FAKTORISASI BENTUK ALJABAR

Faktorisasi Bentuk Aljabar

FAKTORISASI BENTUK ALJABAR

A. Pengertian Suku pada Bentuk Aljabar 1. Suku Tunggal dan Suku Banyak

 Bentuk-bentuk seperti 3a, –5a2_{b, 3a – 7, 4p}2 _{– 9pq, 2x + 3y – 9, dan 2xy}2 _–7x2_{y + 4xy} disebut Bentuk Aljabar.

 Bentuk aljabar terdiri atas beberapa suku, seperti :

5a ⇒ suku satu

7p – 6pq ⇒ suku dua

a3 _{+ 2a}2 _{– 8ab + 13} ⇒ _{suku empat} 6x3 _{+ 4x}2_{y – 8x + 2y – 7x} ⇒ _{suku lima} 2. Suku-suku Sejenis

Suatu suku dinamakan sejenis jika memiliki faktor variabel yang sama berbeda koefisien.

Bentuk aljabar : Contoh :

1. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut! a. 9a – 8

b. 2x4 _{– 3x}3 _{+ 4x}2 _{– 5}

2. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut! a. 9k + 8m – 2km – 3k + 7km

b. 8a2 _{+ 9a}2_{b – 11a}2 _{+ a}2_{b + 12ab}2 Penyelesaian :

1. a. Banyak suku pada 9a - 8 adalah 2, yaitu 9a dan – 8.

b. Banyak suku pada 2x4 _{– 3x}3 _{+ 4x}2 _{– 5 adalah 4, yaitu 2x}4_{, –3x}3_{, 4x}2_{, dan –5.} 2. a. Suku-suku yang sejenis pada 9k + 8m – 2km – 3k + 7km adalah :

(i) 9k dan –3k (ii) –2km dan 7km

b. Suku-suku yang sejenis pada 8a2 _{+ 9a}2_{b – 11a}2 _{+ a}2_{b + 12ab}2 _{adalah :} (i) 8a2 _{dan – 11a}2

(ii) 9a2_{b dan a}2_b LATIHAN

1. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut! a. 5x + 3

b. 7a2 _{+ 3b – 5} c. 7x4 _{– 8x}3 _{+ 3x}2 d. –x3 _{+ 2x}2 _{+8x – 5} e. 12x5 _{+ 5x}3 _+2x2 _{– 6}

2. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut! a. 2x + 3y – 2 + 4y b. 3a2 _{+ 4ab}2 _{– 15a}2_{b – a}2 _{+ 7a}2_b c. 2x2 _{+ 3y}2 _{– 16x}2_{y + 9x}2 _{– 20x}2_y d. 5k + 2m – 3 + 7k + 8m e. 2m2 _{+ 5m}2_{n – 11m}2 _{+ m}2_{n + 4mn}2 Penyelesaian :

1. a. Banyak suku pada 5x + 3 adalah 2, yaitu 5x dan 3.

b. Banyak suku pada 7a2 _{+ 3b – 5 adalah 3, yaitu 7a}2_{, 3b, dan –5.} c. Banyak suku pada 7x4 _{– 8x}3 _{+ 3x}2 _{adalah 3, yaitu 7x}4_{, –8x}3_{, dan 3x}2_. d. Banyak suku pada –x3 _{+ 2x}2 _{+8x – 5 adalah 4, yaitu –x}3_{, 2x}2_{, 8x, dan –5.} e. Banyak suku pada 12x5 _{+ 5x}3 _+2x2 _{– 6 adalah 4, yaitu 12x}5_{, 5x}3_{, 2x}2_{, dan – 6.} 2. a. Suku-suku yang sejenis pada 2x + 3y – 2 + 4y adalah: 3y dan 4y

NURFARISYAH, S.Pd y x xy y x x 7 8 3 3 6 15 2_{− + + −} 2₊ Sejenis Sejenis

Faktorisasi Bentuk Aljabar

b. Suku-suku yang sejenis pada 3a2 _{+ 4ab}2 _{– 15a}2_{b – a}2 _{+ 7a}2_{b adalah:} (i) 3a2 _{dan –a}2

(ii) –15a2_{b dan 7a}2_b

c. Suku-suku yang sejenis pada 2x2 _{+ 3y}2 _{– 16x}2_{y + 9x}2 _{– 20x}2_{y adalah:} (i) 2x2 _{dan 9x}2

(ii) –16x2_{y dan –20x}2_y

d. Suku-suku yang sejenis pada 5k + 2m – 3 + 7k + 8m adalah: (i) 5k dan 7k

(ii) 2m dan 8m

e. Suku-suku yang sejenis pada 2m2 _{+ 5m}2_{n – 11m}2 _{+ m}2_{n + 4mn}2 _adalah: (i) 2m2 _{dan –11m}2

(ii) 5m2_{n dan m}2_n

B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku yang sejenis.

Contoh :

1. Tentukan jumlah dari : a. 3a + 5 dan 7a – 6

b. 12x2 _{– 7x + 16 dan –8x}2 _{+ 3x – 13} 2. Kurangkanlah :

a. 12a – 7 dari –3a + 15

b. 14x2 _{+ 5x – 4 dari 11x}2 _{– 16x + 3} Penyelesaian : 1. a. (3a + 5) + (7a – 6) = 3a + 5 + 7a – 6 = 3a + 7a + 5 – 6 = 10a – 1 b. (12x2 _{– 7x + 16) + (–8x}2 _{+ 3x – 13) = 12x}2 _{– 7x + 16 – 8x}2 _{+ 3x – 13} = 12x2 _{– 8x}2 _{– 7x + 3x + 16 – 13} = 4x2 _{– 4x + 3}

2. a. (–3a + 15) – (12a – 7) = –3a + 15 – 12a + 7 = –3a – 12a + 15 + 7 = –15a + 22 b. (11x2 _{– 16x + 3) – (14x}2 _{+ 5x – 4) = 11x}2 _{– 16x + 3 – 14x}2 _{– 5x + 4} = 11x2 _{– 14x}2 _{– 16x – 5x + 3 + 4} = –3x2 _{– 21x + 7} LATIHAN

