Bernoulli & Binomial

(1)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705).

Suatu sebaran Bernoulli merupakan performans dari suatu percobaan dengan hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau “Gagal”. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q dimana p+q = 1. Sedangkan sebaran binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali.

Berdasarkan latar belakang diatas, penulis memberi judu lmakalah ini “Bernoulli dan Binomial”. Tujuan penulis menyusun makalah ini adalah untuk mengetahui lebih lanjut tentang sebaran Bernoulli dan binomial terkait tentang fungsi kepekatan peluang, nilai harapan, ragam, fungsi pembangkit momen, dan fungsi pembangkit momen faktorial. Dan agar dapat mengetahui kemungkinan (peluang) kesuksesan maupun kegagalan dari sebuah percobaan.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dari penulisan ini adalah :

1. Apa pengertian sebaran bernoulli 2. Apa pengertian sebaran binomial

1.3 Tujuan Penyusunan Makalah

1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Bernoulli, ciri-ciri Bernoulli, dan sifat sebarannya.

2. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Binomial, ciri-ciri Binomial, dan sifat sebarannya.

(2)

2

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Sebaran Bernoulli

Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu hasil dari suatu percobaan yang hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “sukses” atau “gagal”. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit Nugroho : 2008). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:

1. Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal” 2. Jika peluang sukses p, maka peluang gagal q = 1 – p

2.1.1 Fungsi Kepekatan Peluang

Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak mempunyai nilai. Jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q dan f(1)=p dan peubah acak Bernoullinya adalah : 1 jika e  E

X (e) =

0 jika e  E◦

Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernouli dapat diekspresikan sebagai berikut : ƒ(x) = px

q1-x untuk x = 0 atau 1 dan besarnya q = 1-p dan 0 < p < 1. Dalam percobaan Bernoulli, dimana p adalah peluang “sukses” dan q = 1- p adalah peluang “gagal”, dan jika X adalah peubah acak yang menyatakan kejadian

sukses, maka sebaran peluang Bernoulli dapat didefinisikan sebagai :

px q1-x ; x = 0, 1 , dimana 0 < p < 1

ƒ (x;p) =

(3)

3

2.1.2 Nilai Harapan

Nilai harapan adalah sebuah ukuran rata-rata dari suatu peubah acak. Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu sukses atau gagal (1 atau 0) maka rumus nilai harapan dari sebaran Bernoulli didefinisikan sebagai



x = E(X) = p. Pembuktian rumus nilai harapan Bernoulli sebagai berikut :

Definisi 2.1.2

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang ƒ(x), maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

( ) ∑ ( )

Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu “sukses” atau “gagal” ( x = 0, atau , x = 1 ) dan jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q dan f(1)=p, maka berdasarkan definisi 2.1.2 rumus nilai harapan Bernoulli dapat ditulis sebagai berikut :

( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

Dari pembuktian rumus diatas, terbukti bahwa nilai harapan (



x) Bernoulli adalah

p, secara umum ditulis



x = E(X) = p.

2.1.3 Ragam

Ragam adalah sebuah ukuran dispersi dari peubah acak. Rumus ragam sebaran Bernoulli dapat diperoleh dari rumus nilai harapan yaitu :

Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q

Bukti :

( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2

x = Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q

Jadi rumus ragam sebaran Bernoulli dapat ditulis : 2

(4)

4

2.1.4 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen adalah suatu teknik atau cara mencari distribusi fungsi dengan beberapa peubah acak, fungsi tersebut merupakan jumlah peubah acak bebas.

Definisi 2.1.4

Fungsi pembangkit momen peubah acak X diberikan oleh E(etX) dan

dinyatakan dengan MX(t). Jadi fungsi pembangkit momen dirumuskan

sebagai berikut : MX(t) = E(etX)

( ) ∑ ( ) ( ) ∫ _{( )} (Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers : 1986).

