ANALISIS MODEL MATEMATIKA DAN KONTROL OPTIMAL PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN
FAKTOR RESISTENSI
SKRIPSI
PUTRI CIPTA PRATIWI
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
ANALISIS MODEL MATEMATIKA DAN KONTROL OPTIMAL PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN
FAKTOR RESISTENSI
SKRIPSI
PUTRI CIPTA PRATIWI
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam
lingkungan Universitas Airlangga. Diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi
kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan
sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil’aalamiin. Segala puji bagi Allah SWT atas rahmat
dan karunia-Nya dan semoga sholawat serta salam selalu tercurah kepada nabi
besar Muhammad SAW. Penulis ucapkan terima kasih terhadap semua pihak yang
telah membantu penulis, sehingga skripsi yang berjudul “Analisis Model
Matematika dan Kontrol Optimal Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor
Resistensi” ini dapat terselesaikan dengan baik.
Keberhasilan pada penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari dukungan,
doa dan bantuan dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan
terimakasih kepada:
1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan penulis untuk
menuntut ilmu.
2. PT. Daya Adicipta Mustika yang telah memberikan beasiswa untuk membantu
secara ekonomis serta memacu semangat belajar.
3. Badrus Zaman S.Kom, M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika
Universitas Airlangga yang selalu memberikan motivasi.
4. Dr. Imam Utoyo, M.Si. selaku Koordinator Program Studi S-1 Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu memberikan
saran dan motivasi dan selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi
5. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. selaku dosen wali yang selalu memberikan
motivasi dan memberikan saran untuk membuat rancangan studi.
6. Dr. Fatmawati, M.Si. selaku dosen pembimbing I dan Dr. Windarto, M.Si.
selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan banyak masukan, tenaga
dan fikiran dalam penyusunan skripsi dengan sabar dan teliti.
7. Ahmadin, S.Si., M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi
serta masukan demi perbaikan skripsi ini.
8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga yang telah menyampaikan ilmu
kepada penulis.
9. Bapak dan Ibu tercinta yaitu Sucipto dan Jami’ah, adik saya tersayang
Kharisma Fajar Nugroho, beserta keluarga besar saya yang menjadi sumber
motivasi dan yang telah memberikan kasih sayang, tenaga, perhatian serta doa.
10.Latiefah A., Azizah N. D. P., Bherty R., Hadiyatunnaimah, Siti Komariyah,
Yunita Eka P., Fatimah Assegaf, Fitri Nur K., Dewi I. A., Muthia S. D., Fitri
Indah W., Ayustinia sebagai teman-teman tangguh yang telah memberi
inspirasi, semangat, motivasi, serta telah banyak memberikan pengalaman
berdiskusi.
11.Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 2012 yang memberi inspirasi,
semangat, dan motivasi.
12.Teman-teman HIMATIKA yang telah memberikan pengalaman berorganisasi
selama perkuliahan.
13.Serta segenap pihak di luar yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi
Penulis sudah berupaya agar tidak terdapat kesalahan pada penulisan.
Namun tidak menutup kemungkinan masih ada kekurangan pada penulisan ini.
Oleh karena itu, kritik dan saran dari para pembaca sangat Penulis harapkan demi
penyempurnaan penulisan selanjutnya di kemudian hari. Semoga skripsi ini dapat
bermanfaat bagi para Pembaca pada umumnya khususnya Penulis.
Surabaya, Januari 2016
Putri Cipta Pratiwi, 2016, Analisis Model Matematika dan Kontrol Optimal Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi. Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.
ABSTRAK
Malaria merupakan penyakit yang banyak terjadi di daerah tropis ataupun subtropis. Penyakit ini disebabkan oleh parasit golongan Plasmodium yang ditransmisikan ke manusia melalui gigitan nyamuk Anopheles betina. Penyebaran penyakit malaria dapat dikurangi dengan upaya seperti pengobatan pada manusia yang terinfeksi malaria, penggunaan insektisida, serta vaksinasi sebagai upaya pencegahan. Tujuan dari skripsi ini adalah untuk menganalisis model matematika penyebaran penyakit malaria dengan faktor resistensi serta menentukan bentuk kontrol optimal berupa pengobatan (𝑢𝑢1), insektisida (𝑢𝑢2) dan vaksinasi (𝑢𝑢3). Pada model yang akan dianalisis terdapat dua jenis parasit yang menyebabkan penyakit malaria yakni parasit sensitif dan parasit resisten.