1. Tentukan jumlah dari : a. 7x + 8 dan – 9x – 3 b. 3k – 8l + 2m dan –8k + 3l – 12m c. 2p – 4q + 5r dan –6p + 3q – 15r d. 21x2 _{+ 5x – 6 dan –15x}2 _{+ 6x – 10} e. 3k2_{m + 5k – mn}2 _{dan –6k}2_{m + 7mn}2 _{– 12k} 2. Kurangkanlah : a. –5a + 3 dari 4a – 6 b. 5p – 7q + 2r dari –p + 2q – 3r c. –9a + 3b – c dari –3a + 5b – 4c d. 6x2 _{+ 3x – 2 dari –4x}2 _{+ 2x – 6} e. –8x2_{y + 3x – 5yz}2 _{dari x}2_{y – 2x + 3yz}2 Penyelesaian : 1. a. (7x + 8) + (– 9x – 3) = 7x + 8 – 9x – 3 = 7x – 9x + 8– 3 = –2x + 5 b. (3k – 8l + 2m) + (–8k + 3l – 12m) = 3k – 8l + 2m – 8k + 3l – 12m = 3k – 8k – 8l + 3l + 2m – 12m

Faktorisasi Bentuk Aljabar = –5k – 5l – 10m c. (2p – 4q + 5r) + (–6p + 3q – 15r) = 2p – 4q + 5r – 6p + 3q – 15r = 2p – 6p – 4q + 3q + 5r – 15r = –4p – q – 10r d. (21x2 _{+ 5x – 6) + (–15x}2 _{+ 6x – 10) = 21x}2 _{+ 5x – 6 – 15x}2 _{+ 6x – 10} = 21x2 _{– 15x}2 _{+ 5x + 6x – 6– 10} = 6x2 _{+ 11x – 16} e. (3k2_m+5k–mn2_)+(–6k2_m+7mn2_–12k2_{) = 3k}2_{m+5k – mn}2 _{– 6k}2_m+7mn2 _{– 12k} = 3k2_{m – 6k}2_{m+5k – 12k – mn}2_+7mn2 = –3k2_{m – 7k + 6mn}2 2. a. (4a – 6) – (–5a + 3) = 4a – 6 + 5a – 3 = 4a + 5a – 6 – 3 = 9a – 9 b. (–p + 2q – 3r) – (5p – 7q + 2r) = –p + 2q – 3r – 5p + 7q – 2r = –p – 5p + 2q + 7q – 3r – 2r = –6p + 9q – 5r

c. (–3a + 5b – 4c) – (–9a + 3b – c) = –3a + 5b – 4c + 9a – 3b + c = –3a + 9a + 5b – 3b – 4c + c = –6a + 2b – 3c

d. (–4x2 _{+ 2x – 6) – (6x}2 _{+ 3x – 2) = –4x}2 _{+ 2x – 6 – 6x}2 _{– 3x + 2} = –4x2 _{– 6x}2 _{+ 2x – 3x – 6 + 2} = –10x2 _{– x – 4}

e. (x2_{y – 2x + 3yz}2_{) – (–8x}2_{y + 3x – 5yz}2_{) = x}2_{y – 2x + 3yz}2 _{+ 8x}2_{y – 3x + 5yz}2 = x2_{y + 8x}2_{y – 2x – 3x + 3yz}2 _{+ 5yz}2 = 9x2_{y – 5x + 8yz}2

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Sifat Distributif : a_a((_bb₋+_cc_{) (}) (=₌a_a×_×bb_{) (}) (+_−aa_××_cc₎)₌=_abab₋+_acac Contoh :

Tentukan hasil perkalian dari : 1. 3(4x – 2) 2. (a + 2)(a + 2) 3. (x – 3)(x + 2) 4. 5a(3t – 2s + 7r) 5. (2x – 3y)(x + 2y – 3z) Penyelesaian : 1. 3(4x – 2) = 12x – 6 2. (a + 2)(a + 2) = a2 _{+ 2a + 2a + 4 = a}2 _{+ 4a + 4} 3. (x – 3)(x + 2) = x2 _{+ 2x – 3x – 6 = x}2_{–x – 6} 4. 5a(3t – 2s + 7r) = 15at – 10as + 35ar

5. (2x – 3y)(x + 2y – 3z) = 2x2 _{+ 4xy – 6xz – 3xy – 6y}2 _{+ 9yz} = 2x2 _{– 6y}2 _{+ 4xy – 3xy – 6xz + 9yz} = 2x2 _{– 6y}2 _{+ xy – 6xz + 9yz}

LATIHAN

Tentukan hasil perkalian dari : 1. a(5a – 3) 2. (x + 3)(x – 5) 3. (10 – 3y)(5 + y) 4. 5a2_{(t + 7s – 3r)} 5. (3a – b)(2a – 5b – c) Penyelesaian : 1. a(5a – 3) = 5a2 _{– 3a} 2. (x + 3)(x – 5) = x2 _{– 5x + 3x – 15 = x}2 _{– 2x – 15}

3. (10 – 3y)(5 + y) = 50 + 10y – 15y – 3y2 _{= – 3y}2 _{– 5y + 50} 4. 5a2_{(t + 7s – 3r) = 5a}2_t+35a2_s−15a2_r

5. (3a – b)(2a – 5b – c) = 6a2 _{– 15ab – 3ac – 2ab + 5b}2 _{+ bc} = 6a2 _{+ 5b}2 _{– 15ab – 2ab – 3ac + bc} NURFARISYAH, S.Pd

Faktorisasi Bentuk Aljabar

= 6a2 _{+ 5b}2 _{– 17ab – 3ac + bc} 3. Pembagian Bentuk Aljabar

Contoh :

Tentukan hasil pembagian dari : 1. 12x2 _{: 3x} 2. 18a5_{b : (–3a}2₎ 3. 48x7_y2_{z : (–12x}3_y) 4. –x5_y3 _{: (–xy}4_z) 5. 14a6_b8