Karena sebaran Bernoulli merupakan peubah acak diskret, maka berdasarkan definisi 2.1.4 rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli dapat ditulis sebagai berikut : ( ) ∑ ( ) ∑ _∑( ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ( ) ₍ ₎ ₍ _{)( ) ( )( ) (} ₎

Jadi rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli adalah ( ) ( ).

2.1.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial

Momen faktorial adalah bentuk khusus lain dari nilai harapan peubah acak.

Definisi 2.1.5

Momen faktorial ke-r peubah acak X didefinisikan sebagai

E [ ( ) ( )]

dan fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak didefinisikan sebagai Gx(t) = E(tx)

jika nilai harapannya ada untuk semua t dalam beberapa interval terbuka yang mencakup nilai 1 dalam bentuk 1- .

(5)

5

Berdasarkan definisi 2.1.5 rumus fungsi pembangkit momen faktorial dapat ditulis sebagai berikut : ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ _{∑( )} ( ) _{( )} _{( )} _{( )} _{( )( ) ( )( )} ( )

Jadi rumus fungsi pembangkit momen factorial adalah ( ) ( )

2.2 Sebaran Binomial

Sebaran Binomial berasal dari suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali. Dalam percobaan binomial, kuantitas yang diamati adalah banyaknya ‘sukses’ dari sebanyak n tindakan pengulangan. Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali

2. Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikatagorikan sebagai gagal dan sukses

3. Probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain 4. Percobaan yang berulang adalah saling bebas.

2.2.1 Fungsi Kepekatan Peluang

Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak mempunyai nilai. Karena percobaan Binomial merupakan percobaan Bernaulli yang dilakukan berulang-ulang, maka percobaan binomial menghasikan peluang sukses atau gagal yang jumlah suksesnya dihitung dalam setiap n percobaan. Jika peluang ‘sukses’ pada setiap tindakan Bernoulli tersebut adalah p, dan X melambangkan banyaknya kejadian ‘sukses’, maka fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X dalam percobaan Binomial didefinisikan sebagai

( ) (₎

(6)

6

1. Pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu. Karena ulangan semuanya bebas, maka peluang tiap hasil yang berbeda dapat digandakan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1 – p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah px

qn-x.

2. Tentukan banyaknya semua titik contoh dalam percobaan tersebut yang menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya, n-x hasil, pada kelompok kedua. Banyaknya x hasil yang sukses dapat dinyatakan dengan (_).

3. Karena pembagian kelompok pada (2) saling terpisah, maka peluang x sukses diperoleh dari hasil penggandaan (_{) dengan p}x

qn-x.

Hal yang harus diperhatikan adalah

∑ ( )

∑ (₎ _{( )}

Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka sebaran binomial kumulatif yang ditulis P(X > r), dengan r<n, adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )

2.2.2 Nilai harapan

Nilai harapan X dari sebaran Binomial dengan parameter n dan p adalah :



x = E(X) =np

(7)

7 ( ) ∑ (₎ ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ( )) ∑ ( ) (₎ ∑ ( ) _{( )} ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) _{( )} 2.2.3 Ragam

Ragam dari peubah acak X berdistribusi Binomial didefinisikan sebagai : 2

x =Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = np(np+q)-(np)2 = npq

Bukti :

Karena E[X(X-1)] = E[X2-X] = E(X2) – E(X), maka E(X2) = E[X(X-1)]+E[X] Dari rumus nilai harapan distribusi Binomial, telah diperoleh nilai E(X) dan nilai E[X(X-1)], sehingga nilai E(X2) dapat dicari seperti berikut ini :

E(X2) = E[X(X-1)]+E[X] = n(n-1)p2+ np= n2p2– np2 + np = np(np) + np(1-p) = np(np+q).

Jadi rumus ragam distribusi Binomial dapat ditulis sebagai berikut : 2

(8)

8

2.2.4 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen sebaran binomial X dapat diambil dari definisi Definisi 2.1.4 yaitu : ( ) ( _{) ∑} ( ) ∑ ( ) _{∑ (} _{) (} )

Berdasarkan penguraian binomial (pet + q)n maka dapat diperoleh Mx(t) = (pet + q)n.

