ALGORITMA MULTIPLE ANT COLONY SYSTEM PADA VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH TIME WINDOWS SKRIPSI

(1)

UNIVERSITAS INDONESIA

ALGORITMA MULTIPLE ANT COLONY SYSTEM PADA

VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH TIME WINDOWS

SKRIPSI

SISKA AFRIANITA

0706261934

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA

DEPOK DESEMBER 2011

(2)

UNIVERSITAS INDONESIA

ALGORITMA MULTIPLE ANT COLONY SYSTEM PADA

VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH TIME WINDOWS

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

SISKA AFRIANITA

0706261934

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA

DEPOK DESEMBER 2011

(3)

iii

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya sendiri,

dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.

(4)

iv Skripsi ini diajukan oleh

Nama : Siska Afrianita

NPM : 0706261934

Program Studi : Sarjana Matematika

Judul Skripsi : Algoritma Multiple Ant Colony System pada

Vehicle Routing Problem with Time Windows

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia.

Ditetapkan di : Depok

(5)

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur kepada Allah swt. atas semua rahmat dan karunia yang telah Dia berikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis sadar bahwa penyelesaian tugas akhir ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah berjasa dalam penulisan tugas akhir ini maupun selama penulis kuliah. Ucapan terima kasih ditujukan kepada:

1. Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc.Tech, selaku pembimbing I dan Dhian Widya, S.Si, M.Kom selaku pembimbing II yang telah meluangkan waktu dan pikiran serta memberikan saran serta semangat untuk penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

2. Dr. Yudi Satria, M.T. selaku ketua departemen, Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc.Tech selaku sekretaris departemen, dan Dr. Dian Lestari selaku koordinator

pendidikan yang telah membantu proses penyelesaian tugas akhir ini. 3. Dra. Ida Fithriani, M. Si selaku pembimbing akademik penulis, yang telah

memberikan arahan serta dukungan selama proses perkuliahan sampai proses penyelesaian tugas akhir ini.

4. Seluruh staf pengajar di Departemen Matematika UI atas ilmu pengetahuan yang telah diberikan.

5. Seluruh karyawan (Mba Santi, Pak Saliman, Mba Rusmi, Pak Wawan, dkk) di Departemen Matematika UI atas bantuan yang telah diberikan.

6. Mama, Papa dan Adik-adik (Anggi, Robby dan Keysha) tercinta yang selalu memberikan doa, nasihat, semangat, dukungan dan perhatian.

7. Tante Rini beserta keluarga dan Nenek tersayang yang telah memberikan semangat dan dukungan kepada penulis terutama selama penyusunan skripsi ini.

(6)

vi

Sica, Adi, Kak Stefano, Dheni dan teman-teman lain yang telah berjuang bersama selama penyusunan skripsi.

9. Wiwi, Dita, Stefi, Widi, Gamar, Anjar, Shafa, Isna, Shafira, Nora, Lois, Farah, Winda, Widya, Manda, Nene, Arip, Anis, Zul, Adit, Ferdy, Bowo, Ayat, Afni, Fauzan, Hanif, dan semua teman-teman angkatan 07 tercinta.

10. Ayin, Frida, Uli, Dini, Lala, Kiki, Hendri, Yudo, Pandu, Icon, Eka serta sahabat-sahabat penulis yang memberikan dukungan dan semangat. 11. Yaqozho Tunnisa sebagai teman, sahabat serta saudari yang senantiasa

memberi dukungan dan perhatian kepada penulis.

12. Rino Isma Aditya Saputra yang selalu memberikan semangat serta dukungan untuk tetap berusaha menyelesaikan tugas akhir ini.

13. Semua teman-teman di Matematika UI angkatan 2008, 2009, 2010 dan 2011 terima kasih atas semangat dan dukungannya selama masa perkuliahan.

Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang tidak disebutkan satu per satu, yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Akhir kata, penulis mohon maaf jika terdapat kesalahan atau kekurangan dalam skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Penulis 2011

(7)

vii

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

`

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Siska Afrianita

NPM : 0706261934

Program Studi : Sarjana Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis karya : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive

Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul :

Algoritma Multiple Ant Colony System pada Vehicle Routing Problem with Time

Windows.

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan,

mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta.

(8)

viii Universitas Indonesia

Nama : Siska Afrianita Program Studi : Matematika

Judul : Algoritma Multiple Ant Colony System pada Vehicle Routing

Problem with Time Windows

Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) merupakan

permasalahan kombinatorik yang sering terjadi pada sistem pendistribusian barang. VRPTW adalah masalah penentuan rute sejumlah kendaraan untuk mendistribusikan barang ke sejumlah pelanggan dengan biaya minimum. Kendaraan yang digunakan memiliki kapasitas serta setiap kendaraan memulai dan mengakhiri perjalanan di depot. Setiap pelanggan yang dilayani akan memberikan time windows dan setiap pelanggan hanya boleh dilayani satu kali. Untuk memperoleh tujuan VRPTW, ada dua tujuan yang harus dicapai yaitu meminimumkan banyaknya kendaraan yang digunakan dan meminimumkan total waktu tempuh kendaraan. Pada skripsi ini akan digunakan algoritma Multiple Ant

Colony System (MACS) yang dikembangkan dari algoritma Ant Colony System

(ACS) yang termasuk dalam Ant Colony Optimization (ACO). ACO merupakan suatu metode metaheuristik yang terinspirasi dari perilaku hewan yaitu semut. Pada algoritma MACS ini, terdapat dua koloni semut yang masing-masing akan mengoptimisasi tujuan yang akan dicapai pada VRPTW.

Kata Kunci : Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW), Ant

Colony System, Ant Colony Optimization (ACO)

xii + 49 halaman ; 10 gambar Daftar Pustaka : 9 (1997-2007)

(9)

ix Universitas Indonesia

ABSTRACT

Name : Siska Afrianita Study Program : Mathematics

Title : Multiple Ant Colony System (MACS) Algorithm for Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW)

Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) is one of combinatorial problems which mostly happen in a logistic system. VRPTW is an optimization problem which aims to minimize cost of using fleets of vehicles. The vehicles start and end the route at depot must serve or distribute goods to several

customers. Every customer gives time windows and should be visited only once. The objective of VRPTW can be reached by multiple objectives. First, minimizes number of vehicles used, and then minimizes the total travel time. In this final project, it will be used Multiple Ant Colony System algorithm for solving

VRPTW. MACS is based on Ant Colony System (ACS) algorithm which is one of Ant Colony Optimization (ACO). ACO is a metaheuristic method inspired by foraging behavior of real colonies of ant. MACS algorithm consider a hierarchical objective for solving VRPTW and these objectives would be optimized by two colonies of ants.

Keywords : Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW), Ant Colony System.

xii + 49 pages ; 10 pictures Bibliography : 9 (1997-2007)

(10)

x Universitas Indonesia

HALAMAN JUDUL ……….……… ii

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

KATA PENGANTAR ... v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ... ix

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR GAMBAR ... xi

DAFTAR TABEL ... xii

BAB 1 PENDAHULUAN... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah dan Ruang Lingkup ... 4

1.3 Jenis Penelitian ... 4

1.4 Tujuan penelitian ... 4

BAB 2 LANDASAN TEORI ... 5

2.1 Teori Graf ... 5

2.2 Vehicle Routing Problem (VRP) ... 6

2.3 Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) ... 8

2.4 Ant Colony Optimization (ACO) ... 16

2.5 Ant Colony System (ACS) ... 20

2.5.1 ACS Ant Activity ... 21

2.5.2 Local Pheromone Trail Update ... 21

2.5.3 Global Pheromone Trail Update ... 22

2.6 Local Search ... 22

BAB 3 MULTIPLE ANT COLONY SYSTEM PADA VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH TIME WINDOWS ... 24

3.1 Algoritma MACS Untuk Menyelesaikan VRPTW ... 24

3.2 Model Solusi MACS Untuk Menyelesaikan VRPTW ... 27

3.3 Inisialisasi Solusi Awal ... 28

3.4 Prosedur Konstruksi New_Active_Ant ... 31

3.5 Tahapan Pada Koloni ACS_VEI ... 35

3.6 Tahapan Pada Koloni ACS_TIME ... 43

BAB 4 ... 48

KESIMPULAN ... 48

(11)

xi Universitas Indonesia

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 (a) Graf lengkap tidak berarah dan berbobot dan (b) Graf lengkap

tidak berarah ... 5

Gambar 2.2 Ilustrasi VRPTW (a) Rute kendaraan, (b) Time windows ... 12

Gambar 2.3 Skema algoritma-algoritma ACO ... 17

Gambar 2.4 Contoh intra-route ... 23

Gambar 2.5 Contoh inter-route ... 23

Gambar 3.1 Dua koloni pada MACS……….... 25

Gambar 3.2 Diagram alir proses algoritma MACS ………...…... 26

Gambar 3.3 (a) Solusi layak, (b) Solusi tidak layak ... 27

Gambar 3.4 Diagram alir metode nearest neighbor heuristic ... 29

Gambar 3.5 Prosedur local search ... 34

(12)

xii Universitas Indonesia

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Waktu tempuh antara depot dan setiap pelanggan ... 13

