Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2018

(1)

OSK SMA 2018

OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018

(2)

OSK SMA 2018

OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018

OSK Matematika SMA

(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)

Disusun oleh:

(3)

PEMBAHASAN SOAL

OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA

TINGKAT KABUPATEN/KOTA

28 Februari 2018

By Pak Anang (

http://pak-anang.blogspot.com

)

1. Misalkan , , dan adalah tiga bilangan . Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan − − + − −

= yang mungkin adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.

− − + − − =

⇔ − + + + − + + =

⇔ − + + + + =

Sehingga, jika akar-akar dari persamaan kuadrat − + + + + = adalah dan , maka dengan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:

+ = + +

Perhatikan juga bahwa , , dan adalah tiga bilangan satu digit berbeda, sehingga + + akan maksimum apabila adalah bilangan terbesar dan , masing-masing dipilih bilangan satu digit berurutan yang lebih kecil dari .

Sehingga apabila = dan masing-masing atau adalah 8 atau 7, diperoleh jumlah terbesar akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah

+ = + + =

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.

(4)

Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

2. Setiap sel dari suatu tabel berukuran × dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus:

• untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap

• untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap Nilai adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan tabel × berikut!

Dengan memperhatikan bahwa hasil penjumlahan setiap baris dan kolom adalah genap, maka diperoleh kedua bilangan pada setiap baris atau kolom memiliki paritas yang sama.

Perhatikan juga bahwa , , , atau hanya dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3.

Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus:

• untuk , , , bilangan ganjil maka ada tiga kemungkinan

- keempat bilangan , , , adalah bilangan yang sama, sebanyak = cara. - diantara bilangan , , , ada tiga bilangan yang sama, sebanyak !

!× = cara. - diantara bilangan , , , ada dua bilangan yang sama, sebanyak !

! != cara.

• untuk , , , bilangan genap

maka hanya ada satu kemungkinan yaitu keempat bilangan , , , adalah bilangan 2. Sehingga ada sebanyak 1 cara.

Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak + + + = cara.

TRIK SUPERKILAT:

Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus:

• Kasus pertama: , , , adalah bilangan ganjil.

Banyak kejadian adalah + + + + = =

• Kasus kedua: , , , adalah bilangan genap.

Hanya ada satu kemungkinan, yaitu , , , adalah bilangan 2.

(5)

3. Diberikan persegi berukuran × satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan, karena ∥ , maka ∆ ∼ ∆ sehingga diperoleh perbandingan

= ⇒ = × = × =

Sehingga, karena = + , dan = , maka diperoleh

= − = − =

Perhatikan, karena ∆ ∼ ∆ sehingga diperoleh perbandingan

= ⇒ = × = × =

Jadi, [ ] = ∙ ∙ = ∙ ∙ =

Sehingga, [ ] = [ ] − [ ] = − = .

(6)

4. Parabola = − dan = − memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik. Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai + adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, titik potong parabola = − pada sumbu Y adalah di titik , − . Sedangkan, titik potong parabola = − pada sumbu Y adalah di titik , .

Perhatikan juga, agar dapat diperoleh dua titik lagi sebagai titik-titik sudut layang-layang yang lain, maka titik potong parabola = − dan = − pada sumbu X seharusnya adalah pada titik yang sama, sehingga dapat disimpulkan kedua kurva berpotongan di sumbu X.

Sehingga, titik potong di sumbu X dapat ditentukan dengan =

⇔ − = −

⇔ + − =

⇔ _{= ±√ +}

Jadi, titik potong kedua parabola pada sumbu X adalah di titik √

+ , dan −√ + , . Padahal, luas layang-layang adalah 24, sehingga

= × ×

⇔ _{= × | − − | × |√ + − −√ + |}

⇔ = × _{× √ +}

⇔ _{= √ +}

⇔ _{= +}

(7)

5. Untuk setiap bilangan asli didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari . Banyaknya bilangan asli sehingga habis membagi − untuk setiap bilangan asli adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, bilangan asli dapat dinyatakan sebagai = ∙ + ∙ + ∙ + ⋯, maka jika didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari , maka diperoleh

= + + + ⋯

Misal, = − , maka = −

= ∙ + ∙ + ∙ + ⋯ − + + + ⋯

= − + − + − + ⋯

= + + + ⋯

Sehingga, | − . Jadi bilangan asli adalah faktor bulat positif dari 9, yaitu 1, 3, dan 9.