2.2.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial

Fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak x yang berdistribusi binomial didefinisikan sebagai :

( ) ( ) ∑ (₎ _{∑ (} ) ( ) _{( )}

2.3 Ilustrasi Percobaan Bernoulli dan Percobaan Benomial

2.3.1 Ilustrasi Percobaan Bernoulli

Pada saat pelemparan sebuah koin maka terdapat dua macam kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

2.3.2 Ilustrasi Percobaan Binomial

Ruang sampel A untuk percobaan E yang terdiri dari himpunan tak hingga tetapi masih terhitung dari titik – titik sampel:

Jika S = Sukses dan G = Gagal

E1: S (sukses pada percobaan pertama)

E2: GS (gagal pada percobaan pertama dan sukses pada percobaan kedua) E3: SG (sukses pada percobaan pertama, gagal pada percobaan kedua) E4: GGS (gagal pada percobaan 1 dan 2, sukses pada percobaan ketiga) E5: GSG (gagal pada percobaan 1 dan 3, sukses pada percobaan kedua) E6: SGG (gagal pada percobaan 2 dan 3, sukses pada percobaan pertama)

(9)

9

Jika peluang sukses dinotasikan dengan p maka peluang gagal adalah

q = 1 – p. Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan

yang saling bebas. Maka peluang X pada masing – masing percobaan E adalah: P(X) = p untuk E1 P(X) = qp = pq untuk E2 P(X)=pq untuk E3 P(X)=q2p = pq2 untuk E4 P(X)=qpq = pq2 untuk E5 P(X)= pqq = pq2 untuk E6 P(X) = Pxqn-x untuk En

(10)

10

BAB III

HASIL DARI PEMBAHASAN

3.1 Contoh dan Pembahasan 3.1.1 Contoh sebaran Bernoulli

1. Di awal tahun ajaran baru, mahasiswa fakultas teknik biasanya membeli rapido untuk keperluan menggambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan yang tintanya harus diganti bersama dengan cartridgenya. Data yang ada selama ini menunjukkan bahwa 30% mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang. Jika variabel acak X menyatakan mahasiswa yang membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut: Jawab :

1 jika mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat isi ulang X =

0 jika mahasiswa membeli rapido yang cartidgenya harus diganti p(1) = p(X = 1) = 0,3

p(0) = p(X = 0) = 1 – 0,3 = 0,7

p(x 0 atau 1) = P(X 0 atau 1) = 0

Maka fungsi kepekatan peluang fungsi Bernoulli dengan satu parameter

p = 0,3 adalah : ƒ (x;p) = (p)x

(q)1-x = ƒ (x;0,3) = (0,3)x (0,7)1-x ; x = 0 , 1 0 < p < 1

2. Anggap ada ilmuan yang melakukan percobaan, p adalah percobaan probabilitas sukses. Anggap p = (percobaan seperti ini hanya mempunyai dua hasil yaitu sukses atau gagal, dan disebut percobaan Bernoulli). Misal X adalah variabel acak yang sama dengan jumlah keberhasilan pada hari

(11)

11

tertentu. Dengan demikian X hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1. Hitunglah fungsi kepekatan peluang ?

f(0) = P(X = 0) = 1 – p Grafik fungsi kepekatan untuk p =

f(1) = P(X = 1) = p F(X)

f(a) = 0 untuk semua nilai a yang lain 1- 0.8- 0,6- 0,4- 0,2- 0 1 2 Gambar 1.1 Selanjutnya kita dapat menghitung fungsi sebaran kumulatif : f(a) = 0 jika a < 0 F(x) Gambar fungsi untuk p = f(a) = 1-p jika a < a < 1 1- f(a) = 1 jika a > 1 0.8- 0.6- 0.4- 0.2- 0 1 2 z Gambar 1.2

3. Berdasarkan soal di atas, hitunglah nilai harapan ?

Jawab : Karena hanya memiliki nilai 0 atau 1 maka



x = E(X) = p =

4. Berdasarkan soal di atas hitunglah varians ? Jawab : Varians untuk p =

(12)

12

Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = 0.2 (1-0.2) = 0.2 (0.8) = 0.16. 4.1.1 Contoh sebaran Binomial

1. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah . Apakah peluang dari tepat empat kepala muncul ketika suatu koin dilemparkan sebanyak tujuh kali?

