SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

SISTEM BILANGAN REAL

Purnami E. Soewardi

Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Himpunan Bilangan Asli (N)

Bilangan asli adalah bilangan yang

pertama kali dikenal dan digunakan oleh manusia dalam kebutuhannya untuk

membilang

Himpunan Bilangan Cacah

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli digabung dengan nol

Himpunan Bilangan Bulat (Z)

Himpunan bilangan bulat adalah

gabungan antara himpunan bilangan asli dan negatif bilangan asli, dan nol

Himpunan Bilangan

Rasional

Bilangan rasional atau bilangan pecahan adalah bilangan yang didefinisikan sebagai

a

/

b

;

a

dinamakan pembilang,

b

dinamakan penyebut;

a

,

b

_{ Z;}

b

 0.

Himpunan bilangan pecahan =

      _   , 5 4 , 3 1 , 2 1 , 0 , 2 1 ,

Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

a

/

b

, dengan

a

,

b

_{ Z, dan}

b

 0

Himpunan bilangan irrasional =

           ,log15, 8, 2 1 , 0 , 3 ,

Himpunan Bilangan Real (R)

Himpunan bilangan real adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irrasional.

Bilangan real biasanya direpresentasikan sebagai sebuah garis bilangan

Himpunan Bilangan Real (R)

0 1 2 -1 - 2 2 3  2 4 3  log7 2 -1 - 2 2 3  4 3 

Himpunan Bilangan Real

adalah Medan

Himpunan bilangan real adalah suatu medan

(field). Hal ini berarti:

Himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan membentuk grup komutatif. Himpunan bilangan real tanpa elemen nol, dengan operasi perkalian membentuk grup komutatif.

Grup

Himpunan A dengan suatu operasi # adalah suatu grup apabila dipenuhi aksioma-aksioma:

1. A ≠ Ø

2.Tertutup terhadap operasi #

3.Berlaku sifat asosiatif terhadap operasi #

4.Mempunyai identitas terhadap operasi #

5.Setiap elemen di A mempunyai invers



;

Grup Komutatif:

1.    sebab 0  .

2. Tertutup terhadap operasi penjumlahan (+): Misalkan a,b  sebarang, maka a  b.

3. Berlaku sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan:

Misalkan a ,,b c sebarang, maka a b  c  a b c. 4. Mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan,

yaitu nol (0):



;

Grup Komutatif:

5. Setiap elemen di  mempunyai balikan (invers) terhadap operasi penjumlahan:

Misalkan a sebarang, maka terdapat  a edemikian sehingga a

   

 a   a  a  0 .

6. Selanjutnya, ; adalah grup komutatif, karena: Misalkan a,b  sebarang, maka a b  b  a.

 

0

;

x

\



Grup Komutatif:

1.







sebab

1





.

2. Tertutup terhadap operasi perkalian (x):

Misalkan a,b  sebarang, maka a x b   .

3. Berlaku sifat asosiatif terhadap operasi perkalian:

Misalkan a ,,b c sebarang, maka a



bxc

 

 axb



c.

4. Mempunyai elemen identitas terhadap operasi perkalian, yaitu satu (1):

 

0

;

x

\



Grup Komutatif:

5. Setiap elemen di  mempunyai balikan (invers) terhadap operasi perkalian:

Misalkan a sebarang, maka terdapat a1 sedemikian sehingga a x

   

a1  a1 x a  1.

6. Selanjutnya, ;x adalah grup komutatif, karena: Misalkan a,b  sebarang, maka a x b b x a .

Hukum Distributif:

Misalkan a ,,b c   sebarang, maka dipenuhi:



b

c



ab

ac

Latihan Grup

1. Pandang :

Buktikan bahwa (M; + ) adalah suatu grup!

                 a b c d R d c b a , , , A M

Latihan Grup

2. Pandang :

Buktikan bahwa (P; x ) adalah suatu grup!