Tabel 2.2 Time windows dan jumlah permintaan setiap pelanggan... 14

Tabel 3.1 Pengecekan kriteria pelanggan... 30

Tabel 3.2 Inisialisasi pheromone pada koloni ACS_VEI ... 37

Tabel 3.3 Hasil pengecekan simpul untuk depot terduplikasi pertama ... 37

Tabel 3.4 Nilai visibility yang diperoleh ... 38

Tabel 3.5 Hasil pengecekan untuk simpul 4 ... 39

Tabel 3.6 Rute agen 1 pada koloni ACS_VEI ... 40

Tabel 3.7 Rute agen 2 pada koloni ACS_VEI ... 41

Tabel 3.8 Global updating pheromone pada ... 42

Tabel 3.9 Global updating pheromone pada di ACS_VEI ... 42

Tabel 3.10 Inisialisasi pheromone pada koloni ACS_TIME ... 44

Tabel 3.11 Rute agen 1 pada koloni ACS_TIME ... 44

Tabel 3.12 Rute agen 2 pada koloni ACS_TIME ... 45

(13)

1 Universitas Indonesia

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Di bidang transportasi, permasalahan menentukan rute dan penjadwalan kendaraan termasuk permasalahan optimisasi kombinatorik yang mempengaruhi sistem logistik (pendistribusian barang). Permasalahan menentukan rute

kendaraan yang digunakan untuk mendistribusikan barang ke sejumlah pelanggan dari suatu depot dengan tujuan meminimumkan total biaya perjalanan yang memenuhi kendala-kendala yang diberikan lebih dikenal dengan istilah Vehicle

Routing Problem (VRP). Beberapa contoh kendala yang diberikan adalah

kapasitas kendaraan, keterbatasan aksesibilitas pelanggan, permintaan pick-ups

delivery dan time windows atau kendala waktu (Cordeau dkk, 2007).

VRP yang memiliki kendala kapasitas kendaraan dengan penambahan kendala time windows yang diberikan oleh setiap pelanggan untuk menerima barang dan time window yang ditentukan oleh depot lebih dikenal dengan Vehicle

Routing Problem with Time Windows (VRPTW) (Gambardella, 1999). Time windows pelanggan didefinisikan sebagai interval waktu yang diberikan oleh

setiap pelanggan untuk menerima barang sesuai dengan waktu yang diinginkan sehingga tidak mengganggu kegiatan pelanggan tersebut dan time window depot didefinisikan sebagai batas waktu kendaraan kembali ke depot. Sebagai contoh

time windows pelanggan adalah waktu yang diinginkan pelanggan untuk

menerima barang (ready time), interval waktu pelayanan pengiriman barang (service time), dan batas waktu penerimaan barang (due date) (Gambardella, 1999).

Permasalahan VRPTW dapat diaplikasikan ke berbagai permasalahan optimisasi seperti food delivery, mailing newspapers, urban trash collection,

snow cleaning routes, rute bus sekolah, dan lain-lain. Karena VRPTW merupakan

salah satu contoh dari NP hard problem, maka metode eksak tidak dapat

(14)

Universitas Indonesia

yang cukup besar dalam waktu komputasi yang wajar. Metode eksak akan lebih efisien jika solusi yang diperoleh dibatasi oleh time windows yang singkat sehingga kombinasi dari pelanggan akan lebih sedikit dan memungkinkan memperoleh solusi yang optimal (Gambardella, 1999). Pada tahun 1997, Kohl dkk. berhasil memperoleh solusi VRPTW yang melayani 100 pelanggan. Sedangkan untuk permasalahan yang cukup besar, ada beberapa contoh metode pendekatan yang dikembangkan seperti metode heuristik (Construction

Heuristics, Improvement Heuristics) atau metode metaheuristik (Tabu Search, Genetic Algorithm, Simulated Annealing dan Ant Colony Optimization).

Penyelesaian VRPTW dengan menggunakan metode heuristik atau metode metaheuristik akan lebih efisien dari sisi waktu perhitungan untuk mendapatkan solusi dibandingkan dengan metode eksak. Namun metode heuristik atau metode metaheuristik tidak selalu menghasilkan solusi yang optimal (Cordeau dkk, 2007).

Pada skripsi ini akan digunakan salah satu metode metaheuristik yang termasuk dalam algoritma Ant Colony Optimization (ACO) untuk menyelesaikan VRPTW. ACO merupakan metode optimisasi berbasis swarm intelligence, yang terinspirasi dari perilaku hewan yaitu perilaku semut. Pada kehidupan nyata, semut-semut akan meninggalkan sarang untuk mencari jalur menuju sumber makanan dan kembali ke sarangnya. Selama proses pencarian jalur menuju sumber makanan tersebut, semut mengeluarkan substansi aromatik yang disebut

pheromone, sehingga dalam perjalanan tersebut akan terbentuk jalur pheromone.

Semakin sering suatu jalur dilalui oleh semut maka intensitas pheromone pada jalur tersebut semakin kuat, sebaliknya jalur yang tidak dilewati oleh semut maka intensitas pheromone pada jalur tersebut akan berkurang. Berkurangnya intensitas

pheromone terjadi karena adanya evaporasi, yaitu proses penguapan pheromone.

Pada ACO, semut dinyatakan sebagai agen. Agen-agen inilah yang mencari solusi dari masalah optimisasi. Pencarian solusi pada ACO terdiri dari pemilihan jalur yang akan dilalui agen dan pembaharuan intensitas pheromone. Fenomena pada perilaku koloni semut dikategorikan sebagai artificial inteligence dan

menghasilkan kumpulan algoritma Ant Colony Optimization (ACO) (Dorigo dkk, 2006).

(15)

3

Algoritma-algoritma yang termasuk dalam ACO adalah Ant System (AS) (1991), Ant-Q (1995), Ant Colony System (ACS) (1996), Max-Min Ant System (MMAS) (1997), Ant System Rank (AS-Rank) (1999), dan Best-Worse Ant System (2000). Hal yang membedakan algoritma-algoritma ACO adalah aturan pemilihan jalur dan aturan pembaharuan pheromone pada jalur (ant activity), serta aturan pembaharuan pheromone yang dilakukan hanya pada beberapa solusi yang diperoleh (daemon activity) (Dorigo dkk, 2006). Pada awalnya ACO digunakan untuk menyelesaikan masalah Travelling Salesman Problem (TSP), yang selanjutnya dikembangkan dan digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi lainnya, antara lain: tipe masalah routing seperti VRP, masalah penugasan seperti sequential ordering dan quadratic assignment, masalah

penjadwalan, multiple knapsack dan graph colouring. Algoritma pada ACO yang berhasil digunakan untuk menyelesaikan VRPTW adalah Ant Colony System (ACS) (Cordeau dkk, 2007).

Beberapa algoritma dari ACO yang telah dibahas pada skripsi di

Departemen Matematika Universitas Indonesia, yaitu Max-Min Ant System untuk menyelesaikan General Assignment Problem (GAP) oleh Lisa di tahun 2005, Ant

System dan Ant System 3-Opt untuk menyelesaikan Travelling Salesman Problem

(TSP) oleh Ni Made di tahun 2007, serta Ant-Q dan Ant- Q 3-Opt untuk menyelesaikan TSP oleh Dhini di tahun 2007. Pada skripsi ini, algoritma ACO yang akan digunakan adalah algoritma Ant Colony System (ACS) yang

dikembangkan untuk menyelesaikan VRPTW.

Algoritma ACS dikembangkan menjadi algoritma Multiple Ant Colony

System (MACS) yang dapat digunakan untuk menyelesaikanVRPTW. Algoritma

MACS memiliki tujuan hirarki untuk menyelesaikan VRPTW, tujuan ini akan dioptimisasi oleh dua koloni semut dimana setiap koloni menerapkan algoritma ACS. Koloni pertama memiliki tujuan untuk meminimumkan banyaknya

kendaraan yang digunakan untuk melayani sejumlah pelanggan, sedangkan koloni kedua meminimumkan total waktu tempuh kendaraan.

Selama proses pembentukan rute pelanggan yang akan dilayani, semut pada setiap koloni melakukan pembaharuan intensitas pheromone secara lokal. Setelah solusi rute perjalanan terbaik diperoleh, intensitas pheromone

(16)

diperbaharui secara global. Solusi terbaik dari rute perjalanan dengan total waktu tempuh minimum inilah yang menjadi solusi dari VRPTW.

