BAB IV SISTEM TUNGGU (DELAY SYSTEM)

(1)

BAB IV

SISTEM TUNGGU (DELAY SYSTEM)

Gambar 4.1 : model sistem tunggu

Pada sistem tunggu, panggilan yang datang pada saat semua sibuk, panggilan tersebut menunggu sampai ada saluran/peralatan yang bebas baru disambungkan. Panggilan yang menunggu dikatakan dalam bentuk antrian (queue). Waktu antara panggilan datang ke antrian sampai panggilan menemukan saluran bebas dikatakan waktu tunggu.

4.1 Rumus Tunggu Erlang (Formula Erlang C)

ASUMSI :

1. Pure chance traffic 2. Statistical equilibrium 3. Full availability

4. Panggilan yang datang masuk dalam antrian dan disimpan sampai ada server yang bebas

5. Disiplin operasi

rate kedatangan = λ

pola waktu pendudukan eksponensial negatif dengan h = 1/µ ada sejumlah N server

FIFO (first in first out ), panggilan yang menunggu dilayani menurut datangnya

panggilan.

4.2 Simbol Untuk Sisstem Tunggu (D.G. KENDALL)

Untuk sistem tunggu secara umum dituliskan A/B/C Dengan :

A = pola datangnya panggilan B = pola waktu pendudukan C = jumlah server µ λ buffer server Keberangkatan paket Kedatangan paket

(2)

4.3 Diagram Transisi Kondisi

Gambar 4.2 : Digram transisi kondisi

4.4 Persamaan kesetimbangan

Dalam keadaan kesetimbangan statistic, ada dua persamaan yang terjadi, yaitu : λP(n) = µ(n+1) P(n+1) ………n=0,1,2…..N-1 λP(n) = µN P(n+1) ………n= N,N+1,…….. λP(n) = µ(n+1) P(n+1) ………n=0,1,2…..N-1 untuk n=0 λP(0) = µ P(1) P(1) = λ/µ P(0) P(1) = A P(0) Untuk n=1 λP(1) =2µ P(2) P(2) = λ/2µP(1) P(2) = A /2 P(1) P(2) = A2/2! P(0) Untuk n=2 λP(2) =µ P(3) P(3) = λ /µP(2) P(3) = A/3 P(2) P(3) = A3 _{/ 3! P(0)}

Sehingga didapatkan harga probabilitas pada saat N server diduduki adalah :

P(N) =AN _N_! P (0) [4.1] λ P(n) = µN P(n+1) ………n= N,N+1,…….. P(n+1) = N µ λ P (n) P(n+1) = A / N P(n) Νµ Νµ Νµ 3µ 2µ µ λ λ 0 1 2 N N+ 1 λ λ λ _λ

(3)

¾ Untuk n=N, maka P(N+1) = A / N P(N), sedangkan P(N) =AN _N_! P (0) sehingga P(N+1) = ! N A N A N P (0) P(N+1) =

( )

0 ! . 1 P N N AN+ ¾ Untuk n = N+1 P(N+2) = A / N P(N+1), sedangkan P(N+1) = ! . 1 N N AN+ P(0) sehingga P(N+2) = ! . 1 N N A N A N+ P (0) P(N+2) =

( )

0 ! . 2 2 P N N AN+ ¾ Untuk n= N+x

(

)

( )

0 ! .N P N A x N P _xN x + = + P(n)

( )

0 !P N A N A x N ⋅       = atau P(n) =

( )

0 ! P N N N A n N      

Sehingga didapatkan harga probabilitas pada saat N server dan x buffer diduduki adalah:

(

)

( )

0 !P N A N A x N P N x ⋅       = + [4.2]

• jadi ada 2 harga P(n), yaitu :

1.

( )

0 ! p n A n P n = untuk n= 0 s/d N-1 2.

( )

0 ! P N N N A n P N n       = atau

(

)

( )

0 !P N A N A x N P N x ⋅       = + untuk n= N s/d ~ BERAPA HARGA P(0)….?