Dari analisis model matematika penyebaran penyakit malaria didapatkan tiga titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik (𝐸𝐸0∗), titik setimbang endemik parasit sensitif(𝐸𝐸𝑠𝑠∗) dan titik setimbang endemik parasit resisten(𝐸𝐸𝑟𝑟∗). Selain itu, pada skripsi ini diperoleh dua nilai basic reproduction number yakni basic reproduction number parasit sensitif (𝑅𝑅0𝑠𝑠) dan basic reproduction number resisten parasit (𝑅𝑅0𝑟𝑟). Jika 𝑅𝑅0𝑠𝑠 < 1 dan 𝑅𝑅0𝑟𝑟 < 1 maka titik setimbang non endemik (𝐸𝐸0∗) akan stabil asimtotis. Jika 𝑅𝑅0𝑠𝑠,𝑅𝑅0𝑟𝑟 > 1 dan 𝑅𝑅0𝑟𝑟 < 𝑅𝑅0𝑠𝑠 maka titik setimbang parasit sensitif (𝐸𝐸𝑠𝑠∗) akan cenderung stabil asimtotis. Jika 𝑅𝑅0𝑟𝑟,𝑅𝑅0𝑠𝑠 > 1 dan 𝑅𝑅0𝑠𝑠 <𝑅𝑅0𝑟𝑟 maka titik setimbang parasit resisten (𝐸𝐸𝑟𝑟∗) akan cenderung stabil asimtotis. Penentuan bentuk kontrol yang optimal dilakukan dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Hasil simulasi secara numerik menunjukkan efektivitas pemberian kontrol berupa 𝑢𝑢1,𝑢𝑢2 dan 𝑢𝑢3 secara bersamaan untuk meminimalkan jumlah manusia dan nyamuk yang terinfeksi malaria dengan biaya yang minimal.
Kata Kunci : Model matematika, Malaria, Resisten, Kestabilan, Kontrol optimal.
Putri Cipta Pratiwi, 2016, Analysis Mathematical Model and Optimal Control of The Spread of Malaria Disease with Resistance Factor. This undergraduate thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Windarto, M.Si. Mathematics Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.
ABSTRACT
Malaria is a disease which is prevalent in tropical or subtropical regions. This disease is caused by parasite of Plasmodium genus that is transmitted to human by female Anopheles mosquitoes. The spread of malaria can be reduced by giving treatment to the human who are infected malaria, using insecticide, and giving vaccination as prevention. The purposes of this undergraduate thesis are analyzing mathematical model of the spread of malaria with resistance factor and determining optimal control in the form of treatment (𝑢𝑢1), insecticide (𝑢𝑢2) and vaccination (𝑢𝑢3). In this model which is analyzed, there are two types of parasite that caused malaria, they are sensitive parasite and resistant parasite.
There are three equilibrium points in the mathematical model of malaria, namely non endemic equilibrium point (𝐸𝐸0∗), endemic equilibrium of sensitive parasite (𝐸𝐸𝑠𝑠∗) and endemic equilibrium of resistant parasite (𝐸𝐸𝑟𝑟∗). Moreover, there are two basic reproduction numbers, namely basic reproduction number of sensitive parasite (𝑅𝑅0𝑠𝑠) and basic reproduction number of resistant parasite (𝑅𝑅0𝑟𝑟). If
𝑅𝑅0𝑠𝑠 < 1 and 𝑅𝑅0𝑟𝑟 < 1 then non endemic equilibrium point (𝐸𝐸0∗) will be asymptotically stable. If 𝑅𝑅0𝑠𝑠,𝑅𝑅0𝑟𝑟 > 1 and 𝑅𝑅0𝑟𝑟 <𝑅𝑅0𝑠𝑠 then equilibrium point of sensitive parasite (𝐸𝐸𝑠𝑠∗) tend to asymptotically stable. If 𝑅𝑅0𝑠𝑠,𝑅𝑅0𝑟𝑟 > 1 and 𝑅𝑅0𝑠𝑠 <𝑅𝑅0𝑟𝑟 then equilibrium point of resistant parasite (𝐸𝐸𝑟𝑟∗) tend to asymptotically stable. Pontryagin Maximum Principal is applied to derive the necessary conditions for optimal control. Numeric simulation results show the effectiveness of the optimal control to reduce the number of infected hosts and vectors with minimal cost.