1.2 Perumusan Masalah dan Ruang Lingkup

Bagaimana algoritma MACS diterapkan dalam penyelesaian Vehicle

Routing Problem with Time Windows?

Ruang lingkup dari skripsi ini adalah penyelesaian VRPTW menggunakan algoritma MACS dengan contoh permasalahan yang disesuaikan dengan data

Benchmark.

1.3 Jenis Penelitian

Penelitian dilakukan dengan studi pustaka.

1.4 Tujuan penelitian

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menjelaskan algoritma MACS untuk menyelesaikan VRPTW.

(17)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan dasar-dasar teori yang digunakan untuk menyelesaikan Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) yang meliputi teori graf, Vehicle Routing Problem (VRP), Ant Colony Optimization (ACO), Ant Colony System (ACS), dan local search.

2.1 Teori Graf

Suatu graf G adalah suatu pasangan terurut (V, E) dimana V adalah suatu himpunan tak kosong yang berisi simpul-simpul dan E adalah himpunan busur. Busur yang menghubungkan simpul i dan j dinotasikan sebagai . Beberapa contoh dari graf misalkan graf berarah (graf yang setiap busurnya mempunyai arah), graf tidak berarah (graf yang setiap busurnya tidak mempunyai arah), graf berbobot (graf yang setiap busurnya mempunyai bobot) serta graf lengkap (graf yang setiap simpulnya terhubung dengan simpul yang lain).

Pada Gambar 2.1 ditunjukan contoh graf: (a) graf lengkap tidak berarah dan berbobot dengan 4 simpul dan (b) graf lengkap berarah dengan 5 simpul.

C12

C13 C23 C14 C24

C34

Gambar 2.1 (a) Graf lengkap tidak berarah dan berbobot dan (b) Graf lengkap berarah 1 3 2 4 1 2 3 4 5

(18)

Pada umumnya graf digunakan untuk memodelkan masalah dengan

merepresentasikan objek-objek dan hubungan antara objek tersebut dengan simpul dan busur. Busur yang menghubungkan simpul dapat digunakan untuk

merepresentasikan suatu hubungan sembarang antara objek-objek tertentu. Sedangkan bobot pada busur tersebut menyatakan suatu nilai yang terkait pada hubungan sembarang antara simpul.

2.2 Vehicle Routing Problem (VRP)

Permasalahan penentuan rute kendaraan atau Vehicle Routing Problem merupakan salah satu permasalahan optimisasi kombinatorik. Tujuan dari VRP adalah bagaimana menentukan rute sejumlah kendaraan yang digunakan untuk mendistribusikan barang dari suatu depot ke sejumlah pelanggan dengan

memenuhi beberapa kendala yang diberikan. Beberapa metode optimisasi seperti metode eksak, heuristik atau metaheuristik telah dihasilkan sejak publikasi artikel pertama tentang VRP di awal tahun 1960 yaitu mengenai ‘truck dispatching’ oleh Dantzig dan Ramser (Cordeau dkk, 2007). Berikut beberapa contoh VRP beserta kendalanya :

1. Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP): VRP dengan kendala kapasitas kendaraan.

2. Multiple Depots Vehicle Routing Problem (MDVRP): VRP dengan lebih dari satu depot yang dapat melayani pelanggan.

3. Split Deliveries Vehicle Routing Problem (SDVRP): VRP dengan kondisi pengiriman barang ke pelanggan bisa dilakukan lebih dari satu kali pelayanan.

4. Vehicle Routing Problem with Backhauls (VRPB): VRP dimana pelanggan dapat melakukan permintaan pengiriman atau pengambilan sejumlah barang. Dalam setiap rute kendaraan, pengambilan dilakukan setelah semua pengiriman barang telah selesai.

5. Vehicle Routing Problem with Pickups and Deliveries (VRPPD): VRP dimana pelanggan dapat menerima dan mengirim barang secara

(19)

7

bersamaan. Pada VRPPD, pengambilan barang dapat dilakukan secara bersamaan tanpa harus menunggu semua pengiriman selesai.

6. Dynamic Vehicle Routing Problem (DVRP): VRP dimana terdapat penambahan pelanggan baru saat kendaraan sedang melayani pelanggan, sehingga terjadi perubahan rute kendaraan secara spontan.

7. Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW): CVRP dengan penambahan time windows pada setiap pelanggan untuk dapat menerima barang dan time window depot.

Kendala yang umum terdapat pada VRP adalah kendala kapasitas kendaraan, dimana VRP dengan kendala ini lebih dikenal dengan istilah

Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP). Pada CVRP, terdapat sejumlah

pelanggan dimana setiap pelanggan meminta pengiriman sejumlah barang. Barang harus diantar dari satu depot dimana tersedia sejumlah kendaraan yang memiliki kapasitas yang seragam. Karena kapasitas kendaraan terbatas, maka kendaraan harus kembali ke depot jika kapasitas muatan kendaraan yang tersisa tidak cukup untuk melayani pelanggan berikutnya. Berdasarkan teori graf, CVRP dapat direpresentasikan oleh graf lengkap dan berbobot G (V, E) yang memiliki himpunan simpul dan himpunan busur dimana merupakan simpul depot (tempat setiap kendaraan memulai dan mengakhiri rute perjalanan) dan simpul lain menunjukkan letak atau posisi

pelanggan yang harus dikunjungi. Setiap simpul i memiliki sejumlah permintaan yang dinotasikan sebagai dimana untuk depot. Setiap busur menunjukkan bahwa simpul i dan j terhubung dan setiap busur memiliki bobot

yang menyatakan waktu tempuh (travel time) antara simpul i dan j. Tujuan dari CVRP adalah menemukan rute perjalanan yang memiliki total waktu tempuh minimum (minimum total travel time) dengan batasan berikut: setiap rute dimulai dan diakhiri di depot, setiap pelanggan dikunjungi hanya satu kali oleh satu kendaraan dan banyaknya barang yang dikirim tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan (Gambardella, 1999).

Ketika setiap pelanggan memberikan informasi tambahan mengenai interval waktu (time windows) pengiriman barang serta waktu pelayanan kepada depot dan depot juga memberikan time window maka terdapat tambahan kendala

(20)

waktu pada permasalahan CVRP. Permasalahan seperti ini lebih dikenal sebagai

Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW ) yang akan dibahas pada

Subbab 2.3.

2.3 Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW)

Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) dapat

direpresentasikan oleh graf berarah dan berbobot G (V, E) yang memiliki

himpunan simpul dimana 0 dan n +1 menunjukkan simpul yang sama yaitu depot dan {1,2,…,n} menunjukkan sejumlah pelanggan yang harus dilayani. Setiap pelanggan memiliki permintaan sejumlah barang yang dinotasikan dengan . Solusi layak dari rute kendaraan dimulai dari simpul lalu melayani seluruh pelanggan dan kembali ke simpul . Himpunan kendaraan yang seragam dengan kapasitas Q yang tersedia di depot dinotasikan dengan K. Misalkan menyatakan waktu pelayanan (service time) pada simpul i (dimana ) dan menyatakan waktu tempuh antara simpul i dan j.

Time window berkaitan dengan simpul pelanggan i dimana

sedangkan time windows dan berkaitan dengan simpul depot. Jika tidak ada batasan khusus terhadap jumlah kendaraan yang tersedia, dapat dinyatakan bahwa

{ } { } (Cordeau dkk, 2007).

VRPTW merupakan CVRP dengan tambahan kendala time windows yang diberikan oleh setiap simpul pelanggan i dimana waktu kendaraan tiba pada simpul i boleh sebelum time windows dimulai, yang artinya kendaraan harus menunggu (ketika kendaraan menunggu tidak dikenakan biaya tambahan) dan kendaraan harus tiba sebelum time windows yang diberikan berakhir. Selain itu, depot juga mempunyai batas awal dan akhir kendaraan untuk memulai perjalanan dan kembali ke depot. Artinya kendaraan memulai perjalanan ketika

time window depot dimulai dan harus kembali ke depot sebelum time window

(21)

9

Tujuan dari VRPTW adalah menentukan rute perjalanan yang memiliki biaya minimum untuk melayani semua permintaan pelanggan dengan memenuhi kendala kapasitas kendaraan, time windows yang diberikan oleh setiap pelanggan dan time window depot.

Berikut beberapa asumsi yang digunakan:

 Terdapat sebuah depot dan sejumlah kendaraan yang seragam yang selalu tersedia di depot dengan kapasitas Q untuk mendistribusikan barang ke sejumlah pelanggan.

 Kecepatan rata-rata kendaraan yang digunakan konstan dan kemacetan lalu lintas diabaikan.

 Setiap kendaraan memulai rute perjalanan dari depot dan kembali ke depot setelah melayani pelanggan.

 Data mengenai waktu tempuh antara depot dan setiap pelanggan diberikan.  Setiap pelanggan hanya boleh dikunjungi satu kali oleh satu kendaraan.  Banyaknya permintaan pelanggan yang dilayani oleh setiap kendaraan

tidak melebihi kapasitas kendaraan Q.