(8)

6. Diketahui dan bilangan prima dengan < , dan + + = − + . Nilai yang memenuhi ….

Pembahasan: Perhatikan,

+ + = − +

⇔ + − + − =

⇔ + − =

Sehingga, diperoleh

= − − ⇔ + =

Karena, , adalah bilangan prima, maka dua buah bilangan prima yang jumlahnya 10 adalah 3 dan 7. Mengingat < , sehingga dapat diperoleh = dan = .

(9)

7. Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil merupakan kelipatan 3, sedangkan lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, misal kedua bilangan tersebut adalah dan , karena adalah bilangan kelipatan 7 dan adalah bilangan kelipatan 3, maka untuk dan adalah suatu bilangan asli, dan dapat dinyatakan sebagai

= =

Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan > , maka − = . Ini sama saja dengan persamaan − = .

Nilai dan dapat ditentukan menggunakan pembalikan algoritma Euclid, yaitu = × +

Sehingga,

= − ×

Dengan mengalikan 10 kedua ruas diperoleh

= −

Sehingga, diperoleh = dan = .

Sehingga, solusi umumnya adalah

= − ⇒ = −

Diperoleh pasangan bilangan dua digit , yang memenuhi adalah

, = { , , , , , , , }

Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan y adalah 17, maka = + + + . Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.

Sehingga, jelas diantara pasangan , yang memiliki faktor prima 5 hanyalah = dan = .

(10)

TRIK SUPERKILAT 1:

Perhatikan, ≡ mod dan ≡ mod . Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan > , maka − = , sehingga

= − ≡ mod ⇒ ≡ mod ⇒ = + Sehingga,

= + ≡ mod ⇒ = mod ⇒ = + Diperoleh, = + dan nilai yang memenuhi adalah = { , , , }

Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka = + + + . Maka + = , sehingga bilangan prima , yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.

Sehingga, diantara pasangan , yang memiliki faktor prima 5 hanyalah = , akibatnya = . Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah + = + = .

TRIK SUPERKILAT 2 (LOGIKA PRAKTIS):

Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah = ( ∙ ∙ ∙ ) dan = ( ∙ ∙ ∙ ) . LOGIKA:

• 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari atau .

• Mengingat − = , suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilangan yang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pasti menjadi faktor dari baik maupun .

Sehingga dengan cara mendaftar kemungkinan secara manual: = ⇒ ,

= ⇒ , , , , Jelas yang memenuhi − = , adalah = dan = .

(11)

TRIK SUPERKILAT 3 (LOGIKA PRAKTIS):

Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah = ( ∙ ∙ ∙ ) dan = ( ∙ ∙ ∙ ) . LOGIKA:

• 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari atau .

• Mengingat − = , suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilangan yang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pasti menjadi faktor dari baik maupun .

• Karena 2 belum menjadi faktor dari masing-masing bilangan, maka 2 pasti juga menjadi faktor dari salah satu bilangan. Dan karena selisihnya 10, merupakan kelipatan 10, berarti bilangan lain juga kelipatan 2.

• Akibatnya karena 2 dan 5 adalah faktor setiap bilangan, maka keduanya adalah kelipatan 10. Sehingga, kemungkinan yang terjadi hanyalah

= ⇒ = ⇒ , Jelas yang memenuhi − = , adalah = dan = .

(12)

8. Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka adalah . Jika ditos kali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga angka. Nilai adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, dengan menggunakan konsep distribusi binomial, misal = peluang kejadian muncul angka, maka = dan − = .

Apabila satu koin ditos kali, maka peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga angka dapat dinyatakan sebagai

� = = � =

⇔ ∙ ∙ − − ₌ _∙ _∙ ₋ −

⇔ _{− ! ! ∙ ( ) ∙ ( )}! − = _{− ! ! ∙ ( ) ∙ ( )}! −

⇔ ∙ −_{− ! ∙}∙ − !∙ = ∙ − ∙_{− ! ∙ !}− ∙ − !∙

⇔ = −

⇔ =

(13)

9. Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan gambar segitiga berikut

merupakan garis berat dan merupakan garis bagi, keduanya berpotongan saling tegak lurus.

Perhatikan segitiga sama kaki, sehingga = . Misal = = = .

Perhatikan juga, karena sisi-sisi segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan, maka selisih dari dua sisi segitiga adalah 1 atau 2.