×

_(a2_b3 _{: 7a}-3_b5₎ Penyelesaian : 1. 12x2 _{: 3 = x x x} x x x x _{4 4 4} 3 12 3 12 2 2 ₌ 2 1₌ 1 ₌           = − 2. 18a5_{b : (–3a}2_{) =} b _{a b} a a a b a 3 2 5 2 5 6 1 3 18 3 18 − =                 − = − 3. 48x7_y2_{z : (–12x}3_{y) =} z _{x yz} y y x x y x z y x 2 4 3 7 3 2 7 4 1 12 48 12 48 − =                     − = − 4. –x5_y3 _{: (–xy}4_{z) =} 4 4 4

( )

1 4 3 5 4 3 5 _{1 1} 1 1 1 1 _{= =} −           =                     − − = − − _{x yz} yz x z y x z y y x x z xy y x 5. 14a6_b8

×

_(a2_b3 _{: 7a}-3_b5_{) =}     × ₋3 5 3 2 8 6 7 14 b a b a b a = _                    × ₋ 5 3 3 2 8 6 7 1 14 b b a a b a =

( )

_                  × 5 ₂ 8 6 1 7 1 14 b a b a = ×_ 2_ 5 8 6 7 14 b a b a ₌ 2 8 11 7 14 b b a = 2a11_b5 LATIHAN

Tentukan hasil pembagian dari : 1. 15ab : 3a 2. 36x2_y4 _{: (–3x}3₎ 3. 20p5_qr3 _{: (–4p}3_q3₎ 4. –a-2_{b : (–ab}2_c-1₎ 5. 21m4_n3

×

_(2m2_{n : 4m}-5_n3₎ Penyelesaian : 1. 15ab : 3a = b b a a a ab 5 1 3 15 3 15 ₌                   = 2. 36x2_y4 _{: (–3x}3_{) =} 3 4 2 3 36 x y x − = 4 1 4 4 4 3 2 12 12 1 12 1 3 36 y x x y y x y x x ₋ − = − =       − =               − 3. 20p5_qr3 _{: (–4p}3_q3_{) =} 3 3 3 5 4 20 q p qr p − = _ __ __ _      −4 1 20 3 3 3 5 _r q q p p = 3 2 2 1 5 r q p     − = 2 3 2 5 q r p − = –5p2_q-2_r3 4. –a-2_{b : (–ab}2_c-1_{) =} 1 2 2 − − − − c ab b a =                       − − − − 1 2 2 ₁ 1 1 c b b a a

Faktorisasi Bentuk Aljabar =                           c b a a 1 1 1 1 1 2 = c b a _           1 1 3 = _{a b} c 3 = a-3b-1c 5. 21m4_n3

×

_(2m2_{n : 4m}-5_n3_{) =}     × ₋₅2 ₃ 3 4 4 2 21 n m n m n m =                     × ₋5 3 2 3 4 4 2 21 n n m m n m =                                   × 2 5 2 3 4 1 1 2 1 21 n m m n m = _ _            × 7 ₂ 3 4 1 2 1 21 n m n m = ×_ 2_ 7 3 4 2 21 n m n m ₌ 2 3 11 2 21 n n m = 2 21_m11_n

4. Pemangkatan Bentuk Aljabar

a. Arti Pemangkatan Bentuk Aljabar

Pemangkatan suatu bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan a, maka a2 _{= a}

×

_a

Sifat Pemangkatan :

( )

m n m n n m n m n m n m a a a a a a a a × − + = = = × : Contoh :

Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut! 1. (3a)2 2. (2ab)3 3. (–7x3₎3 4. (–xy2_z4₎6 5. –(8x2_y3₎2 Penyelesaian :

1. (3a)2 _{= (3a)}

×

_{(3a) = 9a}2

2. (2ab)3 _{= (2ab)}

×

_(2ab)

×

_{(2ab) = 8a}3_b3 3. (–7x3₎3 _{= (–7x}3₎

×

_(–7x3₎

×

_(–7x3_{) = 343x}9 4. (–xy2_z4₎6 _{= x}6_y12_z24

5. –(8x2_y3₎2 _{= –64x}4_y6 b. Pemangkatan Suku Dua

(a + b)2 _{= (a + b)}

×

_{(a + b)} = a2 _{+ ab + ab + b}2 = a2 _{+ 2ab + b}2 (a + b)3 _{= (a + b)}

×

_{(a + b)}

×

_{(a + b)} = (a2 _{+ 2ab + b}2₎

×

_{(a + b)} = a3 _{+ a}2_{b + 2a}2_{b + 2ab}2 _{+ ab}2 _{+ b}3 = a3 _{+ 3a}2_{b + 3ab}2 _{+ b}3

Dalam menentukan hasil pemangkatan suku dua, koefisien dari suku-sukunya dapat diperoleh dari bilangan yang terdapat pada segitiga Pascal.

NURFARISYAH, S.Pd1 5 10 10 5 1 1 3 3 1 1 1 1 4 6 4 1 1 2 1

(

+

)

1 ⇒ b a

(

+

)

2 ⇒ b a

(

+

)

3 ⇒ b a

(

+

)

4 ⇒ b a

(

+

)

5 ⇒ b a b a+ ⇒ 2 2 _{2ab b} a + + ⇒ 3 2 2 3 _{3a b 3ab b} a + + + ⇒ 4 3 2 2 3 4 _{4a b 6a b 4ab b} a + + + + ⇒ 5 4 3 2 2 3 4 5 _{5a b 10a b 10a b 5ab b} a + + + + + ⇒

Faktorisasi Bentuk Aljabar

Jadi, (a + b)5 _{= a}5 _{+ 5a}4_{b + 10a}3_b2 _{+ 10a}2_b3 _{+ 5ab}4 _{+ b}5 Contoh :

Tentukan hasil perpangkatan berikut! 1. (3a + b)2 2. (2x – 5)3 3. (2x – 3y)4 4. (a + b + c)2 5. (2a – b + 3c)2 Penyelesaian :

1. (3a + b)2 _{= (3a)}2 _{+ 2(3a)(b) + (b)}2 = 9a2 _{+ 6ab + b}2 2. (2x – 5)3 _{= [2x + (–5)]}3 = (2x)3 _{+ 3(2x)}2_{(–5) + 3(2x)(–5)}2 _{+ (–5)}3 = 8x3 _{+ 3(4x}2_{)(–5) + 3(2x)(25) + (–125)}3 = 8x3 _{– 60x}2 _{+ 150x – 125} 3. (2x – 3y)4 _{= [2x + (–3y)]}4

