BAB III
KESTABILAN SISTEM
III.1. KESTABILAN BERDASARKAN POSISI EIGEN VALUE
Dari persamaan sistem pada persamaan, dapat dicari eigen value. Eigen value sistem diperoleh dari persamaan karakteristik sistem. Persamaan tersebut adalah:
0 A
I− =
λ (3.1)
di mana λ adalah eigen value sistem. Banyaknya eigen value tergantung dari banyaknya state.
Suatu sistem dikatakan stabil, jika dan hanya jika semua eigen value sistem tersebut berada pada bagian negatip bidang kompleks.
Dengan dekomposisi pada bagian II.4., maka sistem dikatakan stabil jika dan hanya jika semua strongly coupled system-nya stabil,
Contoh 3.1.:
Dari sistem pada contoh 2.1., apabila tiap subsistem adalah orde 1 dengan konstanta waktu (T) untuk tiap subsistem adalah 1, 0.5, 0.2, 0.2, 0.2, 1, 0.5, 1, 1, dan dengan dekomposisi seperti pada contoh 2.4., tentukan persamaan sistem tiap
strongly coupled system., dan tentukan juga persamaan keseluruhan sistem model input-output.
Penyelesaian:
Dengan konstanta waktu di atas, maka didaptkan persamaan sistem untuk tiap strongly coupled system sebagai berikut:
SCS I (level 4) 1 x& = -x1 + u1 y1 = x1 SCS 2 (level 3) 2 x& = -2x2 + 2u2 y2 = x2 SCS 3 (level 2) + − − − − − = 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 u u u u u 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 x x x x x 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 5 0 0 0 1 0 5 1 0 0 0 1 5 x x x x x & & & & & = 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 x x x x x 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 y y y y y
SCS 4 (level 1) + − − = 9 8 9 8 9 8 u u 1 0 0 1 x x 1 1 1 1 x x & & = 9 8 9 8 x x 1 0 0 1 y y (3.2) Sedangkan persamaan keseluruhan sistem model input-output adalah:
+ − − − − − − − − − = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 u u u u u u u u u 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x x x x x x x x x 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 1 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x x x x x x x x x & & & & & & & & & = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 y y y y y y y y y (3.3) Contoh 3.2.:
Penyelesaian:
Eigen value masing-masing strongly coupled system adalah sebagai berikut: SCS1, mempunyai eigen value pada λ1 = -1
SCS2, mempunyai eigen value pada λ2 = -2
SCS3, mempunyai eigen value pada λ3 = -4.1232; λ4 = -5,239; λ5 = -6.1325;
λ6 = -2.4371; λ7 = -0.0681
SCS4, mempunyai eigen value pada λ8 = -2; λ9 = 0
Terdapat satu eigen value, yaitu λ9 yang bernilai 0, sehingga SCS4 tidak stabil,
yang mengakibatkan sistem tidak stabil.
Sistem yang tidak stabil dapat distabilkan dengan menggunakan pengendalian terdesentralisasi dengan syarat sistem tersebut tidak memiliki fixed mode terdesentralisasi.
III.2. KESTABILAN TERKONEKSI
Hal penting dalam sistem skala besar adalah gangguan yang terjadi dalam strukturnya, baik secara intensif oleh desain maupun tidak intensif oleh kesalahan. Jadi hal yang mendasar adalah pengaruh gangguan sistem terhadap sistem. Kestabilan terkoneksi diperlukan untuk mengetahui stabil tidaknya hubungan antar sub sistem di dalam suatu sistem skala besar.
Jika diketahui sub sistem:
∑
≠ = + = N i j 1 j i i i i i A x E xx& , di mana i=1, . . ., N (3.4)
i i i A x
x& = (3.5)
stabil. Dengan memilih matriks H yang semi definit positip, maka matriks positif definit P bisa diperoleh dengan menggunakan persamaan Lyapunov
0 H A P P AiT i + i i + i = (3.6) Fungsi
( )
(
)
12 i i T i i i x = x Pxν adalah fungsi Lyapunov yang memenuhi persamaan
( )
i i i( )
i M( )
i i m P x x P x 2 1 2 1 λ ≤ ν ≤ λ (3.7)di mana λm dan λM adalah eigen value minimum dan maksimum. Fungsi
Lyapunov adalah fungsi Lipschitz dengan persamaan:
( )
i i( )
i i i ii x −ν y ≤L x −y
ν (3.8)
Konstanta Lipschitz pada persamaan 3.8 di atas adalah
( )
( )
i m i M i P P L 2 1 2 1 λ λ = (3.9)dan intekoneksinya memenuhi persamaan
j ij i ijx x a ≤ζ (3.10) sehingga,
(
ij)
T ij M ij a *a 2 1 λ = ζ (3.11)Matriks S mempunyai elemen:
( )
( )
≠ ζ λ λ = − = − j i , H P L 2 j i , 1 s ij j 1 m j M i ij 12 (3.12)Kriteria untuk menyatakan suatu sistem adalah stabil terkoneksi diperkenalkan oleh S~iljak (1978). S~iljak menyatakan bahwa suatu sistem stabil terkoneksi adalah jika dan hanya jika quasi-dominancy,
( )
0 s s s s s s s s s 1 kk 2 k 1 k k 2 22 21 k 1 12 11 k > − L M O M M L L (3.13) untuk k = 1, 2, …, N Contoh 3.3.:Dari sistem pada contoh 3.1., tentukan kestabilan terkoneksinya jika diberikan matriks H = diag(1,2,1,1,1,2,1,2,1).
