k melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi, sebenarnya benda apakah yang b i a s a k i t a s e b u t d e n g a n b i l a n g a n i t u ?
S e t i a p b i l a n g a n , m i s a l n y a b i l a n g a n y a n g k i t a lambangkan dengan angka 1, sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Misalnya, tulisan atau ketikan 1. Yang anda liat di kertas dan sedang anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan satu yang tertangkap oleh indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya dari kertas ke mata anda. Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan tinta dari spidol yang membentuk lambang dari bilangan 1. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun telah diperluas u n t u k m e l i p u t i b i l a n g a n n o l , b i l a n g a n a s l i , b i l a n g a n b u l a t , b i l a n g a n r a s i o n a l , b i l a n g a n irasional, dan lain-lain.
m e n g h i t u n g n y a dengan cara menghitung dari nol (nol apel, satu apel, dua apel, ....) melainkan dengan menghitung dari satu. Atau saat ditanya berapa apel yang kamu punya, kita akan lebih c e n d e r u n g m e n j a w a b t i d a k p u n y a a p e l k e t i m b a n g menjawab saya punya nol apel.
Perkembangan Angka dari berbagi tempat
Angka Mesir (3000-1600 SM)
Di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum masehi, bukti sejarah yang ditemukan menyebutkan bahwa satu disimbolkan sebagai garis vertikal, sedangkan 10 diwakilkan oleh lambang ^. Orang mesir menulis dari kanan ke kiri, jadi bilangan dua puluh tiga disimbolkan menjadi |||^^. Bila anda sulit mengartikannya menjadi 23, bandingkanlah dengan angka romawi XXIII. Angka romawi tersebut pada dasarnya adalah sistem Mesir, diadaptasi oleh Roma dan sampai sekarang masih kita gunakan setelah kemunculan pertamanya yaitu lebih dari 5000 tahun yang lalu.
Para juru tulis Fir'aun (yang hartanya sangat sulit untuk dihitung) menggunakan suatu sistem untuk menghitung angka-angka besar. Memang sulit digunakan, tapi tidak diragukan lagi itu yang mereka pakai. Membaca versi tertulis dari angka-angka besar mesir sama seperti menghitung total nilai dari koin-koin judi di Las Vegas. Orang-orang mesir kuno meletakan a n g k a y a n g b e s a r d i k a n a n , d a n y a n g k e c i l d i k i r i . J a d i , u n t u k k e p e r l u a n d e m o n s t r a s i , bayangkanlah koin A bernilai 100.000, koin B bernilai 10.000, koin C bernilai 1.000, koin D bernilai 100, koin E bernilai 10, dan koin F bernilai 1. dengan nilai-nilai itu, angka Mesir FEEEDDDDDDCCCCBBBAA bisa mewakilkan angka 234.641. Dan angka-angka besar seperti ini berperan dalam dokumen yang mendeskripsikan harta-harta milik firaun. Simbol Mesir untuk angka besar seperti 100.000, adalah suatu simbol yang seperti burung, tetapi angka-angka yang lebih kecil dilambangkan dengan garis lurus dan melengkung.
Angka Babylonia (1750 SM)
Angka Babylonia
Yang menyebabkan bentuk tertulisnya sangan aneh jika dibandingkan dengan composisi aritmatika manapun.
M e l a l u i k e u n g g u l a n o r a n g B a b y l o n i a p a d a b i d a n g a s t r o n o m i , s i s t e m p e r h i t u n g a n berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang pada 60 detik dalam satu menit, dan pada pengukuran sudut, 180 derajat pada jumlah sudut segitiga dan 360 derajat pada sudut satu lingkaran. Dan jauh setelah itu, saat waktu bisa diukur dengan akurat, sistem yang sama juga digunakan dalam 60 menit dalam 1 jam.
Orang Babylonia mengambil langkah krusial menuju suatu sistem perhitungan yang l e b i h e f e k t i f . M e r e k a m e m p e r k e n a l k a n k o n s e p n i l a i t e m p a t , y a i t u a n g k a y a n g s a m a b i s a mempunyai nilai yang berbeda tergantung letak angka pada urutan. Untuk lebih jelas, kita ambil contoh angka 222. Pada angka tersebut terdapat tiga angka 2 yang mempunyai nilai yang berbeda-beda, yaitu 200, 20, dan 2. Tapi konsep ini baru dan merupakan langkah yang sangat berani bagi orang Babylonia. Untuk mereka, dengan sistem perhitungan berbasis 60, sistem nilai tempat lebih sulit untuk digunakan. Untuk mereka angka simpel seperti 222 mempunyai nilai 7322 bila menggunakan sistem hitung berbasis 10 yang kita gunakan (2 x60 kuadrat + 2 x 60 + 2)
Sistem nilai tempat membutuhkan suatu tanda yang bermakna ”kosong”, untuk saat-saat dimana jumlah nilai pada satu kolom sama dengan kelipatan 60. Dari sinilah awal mula angka 0. Meskipun bilangan nol itu sendiri belum ada, dan angka 0 tidak mempunyai nilai numerik tersendiri.