= (2x)4 _{+ 4(2x)}3_{(–3y) + 6(2x)}2_(–3y)2 _{+ 4(2x)(–3y)}3 _{+ (–3y)}4 = 16x4 _{+ 4(8x}3_{)(–3y) + 6(4x}2_)(9y2_{) + 4(2x)(–27y}3_{) + (81y}4₎ = 16x4 _{– 96x}3_{y + 216x}2_y2 _{– 216xy}3 _{+ 81y}4 4. (a + b + c)2_{= [(a + b) + c]}2 = (a + b)2 _{+ 2(a + b)(c) + (c)}2 = (a + b)2 _{+ 2c(a + b) + c}2 = a2 _{+ 2ab + b}2 _{+ 2ac + 2bc + c}2 = a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{+ 2ab + 2ac + 2bc} 5. (2a – b + 3c)2 _{= [(2a – b) + 3c ]}2 = (2a – b)2 _{+ 2(2a – b)(3c) + (3c)}2 = [2a + (–b)]2 _{+ 6c(2a – b) + 9c}2

= [(2a)2 _{+ 2(2a)(–b) + (–b)}2_{] + 6c(2a – b) + 9c}2 = 4a2 _{– 4ab + b}2 _{+ 12ac – 6bc + 9c}2

= 4a2 _{+ b}2 _{+ 9c}2 _{– 4ab + 12ac – 6bc} LATIHAN

Tentukan hasil perpangkatan berikut! 1. –(3a3_b-4₎-4 2. (p + 5)2 3. (4x – 3y)3 4. (a – b + c)2 5. (3a – 2b – c)2 Penyelesaian : 1. –(3a3_b-4₎-4 _{= –[(3}-4_)a-12_b16_{] =}     − =     − =                 − 12 16 12 4 16 16 12 4 _{3 81} 1 3 1 a b a b b a 2. (p + 5)2 _{= (p)}2 _{+ 2(p)(5) + (5)}2 _{= p}2 _{+ 10p + 25} 3. (4x – 3y)3 _{= [4x + (–3y)]}3

= (4x)3 _{+ 3(4x)}2_{(–3y) + 3(4x)(–3y)}2 _{+ (–3y)}3 = 64x3 _{+ 3(16x}2_{)(–3y) + 3(4x)(9y}2_{) + (–27y}3₎ = 64x3 _{– 144x}2_{y + 108xy}2 _{– 27y}3 4. (a – b + c)2_{= [(a – b) + c]}2 = (a – b)2 _{+ 2(a – b)(c) + (c)}2 = (a – b)2 _{+ 2c(a – b) + c}2 = a2 _{– 2ab + b}2 _{+ 2ac – 2bc + c}2 = a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{– 2ab + 2ac – 2bc} 5. (3a – 2b – c)2 _{= [(3a – 2b) – c ]}2 = [(3a – 2b) + (–c)]2 = (3a – 2b)2 _{+ 2(3a – 2b)(–c) + (–c)}2 = [(3a) + (–2b)]2 _{– 2c(3a – 2b) + c}2

Faktorisasi Bentuk Aljabar

= [(3a) + 2(3a)(–2b) + (–2b)2_{] – 2c(3a – 2b) + c}2 = 9a2 _{– 12ab + 4b}2 _{– 6ac + 4bc + c}2

= 9a2 _{+ 4b}2 _{+ c}2 _{– 12ab – 6ac + 4bc} C. Faktorisasi Bentuk Aljabar

1. Faktorisasi dengan Sifat Distributif

 Faktorisasi (pemfaktoran) adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian faktor-faktor.

 Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distirbutif.

Contoh :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! 1. 4a + 8 2. 9p3 _{– 18p}5 3. p(p + q) – 2q(p + q) 4. 4x2_{y + 6xy – 8x}2_y2 5. 2a – 2b + ac – bc 6. px + py – qx – qy Penyelesaian :

1. 4a dan 8 memiliki FPB = 4, maka : 4a + 8 = 4(a) + 4(2)

= 4(a + 2)

2. 9p3 _{dan 18p}5 _{memiliki FPB = 9p}3_{, maka :} 9p3 _{– 18p}5 _{= 9p}3_{(1) – 9p}3_(2p2₎

= 9p3_{(1 – 2p}2₎

3. p, 2q, dan (p + q) memiliki FPB = (p + q), maka : p(p + q) – 2q(p + q) = (p + q)(p – 2q)

4. 4x2_{y, 6xy, dan –8x}2_y2 _{memiliki FPB = 2xy}

4x2_{y + 6xy – 8x}2_y2 _{= 2xy(2x) + 2xy(3y) – 2xy(4xy)} = 2xy(2x + 3y – 4xy) 5. 2a – 2b + ac – bc = 2(a – b) + c(a – b) = (a – b)(2 + c) 6. px + py – qx – qy = p(x + y) – q(x + y) = (p – q)(x + y) LATIHAN : Faktorkanlah! 1. 12a – 4 2. 8a3 _{+ 24a}2 3. a(x + y) + 4(x + y) 4. 8p2 _{+ 12pq – 16pr} 5. p2 _{+ pq – qr – pr} 6. 18x2_{y – 12xy}2 7. a(x – y) + b(x – y) 8. 18a2_{bc – 3ab}2_{c – 27abc}2 9. a2 _{– ax + ay – xy} 10. 2px – 2qx + py – qy Penyelesaian : 1. 12a – 4 = 4(3a) – 4(1) = 4(3a – 1) 2. 8a3 _{+ 24a}2 _{= 8a}2_{(a) + 8a}2₍₃₎ = 8a2_{(a + 3)} 3. a(x + y) + 4(x + y) = (a + 4)(x + y) 4. 8p2 _{+ 12pq – 16pr = 4p(2p) + 4p(3q) – 4p(4r)} = 4p(2p + 3q – 4r) 5. p2 _{+ pq – qr – pr = (p}2 _{+ pq) – (qr + pr)} = p(p + q) – r(p + q) = (p – r)(p + q) 6. 18x2_{y – 12xy}2 _{= 6xy(3x) – 6xy(2y)}