 Setiap pelanggan i memiliki permintaan sejumlah barang, , dan memberikan time windows yang terdiri dari waktu awal (ai), waktu akhir (bi) dan waktu pelayanan . Time windows ini didefinisikan sebagai interval waktu yang diberikan pelanggan untuk menerima barang. Time

windows yang diberikan setiap pelanggan berada pada interval waktu

depot.

 Pengiriman barang ke setiap pelanggan harus memenuhi time window depot [a0,b0]. Time window depot yang dimaksud adalah waktu paling

awal untuk kendaraan berangkat dari depot (a0) dan waktu paling akhir

untuk kendaraan kembali ke depot (b0).

Berikut akan diberikan model matematis dari VRPTW. Misalkan i menyatakan simpul asal i dimana menyatakan himpunan simpul tujuan j yang memiliki kemungkinan untuk dikunjungi setelah melayani simpul i, j menyatakan simpul tujuan j

(22)

i yang memiliki kemungkinan untuk dikunjungi setelah melayani simpul j.

Himpunan kendaraan yang tersedia di depot dinyatakan dengan Variabel keputusan untuk masalah VRPTW adalah:

{ untuk dan . Selain terdapat variabel keputusan, juga terdapat variabel kontinu yang menunjukkan waktu ketika kendaraan

ke-k mulai melayani simpul i. Formulasi dari VRPTW dengan tujuan

meminimumkan total biaya penggunaan kendaraan untuk melayani seluruh pelanggan adalah: ∑∑ (2.1) dengan kendala ∑∑ (2.2) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) (2.6) (2.7) ∑ ∑ (2.8) (2.9) Pada formulasi fungsi tujuan (2.1), menyatakan biaya yang dikeluarkan yang diperoleh dari waktu yang ditempuh kendaraan untuk melayani simpul i lalu menuju simpul j. Selanjutnya kendala (2.2) menyatakan bahwa setiap simpul pelanggan i hanya dikunjungi satu kali oleh satu kendaraan. Kendala (2.3) menyatakan bahwa setiap kendaraan hanya digunakan satu kali dan memulai perjalanan dari depot. Kendala (2.4) menyatakan bahwa kendaraan yang telah melewati beberapa simpul tidak akan kembali melewati simpul tersebut untuk kedua kalinya. Kendala (2.5) menyatakan bahwa setelah seluruh pelanggan terlewati, kendaraan harus kembali ke depot.

Kendala (2.6) menyatakan bahwa akumulasi waktu kendaraan k untuk memulai pelayanan simpul i beserta waktu pelayanan simpul i dan waktu tempuh dari simpul i ke j tidak boleh melebihi waktu untuk memulai

(23)

11

pelayanan simpul j , karena jika kondisi ini tidak terpenuhi artinya simpul j tidak dapat dituju setelah simpul i (dimana waktu pelayanan untuk depot ). Kendala (2.7) menunjukkan waktu kendaraan k untuk memulai pelayanan simpul i berada pada time window yang diberikan simpul i. Kendala (2.8) menyatakan bahwa banyaknya permintaan dari beberapa simpul yang dilayani oleh kendaraan

k tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan. Kendala (2.9) mengacu pada variabel

keputusan yang merupakan variabel biner.

Kendala (2.6) merupakan kendala non linier sehingga permasalahan VRPTW merupakan masalah pemrograman non linier. Kendala pada formulasi ini dapat dijadikan kendala linier sebagai berikut:

(2.10) dengan adalah konstanta.

Solusi layak VRPTW dari formulasi di atas merupakan sekumpulan rute kendaraan yang memiliki total waktu tempuh minimum dengan banyaknya kendaraan yang digunakan untuk melayani semua pelanggan minimum dan memenuhi semua kendala yang diberikan

Selanjutnya diberikan ilustrasi mengenai contoh solusi layak dari VRPTW. Pada Gambar 2.2 (a), terdapat satu rute kendaraan yang memulai perjalanan dari depot dan diakhiri di depot dimana pelanggan pertama yang dilewati adalah pelanggan 3 lalu pelanggan 1 kemudian pelanggan 2 dan terakhir pelanggan 4 yang memenuhi semua kendala.

(a) depot 1

2

(24)

20

0 30 80 85 100 110 120 140 195 200

(b)

Gambar 2.2 Ilustrasi VRPTW (a) Rute kendaraan, (b) Time windows Pada Gambar 2.2 (b) diberikan ilustrasi mengenai time windows, waktu kendaraan menunggu dan waktu pelayanan. Misalkan interval time window depot (t0)= [0,200], time window pelanggan 1 (t1)=[80,100], time window pelanggan 2

(t2)=[110,140], time window pelanggan 3 (t3)=[30,85], time window pelanggan 4

(t4)=[120,195]. Berdasarkan contoh solusi layak pada Gambar 2.2 (a) terlihat

bahwa pertama kali depot akan melayani pelanggan 3, misalkan waktu tempuh yang dibutuhkan kendaraan menuju pelanggan 3 adalah 20, sedangkan time windows pelanggan 3 adalah 30 maka kendaraan harus menunggu sampai pelanggan 3 dapat dilayani.

Pelanggan berikutnya yang akan dilayani adalah pelanggan 1, misalkan setelah melayani pelanggan 3, waktu kendaraan sampai pada pelanggan 1 adalah 95 yang artinya waktu kendaraan tiba berada pada interval time windows yang diberikan pelanggan 1. Kemudian setelah melayani pelanggan 1, terlihat pula pada gambar bahwa waktu tempuh kendaraan seteleah melayani pelanggan 1 berada di luar time windows yang diberikan pelanggan 1 yang artinya waktu setelah

melayani pelanggan boleh melebihi time window yang diberikan.

to de t2 t4 t3 t1 Keterangan: time windows waktu menunggu waktu pelayanan

(25)

13

Setelah melayani pelanggan 1, kendaraan selanjutnya melayani

pengiriman barang ke pelanggan 2 lalu pelanggan 4 tanpa harus menunggu. Hal ini dapat terlihat bahwa anak panah yang menunjukkan waktu ketika kendaraan tiba pada pelanggan 2 dan 4 berada pada interval time window sehingga pelayanan dapat langsung dilakukan. Misalkan waktu yang telah di tempuh kendaraan untuk melayani seluruh pelanggan dan kembali ke depot adalah 195 sedangkan batas akhir waktu yang diberikan depot ( ) adalah 200 sehingga tidak melanggar kendala bahwa kendaraan harus kembali ke depot tanpa melebihi time window yang diberikan depot. Selanjutnya diberikan Contoh 2.1 mengenai formulasi VRPTW beserta penjelasan.

Contoh 2.1

Misalkan terdapat 6 pelanggan yang memesan roti ke sebuah toko roti. Roti yang dipesan akan diantarkan oleh pegawai toko dengan menggunakan kendaraan yang memiliki kapasitas 70. Kendaraan-kendaraan tersebut telah disediakan oleh pemilik toko untuk mengantarkan pesanan roti, hanya saja pemilik toko menginginkan penggunaan kendaraan seminimum mungkin agar biaya yang dikeluarkan untuk mengantarkan pesanan tidak mahal. Pegawai hanya bisa mengantarkan pengiriman roti ketika toko roti tersebut dibuka dan

pengiriman tidak bisa dilakukan jika toko roti sudah tutup. Jadi, setiap pelanggan memberitahukan waktu yang mereka inginkan kepada pegawai toko untuk

menerima roti pesanan mereka. Informasi mengenai pengiriman pesanan roti diberikan dalam Tabel 2.1 dan Tabel 2.2.

Tabel 2.1 Waktu tempuh antara depot dan setiap pelanggan

D 1 2 3 4 5 6 D 0 29,15 11,18 25 14,14 20,62 15,81 1 29,15 0 36,4 36,4 43,01 20,62 22,36 2 11,18 36,4 0 36,06 15 21,21 26,93 3 25 30,41 36,06 0 30,41 38,08 11,18 4 14,14 43,01 15 30,41 0 33,54 25,5 5 20,62 20,62 21,21 38,08 33,54 0 26,93 6 15,81 22,36 26,93 11,18 25,5 26,93 0

(26)

Tabel 2.2 Time windows dan jumlah permintaan setiap pelanggan Simpul Jumlah Pemintaan Waktu awal Waktu akhir Waktu pelayanan 0/7 0 0 200 0 1 20 120 160 10 2 30 80 150 10 3 15 50 100 10 4 25 40 70 10 5 20 70 110 10 6 25 60 120 10

Pada Tabel 2.1 diberikan informasi waktu tempuh antara pelanggan dan lokasi toko yang kemudian disebut menjadi depot. Sedangkan Tabel 2.2 yang menunjukkan jumlah permintaan , waktu awal ( ), waktu akhir ( ) dan waktu pelayanan ( ). Dengan dimana 0 dan 7 adalah depot dan .