Suku maya, sama seperti suku Aztec, menggunakan sistem bilangan berbasis 20.Seperti orang Babylonia, suku Maya menggunakan sistem nilai tempat, dan tentu saja, angka n o l . M e r e k a m e n g g u n a k a n 3 s e t g r a f i k notasi yang berbeda untuk mewakili angka:
a) Dengan titik dan garis,
b) Dengan figur antropomorfik, dan c) dengan simbol.
Angka suku Maya
Figur di atas melambangkan angka 0-10 untuk suku Maya
Angka romawi menggunakan sistem bilangan berbasis 5. Angka I dan V dalam angkaromawi terinspirasi dari bentuk tangan, yang merupakan alat hitung alami. Sedangkan angka X/ lambang dari 10, adalah gabungan dua garis miring yang melambangkan 5. Dan L, C, D,dan M, yang secara urut mewakili 50, 100, 500, dan 1.000, merupakan modifikasi dari simbol V d a n X
Garis yang miring mewakili jempol, yang kemudian menjadi simbol limaX(10) adalah gabungan dua garis miring
Symbol L, C, D, & M merupakanmmodifikasi dari simbol V & X
U n t u k m e n u l i s a n g k a , o r a n g R o m a w i menggunakan sistem penjumlahan : V + I = VI (6) a t a u C + X + X + I = C X X I ( 1 2 1 ) , d a n s i s t e m pengurangan : IX (I sebelum X =9) atau XCIV (X sebelum C = 90, I sebelum V = 4)
Pada sistem perhitungan Babylonia dan Maya, bentuk angka tertulisnya masih sangan rumit untuk perhitungan aritmatika yang efisien. Selain itu, angka nol belum berfungsi penuh.
Agar angka nol bisa memenuhi potensinya dalam matematika, setiap bilangan harus m e m p u n y a i s i m b o l s e n d i r i a t a u p a l i n g t i d a k a n g k a - a n g k a d a s a r d a l a m b a s i s h i t u n g a n mempunyai simbol sendiri. Sistem ini kemungkinan muncul pertama kali di India. Angka-angka yang dipakai saat ini mengalami perubahan-perubahan bertahap sejak 3 abad sebelum masehi.
O r a n g - o r a n g I n d i a m e n g g u n a k a n l i n g k a r a n k e c i l s a a t t e m p a t p a d a a n g k a t i d a k mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil tersebut dengan nama sunya, diambil dari bahasa sansekerta yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang penuh sekitar tahun 8 0 0 M a s e h i , s a a t s i s t e m i n i j u g a d i a d a p t a s i d i B a g h d a d . O r a n g a r a b m e n g g u n a k a n t i t i k sebagai simbol ”kosong”, dan memberi nama dengan arti yang sama dalam bahasa arab, sifr.
Sekitar dua abad kemudian angka India masuk ke Eropa dalam manuskrip Arab, dan dikenal dengan nama angka Hindu-Arab. Dan angka Arab sifr berubah menjadi ”zero” dalam bahasa Eropa modern, atau dalam bahasa Indonesia, ”nol”. Tetapi masih perlu berabad-abad lagi sebelum ke-sepuluh angka Hindu-Arab secara bertahap menggantikan angka romawi di Eropa, yang diwarisi dari masa kekaisaran Roma.
Tokoh-tokoh matematika
Lenardo Pisano Bogolo, juga dikenal dengan nama Leonardo of Pisa, L e o n a r d o P i s a n o , L e o n a r d o B o n a c c i , a t a u y a n g p a l i n g s e r i n g d i s e b u t dengan nama Fibonacci, adalah seorang ahli matematika dari Itali. Beberapa orang menyebutnya “ahli matematika dari barat yang paling berbakat pada abad pertengahan”.
F i b o n a c c i d i k e n a l o l e h d u n i a k a r e n a m e n y e b a r k a n s i s t e m perhitungan Hindu-Arab di Eropa. Terutama melalui publikasi bukunya pada awal abad ke 13 yaitu Book of Calculation atau Liber Abaci.