= 6xy(3x – 2y) NURFARISYAH, S.Pd faktorfaktor

(

b c

)

a ac ab+ = +

Faktorisasi Bentuk Aljabar

7. a(x – y) + b(x – y) = (a + b)(x – y)

8. 18a2_{bc – 3ab}2_{c – 27abc = 3abc(6a) – 3abc(b) – 3abc(9c)} = 3abc(6a – b – 9c) 9. a2 _{– ax + ay – xy = a(a – x) + y(a – x)} = (a + y)(a – x) 10. 2px – 2qx + py – qy = (2px – 2qx) + (py – qy) = 2x(p – q) + y(p – q) = (2x – y)(p – q)

2. Faktorisasi Bentuk a2 _{+ 2ab + b}2 _{dan a}2 _{– 2ab + b}2 Ingat! ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 b ab a b a b ab a b a + − = − + + = + Contoh : 1. (x + 3)2 _{= (x)}2 _{+ 2(x)(3) + (3)}2 = x2 _{+ 6x + 9}

2. a2 _{+ 10a + 25 = (a)}2 _{+ 2(a)(5) + (5)}2 =(a + 5)2

3. x2 _{– 18x + 81 = (x)}2 _{– 2(x)(9) + (9)}2 = (x – 9)2

4. 4a2 _{+ 12ab + 9b}2 _{= (2a)}2 _{+ 2(2a)(3b) + (3b)}2 = (2a + 3b)2

5. 16x2 _{– 56xy + 49y}2 _{= (4x)}2 _{– 2(4x)(7y) + (7y)}2 = (4x – 7y)2

LATIHAN :

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. x2 _{+ 14x + 49} 2. a2 _{– 8a + 16} 3. 9x2 _{+ 6x + 1} 4. m2 _{– 10mn + 25n}2 5. x4 _{+ 24x}2 _{+ 144} Penyelesaian : 1. x2 _{+ 14x + 49 = (x)}2 _{+ 2(x)(7) + (7)}2 = (x + 7)2 2. a2 _{– 8a + 16 = (a)}2 _{– 2(a)(4) + (4)}2 = (a – 4)2 3. 9x2 _{+ 6x + 1 = (3x)}2 _{+ 2(3x)(1) + (1)}2 = (3x + 1)2 4. m2 _{– 10mn + 25n}2 _{= (m)}2 _{– 2(m)(5n) + (5n)}2 = (m – 5n)2 5. x4 _{+ 24x}2 _{+ 144 = (x}2₎2 _{+ 2(x}2_{)(12) + (12)}2 = (x2 _{+ 12)}2

3. Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat (a + b)(a – b) = a2 _{– ab + ab + b}2

= a2 _{– b}2 Jadi, (a + b)(a – b) = a2 _{– b}2 Contoh :

Faktorkan bentuk aljabar berikut! 1. a2 _{– 4}

2. 4a2 _{– 25} 3. x4 _{– 16y}4 4. 3x4 _{– 243} 5. 25x2 _{– (x – y)}2

Faktorisasi Bentuk Aljabar Penyelesaian : 1. a2 _{– 4 = [(a)}2 _{– (2)}2_] = (a + 2)(a – 2) 2. 4a2 _{– 25 = [(2a)}2 _{– (5)}2_] = (2a + 5)(2a – 5) 3. x4 _{– 16y}4 _{= [(x}2₎2 _{– (4y}2₎2_] = (x2 _{+ 4y}2_)(x2 _{– 4y}2₎ = (x2 _{+ 4y}2_)[(x)2 _{– (2y)}2_] = (x2 _{+ 4y}2_{)(x + 2y)(x – 2y)} 4. 3x4 _{– 243 = 3(x}4 _{– 81)} = 3[(x2₎2 _{– (9)}2_] = 3(x2 _{+ 9)(x}2 _{– 9)} = 3(x2 _{+ 9)[(x)}2 _{– (3)}2_] = 3(x2 _{+ 9)(x + 3)(x – 3)} 5. 25x2 _{– (x – y)}2 _{= [(5x)}2 _{– (x – y)}2_] = [5x + (x – y)][5x – (x – y)] = (5x + x – y)(5x – x + y) = (6x – y)(4x + y) LATIHAN

Faktorkan bentuk aljabar berikut! 1. a2 _{– 5}2 2. 64m2 _{– 16} 3. a2_b2 _{– 16c}2 4. 2m4 _{– 32n}4 5. 25a2 _{– 9(a + b)}2 Penyelesaian : 1. a2 _{– 5}2 _{= [(a)}2 _{– (5)}2_] = (a + 5)(a – 5) 2. 64m2 _{– 16 = [(8m)}2 _{– (4)}2_] = (8m + 4)(8m – 4) 3. a2_b2 _{– 16c}2 _{= [(ab)}2 _{– (4c)}2_] = (ab + 4c)(ab – 4c) 4. 2m4 _{– 32n}4 _{= 2(m}4 _{– 16n}4₎ = 2[(m2₎2 _{– (4n}2₎2_] = 2(m2 _{+ 4n}2_)(m2 _{– 4n}2₎ = 2(m2 _{+ 4n}2_)[(m)2 _{– (2n)}2_] = 2(m2 _{+ 4n}2_{)(m + 2n)(m – 2n)} 5. 25a2 _{– 9(a + b)}2 _{= [(5a)}2 _{– (3(a + b))}2_]

= [5a + 3(a + b)][5a – 3(a + b)] = (5a + 3a + 3b)(5a – 3a – 3b) = (8a + 3b)(2a – 3b)

4. Faktorisasi Bentuk ax2 _{+ bx + c dengan a = 1}

Faktorisasi (pemfaktoran) bentuk ax2 _{+ bx + c adalah :} x2 _{+ bx + c = (x + p)(x + q)}

Dengan syarat c = p

×

q dan b = p + q Contoh :