Pada Contoh 2.1 di atas, pegawai toko dapat mengirimkan pesanan dalam waktu bersamaan namun tidak boleh ada pengiriman pesanan yang sama

dilakukan oleh pegawai yang berbeda artinya pelanggan hanya boleh dilayani satu kali oleh satu pegawai. Setelah pegawai melayani pengiriman pesanan, pegawai harus kembali ke toko sebelum toko ditutup. Jadi pegawai toko harus bisa menentukan pelanggan manakah yang akan dilayani terlebih dahulu. Contoh masalah ini dapat dimodelkan secara matematis berdasarkan model yang telah diberikan sebelumnya. Didefinisikan variabel keputusan

{ dengan secara berturut-turut menyatakan simpul asal,

menyatakan simpul tujuan dan menyatakan kendaraan yang akan digunakan untuk mengirimkan pesanan. Tujuan dari masalah di atas adalah meminimumkan biaya yang dikeluarkan untuk mengirimkan pesanan, sehingga fungsi tujuannya adalah

(27)

15

∑∑

dimana dengan kendala berikut

∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Seperti yang telah disebutkan bahwa untuk menyelesaikan formulasi VRPTW yang merupakan masalah NP- hard problem yang bersifat kombinatorial ada beberapa contoh metode yang telah berhasil digunakan antara lain metode eksak (Langrangian Relaxation Based Algorithm, Column Generation Algorithm, dan A branch-and-cut Algorithm), serta metode heuristik (Construction heuristics,

Improvement heuristics). Karena metode eksak tidak efisien untuk menyelesaikan

(28)

yang berhasil menyelesaikan VRPTW seperti Tabu Search, Genetic Algorithm,

Ant Colony Optimization (ACO). Penyelesaian VRPTW pada skripsi ini

menggunakan algoritma Multiple Ant Colony System (MACS) yang

dikembangkan dari algoritma Ant Colony System (ACS) yang termasuk dalam

Ant Colony Optimization ( ACO ). Berikut diberikan penjelasan mengenai Ant Colony Optimization (ACO).

2.4 Ant Colony Optimization (ACO)

Ant Colony Optimization (ACO) adalah kumpulan algoritma untuk

menyelesaikan masalah optimisasi khususnya masalah optimisasi kombinatorik. Algoritma-algoritma ACO merupakan algoritma berbasis swarm intelligence.

Swarm intelligence adalah suatu metode pemecahan masalah yang terinspirasi

dari perilaku serangga atau hewan lainnya (Dorigo dkk, 2006). ACO terinspirasi dari sifat koloni semut di dunia nyata dan diadaptasi sebagai artificial intelligence. Masalah optimisasi yang dimaksud antara lain: Traveling Salesman Problem (TSP), General Assignment Problem (GAP), graph colouring, Vehicle Routing

Problem (VRP), penjadwalan dan sequential ordering.

Perilaku semut yang diadaptasi menjadi artificial intelligence adalah perilaku semut ketika mencari atau membentuk jalur selama proses pencarian sumber makanan. Selama proses pencarian jalur menuju sumber makanan, semut akan mengeluarkan substansi aromatik yang disebut dengan pheromone. Subtansi aromatik ini digunakan semut untuk memberikan tanda pada jalur yang dilalui sehingga semut dapat kembali ke sarangnya. Karena semut cenderung hidup berkoloni maka semut lain dapat mengetahui jalur yang berhasil ditemukan oleh semut sebelumnya melalui pheromone yang terletak pada jalur yang dilalui. Jadi, secara tidak langsung pheromone berfungsi sebagai alat komunikasi pada semut-semut yang berkoloni tersebut. Semakin sering suatu jalur dilewati oleh semut-semut maka intensitas pheromone pada jalur akan semakin bertambah. Bertambahnya intensitas pheromone pada suatu jalur akan mengakibatkan semut-semut cenderung memilih jalur tersebut. Sedangkan intensitas pheromone pada jalur yang jarang dilewati akan lebih lemah atau berkurang dari intensitas pheromone

(29)

17

pada jalur yang lain, akibatnya jalur ini cenderung tidak akan dipilih oleh semut untuk dilalui. Berkurangnya intensitas pheromone disebabkan adanya proses evaporasi (penguapan) pheromone selama semut membentuk jalur. Proses pembentukan jalur menuju sumber makanan berdasarkan intensitas pheromone yang terletak pada jalur inilah yang membuat semut dapat menentukan rute terbaik yang akan dilalui dari sarang menuju sumber makanan yang ditemukan.

Pada ACO, semut direpresentasikan sebagai agen. Agen inilah yang akan menelusuri setiap jalur untuk mencari solusi dengan menggunakan aturan tertentu pada algoritma ACO. Pada awalnya ACO digunakan untuk menyelesaikan TSP, dimana setiap kota harus dikunjungi tepat satu kali. Agen pada ACO dibekali dengan memori untuk menyimpan simpul yang telah dikunjungi sebagai batasan untuk memperoleh solusi yang layak. Pada awalnya ACO menggunakan satu agen (single agent) untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Kemudian ACO

berkembang menggunakan lebih dari satu agen (multi agent). Multi agent ini lebih menggambarkan kehidupan semut yang sebenarnya yaitu hidup berkoloni.

Perilaku semut yang berkoloni ini menginspirasi suatu metode optimisasi yang digunakan untuk menyelesaikan VRPTW.

Algoritma-algoritma yang termasuk dalam ACO antara lain Ant System (AS), Ant-Q, Ant Colony System (ACS), Max-Min Ant System (MMAS), AS-Rank, dan Best Worst Ant System. Urutan munculnya algoritma-algoritma ACO dapat dilihat pada Gambar 2.3 yang menunjukkan skema algoritma yang termasuk dalam kumpulan algoritma ACO.

Gambar 2.3 Skema algoritma-algoritma ACO Ant Colony Optimization Ant System (1991) Ant Q (1995) Ant Colony System (1996) Max-Min AS (1997) AS Rank (1999) Best Worst AS (2000) Ant Activity (Online Delayed Pheromone Update) Daemon Activity ( Offline Pheromone Update) Pseudorandom Pseudorandom Proportional Random Proportional Iteration Best Global Best

(30)

Terlihat bahwa Ant System (AS) adalah algoritma pertama dalam ACO. AS menginspirasikan munculnya algoritma-algoritma lain seperti Ant-Q, Ant

Colony System, Max-Min AS, AS-Rank, dan Best-Worse. Untuk menyelesaikan

VRPTW, algoritma ACO yang berhasil digunakan adalah algoritma Ant Colony

System.

Hal yang membedakan algoritma-algoritma pada ACO adalah ant activity dan daemon activity. Ant activity merupakan aturan yang dilakukan semut dalam membentuk solusi yang terdiri dari pemilihan jalur dan pembaharuan pheromone. Untuk memilih jalur mana yang akan dilewati semut, dipengaruhi oleh intensitas

pheromone dan bobot yang terdapat pada jalur tersebut. Sedangkan pembaharuan pheromone yang dilakukan terdiri dari 2 jenis yaitu online step by step pheromone update dan online delayed pheromone update. Online step by step pheromone update adalah pembaharuan pheromone yang dilakukan semut ketika semut

melakukan perpindahan dari satu simpul ke simpul lain, sedangkan online delayed

pheromone update adalah pembaharuan pheromone yang dilakukan setelah

semut berhasil membentuk solusi.

Pada ant activity terdapat 3 cara pemilihan jalur yang dapat dilakukan oleh agen. Aturan pemilihan jalur tersebut yang dilakukan selama proses pembentukan solusi rute perjalanan dipengaruhi oleh 2 hal yaitu intensitas pheromone trail, ( ) pada busur yang menunjukkan seberapa diinginkan jalur tersebut untuk dipilih oleh agen dan nilai visibility ( ) yang nilainya diperoleh dari suatu fungsi yang dihitung untuk simpul yang layak dipilih. Semakin tinggi intensitas

pheromone pada suatu jalur maka semakin besar kemungkinan jalur tersebut akan

dipilih oleh agen. Untuk menentukan aturan mana yang akan dipakai dalam pemilihan jalur, terdapat dua parameter yang mempengaruhi yaitu dan . Parameter adalah konstanta dengan , yang akan dibandingkan dengan nilai r yang diambil secara acak dengan , untuk menentukan bagaimana pemilihan jalur dilakukan. Parameter adalah bilangan bulat yang menunjukkan kontribusi dari nilai visibility dalam pemilihan jalur. Jika nilai , pemilihan jalur hanya berdasarkan intensitas pheromone trail, sedangkan jika nilai terlalu besar artinya pemilihan jalur cenderung memilih jalur dengan nilai visibility yang besar. Kecenderungan ini mengakibatkan intensitas

(31)

19

pheromone trail tidak cukup dipertimbangkan dalam pemilihan jalur. Hal ini

tidak sesuai dengan pemilihan jalur pada algoritma-algoritma ACO yang juga mempertimbangkan intensitas pheromone trail.