Kasus pertama, selisih dua sisi segitiga adalah 1, sehingga − = ⇒ = Karena = , maka = , = , sehingga

• = , tidak memenuhi karena sisi segitiga tidak mungkin nol

• = , tidak mungkin karena tidak memenuhi ketaksamaan + >

Kasus kedua, selisih dua sisi segitiga adalah 2, sehingga − = ⇒ = Karena = , maka = , = , sehingga

• = , memenuhi.

Sehingga, sisi segitiga adalah = , = , = .

Jadi keliling segitiga adalah + + = + + = .

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan, karena panjang sisi-sisi segitiga adalah bilangan asli yang berurutan, dan dari gambar kita tahu bahwa = ∙ .

Jadi, kemungkinan tiga bilangan urut, dimana salah satunya adalah dua kali dari yang lain adalah:

• 1, 2, 3

Namun karena + ≯ , maka jelas segitiga ini tidak memenuhi ketaksamaan segitiga.

(14)

10. Diberikan suku banyak dengan + = untuk setiap bilangan real . Jika ≠ maka jumlah semua nilai yang mungkin adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, anggap = + , ≠ , suku banyak derajat � dengan � < , maka

+ =

⇔ ( + ) + ( + ) =

⇔ + + + + =

Sehingga, dengan memperhatikan kesamaan di atas, maka kemungkinan yang terjadi adalah

• + = , maka = dengan + = .

• + + = , apabila + = maka + � = .

Perhatikan, + � = ⇒ � = − , maka

� < ⇒ − <

⇔ <

⇔ < Jelas bahwa = .

Jadi, suku banyak + = , agar kesamaan berlaku maka

• adalah suku banyak berderajat satu.

• adalah suku banyak berderajat dua.

Kasus pertama, adalah suku banyak berderajat satu. Misal, = + , ≠ , maka

+ =

⇔ + + + =

⇔ + + + + =

Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh

= ⇒ = atau =

+ = ⇒ + − =

⇔ + − =

⇔ = − atau =

Dari kasus ini yang memenuhi hanya jika = , sehingga

• Apabila = − , jadi yang memenuhi adalah = − , sehingga karena = − ≠ ,

maka = − = − .

• Apabila = , jadi yang memenuhi adalah = , sehingga karena = , dan mengingat ≠ , maka = tidak memenuhi. Sehingga tidak ada nilai yang memenuhi.

Kasus kedua, adalah suku banyak berderajat dua. Misal, = + + , ≠ maka

+ =

⇔ + + + + + =

⇔ + + + + + + + + =

(15)

Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh

+ = ⇒ + =

⇔ = atau = −

= ⇒ = atau =

+ + = ⇒ =

⇔ − =

⇔ = −

Dari kasus ini yang memenuhi adalah = − − , sehingga = − − = − .

(16)

11. Misalkan { } adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi = = ⋯ = = , = , dan untuk setiap bilangan asli berlaku ₊ = ₊ + . Nilai adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, kita akan mencoba menguraikan kombinasi linear dari bilangan 143 terhadap bilangan 9 dan 13, sehingga diperoleh

+ = ⇒ = −

⇔ ∙ = ∙ −

Sehingga, terdapat dua penyelesaian bulat untuk + = , dengan , bilangan cacah.

• = , sehingga − = ⇒ = , sehingga , = ,

Padahal, untuk ₊ = ₊ + , rumus umumnya untuk = + adalah

= ∑ �∙ ( �+ �− � ) �= Sehingga, = ∙ + ∙ = ∙ + ∙ = + = Cara alternatif:

Jika kita uraikan secara terus menerus, maka kita juga akan bertemu pola kombinatorik pada suku-suku yang dihasilkan. Perhatikan,

= +

= + +

= ⋯

= + + + ⋯ +

Jadi, rumus umum penjabaran dari hingga langkah ke-� adalah

= ∑ � �

� − − �

�=

Nah, jika kita perhatikan seksama pola yang terbentuk, hanya suku dari penjabaran tersebut harus kita uraikan menjadi , jika tidak dapat diuraikan menjadi maka nilainya nol, mengingat bahwa = = ⋯ = = .

Sehingga, kita akan mencoba menguraikan bilangan 13 dari pengurangan bilangan 143 oleh kombinasi linear dari 9 dan 4, sehingga diperoleh

= − −

Jadi, nilai dari dapat diperoleh untuk � , � = , dan � , � = ,

(17)

12. Untuk setiap bilangan real , menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan . Jika diketahui + + = , dan + − = , . Nilai + adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, misal � < , maka untuk setiap bilangan real berlaku: = + �

Dari persamaan + + = , , diperoleh

+ + = , ⇒ + + + � = ,

⇔ + + � = ,

Sehingga diperoleh, + = dan � = , .