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. x2 _{+ 10x + 16} 2. x2 _{+ 2x – 48} 3. p2 _{– 9pq – 10q}2 4. 18 + 11y + y2 5. m2 _{– 12mn – 45n}2 Penyelesaian : NURFARISYAH, S.Pd

Faktorisasi Bentuk Aljabar 1. x2 _{+ 10x + 16 = (x + 2)(x + 8)} 1 = a c=p×q b=p+q 10 = b 16=1×16 10≠1+16 16 = c 16=2×8 10=2+8 4 4 16= × 10≠4+4 2. _x2₊2_x−48 ₌

(

_x−6

)(

_x+8

)

1 = a c=p×q b=p+q 2 = b −48=1×

(

−48

)

2≠1+

(

−48

)

48 − = c −48=

( )

−1 ×48 2≠

( )

−1 +48

(

24

)

2 48= ×− − 2≠2+

(

−24

)

(

2

)

24 48=− × − 2≠

(

−2

)

+24

(

8

)

6 48= ×− − 2≠6+

(

−8

)

(

6

)

8 48=− × − 2=

(

−6

)

+8 3. _p2 _−9pq−10q2 ₌

(

_p+q

)(

_p−10q

)

1 = a c=p×q b=p+q 9 − = b −10=1×

(

−10

)

−9=1+

(

−10

)

10 − = c −10=

( )

−1 ×10 −9≠

( )

−1 +10

(

5

)

2 10= ×− − −9≠2+

(

−5

)

(

2

)

5 10=− × − −9≠

(

−2

)

+10 4. _18+11y+y2₌

(

_9+y

)(

_2+y

)

1 = a c=p×q b=p+q 11 = b 18=1×18 11≠1+18 18 = c 18=

( ) (

−1 ×−18

)

1≠

( ) (

−1 +−18

)

9 2 18= × 11=2+9

(

2

) (

9

)

18=− ×− 11≠

(

−2

) (

+−9

)

3 6 18= × 11≠6+3

(

6

) (

3

)

18=− ×− 11=

(

−6

) ( )

+ −3 5. _m2_{−12mn−45n}2 =

(

m+3n

)(

m−15b

)

1 = a c=p×q b=p+q 12 − = b −45=1×

(

−45

)

−12≠1+

(

−45

)

45 − = c −45=

( )

−1 ×45 −12≠

( )

−1 +45

(

15

)

3 45= ×− − −12=3+

(

−15

)

(

3

)

15 45=− × − −12≠

( )

−3 +15

( )

9 5 45= ×− − −12 ≠5+

( )

−9

(

5

)

9 45=− × − −12≠

( )

−5 +9 LATIHAN

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. _a2₊4_a+3 2. _m2 ₋8_m−20 3. _x2_−13xy+36y2 4. _{−76−40b−b}2 5. _ax2_+15ax−16a2 Penyelesaian : 1. _a2₊4_a+3 ₌

(

_a+3

)(

_a+1

)

2. _m2 ₋8_m−20 ₌

(

_m−10

)(

_m+2

)

3. _x2_−13xy+36y2 ₌

(

_x−4y

)(

_x−9y

)

4. _{−76−40b−b}2 ₌

(

_2+b

)(

_−38−b

)

5. ax2₊15ax₋16a _{= a}

(

_x2_+15x−16

)

= a

(

x−1

)(

x+16

)

5. Faktorisasi Bentuk ax2 _{+ bx + c dengan a ≠1} Catatan : c bx ax2 + + ₌

(

_k×l

)(

_m×n

)

         

Faktorisasi Bentuk Aljabar  Suku ke-1 = _ax2

Didapat dari hasil perkalian k dengan

m

 Suku ke-2 = bx

Didapat dari hasil perkalian l dengan

n

 Suku ke-3 =

c

Didapat dari hasil penjumlahan l dengan

n

Contoh :

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. 6_x2₋11_x+3 2. 8_x2₋26_x+15 3. _10x2_+53xy+15y2 4. _12m2_−17mn−5n2 5. 3_x2 ₊5_x−12 Penyelesaian : 1. 6_x2₋11_x+3₌

(

_2x−3

)(

_3x−1

)

= 6_x2₋2_x−9_x+3 = 6_x2₋11_x+3 2. 8_x2₋26_x+15₌

(

_4x−3

)(

_2x−5

)

= 8_x2₋20_x−6_x+15 = 8_x2₋26_x+15 3. _10x2_+53xy+15y2 ₌

(

_10x+3y

)(

_x+5y

)

= _10x2_{+50xy+3xy+15y}2 = _10x2_+53xy+15y2 4. _12m2_−17mn−5n2 ₌

(

_3m−5n

)(

_4m+n

)

= _{20mn+3mn−20mn−5n}2 = _12m2_−17mn−5n2 5. 3_x2 ₊5_x−12 ₌

(

_3x−4

)(

_x+3

)

= 3_x2₊9_x−4_x−12 = 3_x2 ₊5_x−12 LATIHAN

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! 1. 6_a2₊13_a+6 2. 2_m2₋7_m+3 3. _15−7x−2x2 4. _8p2_+7pq−15q2 5. _15x2_{−11xy−12y}2 Penyelesaian : 1. 6_a2₊13_a+6 ₌

(

_a+3

)(

_a+1

)

2. 2_m2₋7_m+3 ₌

(

_m−10

)(

_m+2

)

3. _15−7x−2x2 ₌

(

_x−4y

)(

_x−9y

)

4. _8p2_+7pq−15q2 ₌

(

_2+b

)(

_−38−b

)

5. _15x2_{−11xy−12y}2_{= a}

(

_x2_+15x−16

)

=a

(

x−1

)(

x+16

)

D. Operasi Pecahan Bentuk Aljabar

1. Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar

Pecahan yang pembilangnya atau penyebutnya atau kedua-duanya berbentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebutnya.