m n

m

n



Z





2

3

,

Latihan Grup

3. Lengkapilah Tabel Cayley berikut ini :

*

a

b

c

a

b

b

c

Latihan Grup

*

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

Latihan Grup

4. Pandang pemetaan :

α_a,b : R R

x ax + b

S = { α_a,b | a,b Є R }

Definisikan operasi komposisi ( o ) dengan :

(α_{a,b o} α_c,d )(x) = α_a,b (α_c,d (x)) = α_a,b (cx+d) = a(cx+d)+b = acx+(ad+b) = α_ac,(ad+b) (x)

untuk setiap x Є R dan setiap α_a,b , α_c,d Є S

Sifat-sifat Urutan

1. Trikotomi:

Misalkan a,b, maka pasti berlaku satu diantara yang berikut ini:

b

a  atau a  b atau a  b. 2. Ketransitifan:

Misalkan a ,,b c. Jika a  bdan b  c, maka a  . c

3. Penambahan:

Misalkan a ,,b c. Maka: a  b  ac  bc. 4. Perkalian:

Misalkan a ,,b c. Jika c 0, maka a  b  ac  bc. Jika c 0, maka a b  ac  bc.

Himpunan Penyelesaian

Pertidaksamaan

Himpunan penyelesaian dari suatu

pertidaksamaan adalah himpunan yang elemennya terdiri dari semua elemen di himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Nilai Mutlak

         0 jika 0 jika : sebagai kan didefinisi , oleh dinyatakan real bilangan suatu mutlak Nilai x x x x x x x

Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. ab  a b 2. b a b a  3. a  b  a  b ( ketaksamaan segitiga) 4. a  b  a  b

Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. a 2 a

2. a 2 a2

Dengan menggunakan

ketaksamaan segitiga,

buktikan:

b

a

b

a







Pertidaksamaan yang

Menyangkut Nilai Mutlak































a

x

a

x

a

x

a

x

a

a

x

atau

Latihan

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan - pertidaksamaan berikut dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya! 1. 3x2  x  2  0 2. 0 2 1    x x 3. 1 2 5 2    x x 4.



x 1



x 1

 

2 x  3



 0 5. 2 6 3   x 6. 2  5  1 x 7. 2x  5  x  4 8. 3x 1  2 x  6

Operasi-operasi pada

Bilangan Real

Operasi Penjumlahan

Operasi Pengurangan

Operasi Perkalian

Operasi Pembagian

Operasi Penjumlahan &

Pengurangan

Pada Bilangan Bulat

 



4



10



6

4

11

15





32

19

13





Operasi Penjumlahan &

Pengurangan

Pada Bilangan Pecahan

i) Jika penyebutnya sama, maka a,b,c,d sebarang berlaku:

 c b a c b c a _{ }   c b a c b c a    Contoh:  5 4 5 3 1 5 3 5 1      6 4 6 1 5 6 1 6 5 _{ }  _

Operasi Penjumlahan &

Pengurangan

Pada Bilangan Pecahan

ii) Jika penyebutnya tidak sama, maka a,b,c,d sebarang berlaku :

 bd bc ad d c b a _{ }   bd bc ad d c b a _{ }  Contoh:        21 29 21 15 14 7 3 5 3 7 2 7 5 3 2 _  _              45 17 45 10 27 9 5 5 2 9 3 9 2 5 3         

Operasi Penjumlahan &

Pengurangan

Pada Bilangan Irrasional

i) Menyederhanakan bentuk akar

b

a

ab



x

Contoh:



3

8



3

8

24









Operasi Penjumlahan &

Pengurangan

Pada Bilangan Irrasional

ii) Menjumlahkan dan mengurangkan bentuk akar

 a c  b c 



a b



c  a c  b c 



a b



c

Contoh:

 2 6  3 6 



2  3



6  5 6

Operasi Perkalian Pada

Bilangan Bulat

Misalkan a,b   

a

x

b



ab

 a x

 

 b  

 

ab 

 

 a x b  

 

ab 

   

 a x  b  ab

Operasi Pembagian

Pada Bilangan Bulat

Misalkan a,b   ; b  0  b a b a :              b a b a :             b a b a :      b a b a    x