Dan dari persamaan + − = , diperoleh

+ − = , ⇒ + � + + � − = ,

⇔ + � + � = ,

⇔ + � + , = ,

⇔ + � = ,

Sehingga diperoleh = , dan � = , .

Perhatikan kembali bahwa + = , sehingga diperoleh

+ = ⇒ + =

⇔ + =

⇔ =

Jadi, diperoleh nilai dan adalah

= + � = + , = ,

(18)

13. Misalkan adalah trapesium siku-siku dengan sejajar dan tegak lurus . Misalkan juga adalah titik potong diagonal dan . Jika perbandingan luas segitiga dan luas trapesium adalah 4 : 25 maka nilai adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan trapesium berikut. adalah titik potong diagonal dan .

Misal,

= ⇒ = ∙

Sehingga, dari perbandingan luas segitiga dan trapesium diperoleh

[ ] [ ] = ∙ ∙ ∙ ∙ + = ₊ = ₊

Padahal, dari kesebangunan segitiga dan segitiga , diperoleh = .

Sedangkan, dari kesebangunan dan serta dan diperoleh.

= − = − Maka, = − − ⇒ = − ∙ − ⇔ = ∙ − + ∙ ∙ + ⇔ + ∙ ∙ = ∙ ⇔ = ₊ Sehingga, = + ⇒ = + ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ − + = ⇔ − − =

⇔ = atau =

Jadi, perbandingan = atau = .

Catatan penulis:

(19)

14. Himpunan merupakan himpunan bilangan-bilangan 7 digit sehingga masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7 tepat muncul satu kali. Bilangan-bilangan di diurutkan mulai dari yang paling kecil sampai yang paling besar. Bilangan yang berapa pada urutan ke-2018 adalah ….

Pembahasan

Pertama, kita akan memeriksa banyak bilangan dengan memeriksa digit pada tempat terbesar, yaitu tempat jutaan.

• Bilangan 1XXXXXX menyumbang sebanyak ! = bilangan. Jadi bilangan ke-1 sampai dengan bilangan ke-720 adalah berformat 1XXXXXX.

• Bilangan 2XXXXXX menyumbang sebanyak ! = bilangan. Jadi bilangan ke-721 sampai dengan bilangan ke-1440 adalah berformat 2XXXXXX.

• Bilangan 3XXXXXX menyumbang sebanyak ! = bilangan. Jadi bilangan ke-1441 sampai dengan bilangan ke-2160 adalah berformat 3XXXXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada format 3XXXXXX.

Selanjutnya akan diperiksa digit pada tempat ratusan ribu.

• Bilangan 31XXXXX menyumbang sebanyak ! = bilangan. Jadi bilangan ke-1441 sampai dengan bilangan ke-1560 adalah berformat 31XXXXX.

• Bilangan 36XXXXX menyumbang sebanyak ! = bilangan. Jadi bilangan ke-1921 sampai dengan bilangan ke-2040 adalah berformat 36XXXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada format 36XXXXX.

Selanjutnya akan diperiksa digit pada tempat puluhan ribu.

• Bilangan 361XXXX menyumbang sebanyak ! = bilangan. Jadi bilangan ke-1921 sampai dengan bilangan ke-1944 adalah berformat 361XXXX.

(20)

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan,

= × ! + = × ! + = × ! + = × ! + = × ! + = × ! + = × ! + 1234567 3 (bilangan ke 2+1)

124567  6 (bilangan ke 4+1) 12457  7 (bilangan ke 4+1) 1245  1 (bilangan ke 0+1) 245  2 (bilangan ke 0+1) 45  5 (bilangan ke 1+1) 4  4 (bilangan ke 0+1)

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 3671254. Catatan Penulis:

Menurut kunci jawaban yang beredar, jawaban untuk soal ini adalah 3561274.

Nah, penulis mencoba membuat analisis forensik mengapa pembuat soal bisa membuat kunci jawaban seperti tersebut di atas.

Langkah yang kurang tepat ditunjukkan oleh warna merah.

1234567 3 (bilangan ke 2+1)

124567 5 (bilangan ke 4+1)  pembuat soal lupa bahwa bilangan ke-5 bukan 5, tapi 6.