Ketiga aturan pemilihan jalur tersebut adalah :

1. Pseudorandom rule

Agen m di simpul memilih busur berdasarkan aturan:

a. Jika , pilih busur dengan nilai attractiveness terbesar yaitu dimana merupakan intensitas pheromone

trail pada busur (i, j), adalah nilai visibility pada busur (i, j) dan

Ni(m) menyatakan himpunan simpul yang belum dikunjungi agen m ketika berada di simpul . Agen juga melakukan local updating

pheromone trail selama proses pemilihan jalur .

b. Jika . Pilih sembarang simpul secara acak.

2. Pseudorandom proportional rule

Agen m di simpul memilih busur berdasarkan aturan: a. Jika pilih busur (i, j) dengan nilai attractiveness terbesar

{[ ][ ] } (2.11)

Pemilihan busur dengan mekanisme ini disebut mekanisme eksploitasi. b. Jika pilih busur (i, j) berdasarkan distribusi probabilitas berikut:

{ [ ][ ] ∑[ ][ ] (2.12)

dimana adalah probabilitas agen k memilih busur . Untuk menentukan jalur yang akan dilalui, diambil sebuah bilangan secara acak yaitu rpn yang nilainya untuk memperoleh jalur

(32)

mana yang akan dilalui berdasarkan distribusi probabilitas. Pemilihan busur seperti ini disebut dengan mekanisme eksplorasi.

3. Random proportional rule

Agen m di simpul memilih busur hanya berdasarkan distribusi probabilitas pada persamaan (2.12). Aturan pemilihan jalur jenis ini sama dengan aturan pemilihan simpul jenis pseudorandom proportional rule dimana bilangan acak selalu lebih kecil dari .

Selain aturan pemilihan jalur dan pembaharuan pheromone, juga terdapat aturan untuk memperbaiki kinerja algoritma-algoritma ACO yang disebut daemon

activity. Tidak semua algoritma pada ACO melakukan daemon activity. Namun Ant Colony System (ACS) adalah salah satu algoritma ACO yang melakukan daemon activity. Contoh daemon activity yaitu pembaharuan pheromone dengan

cara menambahkan intensitas pheromone hanya pada beberapa solusi dengan aturan tertentu secara global best atau iteration best. Daemon activity yang dilakukan secara iteration best yaitu penambahan pheromone hanya dilakukan pada solusi terbaik per-iterasi yang diperoleh oleh agen. Sedangkan global best merupakan penambahan pheromone yang dilakukan pada solusi terbaik selama proses pembentukan solusi yang dilakukan oleh agen (Dorigo dkk, 2006).

Pada skripsi ini akan dibahas algoritma MACS yang merupakan pengembangan dari algoritma ACS. Pada ACS, aturan pemilihan jalur dan pembaharuan pheromone (ant activity) yang dilakukan adalah aturan

pseudorandom proportional rule sedangkan aturan penambahan intensitas pheromone hanya pada beberapa solusi (daemon activity) yang dilakukan adalah iteration best. Penjelasan lebih lanjut mengenai ACS diberikan pada Subbab 2.5

berikut.

2.5 Ant Colony System (ACS)

Ant Colony System (ACS) pertama kali diperkenalkan oleh Dorigo (1996),

(33)

21

meningkatkan kinerja dari algoritma Ant System. Tujuan yang ingin dicapai dari ACS adalah menemukan rute terpendek. Pada ACS, terdapat sejumlah agen yang ditugaskan untuk membentuk rute. Setiap agen secara acak ditugaskan membuat rute dari simpul awal sampai semua simpul dikunjungi dan menghasilkan solusi. Setiap rute dimulai dari simpul awal selanjutnya ke simpul lain dengan cara setiap agen secara iteratif menambahkan simpul-simpul baru sampai semua simpul dikunjungi. Ada beberapa hal yang terkait dengan pembuatan rute yang dilakukan agen dengan menggunakan algoritma ACS yang akan dijelaskan sebagai berikut.

2.5.1 ACS Ant Activity

Aturan pemilihan jalur dan pembaharuan pheromone (ant activity) yang dilakukan pada ACS adalah aturan pseudorandom proportional rule seperti yang telah dijelaskan pada Subbab 2.4. Pada aturan pseudorandom proportional rule, mekanisme yang dilakukan dalam pemilihan adalah eksploitasi yang memenuhi persamaan (2.11) atau eksplorasi dengan persamaan (2.12). Mekanisme yang dilakukan ditentukan oleh parameter . Semakin besar nilai parameter maka semakin besar kemungkinan pemilihan jalur dengan mekanisme eksplorasi sebaliknya jika nilai semakin kecil, maka semakin besar kemungkinan pemilihan jalur dengan mekanisme eksploitasi.

Pada ACS, jalur pheromone diperbaharui secara lokal dan global.

Pembaharuan lokal dilakukan selama pembentukan rute, sedangkan pembaharuan global dilakukan setelah agen memperoleh solusi. Pengaruh dari pembaharuan lokal adalah mengubah secara dinamis intensitas pheromone pada busur yang akan dipilih.

2.5.2 Local Pheromone Trail Update

Sebagai tambahan informasi untuk pembaharuan global, agen

menggunakan aturan pembaharuan jalur secara lokal. Ketika agen bergerak dari simpul ke simpul melalui busur yang menghubungkan kedua simpul tersebut,

(34)

intensitas pheromone pada busur akan berkurang karena adanya proses evaporasi yang dinyatakan dengan parameter . Pembaharuan pheromone secara lokal dilakukan berdasarkan persamaan berikut:

(2.13)

dimana adalah inisialisasi intensitas pheromone pada jalur. Nilai yang baik untuk parameter , dimana adalah total waktu tempuh pada solusi awal yang dihasilkan oleh nearest neighbor heuristic (Flood, 1956) pada inisialisasi pheromone dan n adalah banyaknya simpul.

Parameter merupakan parameter yang diambil secara acak dan menyatakan besarnya evaporasi (penguapan) pheromone. Jika nilai berarti tidak ada evaporasi pheromone pada busur sedangkan jika nilai berarti intensitas pheromone kembali ke intensitas awal pheromone sebelum dilakukan pembaharuan. Jadi semakin besar nilai parameter mengakibatkan semakin berkurang intensitas pheromone pada busur (Gambardella, 1999).

2.5.3 Global Pheromone Trail Update

Setelah agen memperoleh solusi, akan dipilih rute terbaik dan dilakukan

global pheromone updating. Pembaharuan intensitas pheromone secara global ini

dilakukan setelah agen berhasil membentuk rute yang mengunjungi semua simpul. Artinya, sudah tidak ada simpul yang harus dikunjungi. Pembaharuan secara global dilakukan dengan persamaan (2.14) berikut:

(2.14) dimana adalah parameter yang berkaitan dengan evaporasi, merupakan total waktu tempuh perjalanan dari rute _{yang merupakan solusi terbaik yang} dibentuk oleh agen.

(35)

23

Local search merupakan salah satu improving heuristic yang digunakan

untuk mengoptimalkan rute yang telah dibentuk. Secara umum, pada metode ini dilakukan perpindahan simpul dari suatu rute sehinggga terbentuk rute yang baru. Ada 2 jenis perpindahan simpul yang dilakukan, yaitu Intra-route dan Inter-route.

Intra-route merupakan perpindahan simpul dalam satu rute tanpa

mempengaruhi urutan simpul pada rute yang lain, perpindahan simpul seperti contoh yang ditunjukkan pada Gambar 2.4. Terdapat dua rute, masing-masing rute diawali dan diakhiri di depot (D). Rute pertama: D-1-2-3-4-5-D setelah dilakukan

intra-route, berubah menjadi D-1-2-5-4-3-D. Sedangkan pada rute kedua:

D-6-7-8-9-10-D berubah menjadi D-6-8-7-9-10-D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 depot depot depot depot 1 2 5 4 3 6 8 7 9 10 depot depot depot depot

Gambar 2.4 Contoh intra-route

Inter-Route merupakan perpindahan simpul yang melibatkan 2 subrute.