Contoh : 1. ax_x2₋−a_x =

(

)

(

1

)

1 − − x x x a = x a 2. 8 12 4a− b = 4

(

a₄

_{( )}

−₂3b

)

= 2 3b a− NURFARISYAH, S.Pd

Faktorisasi Bentuk Aljabar 3. 16 4 2 2 − + x x x =

₍

_x+x

(

₄x

₎₍

+_x4₋

)

₄

₎

= _x−x₄ 4. x_2x2 x_6x6 2 + − + =

(

x₂+_x3

₍

_x

)(

₊x₃−

₎

2

)

= x x 2 2 − 5. 4 2 2 ₋ − x x = _{2 2} 2 2 − + − x x =

₍

_x−₊

(

₂x

₎₍

+_x2₋

)

₂

₎

=

₍

_x−₋1₂

₎

= −

₍

_x1₋₂

₎

6. ₂ 4 2 2 1 x x − − ₌ 2 2 1 2 4 4 + − − x x =

(

₍

)(

₎

)

1 2 1 1 2 2 2 − − + − x x x =

(

)

2 1 2 − + x =

(

)

2 1 2₊ − x 7. m m m − + − 2 2 3 2 =

(

)(

)

2 2 1 + − − − m m m =

(

₍

)(

₎

)

2 2 1 − − − − m m m =

(

)

1 1 − − m = −

(

m−1

)

= −m+1 8. 2 2 2 2 6 13 6 8 10 3 y xy x y xy x + − − + =

₍

(

₃3_xx₋−₂2_yy

₎₍

)(

₂x_x+₋4₃y_y

)

₎

=

₍

(

₂x_x+₋4₃y_y

)

₎

LATIHAN

Sederhanakan bentuk aljabar berikut! 1. x_xy 2 2. 3 9 6_m2 _{− mn} 3. a ab a2 ₊4 4. m m m 8 24 16 2 ₊ 5. bc ab a 6 4 2 + 6. mn m n m − − 2 4 4 7. _x2 _y2 y x − − 8. 3 2 9 4 2 + − a a 9. 12 8 2 2 _{+ +} + m m m 10. 2 2 2 2 16 12 y x y xy x − − + 11. xy x y xy x 3 9 6 2 2 2 − + − 12. 10 2 6 5 2 2 − + + − x x x x 13. a b b a − −3 3 14. 9 3 2 ₋ − a a 15. m m 2 3 9 4 2 + − 16. x_8y 16₂y_x 2 2 − − 17. 2 1 2 2 − + − a a a 18. x x x − − + 7 56 2 19. 9 9 3 2 2 2 − − + m m m 20. x x x − + − 4 8 10 2 2 Penyelesaian : 1. xy x2 = x._xyx = _yx 2. 3 9 6_m2 _{− mn} =

(

)

3 3 2 3 _m2 _{− mn} = 2m2 ₋3mn 3. a ab a2 ₊4 =

(

)

a b a a +4 = a 4+ b 4. m m m 8 24 16 2 ₊ =

(

)

m m m 8 3 2 8 + = 2m+3 5. bc ab a 6 4 2 + =

(

ab bc

)

a 3 2 2 . 2 + =

(

ab bc

)

a 3 2 + 6. mn m n m − − 2 4 4 = _m4

(

₍

m_m−₋n_n

)

₎

= m 4 7. _x2 _y2 y x − − =

₍

(

₎₍

)

₎

y x y x y x + − − =

₍

₎

y x+ 1 8. 3 2 9 4 2 + − a a =

(

₍

)(

₎

)

3 2 3 2 3 2 + − + a a a =

(

2a−3

)

Faktorisasi Bentuk Aljabar 9. 12 8 2 2 _{+ +} + m m m =

₍

(

₎₍

)

₎

6 2 2 + + + m m m =

₍

₎

6 1 + m 10. 2 2 2 2 16 12 y x y xy x − − + =

₍

(

_xx₋−₄3y_y

)(

₎₍

x_x+₊₄4_yy

₎

)

=

₍

(

_xx₋−₄3y_y

)

₎

11. xy x y xy x 3 9 6 2 2 2 − + − =

(

x−_x3

₍

_xy₋

)(

x_3y−

₎

3y

)

=

(

)

x y x 3− = x y 3 1− 12. 10 2 6 5 2 2 − + + − x x x x =

₍

(

₎₍

)(

)

₎

5 2 2 3 2 + − − − x x x x =

₍

(

)

₎

5 2 3 + − x x 13. a b b a − −3 3 14. 9 3 2 ₋ − a a 15. m m 2 3 9 4 2 + − 16. x_8y 16_2xy 2 2 − − 17. 2 1 2 2 − + − a a a 18. x x x − − + 7 56 2 19. 9 9 3 2 2 2 − − + m m m 20. x x x − + − 4 8 10 2 2

2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar Catatan :

Sebelum menjumlah atau mengurangkan suatu pecahan bentuk aljabar maka terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan mencari KPK.

Contoh : 1. 3 2 3 a a + = 3 2a a+ = 3 3a =

a

2. 4 7 3 2x₊ x =

( ) ( )

12 7 3 2 4 x + x = 12 21 8x+ x = 12 29x 3.

(

)

3 1 2 2 4 1 2x− ₋ x+ = 3 2 4 4 1 2x− ₋ x+ =

(

) (

)

12 2 4 4 1 2 3 x− − x+ = 12 8 16 3 6x− − x− = 12 11 10 − − x 4. _x−3₁₀+_x2₋₃ = 3

(

x

₍

_x−₋3₁₀

)

+

₎₍

2_x

(

x₋−₃10

₎

)

= 3

₍

x_x−₋9₁₀+

₎₍

2_xx₋−₃20

₎

=

₍

_x−5₁₀x−

₎₍

29_x−3

₎

LATIHAN

Sederhanakan bentuk aljabar berikut! 1. 3 3 2x ₊x 2. m m 7 3 7 4 − 3. b a 4 3 ₊ 4. 5 4 3 5a b − NURFARISYAH, S.Pd