12467 6 (bilangan ke 4+1)  pembuat soal lupa bahwa bilangan ke-5 bukan 6, tapi 7.

1247  1 (bilangan ke 0+1) 247  2 (bilangan ke 0+1) 47  7 (bilangan ke 1+1) 4  4 (bilangan ke 0+1)

(21)

15. Misalkan = { ∈ ℝ| }. Banyaknya pasangan bilangan asli , sehingga tepat ada 2018 anggota yang dapat dinyatakan dalam bentuk + untuk suatu bilangan bulat dan adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, dari ′ ℎ , yaitu Jika dan dua bilangan bulat yang keduanya taknol maka terdapat bilangan bulat dan sehingga . = + .

Sehingga banyaknya anggota yang dapat dinyatakan adalah banyaknya + ; + ∈ ℤ yang memiliki solusi , ∈ ℤ.

Dengan membagi kasus, yaitu

Kasus 1.

Apabila dan adalah relative prima, maka dari ′ ℎ , semua � ∈ ℤ dapat dinyatakan dalam + sehingga haruslah + = , sehingga

+ = ⇒ =

Sehingga, diperoleh penyelesaian , = { , , , }.

Kasus 2.

Apabila , = > , maka , > . Sehingga dari ′ ℎ , semua (dan hanya) �, � ∈ ℤ dapat dinyatakan dalam + . Semua � ada sebanyak + = + , sehingga

( ) + = ⇒ ( ) = ⇒ =

Sehingga diperoleh penyelesaian , = { , }

(22)

16.

Diberikan segitiga

dan lingkaran Γ yang berdiameter

.

Lingkaran Γ memotong sisi

dan

berturut-turut di

dan

. Jika

=

,

=

,

dan

=

, maka luas segitiga

adalah

….

Pembahasan:

Perhatikan, gambar segitiga dan lingkaran

Γ

.

Misal,

=

, karena

=

maka

=

,

sehingga

=

, akibatnya

=

.

=

, karena

=

maka

=

,

sehingga

=

, akibatnya

=

.

Berdasarkan power of point diperoleh

×

=

×

⇔

×

=

×

⇔

=

⇔

=

Luas

∆

dapat dicari menggunakan sisi alas

dan tinggi

. Sehingga kita akan

mencari

dengan terlebih dahulu mencari nilai

, lalu mencari

dengan

menggunakan aturan Pythagoras pada

∆

.

dapat dicari dengan memandang aturan Pythagoras pada

∆

dan

∆

, yaitu:

=

⇔

−

=

−

⇔

−

=

−

⇔

−

=

−

⇔

−

=

−

⇔

=

⇔

=

Sehingga,

= √

−

= √

−

= √

−

= √

=

√

.

Mengingat

= = √

= √

, maka

=

√

.

(23)

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan, gambar segitiga dan lingkaran

Γ

.

Perhatikan, dengan dalil de Ceva pada segitiga

diperoleh

×

= ⇒

=

Jadi,

=

= ×

=

.

Berdasarkan power of point diperoleh

×

=

×

⇔

=

⇔

=

⇔

=

Sehingga,

= √

−

= √

−

= √

=

.

(24)

17. Diberikan bilangan real dan yang memenuhi < < . Nilai minimum

− + − adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, =

− + − = − + − , dan misal = , maka = − + − .

Sehingga, ′ =

− 2− ₋ 2= −

2₋ ₋ 2

− 2 ₋ 2 =

2_{+ −}

− 2 ₋ 2

Diperoleh titik stasioner adalah saat ′ = , yaitu

′ _{= ⇒} + − − − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + = ± √ ⇔ = − ± √ Perhatikan garis bilangan dari ′

Sehingga, = − +

√ =

√ − _{adalah titik balik minimum dan karena} _{< <} _{maka nilai}

minimum dari adalah − +

√ , yaitu

(25)

TRIK SUPERKILAT 1:

Misal, = − dan = − , maka diperoleh = + dan = + . Sehingga,

< < ⇒ < +_{+ < ⇒} > , > Dan, diperoleh

, =

− + − ⇒ , = +

+ + = + + Karena > dan > , sehingga > dan > , maka menurut − , diperoleh

+

√ ∙ ⇔ + √ ⇔ + + + √ Jadi, nilai minimum

− + − adalah + √ _.

TRIK SUPERKILAT 2: Perhatikan, , = − + − = ( − − ) + ( − − ) + = ( − − ) + ( − − ) + Karena < < , maka − > dan − > .