Misalkan rute pertama yaitu D-1-2-3-4-5-D dan rute kedua yaitu D-6-7-8-9-10-D. Setelah dilakukan inter-route rute pertama menjadi D-1-3-4-5-D sedangkan rute kedua menjadi D-6-7-2-8-9-10-D dengan simpul 2 pada rute pertama pindah ke rute kedua di antara simpul 7 dan 8 seperti yang terlihat pada Gambar 2.5.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 depot depot depot depot 1 3 4 5 6 7 8 9 10 depot depot depot depot 2

(36)

BAB 3

MULTIPLE ANT COLONY SYSTEM PADA VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH TIME WINDOWS

Pada bab ini akan dibahas mengenai algoritma Multiple Ant Colony System (MACS) untuk menyelesaikan VRPTW. Pada Subbab 3.1, diberikan penjelasan mengenai algoritma MACS dengan beberapa proses yang harus dilakukan untuk memperoleh solusi VRPTW, antara lain pembentukan solusi awal VRPTW dengan menggunakan metode nearest neighbor heuristic, dilanjutkan dengan perbaikan solusi awal yang dilakukan oleh agen-agen pada koloni pertama kemudian solusi terbaik yang diperoleh dicoba untuk diperbaiki kembali oleh solusi yang berhasil dibentuk agen-agen pada koloni kedua.

Sebelum memulai setiap tahapan dalam algoritma MACS, akan diberikan penjelasan tentang model solusi pada Subbab 3.2. Kemudian, untuk memulai algoritma MACS, terlebih dahulu ditentukan jumlah iterasi yang diinginkan pada setiap koloni, selanjutnya dilakukan pembentukan solusi awal dengan metode

nearest neighbor heuristic yang akan dibahas pada Subbab 3.3. Setelah itu,

tahapan berikutnya adalah tahapan pembentukan solusi yang dilakukan oleh masing-masing agen pada koloni pertama yang dibahas pada Subbab 3.4 serta dilanjutkan pada Subbab 3.5 mengenai pembentukan solusi dilakukan masing-masing agen pada koloni kedua.

3.1 Algoritma MACS Untuk Menyelesaikan VRPTW

Untuk menyelesaikan VRPTW, algoritma Ant Colony System (ACS) dikembangkan menjadi algoritma MACS agar memperoleh tujuan yang

diinginkan. Pada algoritma MACS terdapat dua tujuan yang ingin dicapai, tujuan ini dioptimisasi oleh dua koloni seperti yang terlihat pada Gambar 3.1, koloni pertama adalah ACS_VEI dan koloni kedua adalah ACS_TIME. Pada setiap koloni, terdapat sejumlah artificial ant (agen) yang ditugaskan untuk membentuk solusi VRPTW. Koloni ACS_VEI bertugas untuk mencapai tujuan pertama VRPTW yaitu meminimumkan banyaknya penggunaan kendaraan, sedangkan

(37)

25

koloni ACS_TIME bertugas untuk mencapai tujuan kedua yaitu meminimumkan waktu tempuh penggunaan kendaraan.

Gambar 3.1 Dua koloni pada MACS

Masing-masing koloni baik ACS_VEI dan ACS_TIME akan

menggunakan jalur pheromone yang berbeda tetapi kedua koloni akan saling memberikan informasi mengenai solusi layak terbaik _{, yang terdiri dari} banyaknya kendaraan minimum yang digunakan dan total waktu tempuh minimum. Pada awalnya, solusi awal untuk VRPTW diperoleh dari metode

nearest neighbor heuristic. Lalu, solusi tersebut diperbaiki oleh dua koloni yang

terdapat pada algoritma MACS. Pada koloni ACS_VEI, banyaknya kendaraan yang digunakan diupayakan berkurang dari banyaknya kendaraan yang digunakan dari solusi yang diperoleh sebelumnya. Sedangkan tujuan dari koloni ACS_TIME adalah mengoptimisasi total waktu tempuh kendaraan yang digunakan dari solusi layak terbaik yang berhasil ditemukan. Jika koloni ACS_VEI tidak berhasil membentuk solusi layak dengan menggunakan kendaraan yang banyaknya lebih sedikit dari solusi awal, maka koloni ACS_TIME mencoba memperbaiki solusi awal yang diperoleh dengan metode nearest neighbor heuristic. Solusi diperbaharui setiap kali salah satu koloni berhasil menemukan solusi yang lebih baik. Ketika solusi berhasil diperbaiki dengan solusi layak yang menggunakan r-1 kendaraan, maka algoritma MACS menghentikan proses pada koloni ACS_VEI dan koloni ACS_TIME. Selanjutnya dilakukan iterasi dan kedua koloni bekerja kembali untuk mencoba mengurangi banyaknya kendaraan yang digunakan dan total waktu tempuh kendaraan sampai diperoleh solusi layak terbaik _.

Secara garis besar, algoritma MACS dapat digambarkan dengan diagram alir pada Gambar 3.2.

MACS

ACS_VEI ACS_TIME

(38)

Universitas Indonesia Data mengenai

kapasitas kendaraan, jumlah permintaan

dan time windows

Tentukan jumlah iterasi yang diinginkan dan input

parameter MACS

Inisialisasi solusi awal dengan metode nearest

neighbor heuristic ACS_VEI ACS_TIME Apakah solusi layak dapat diperbaiki? Iterasi bertambah

Jumlah iterasi yang ditentukan= jumlah iterasi

yang dilakukan

Solusi layak terbaik (banyaknya kendaraan

yang digunakan dan total waktu tempuh

minimum)

end

Pilih solusi layak antara dua koloni yang berhasil memperbaiki solusi

layak terbaik

Gambar 3.2 Diagram alir proses algoritma MACS

Untuk memulai algoritma MACS, setelah diperoleh data mengenai kapasitas kendaraan, banyaknya permintaan, dan time windows pelanggan dan depot serta ditentukan terlebih dahulu jumlah iterasi yang diinginkan, lalu dilakukan pencarian solusi awal VRPTW dengan metode nearest neighbor

heuristic, kemudian dilanjutkan pada tahapan koloni ACS_VEI, setelah itu

tahapan koloni ACS_TIME. Tahapan pada koloni ACS_VEI dan ACS_TIME ya

tidak

ya tidak

(39)

27

dilakukan sampai solusi layak terbaik _{VRPTW diperoleh dan iterasi yang} ditentukan telah tercapai.

3.2 Model Solusi MACS Untuk Menyelesaikan VRPTW

Pada algoritma MACS, digunakan sebuah model solusi dimana setiap agen membangun sebuah rute. Sebelum membentuk rute, depot diduplikasi sebanyak kendaraan yang dibutuhkan berdasarkan solusi awal yang diperoleh, dimana depot terduplikasi dianggap sebagai pelanggan dan jarak antar depot terduplikasi adalah 0. Pendekatan ini membuat permasalahan rute kendaraan pada VRPTW lebih menyerupai masalah TSP tradisional.

Di dalam TSP dan model ini, solusi layak adalah sebuah rute yang mengunjungi semua simpul hanya satu kali. Pada Gambar 3.3, dimana subrute yang mempunyai dua simpul depot terduplikasi di awal dan akhirnya merupakan rute dari satu kendaraan. Jadi banyaknya subrute yang memenuhi kondisi tersebut menunjukkan banyaknya kendaraan yang digunakan. Depot-depot terduplikasi ditunjukan sebagai titik hitam sedangkan pelanggan adalah titik putih. Semua depot terduplikasi mempunyai lokasi yang sama namun depot-depot tersebut digambarkan terpisah karena dianggap sebagai pelanggan. Pada Gambar 3.3 (a) agen berhasil membentuk solusi layak yang mempunyai 4 subrute yang memenuhi kondisi di atas, sedangkan pada Gambar 3.3 (b) solusi yang dibentuk agen bukan solusi layak karena ada 3 pelanggan yang ditunjukkan dengan titik hitam tidak terlayani. Dengan representasi model solusi seperti ini, berdasarkan aturan pembaharuan pheromone, jalur menuju depot terduplikasi menjadi kurang menarik dikunjungi dibandingkan pada kasus hanya tersedia satu depot. Hal ini berpengaruh positif terhadap kualitas solusi yang terbentuk (Gambardella, 1999).

(a) (b)

(40)

Selanjutnya akan dijelaskan beberapa tahapan yang akan dilakukan pada algoritma MACS untuk menyelesaikan VRPTW yang dimulai dengan tahapan inisialisasi solusi awal.

3.3 Inisialisasi Solusi Awal

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, setelah ditentukan jumlah iterasi yang diinginkan, dilakukan inisialisasi solusi awal dengan metode nearest

neighbor heuristic. Pembentukan solusi awal ini dilakukan untuk memperoleh

banyaknya kendaraan yang dibutuhkan dan rute yang dilalui kendaraan-kendaraan tersebut. Solusi awal tersebut juga akan digunakan untuk inisialisasi intensitas

pheromone ( ) yang diperoleh dari persamaan (3.1) dimana n adalah banyaknya pelanggan dan merupakan total waktu tempuh yang diperoleh dari solusi awal dengan metode nearest neighbor heuristic (Flood, 1956).