Note : Bila tidak ada batas antrian, maka n=0 s/d ~

( )

∑

= = − = = + = ~ 0 ~ 1 0 1 n n N N n n P n P n P

(4)

( )

0 1 ! 0 ! ~ 1 0 =       +

∑

= − = P N A N A P n A x N N n N n n

( )

0 1 ! ! ~ 1 0 N P A N A n A x N N n N n n =       +

∑

= − =

( )

0 1 ! ! ~ 0 1 0 N P A N A n A x N x N n n =       +

∑

= − =

( )

! 1 0 ~ 0 1 0 N A N A n A P N x x N n

∑

= − =       + = [4.3]

untuk mencapai kestabilan statistik, A/N <1, maka :

A N N N A N A x x − = + =      

∑

= 1 ~ 0 sehingga :

( )

A N N N A n A P _N _N n n − ⋅ + =

∑

− = ! ! 1 0 ₁ 0 [4.4]

Note : Bila ada batas antrian,( jumlah buffer x sampai pada k), maka n dari 0 s/d k

( )

∑

= = − = = + = k n k N n N n n P n P n P 0 1 0 1

( )

0 1 ! 0 ! 1 0 =       +

∑

= − = P N N N A P n A k n N N n N n n atau

( )

0 1 ! ! 0 1 0 N P A N A n A k x N x N n n =       +

∑

= − =

(5)

( )

! 1 0 0 1 0 N A N A n A P N x k x N n n

∑

= − =       + = [4.5] 4.5 Probabilitas Dilayani ( Pd)

Panggilan atau data masih bisa dilayani sampai kondisi N-1 saluran/server diduduki. Sehingga probabilitas dilayani adalah :

Pd = P

( )

0 +P

( )

1 +...+P

(

N −1

)

=

( )

₍

₎

      − + + + + − ! 1 ... ! 2 1 0 1 2 N A A A P N =

( )

0 ! 1 0 P n A N n n ⋅

∑

− = [4.6] 4.6 Probabilitas Menunggu (Pt)

Panggilan yang datang akan menunggu apabila seluruh saluran atau server telah diduduki.

• Bila tidak ada batas antrian, probabilitas menunggu DN

Pt = P

( ) (

N +P N +1

) (

+P N +2

)

+...P

( )

~ =

( )

0 !P N AN +

( )

0 ! . 1 P N N AN+ +

( )

0 ! . 2 2 P N N AN+ +……. =

( )

0 ! ~ 0 P N A N A x x x N ⋅      

∑

= = ⇒

( )

0 ! N A P N N A P N t = ⋅ ₋ ⋅ [4.7]

*bila ada batas antrian

Pt = P

( ) (

N +P N+1

) (

+P N+2

)

+...+P

( )

k =

( )

0 !P N AN +

( )

0 ! . 1 P N N AN+ +

( )

0 ! . 2 2 P N N AN+ +….+ P

(

k−1

)

= .

( )

0 ! 1 0 P N A N A x k x x N

∑

= − =       _[_4.8]

(6)

4.7 Probabilitas Blocking (Pb)

Bila tidak ada batas antrian maka probabilitas blocking = 0

Bila ada batas antrian maka probabilitas blocking terjadi pada kondisi semua server dan semua buffer telah diduduki, sehingga probabilitas blocking = P(n) dimana n adalah kondisi seluruh server dan buffer diduduki n=N+k

( )

∑

−

∑

= = ⋅       + ⋅       = 1 0 ! 0 ! ! N n k x N x n N n N A N A n A N N N A n P [4.9]

4.8 Hubungan probabilitas blocking dengan Formula Erlang B

( )

A N N N A P P N t= ⋅ ⋅ ₋ ! 0

∑

− = − ⋅ + − ⋅ = ₁ 0 ! ! ! N n N n N A N N N A n A A N N N A

∑

= = = × − ⋅ + − − ⋅ = N n n N n n N n N N n N n A n A A N N N A N A n A A N N N A 0 0 0 ! 1 ! 1 ! ! ! !

