PROGRAM LINEAR
Pr ogr a m in g : Alok asi sum ber - sum ber y ang t er bat as unt uk m em enuhi t uj uan t er t ent u.
Lin ie r Pr ogr a m in g : Pr ogr am ing y ang m enyangk ut m asalah- m asalah dim ana hubungan ant ar a v ar iable- v ar iabelny a sem ua linier .
Beber apa penger t ian m at em at ik y ang ak an dij um pai pada m asalah pr ogr am linier ant ar a lain : 1. Kon st r a in , yait u syar at - syar at kondisi yang ber hubungan dengan sum ber nya.
2. Fu n gsi Tu j u a n at au Fu n gsi Oby e k t if at au Fu n gsi Sa sa r a n , y ait u suat u fungsi yang
ber bent uk Z = C1x1 + C2x2+ C3x3 + ………….+ Cnxn dim ana xi 0 unt uk set iap i = 1, 2, 3
…..n. C1, C2, C3,……. Cn biasany a disebut koefisien biaya.
3. Ja w a b Fe a sib le , yait u j aw ab yang m em enuhi syar at - syar at yang diber ikan.
4. Ja w a b I n fe a sible , y ait u j aw ab y ang t idak m em enuhi sy ar at - sy ar at y ang diber ik an.
Tuj uan dar i pr ogr am linier adalah m em aksim alk an at au m em inim alk an fungsi oby ek t if y ang ber bent uk linier dengan syar at - syar at linier . Pada um um ny a m odel m at em at ik dar i bent uk pr ogr am linier dalam dim ensi dua ( pada bidang) adalah :
Mem ak sim alk an at au m em inim alk an fungsi t uj uan Z = C1x1 + C2x2dengan sy ar at :
K1 a1x1 + a2x2 d1
K2 b1x1 + b2x2 d2
x1 0 dan x2 0
Tit ik Ek st r im
Tit ik ek st r im adalah suat u t it ik y ang t er let ak pada daer ah j aw ab sedem ik ian r upa sehingga fungsi oby ek t if ak an m encapai har ga ek st r im di t it ik t er sebut .
Cont oh :
1. Mak sim alk an fungsi t uj uan y ang ber bent uk Z = 5x1+ 3x2dengan syar at :
K1 3x + 5x1 2 15
K2 5x1 + 2x2 10
x1 0 dan x2 0
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
Jaw ab :
Kit a t ent ukan dulu daer ah j aw abannya ( daer ah feasible) pada bidang XOY ( bidang yang di bangun oleh x1 dan x2) , m aka daer ah j aw ab adalah OABC
dan gar is put us- put us adalah gar is fungsi t uj uan. Ter lihat gar is- gar is y ang dibangun oleh fungsi t uj uan dan m em puny ai kedudukan yang paling t inggi
adalah gar is yang m elalui t it ik B ( 19 20 ,
19 45
) . I ni
ber ar t i bahw a Z = 5x + 3x m encapai har ga
m aksim al di t it ik B. Ak ibat nya didapat
1 2
0
3
5
x
1x
2A
C
2
5
5x1 + 2x2 = 10 K2
3x1 + 5x2 = 15 K1 B
37 , 12 19 45 . 3 19 20 . 5
2. Maksim alkan fungsi t uj uan Z = 2,5 x + y dengan syar at :
K1 3x + 5y 15
K2 5x + 2y 10
x 0 dan y 0
0
3
5
x
1x
2A
C
2
5
5x1 + 2x2 = 10 K2
3x1 + 5x2 = 15 K1 B
Jaw ab :
Ter nyat a fungsi t uj uan z = 2,5 x + y ber im pit dengan gar is 5x + 2y = 10, akibat nya
5
maks
Z
3. Maksim alkan z = 2x + 2y dengan syar at :
2
1
1
4
y
x K1
K2
K1 x y 1
K2 x 2y 4
x 0 ; y 0
Dar i gam bar diat as kit a dapat kan x ~ dan y ~ . Dalam hal ini j aw ab t ak t er bat as. Dengan kat a lain fungsi sasar an t idak m em puny ai har ga m ak sim al.
4. Tent ukan har ga m aksim al dar i fungsi t uj uan z = 3x – 2y dengan syar at :
K1 x + y 1
x
y
0 1 2
2
1 K2
K1
K2 2x + 2y 4
x 0 dan y 0
Jaw ab :
Pada per soalaan ini k it a dapat kan bahw a t idak ada daer ah yang m em enuhi syar at yang diber ikan. Ak ibat nya t ak ada har ga x dan y yang m em enuhi fungsi t uj uan.
5. Seor ang penj aj a buah- buahan yag m enggunakan gerobak, m enj ual apel dan pisang. Harga
pem belian apel Rp. 1000,00 t iap k g dan pisang Rp. 400,00 t iap k g. Modalny a hany a Rp. 250.000,00 ser t a day a t am pung ger obak t idak lebih dar i 400 k g. Jik a k eunt ungan t iap k g
apel dua kali keunt ungan t iap kg pisang, m ak a unt uk m em per oleh k eunt ungan sebesar m ungk in, pedagang t er sebut harus m em beli ber apa kg apel dan ber apa k g pisang.
Jaw ab :
Misalkan bahw a banyaknya apel yang har us dibeli x kg, dan pisang y kg. Maka m odel m at em at ikany a adalah :
Fungsi t uj uan : z = p x + ½ p y ; p k eunt ungan t iap k g apel
Dengan syar at : K1 1000 x + 400 y 250.000
K2 x + y 400
x 0 ; y 0
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
A
B C
400
250
O 400
625 K1
K2
x
y
z = p (x + ½ y)
O 0 0
0
A 250 0
250
p
B 150 250
275
p
C 0 400
250
p
Ter lihat dar i t abel diat as bahw a p. Jadi
bany ak ny a apel y ang har us dibeli adalah 150 k g dan pisang 250 k g.
275 Zm aks
6. Sebuah pesaw at t er bang m em puny ai k apasit as t em pat duduk t ak lebih dar i 48 or ang yang t er bagi dalam kelas ut am a dan kelas ekonom i. Selain it u m am pu m em baw a bagasi m aksim al seber at 1440 kg. Set iap penum pang kelas ut am a dapat m em baw a bagasi t ak lebih dar i 60 kg sedangkan unt uk kelas ekonom i m aksim al 20 kg. Apabila biaya ( har ga kasr cis) unt uk kelas ut am a dan k elas ek onom i m asing- m asing adalah Rp. 100.000,00 dan Rp. 50.000,00 per or ang, t ent ukan bany aknya penum pang t iap- t iap k elas agar hasil penj ualan kar cis t er besar .
Jaw ab :
Misalkan banyaknya penum pang kelas ut am a x or ang dan kelas ekonom i y or ang, m aka didapat m odel m at em at ik a sebagai ber ikut :
A B C
48
24
0 48
K1
K2
72 Fungsi t uj uan : z = 100.000 x + 50.000 y
Syar at bat as : K1 x + y 48
K2 60x + 20y 1440
x 0 ; y 0
x
y
z
O 0 0
0
A 24 0
2.400.000
B 12 36
3.000.000
C 0 48
2.400.000