(3.1)

Proses pembentukan solusi awal dengan metode nearest neighbor

heuristic ditunjukan dengan diagram alir pada Gambar 3.4. Ketika agen berada di

depot, pelanggan pertama yang akan dilalui dipilih secara acak, kemudian muatan kendaraan dan waktu agen diperbaharui. Selanjutnya pelanggan yang belum dikunjungi dimasukan ke dalam daftar pelanggan yang akan dikunjungi. Untuk memilih pelanggan berikutnya ada beberapa kriteria yang harus terpenuhi, antara lain: jumlah permintaan pelanggan yang dilayani tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan dan waktu agen sampai ke pelanggan tidak boleh melebihi batas akhir waktu yang diberikan pelanggan. Kemudian, dipilih jarak pelanggan terdekat di antara pelanggan yang memenuhi kriteria tersebut. Jika tidak ada, agen kembali ke depot dan memilih kembali secara acak pelanggan yang akan dikunjungi. Setiap kali agen mengunjungi pelanggan, muatan kendaraan dan waktu agen diperbaharui kembali. Proses pemilihan pelanggan dilakukan sampai semua pelanggan berhasil dikunjungi dan diperoleh banyaknya kendaraan serta total waktu tempuh agen untuk mengunjungi semua pelanggan.

(41)

29

Data pelanggan yang harus dikunjungi. Inisialisasi ketika agen

didepot, muatan= kapasitas kendaraan

Data pelanggan yang harus dikunjungi. Inisialisasi ketika agen

didepot, muatan= kapasitas kendaraan Pilih pelanggan secara acak Pilih pelanggan secara acak Update muatan dan waktu agen

Update muatan dan waktu agen

Periksa kriteria pelanggan Periksa kriteria pelanggan Daftar pelanggan yang belum dikunjungi Daftar pelanggan yang belum dikunjungi Daftar pelanggan yang memenuhi kriteria Daftar pelanggan yang memenuhi kriteria Banyaknya pelanggan yang memenuhi kriteria >0

Banyaknya pelanggan yang memenuhi kriteria >0

Pilih pelanggan terdekat dengan waktu tempuh minimum dari pelanggan sebelumnya dilalui

Update muatan dan waktu agen

Ada pelanggan yang belum dikunjungi?

Agen kembali ke depot

Solusi awal dengan metode NNH

(banyaknya kendaraan, total waktu

tempuh agen)

Solusi awal dengan metode NNH

(banyaknya kendaraan, total waktu

tempuh agen)

Gambar 3.4 Diagram alir metode nearest neighbor heuristic tidak

ya

(42)

Contoh 3.1

Berdasarkan contoh yang telah diberikan pada Contoh 2.1, akan dilakukan pembentukan solusi awal dengan metode nearest neighbor heuristic untuk

memperoleh banyaknya kendaraan yang dibutuhkan serta rute yang kemudian akan digunakan untuk inisialisasi intensitas pheromone pada koloni semut di tahapan selanjutnya.

Misalkan terpilih pelanggan pertama secara acak adalah pelanggan 3, maka rute yang terbentuk : D-3 dimana permintaan pelanggan 3 ialah 15. Data mengenai permintaan barang setiap pelanggan dapat dilihat kembali di Tabel 2.2. Setelah memilih pelanggan, muatan kendaraan diperbaharui dari muatan awal 70 dikurangi banyaknya permintaan pelanggan 3 yaitu 15 sehingga muatan

kendaraan menjadi 55 dan waktu agen setelah melayani pelanggan 3 juga

diperbaharui yaitu 60 (waktu awal + waktu pelayanan). Waktu awal, waktu akhir dan waktu pelayanan setiap pelanggan dapat dilihat di Tabel 2.2. Daftar

pelanggan yang belum dikunjungi adalah {1,2,4,5,6} lalu dilakukan pengecekan kriteria pelanggan yang dapat dikunjungi seperti yang terlihat pada Tabel 3.1. Pada Tabel 3.1 dapat diketahui bahwa pelanggan 3 telah dikunjungi, pelanggan 1,2,5 dan 6 memenuhi kriteria pelanggan yang akan dikunjungi sedangkan pelanggan 4 tidak memenuhi kriteria. Pelanggan yang terpilih untuk dikunjungi setelah pelanggan 3 adalah pelanggan yang memiliki waktu tempuh minimum yaitu pelanggan 6. Data mengenai waktu tempuh antara pelanggan dapat dilihat di Tabel 2.1 dengan asumsi kecepatan rata-rata kendaraan konstan dan hambatan selama perjalanan (misalkan macet, kecelakaan) diabaikan.

Tabel 3.1 Pengecekan kriteria pelanggan

Pelanggan 1 2 3 4 5 6 Update muatan 35 45 - 40 35 40 Waktu agen 90,41 96,06 - 90,41 98,08 71,18 Dapat dikunjungi? Ya Ya - Tidak Ya Ya Jarak 30,41 36,06 - - 38,08 11,18

(43)

31

Setelah diperoleh pelanggan berikutnya yang akan dikunjungi, dilakukan proses yang sama sampai semua pelanggan dikunjungi, sehingga diperoleh rute berikut: D-3-6-1-D-2-D-4-5-D. Jadi diperoleh solusi _{awal dimana agen}

kembali ke depot sebanyak 3 kali sehingga banyaknya kendaraan yang dibutuhkan adalah 3, yaitu kendaraan pertama melayani pelanggan 3,6,1 kemudian kendaraan kedua melayani pelanggan 2 dan kendaraan ketiga melayani pelanggan 4 dan 5 serta total waktu tempuh yang digunakan agen untuk melayani semua pelanggan adalah 345,54.

Sebelum masuk ke tahapan pada koloni ACS_VEI dan ACS_TIME, berikut diberikan penjelasan prosedur konstruksi new_active_ant yang dilakukan oleh masing-masing agen untuk mengkonstruksi solusi pada setiap koloni.

3.4 Prosedur Konstruksi New_Active_Ant

Pada setiap koloni, baik koloni ACS_VEI maupun koloni ACS_TIME terdapat sejumlah agen yang bertugas untuk membentuk solusi dimana masing-masing agen melakukan prosedur konstruksi new_active_ant. Hal yang

membedakan new_active_ant yang dilakukan pada koloni ACS_VEI dan koloni ACS_TIME adalah prosedur local search yang hanya dilakukan oleh

ACS_TIME. Koloni ACS_VEI belum tentu berhasil menemukan solusi layak sedangkan agen pada koloni ACS_TIME dapat dipastikan akan membentuk solusi yang layak dan rute yang terbentuk pada solusi layak tersebut akan dioptimalkan melalui prosuder local search.

Setiap agen melakukan prosedur new_active_ant dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Setiap agen memulai perjalanan dari sebuah depot terduplikasi yang dipilih secara acak. Misalkan agen m ditempatkan pada salah satu depot terduplikasi dengan inisialisasi waktu tempuh agen=0 dan permintaan yang dilayani=0, kemudian depot terduplikasi ini menjadi simpul asal.

(44)

2. Perjalanan dimulai dari simpul asal i, lalu dilanjutkan dengan pemeriksaan simpul j yang layak untuk dikunjungi. Beberapa kriteria yang harus terpenuhi untuk pelanggan agar dapat dilayani antara lain sebagai berikut:

 Jumlah permintaan pelanggan akan yang dilewati tidak melebihi kapasitas kendaraan.

 Waktu tiba agen tidak melebihi waktu akhir pelayanan pelanggan yang akan dikunjungi.

 Waktu agen setelah melayani pelanggan dan waktu agen kembali ke depot setelah melayani pelanggan tidak melebihi batas waktu depot. Jika semua kriteria di atas terpenuhi, simpul j dimasukkan dalam himpunan . Selanjutnya untuk setiap simpul j yang merupakan anggota dari , dihitung nilai visibility,( ) dari simpul j yang layak dilayani setelah simpul i. Nilai visibility dapat diperoleh dengan memasukkan perhitungan waktu tempuh antara simpul i dan j, time window yang berkaitan dengan simpul j dan nilai yang menunjukkan simpul j tidak termasuk pada solusi.

Nilai pada koloni ACS_TIME bernilai 0 karena tujuan agen dari koloni ini mencoba memperbaiki solusi layak yang ada. Dengan kata lain, seluruh simpul pasti sudah termasuk pada solusi, sehingga nilai tidak diperlukan. Sedangkan pada koloni ACS_VEI, agen bertugas untuk

menemukan solusi dengan mencoba mengurangi banyaknya kendaraan yang digunakan, yang dilakukan adalah dengan memaksimumkan banyaknya pelanggan yang dilayani. Jadi, nilai diperlukan untuk memberikan tanda pada pelanggan yang sering tidak termasuk dalam solusi. Semakin besar nilai , semakin besar nilai visibility-nya, sehingga kemungkinan simpul j yang dimasukkan dalam solusi akan bertambah besar.

Selanjutnya nilai visibility dapat diperoleh berdasarkan persamaan berikut:

( ) (3.2) (3.3)