( )

N A NN A N A N N N E N E A N N N E − − × − ⋅ + − − ⋅ = 1 1 1 1

( )

N E

( )

N E N A N N A N N E 1 1 1 + − − − =

(7)

( )

N E

( )

N E N A N A N E 1 1 1 1 1  +      − − − =

( )

E

( )

N E

( )

N N A N E N A N E 1 1 1 1 1− − + + =

( )

N E N A N A N E 1 1 1− + = ⇒

( )

(

E N

)

N A N E Pt 1 1 1 1− − = [4.10]

bila E1 (N) diganti dengan R/A, maka :

( )

(

E N

)

N A N E Pt 1 1 1 1− − =       − − = A R N A A R 1 1 N R N AA R + − = 1 N N N R N A A R _×       ₋ ₊ = 1

₍

₎

R A N A N R P_t + − ⋅ = [4.11]

(8)

4.9 Rumus J.D LITTLE

J.D LITTLE menyatakan :

Jumlah rata-rata pelanggan dalam suatu sistem antrian sama dengan rate rata-rata datangnya panggilan pada sistem tersebut kali waktu rata-rata pelanggan dalam sistem tersebut. s

t

N

=

λ

⋅

[4.12] dimana : =

N jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem =

λ rate rata-rata datangnya panggilan =

s

t waktu rata-rata pelanggan dalam sistem

note : sistem tidak tergantung macam distribusi probabilitas datangnya panggilan, waktu pendudukan dsb.

Gambar 4.3 : waktu pendudukan Dalam waktu 0 s/d t1

( )

t₁ =

α jumlah panggilan yang datang dalam interval (0,t1)

( )

t₁ =

y jumlah total waktu panggilan berada dalam sistem dalam interval (0, t1)

( )

=

∂ t₁ jumlah panggilan yang pergi / berakhir dalam interval (0, t1)

dimana :

( )

_λ α ₌ 1 1 t t ,

( )

_{( )}

t_s t t y ₌ 1 1 α ,

( )

s N t t y ₌ 1 1 maka :

( )

λ α ⋅ = = = s s s s t N t t t t t y N 1 1 1 1 . [4.13] N 0 t1 δ(t1 y(t1 α(t1 t

(9)

=

s

t adalah waktu rata-rata dalam sistem, terdiri dari t atau h dan _p t , sehingga : _t

t p s

t

=

+

_[4.14] dimana : p

t atauh=waktu rata-rata pelayanan =

t

t waktu tunggu rata-rata dalam antrian (dihitung terhadap semua panggilan)

(

)

t p t p s s t t t t t N ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ = λ λ λ λ [4.15] dimana : p p A n t = = ⋅

λ adalah jumlah rata-rata panggilan dalam pelayanan

t

t n

t = ⋅

λ jumlah rata-rata panggilan yang menunggu (dalam antrian)

RINGKASAN HARGA P(0)

Bila ada batasan jumlah buffer

( )

! 1 0 0 1 0 N A N A n A P N x k x N n n

∑

= − =       + =

Bila tidak ada batasan jumlah buffer

( )

A N N N A n A P _N _N n n − ⋅ + =

∑

− = ! ! 1 0 ₁ 0 PROBABILITAS DILAYANI

( )

0 ! 1 0 P n A P N n n d =

∑

⋅ − =

(10)

PROBABILITAS PANGGILAN MENUNGGU DN BILA TIDAK ADA BATAS ANTRIAN

( )

0 ! N A P N N A P N t = ⋅ ₋ ⋅

(

N A R

)

A N R P_t + − ⋅ =

PROBABILITAS PANGGILAN MENUNGGU DN BILA ADA BATAS

ANTRIAN

( )

0 . ! 1 0 P N A N A P x k x x N t

∑

− = =       =

JUMLAH RATA-RATA PANGGILAN YANG MENUNGGU

t t t n =λ⋅ A N A P n_t _t − = .

(

)

∑

= + = x i t ip N i n 1

JUMLAH RATA-RATA PANGGILAN DALAM SISTEM

A N A P A N_s _t − + = . t p S t t N =λ. +λ.

∑

( )

= = N i i p i 1

WAKTU TUNGGU RATA-RATA (untuk semua panggilan termasuk panggilan

yang tidak menunggu)

(

N A

)

t P A N A P n t p t t t t = _λ = _λ ⋅ ₋ = ⋅ ₋

WAKTU TUNGGU RATA-RATA HANYA DARI PANGGILAN YANG

BETUL-BETUL MENUNGGU

(

N A

)

t P t t p t t r = = ₋

(11)

PROBABILITAS MENUNGGU LEBIH BESAR DARIPADA WAKTU w

(

)

( ) r p t w t t w A N t e P e P w t P − − − ⋅ = ⋅ = >