Operasi Perkalian & Pembagian

Pada Pecahan

Misalkan a,b,c,d   ab b a 1 1 x 1  , dengan a  0 dan b  0  bd ac d c b a  x , dengan b  0 dan d  0  bc ad c d b a d c b a   x : , dengan b  0, c  0, dan d  0 Contoh:  20 1 5 4 1 5 1 x 4 1 _        15 8 5 3 4 2 5 4 x 3 2 _         20 18 5 4 6 3 5 6 x 4 3 6 5 : 4 3     

Operasi Perkalian Pada

Bilangan Irrasional

i) Perkalian bentuk akar Misalkan a,b,c,d   a b x c d 



a x c



bd  a x a  a2  a Contoh:  2 7 x 5 6  2 x 5 7 6  10 42  3 x 3  32  3

Operasi Perkalian Pada

Bilangan Irrasional

ii) Merasionalkan penyebut suatu pecahan Misalkan a ,,b k    b a = b a x b b = 2 b b a = b b a  b a k  = a b k  x a b b a   ₌ b a b a k   2 ) (  b a k  = a b k  x a b b a   ₌ b a b a k   ) (

Operasi Perkalian Pada

Bilangan Irrasional

Contoh:  7 7 3 7 7 3 7 7 7 3 7 3 2     



 



5 2 3 4 2 3 2 3 4 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 2            









3 5 2 3 5 2 5 2 3 5 2 5 2 5 2 3 5 2 3 _{ }          

Operasi Perkalian Pada

Bilangan Berpangkat

Misalkan : a,b,m,n   ; a  0; b  0; m  0; n  0; m  n  an  bn 

 

a b n  am  an  amn 

 

am n  amn  a0  1  n m a a n _{m }

Operasi Pembagian Pada

Bilangan Berpangkat

Misalkan a,b,m,n   ; a  0; b  0; m  0; n  0; m  n  m m a a   1  m n n m a a a _   n n n b a b a       

Persamaan Eksponen

Bentuk umum persamaan eksponen:

  _a   _f

_{ }

_{x g}

_{ }

_x

af x  g x   dengan a  ; a  0.

Contoh:

 Sederhanakan bentuk berikut: o



32a2

 

3  3a3a5



4

  

 





 





 



14 10 20 12 6 4 6 20 12 6 4 6 4 5 4 3 4 3 2 3 2 4 5 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 a a a a a a a a a a a                        

Logaritma

Misalkan a,b,c,d   ; b  0  ac  b  a logb  c  alog1 0  aloga  1  alogan  n  alogbn  n alogb

Logaritma

 a b a c c b a log log log    a alog b  b  a b b t t a log log

log  , t bilangan sembarang

 a b b a log 1 log   b b a b c d a d

Persamaan Logaritma

Bentuk umum:

 

x g

 

x f

 

x g

 

x f a a _{ log  } log Contoh:

 Sederhanakan bentuk berikut:

o .... 3 log 20 log 27 log 15 log 36 log 3 3 3 _{   }





   



 







0 5 log 4 log 3 1 5 log 2 4 log 5 4 log 3 log 5 3 log 3 4 log 3 log 20 log 27 log 15 log 36 log 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3                  

Mengubah Bentuk

Pecahan Menjadi Bentuk

Desimal

Mengubah Bentuk Pecahan Menjadi Bentuk Desimal

Contoh : 0,4 5 2 _{= …  5 2} 0 20 20 0

Mengubah Bentuk

Desimal Menjadi Bentuk

Pecahan

Contoh :

0,2 =

10

2

₌

5

1

Mengubah Bentuk

Desimal Menjadi Bentuk

Persen

Pengubahan bentuk desimal menjadi bentuk persen dilakukan dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan 100 %.

Contoh :

Mengubah Bentuk

Persen Menjadi Bentuk

Desimal

Pengubahan bentuk persen menjadi bentuk desimal dilakukan dengan cara mengganti tanda persen (%) menjadi perseratus, kemudian menjadi desimal.