Solusi : Terdapat 27 = 128 keluaran yang mungkin.

Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka diantara tujuh pelemparan adalah ( ) Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah :

(p)x(q)n-x=.( ) ( ) ( ) ( ) . Akibatnya, peluang kemunculan tepat empat muka adalah ( ) ( ) ( ) = ( ).

2. Peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang kegagalan adalah 5/6. Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap keberhasilan maka : ƒ(3,5, ) = _{( )} .( )3 ()5-3 = 0,032.

5. Untuk b(5; 5 0.20), di mana x = 5, n = 5 dan p = 0.20 sehingga q = 0.80 maka

μ = 5 ×0.20 = 1.00

σ² = 5 ×0.20 × 0.80 = 0.80 σ = 080. = 0.8944

6. 10 % dari semacam benda tergolong kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisi benda kategori A :

a. Semuanya

b. Paling banyak 2 buah Jawab : n = 30, p = 0,1 a. X =30

P (X = 30) = [

(13)

13

artinya untuk mendapatkan benda kategori A sebanyak 30 peluang nyaris nol

b. X paling banyak 2, berarti X ≤ 2 P(x≤2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) P (x=0) = [ ] ( ) ( ) P (x=1) = [ ] ( ) ( ) P (x=2) = [ ] ( ) ( )

maka P(x≤2) = 0,0423 + 0,1409 + 0,227 = 0,4102.

7. Seorang penjual mengatakan bahwa 25% dari seluruh dagangannya rusak akibat truk yang membawa barang itu mengalami kecelakaan. Jika seseorang membeli barang dagangan itu sebanyak 10 buah, tentukan :

a. peluang orang itu akan mendapat 5 barang yang rusak

b. peluang orang tersebut memperoleh minimal 3 tetapi kurang dari 7 barang yang rusak

c. rata-rata dan simpangan baku barang yang rusak

penyelesaian: Misalkan X = banyaknya barang yang rusak p = 0.25, n = 10

a. P(X =5) =P(X < 5) – P(X < 4) = 0.9803 – 0.9219 = 0.0584

b. P(3 < X<7)=P(3 < X < 6) = P(X < 6) – P(X < 2) =0.9991-0.6778 = 0.3213 c. μ = n.p = 10x0.25 = 25, = n.p.(1-p) = 10x0.25x0.75 = 1.875

(14)

14

BAB IV KESIMPULAN

1. Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu performans dari suatu percobaan, percobaan itu hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau “Gagal”.Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit Nugroho : 2008)

2. Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernoulli dapat diekspresikan sebagai berikut : ƒ(x) = px

q1-x untuk x=0 atau 1 danbesarnya q = 1-p dan 0 < p < 1.

3. Rumus nilai harapan sebaran Bernoulli : x= E(X) = p.

4. Rumus ragam saebaran bernoulli : 2x = p q

5. Fungsi pembangkit momen sebaran bernoulli ( ) ∑ ( ) ∑ _∑( ₎ ( ) ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ( )( ) ( )( ) ( )

6. Sebaran Binomial berasal dari percobaan Binomial yaitu suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali.

7. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran binomial : b(x; n, p) = pxqn-x dimana x

= 0, 1, 2, …., n.

8. Nilai harapan binomial



x = E(X) =np

9. Varian sebaran binomial adalah :

Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = np(np+q)-(np)2 = npq.

10. Fungsi pembangkit momen sebaran binomial : Mx(t) = (pet + q)n 11. Fungsi pembangkit momen faktorial

( ) ( ) ∑ (₎ _{∑ (} ) ( ) _{( )}