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan Lyapunov (3.6) diperoleh Pi yang
merupakan matriks diagonal. Elemen-elemen matriks Pi adalah sebagai berikut:
P1=0.5, P2=0.5, P3=0.1,
P4=0.1, P5=0.1, P6=1, (3.14)
P7=0.25, P8=1, P9=0.5
Karena tiap sub sistem adalah orde satu, maka eigen value dari matriks Pi,
yaitu λ(Pi) mempunyai nilai yang sama dengan Pi. Eigen value Pi yang diperoleh
adalah sebagai berikut:
λ(P1)=0.5, λ(P2)=0.5, λ(P3)=0.1,
λ(P4)=0.1, λ(P5)=0.1, λ(P6)=1, (3.15)
λ(P7)=0.25, λ(P8)=1, λ(P9)=0.5
Li diperoleh dari persamaan konstanta Lipschitz (Persamaan 3.9). Dari
L1=0.7071, L2=0.7071, L3=0.3162,
L4=0.3162, L5=0.3162, L6=1, (3.16)
L7=0.5, L8=1, L9=0.7071
ζij diperoleh dengan menggunakan persamaan 3.11. ζij yang diperoleh adalah:
ζ21 = λM1/2 (G21T * G21) ζ21 = λM1/2((1)*(1)) ζ21 = λM1/2(1) ζ21 = 1 ζ32 = λM1/2 (G32T * G32) ζ32 = λM1/2((1)*(1)) ζ32 = λM1/2(1) ζ32 = 1 ζ34 = λM1/2 (G34T * G34) ζ34 = λM1/2((1)*(1)) ζ34 = λM1/2(1) ζ34 = 1 ζ43 = λM1/2 (G43T * G43) ζ43 = λM1/2((1)*(1)) ζ43 = λM1/2(1) ζ43 = 1 ζ46 = λM1/2 (G46T * G46) ζ46 = λM1/2((1)*(1)) ζ46 = λM1/2(1) ζ46 = 1 ζ56 = λM1/2 (G56T * G56) ζ56 = λM1/2((1)*(1)) ζ56 = λM1/2(1) ζ56 = 1 ζ64 = λM1/2 (G64T * G64) ζ64 = λM1/2((1)*(1)) ζ64 = λM1/2(1) ζ64 = 1 ζ65 = λM1/2 (G65T * G65) ζ65 = λM1/2((1)*(1)) ζ65 = λM1/2(1) ζ65 = 1 ζ67 = λM1/2 (G67T * G67) ζ67 = λM1/2((1)*(1)) ζ67 = λM1/2(1) ζ67 = 1 ζ76= λM1/2 (G76T * G76) ζ76 = λM1/2((1)*(1)) ζ76 = λM1/2(1) ζ76 = 1 ζ78 = λM1/2 (G78T * G78) ζ78 = λM1/2((1)*(1)) ζ78 = λM1/2(1) ζ78 = 1 ζ79 = λM1/2 (G79T * G79) ζ79 = λM1/2((1)*(1)) ζ79 = λM1/2(1) ζ79 = 1 ζ89 = λM1/2 (G89T * G89) ζ89 = λM1/2((1)*(1)) ζ89 = λM1/2(1) ζ89 = 1 ζ98 = λM1/2 (G98T * G98) ζ98 = λM1/2((1)*(1)) ζ98 = λM1/2(1) ζ98 = 1 (3.17) elemen matriks S diperoleh dari persamaan 3.12. Elemen-elemennya adalah sebagai berikut:
S21 = 2 L2 λM1/2(P1)λm-1(Q1) ζ21 = 2 0.7071 0.7071 1 1 = 1
Dengan cara yang sama dengan cara mendapatkan S21, diperoleh S32, S34, S43, S46,
S56, S64, S65, S67, S76, S78, S79, S89, S98, sehingga − − − − − − − − − = 1 7071 . 0 7071 . 0 0 0 0 0 0 0 4142 . 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6325 . 0 I 6325 . 0 0 0 0 0 0 0 3162 . 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3162 . 0 0 1 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 2 . 0 1 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 S (3.18)
Quasy dominancy matriks S di atas adalah sebagai berikut: k=1
( )
−1 1−1=1 > 0 k=2( )
= − − − 1 1 0 1 1 2 1 > 0 k=3( )
= − − − − 1 1 . 0 0 0 1 1 0 0 1 1 3 1 > 0 k=4( )
= − − − − − 1 2 . 0 0 0 2 . 0 1 1 . 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 4 0.96 > 0 k=5( )
= − − − − − − 1 0 0 0 0 0 1 2 . 0 0 0 0 2 . 0 1 1 . 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 5 0.96 > 0k=6