Contoh : 10 % = 100 10 = 10 1 = 0,1

Mengubah Bentuk

Pecahan menjadi

Bentuk Persen

Pengubahan bentuk pecahan menjadi bentuk persen

dilakukan dengan cara mengalikan bilangan itu dengan 100 %. Contoh : 2 1 ₌ 2 1 _{x 100 % =} 2 100 _{% = 50 %}

Mengubah Bentuk

Persen Menjadi Bentuk

Pecahan

Pengubahan bentuk persen menjadi bentuk pecahan dapat dilakukan dengan mengganti tanda % menjadi perseratus.

Contoh : 10 % = 100 10 ₌ 10 1

Aplikasi Persen pada

Bidang Bisnis

Contoh:

Seorang pedagang menjual barang dengan harga Rp. 500.000,00 dan memperoleh keuntungan 25 %.

Aplikasi Persen pada

Bidang Bisnis

Jawab:

Untung = penjualan – pembelian Misalkan : Pembelian = x % untung = pembelian pembelian penjualan x 100 % 25 % = x x) 000 . 500 (  _{x 100 %} 25 x = (500.000 – x) 100 25 x = 50.000.000 – 100x 125 x = 50.000.000 x = 400.000

Jadi besar modal yang dibutuhkan pedagang tersebut sebesar Rp 400.000,00.

Perbandingan (Skala)

Perbandingan dua besaran dapat dilakukan

apabila keduanya sejenis, artinya kedua

besaran itu mempunyai satuan ukuran

yang sama, misalnya

Perbandingan (Skala)

Volume (liter) Harga (rupiah) 1 (misal = a) 2 3 4 (misal = b) 5 700 (misal = c) 1.400 2.100 2.800 (misal = d) 3.500

Peta dan model berskala

Penyelesaian soal-soal mengenai peta dan model berskala

dapat diselesaikan dengan menggunakan perbandingan senilai. Contoh:

1. Jarak antara Jakarta dan Solo dalam peta adalah 5 cm. Peta tersebut memiliki perbandingan 1 : 12.000.000.

Berapakah jarak antara Jakarta dengan Solo yang sebenarnya? Jawab:

Jarak 1 cm peta = 12.000.000 cm jarak sebenarnya (js). Jarak 5 cm peta = 5 x 12.000.000 = 60.000.000 cm js. Jadi, jarak antara Jakarta dengan Solo yang sebenarnya adalah 600 km.

Desimal

Setiap bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk desimal.

5 , 0 2 1  375 , 0 8 3   181818 , 1 11 13   71428571 4285714285 , 0 7 3 

Desimal

Bilangan-bilangan rasional juga dapat ditulis dalam bentuk desimal.

 4142135623 , 1 2   7320508075 , 1 3   1415926535 , 3 



 0383644 0,77815125 6 log 

Desimal

Jadi, bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Kebalikan dari pernyataan ini juga benar, yaitu setiap desimal yang berulang menyatakan suatu bilangan rasional.

 136136136 , 0  x  1000 x 136,136136   0,136136 136136 , 136 1000x  x   136 999   x 999 136   x .

Desimal dan Kerapatan

Secara umum, pertama-tama kita kalikan suatu desimal berulang x dengan ₁₀m _{jika desimal tersebut berulang dalam}

suatu pola yang terdiri dari m angka.

Bilangan irrasional ditulis dalam bentuk desimal yang tidak berulang menurut suatu pola. Suatu desimal yang tidak berulang pasti menyatakan suatu bilangan irrasional.

Kerapatan

Diantara dua bilangan real sebarang yang berlainan x dan y, terdapat suatu bilangan real lain (misalnya  

2

y x

z   ,

adalah bilangan pertengahan antara x dan y ). Karena di antara setiap dua bilangan real yang berlainan terdapat bilangan real lain, maka diantara setiap dua bilangan real yang berbeda terdapat tak berhingga banyaknya bilangan real lainnya.

Kerapatan

Sebagai contoh, kita akan mencari bilangan rasional dan irrasional di antara:

 31234158 , 0  x dan y  0,31234200 :

Misalkan bilangan itu adalah bilangan rasional z  0,31234160000 dan bilangan irrasional w  0,3123416010010001.