Lahir sekitar tahun 1170, anak dari Guglielmo Fibonacci, seorang p e d a g a n g k a y a i t a l i a . G u g l i e l m o m e m i m p i n s e b u a h p o s p e r d a g a n g a n (beberapa catatan menyebutkan ia adalah konsultan untuk Pisa) di Bugia, sebuah pelabuhan di sebelah timur Algiers Muwahidun kesultanan dinasti diAfrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair). Sebagai anak muda, Leonardo berpergian dengan ayahnya untuk membantu ayahnya, disanalah dia belajar tentang sistem perhitungan Hindu-Arab.
pelajari kedalam buku Liber Abaci (Kitab Abacus atau Book of Calculatiaon), dan dengan demikian memperkenalkan angka-angka Hindu-Arab ke Eropa
Al-khawarizmi
N a m a A s l i d a r i a l K h a w a r i z m i i a l a h M u h a m m a d I b n M u s a a l -K h a w a r i z m i . S e l a i n i t u b e l i a u d i k e n a l i s e b a g a i A b u Abdullah Muhammad bin Ahmad bin Yusoff. AlKhawarizmi d i k e n a l d i B a r a t s e b a g a i A l -K h a w a r i z m i , A l - C o w a r i z m i , A l - Ahawizmi, Al--Karismi, Al-Goritmi, Al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi.
Beliau dilahirkan di Bukhara. Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan Al-Khawarizmi. Al-Khawarizmi telah wafat a n t a r a t a h u n 2 2 0 d a n 2 3 0 M . A d a y a n g m e n g a t a k a n A l - K h a w a r i z m i h i d u p s e k i t a r a w a l p e r t e n g a h a n a b a d k e - 9 M .
Sumber lain menegaskan beliau hidup di Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/ 780M dan meninggal tahun 266H/ 850M di Baghdad.
Dalam pendidikan telah dibuktikan bahwa Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya dalam bidang syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu hitung, sejarah Islam dan kimia.
Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar dan hisab (ilmu hitung Islam). Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu populer yang masih digunakan sampai sekarang.
Kepribadian al-Khawarizmi telah diakui oleh orang Islam maupun dunia Barat. Inidapat dibuktikan bahwa G.Sarton mengatakan bahwa “pencapaian-pencapaian yang tertinggi t e l a h d i p e r o l e h o l e h o r a n g o r a n g T i m u r … . ” D a l a m h a l i n i A l -K h a w a r i z m i . T o k o h l a i n , Wiedmann berkata…." Al--Khawarizmi mempunyai kepribadian yang teguh dan seorang yang mengabdikan hidupnya untuk dunia sains". Beberapa cabang ilmu dalam Matematika yangdiperkenalkan oleh Al-Khawarizmi seperti: geometri, aljabar, aritmatika dan lain-lain.
Pythagoras
i n f o r m a s i y a n g d a p a t d i p e r c a y a s e h i n g g a sangat sedikit yang diketahui tentang dia.
Ia lahir di pulau Samos, dan mungkin bepergian secara luas di masa mudanya, mengunjungi Mesir dan tempat-tempat lain untuk mencari pengetahuan. Sekitar 530 SM, ia pindah ke Croton, sebuah koloni Yunani di Italia selatan, disana dia mendirikan sebuah sekte keagamaan. pengikut-nya mengejar ritual keagamaan dan praktek yang dikembangkan oleh Pythagoras, dan mempelajari teori filosofisnya.
Masyarakat m e n g a m b i l p e r a n a k t i f d a l a m p o l i t i k C r o t o n , t a p i i n i a k h i r n y a m e n y e b a b k a n k e j a t u h a n m e r e k a . T e m p a t p e r t e m u a n P y t h a g o r a s d i b a k a r , d a n P y t h a g o r a s t e r p a k s a m e l a r i k a n d i r i . Dia dikatakan telah mengakhiri hari-harinya di Metapontum. P y t h a g o r a s m e m b e r i k a n k o n t r i b u s i b e r p e n g a r u h t e r h a d a p f i l s a f a t d a n a j a r a n keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Ia sering dipuja sebagai matematikawan besar, mistik dan ilmuwan, dan dia terkenal karena teorema Pythagoras yang diambil dari namanya.
Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat, dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks. Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N..Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}. Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi
dengan suatu aturan untuk
mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan Cacah.
dipopulerkan oleh bangsa Arab pada era keemasan Islam. Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat. Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan bulat. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah , dan anggota bilangan Z bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 - 6, tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.
bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.
Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh). Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.
Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).