DAFTAR ISI
LEMBAR JUDUL ... i
LEMBAR PERSETUJUAN... ii
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ... iii
LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ... iv
SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS ... v
KATA PENGANTAR ... vi
ABSTRAK ... ix
ABSTRACT ... x
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR TABEL ... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR LAMPIRAN ... xvii
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 6
2.1 Malaria ... 6
2.2 Sistem Persamaan Diferensial ... 10
2.3 Kestabilan Sistem Linear ... 11
2.4 Kriteria Routh-Hurwitz ... 13
2.5 Basic Reproduction Ratio ... 16
2.6 Prinsip Maksimum Pontryagin ... 17
BAB III METODE PENELITIAN... 19
BAB IV PEMBAHASAN ... 22
4.1 Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi dan Tanpa Kontrol ... 22
4.1.1 Titik Setimbang ... 33
4.1.2 Analisa Kestabilan Lokal Titik Setimbang ... 37
4.2 Model Matematika dan Kontrol Optimal Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi... 50
4.3 Simulasi dan Interpretasi dari Model Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi dengan Kontrol dan Tanpa Kontrol ... 57
BAB IV PENUTUP ... 84
DAFTAR PUSTAKA ... 86
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Tabel Halaman
4.1 Variabel dari Model Penyebaran Penyakit Malaria 27
4.2 Parameter dari Model Penyebaran Penyakit Malaria 27
4.3 Nilai Awal Simulasi Titik Setimbang Endemik Parasit
Sensitif
43
4.4 Nilai Parameter Simulasi Titik Setimbang Endemik Parasit
Sensitif
43
4.5 Nilai Awal Simulasi Endemik Parasit Resisten 48
4.6 Nilai Parameter Simulasi Titik Setimbang Endemik Parasit
Resisten
48
4.7 Nilai Parameter Simulasi Numerik 59
4.8 Perbandingan Jumlah Individu 𝐼𝐼𝐻𝐻𝑠𝑠 pada hari ke 100 64
4.9 Perbandingan Jumlah Individu 𝐼𝐼𝐻𝐻𝑟𝑟 pada hari ke 100 68
4.10 Perbandingan Jumlah Individu 𝐼𝐼𝑉𝑉𝑠𝑠 pada hari ke 100 71
4.11 Perbandingan Jumlah Individu 𝐼𝐼𝐻𝐻𝑟𝑟 pada hari ke 100 75
DAFTAR GAMBAR
No. Judul Halaman
4.1 Diagram Transmisi Model Matematika Penyebaran Penyakit
Malaria dengan Faktor Resistensi dan Tanpa Kontrol
29
4.2 Simulasi Bidang Fase Pada Bidang 𝐼𝐼𝐻𝐻𝑠𝑠 − 𝐼𝐼𝐻𝐻𝑟𝑟 Untuk
Titik Setimbang Endemik Parasit Sensitif
44
4.3 Simulasi Bidang Fase Pada Bidang 𝐼𝐼𝐻𝐻𝑠𝑠 − 𝐼𝐼𝐻𝐻𝑟𝑟 Untuk
Titik Setimbang Endemik Parasit Resisten
49
4.4 Diagram Transmisi Model Matematika dan Kontrol Optimal
Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi
4.8c Dinamika Populasi 𝐼𝐼𝑉𝑉𝑟𝑟 Bagian C 74
4.9 Grafik Kontrol 𝑢𝑢1 76
4.10 Grafik Kontrol 𝑢𝑢2 77
4.11 Grafik Kontrol 𝑢𝑢3 77
4.12 Grafik Kontrol 𝑢𝑢1 dan 𝑢𝑢2 78
4.13 Grafik Kontrol 𝑢𝑢1 dan 𝑢𝑢3 79
4.14 Grafik Kontrol 𝑢𝑢2 dan 𝑢𝑢3 80
DAFTAR LAMPIRAN
No. Judul Lampiran
1. Perhitungan Basic Reproduction Number
2. Perhitungan Titik Setimbang
3. Perhitungan Persamaan Karakteristik pada Titik Setimbang
Non Endemik
4. Penentuan Syarat Kestabilan Menggunakan Kriteria Routh
Hurwitz
5. Keterangan Koefisien Persamaan Karakteristik pada Titik
Setimbang Endemik 𝐸𝐸𝑠𝑠∗
6. Kode Program untuk Simulasi Bidang Fase pada Titik
Setimbang Endemik 𝐸𝐸𝑠𝑠∗
7. Keterangan Koefisien Persamaan Karakteristik pada Titik
Setimbang Endemik 𝐸𝐸𝑟𝑟∗
8. Kode Program untuk Simulasi Bidang Fase pada Titik
Setimbang Endemik 𝐸𝐸𝑟𝑟∗
9. Kode Program DOTcvp pada MATLAB untuk Model Tanpa
Kontrol
10. Kode Program DOTcvp pada MATLAB untuk Model dengan
Kontrol 𝑢𝑢1
11. Kode Program DOTcvp pada MATLAB untuk Model dengan
12. Kode Program DOTcvp pada MATLAB untuk Model dengan
Kontrol 𝑢𝑢3
13. Kode Program DOTcvp pada MATLAB untuk Model dengan
Kontrol 𝑢𝑢1 dan 𝑢𝑢2
14. Kode Program DOTcvp pada MATLAB untuk Model dengan
Kontrol 𝑢𝑢1 dan 𝑢𝑢3
15. Kode Program DOTcvp pada MATLAB untuk Model dengan
Kontrol 𝑢𝑢2 dan 𝑢𝑢3
16. Kode Program DOTcvp pada MATLAB untuk Model dengan