Faktorisasi Bentuk Aljabar 5. x 3 2 1− 6. +1 y x 7. c b a 3 + 8. a n m ₋ 3 9. 1_x +1_y −1_z 10. 4 2 6 2 3 2a ₋ b₊ c 11. 3 4 n m m₊ − 12. b a a− − 2 1 13. 5 2 3 4 1₊ − + a a 14. 3 7 2 7 − − a a 15. 5 4 3 2 + + − m m 16. b a b a− − + 2 3 17. _x2₋x_y+_x+x_y 18. b a a a b a − − + 6 3 19. 4 3 2 1 2 ₋ + + − m m m 20. 3 2 9 4 2 ₋ − ₊ + a a a Penyelesaian : 1. 3 3 2x ₊x 2. m m 7 3 7 4 ₋ 3. b a 4 3 ₊ 4. 5 4 3 5a b − 5. x 3 2 1− 6. +1 y x 7. c b a 3 + 8. a n m − 3 9. 1_x+1_y −1_z 10. 4 2 6 2 3 2a b c + − 11. 3 4 n m m₊ − 12. b a a− − 2 1 13. 5 2 3 4 1₊ − + a a 14. 3 7 2 7 − − a a 15. 5 4 3 2 + + − m m 16. b a b a− − + 2 3 17. _x2₋x_y+_x+x _y 18. b a a a b a − − + 6 3 19. 4 3 2 1 2 ₋ + + − m m m

Faktorisasi Bentuk Aljabar 20. 3 2 9 4 2 ₋ − ₊ + a a a

3. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar Contoh : 1. _ba ×_b3₊b₂ = _b

₍

3_bab₊₂

₎

= _b3₊a₂ 2. 9 ₃ 2 + × − a a a a =

(

₍

₎

)

3 9 2 + − a a a a = a

(

a_a+

₍

_a3

)(

₊a₃−

₎

3

)

=

(

)

1 3 − a = a−3 3. : 2 ₃ 2 − + a a a a = _aa₊₂×a₂−_a3 = ₂a_a

(

₍

a_a−₊3₂

)

₎

= ₂

(

a

₍

_a−₊3₂

)

₎

= ₂a_a−₊3₄ 4. a a a a a 2 4 4 : 4 2 2 2_{− − +} = 2 4 2 2_{4 4} 2 + − × − a a a a a =

₍

(

)

₎

4 4 4 2 2 2 2 + − − a a a a a = 22

₍

(

₋2₂

)(

₎₍

₋2₂

)

₎

− + a a a a a a = _a2

₍

(

_aa₋+2₂

)

₎

= _a22a₋₂4_a + LATIHAN

Tentukan hasil perkalian dan pembagian bentuk aljabar berikut sampai paling sederhana! 1. 3 3 4 2 9 _× + + m m 2. 4 4 8 2 x x x + × 3. 6 9 3 12 2 ₋ × + a a 4. m m m m m 2 12 4 2 2 2 _{+ −} × − 5. 4 6 42 12 3 2 2 + − × − + + m m m m m m 6. 7 2 24 10 49 2 2 + − × − + − m m m m m 7. a a a a a 6 12 36 2 2 2 2 _{− −} × − 8. 25 7 7 10 2 2 2 2 − × − a a a a a 9. x x x x x x 10 8 2 16 8 5 2 2 − × + − 10. 24 2 5 16 2 2 2 − − × − a a a a a 11. 4 3 : 5 + − a a a a 12. 4 3 : 8 12 4x+ x+ 13. 3 10 : 3 5 2 _{− m m−} m 14. b a b a 2 6 : 36 2_{− +} 15. m m m m m 4 3 : 12 12 2 _{+ − −} 16. 2 3 : 12 8 12 4 2 2 − + + − + a a a a a a 17. 6 5 : 48 2 25 2 2 + − − − − m m m m m 18. 2 2 2 6 8 2 : 3 32 4 y y y y y y − − + 19. b b b b b 10 16 : 5 12 3 2 ₋ 2 ₋ 20. 24 6 36 : 3 24 10 2 2 2 − − + − m m m m m Penyelesaian : 1. 3 3 4 2 9 _× + + m m 2. 4 4 8 2 x x x + × 3. 6 9 3 12 2 ₋ × + a a NURFARISYAH, S.Pd

Faktorisasi Bentuk Aljabar 4. m m m m m 2 12 4 2 2 2 _{+ −} × − 5. 4 6 42 12 3 2 2 + − × − + + m m m m m m 6. 7 2 24 10 49 2 2 + − × − + − m m m m m 7. a a a a a 6 12 36 2 2 2 2 _{− −} × − 8. 25 7 7 10 2 2 2 2 − × − a a a a a 9. x x x x x x 10 8 2 16 8 5 2 2 − × + − 10. 24 2 5 16 2 2 2 − − × − a a a a a 11. 4 3 : 5 + − a a a a 12. 4 3 : 8 12 4x+ x+ 13. 3 10 : 3 5 2 _{− m m−} m 14. b a b a 2 6 : 36 2 _{− +} 15. m m m m m 4 3 : 12 12 2 _{+ − −} 16. 2 3 : 12 8 12 4 2 2 − + + − + a a a a a a 17. 6 5 : 48 2 25 2 2 + − − − − m m m m m 18. 2 2 2 6 8 2 : 3 32 4 y y y y y y − − + 19. b b b b b 10 16 : 5 12 3 2 ₋ 2 ₋ 20. 24 6 36 : 3 24 10 2 2 2 − − + − m m m m m

4. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar Bersusun (Suplemen)

Suatu pecahan yang pembilang atau penyebut atau kedua-duanya memuat pecahan disebut pecahan bersusun.

Misalnya : b a b a − + 2 1 1 atau a b b a ₋a +1 1 Contoh :

Sederhanakan pecahan-pecahan berikut! 1. 4 3 2 1 3 1 1 − + =       −       + 4 3 2 1 12 3 1 1 12 = 9 6 4 12 − + = 3 16 − = 3 16 − = 3 1 5 − 2. 9 1 3 1 2 − + a a ₌       ₋       + 9 1 3 1 2 2 2 a a a a = ₂ 2 9 1 3 a a a − + ₌

(

)

(

a

)(

a

)

a a 3 1 3 1 3 1 + − + =

₍

₁₋a_3a

₎

Faktorisasi Bentuk Aljabar LATIHAN Sederhanakanlah! 1. 3 1 1 6 1 2 1 − + 2. 4 1 2 1 + − m m 3. m m 1 1 1 1 − + NURFARISYAH, S.Pd