Sehingga, untuk −

− > dan −

− > , maka menurut − , diperoleh

(26)

18. Diberikan sembilan titik pada bidang yang membentuk segitiga sama sisi seperti pada gambar. Pada tiap sisi, dua titik yang bukan titik sudut segitiga membagi sisi menjadi tiga bagian sama panjang. Kesembilan titik ini akan diwarnai masing-masing dengan warna merah atau biru. Peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga siku-siku adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Dari keenam titik yang bukan titik sudut segitiga dapat dibuat sebuah lingkaran yang di dalamnya terdapat segienam beraturan.

Sepasang titik sudut segienam beraturan yang saling berhadapan dapat membentuk garis yang merupakan diameter lingkaran, yaitu , , dan .

Sehingga, apabila sepasang titik sudut yang berhadapan memiliki warna yang sama, maka jika satu titik dipilih dari empat titik yang lain pada lingkaran berwarna sama, maka jelas tiga titik berwarna sama tersebut akan terbentuk segitiga siku-siku. Ingat kembali bahwa sudut keliling yang menghadap ke diameter lingkaran pastilah siku-siku.

Sekarang, coba perhatikan bahwa kondisi terburuk yang mungkin terjadi adalah dua pasang titik sudut segienam beraturan yang saling berhadapan memiliki warna berbeda. Misalnya, dan berwarna merah, sedangkan dan berwarna biru, maka jika satu saja titik yang lain dari atau diberi warna apapun, pastilah akan terbentuk segitiga siku-siku dengan titik-titik sudutnya sewarna.

Kondisi terburuk lain yang mungkin terjadi adalah , , dan , , berlainan warna, maka jika satu saja titik sudut segitiga , diberi warna apapun, pastilah akan terbentuk segitiga siku-siku dengan titik-titik sudutnya sewarna.

(27)

19. Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk + + untuk suatu bilangan-bilangan prima dan adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan, teorema tentang bilangan prima yaitu Setiap bilangan prima dan > , maka dapat dinyatakan sebagai = ± , dengan adalah bilangan asli .

Untuk > , > , berarti = ± , , maka + + ≡ + + ≡ ≡ mod

Untuk = , , maka + + ≡ + + ≡ ≡ mod

Jadi untuk = , , maka + + adalah bukan bilangan prima.

Begitu pula untuk = , , maka + + adalah bukan bilangan prima.

Untuk = = , maka maka + + ≡ + + ≡ ≡ mod

Jadi untuk = = , maka + + adalah bukan bilangan prima.

Untuk = , > , berarti = ± , , maka + + ≡ + + ≡ ≡ mod Jadi untuk = , > , maka + + adalah bukan bilangan prima.

Begitu pula untuk = , > , maka + + adalah bukan bilangan prima.

Untuk = , > , berarti = ± , ,

• Untuk = + , maka misal berbentuk � + , dengan � . Disini, ≠ sebab jika = , maka tak prima.

Maka, + + ≡ + � + + + mod

≡ + + mod

≡ mod , untuk ≠

• Untuk = − , maka misal berbentuk � + , dengan � . Disini, ≠ sebab jika = , maka tak prima, kecuali untuk = .

Maka, + + ≡ + � + − + mod

≡ + − mod

≡ mod , untuk ≠

Maka, solusi satu-satunya adalah jika = , sehingga + + adalah bilangan prima terbesar untuk = , = .

(28)

20. Pada segitiga , panjang sisi adalah 1 satuan. Ada tepat satu titik pada sisi yang memenuhi | | = | | ∙ | |. Jika � menyatakan keliling , jumlah semua � yang mungkin adalah ….

Pembahasan: Perhatikan, | | = = √ − + = √ + − + | | = = √ + | | = | | = | | = − | | = √ − + .

Sehingga, keliling ∆ adalah � = | | + | | + | |

= + + .

Perhatikan juga bahwa pada ∆ berlaku

| | = | | ∙ | |

⇔ − + = −

⇔ − + + = −

⇔ − + + + =

Ingat, bahwa agar tepat diperoleh satu titik , maka penyelesaian real kembar =

= ⇒ − =

⇔ (− + ) − + =

⇔ + − + =

⇔ + = +

Padahal, < < , sehingga

< < ⇒ < + < ⇔ < + < ⇔ − < < ⇔ − < <

Jadi, keliling ∆ adalah

(29)

Pembahasan soal OSK Matematika SMA 2018 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan soal OSN ini.

Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.