Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika (OSK) SMP Tahun 2010-2018

(1)

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA

TAHUN 2010

BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT SOAL DIBUAT OLEH

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIRJEND MANAJEMEN DIKDASMEN

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA ( PELAKSANAAN TES 1 MEI 2010 )

Soal Bagian A Pilihan Ganda ini disalin sesuai redaksi soal seutuhnya .

Soal PG sebanyak 20 Butir.

1. Garis l melalui titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4). Jika garis l juga melalui titik (a, b) , maka nilai dari

a³ – b³ – 3a²b + 3ab² – 3³ = ….

A. 23

B. 1

C. – 1

D. – 28

E. – 31

Jawab :

Nilai yang ditanyakan yaitu bentuk aljabar yang memuat variabel a dan b , berarti kita harus mencari nilai a dan b .

(2)

Dari data soal titik ( a, b) terletak pada garis l , berarti gradien garis antara titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4) dan antara titik (3, 4) dan (a , b) sama sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :

Maka nilai dari

a³ – b³ – 3a²b + 3ab² – 3³ = ( a – b )³ – 3³

= (- 1)³ – 3³

= -1 – 27

= – 28 (D)

2. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut : {1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19}, maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah ….

A. 21

B. 31

C. 61

D. 111

E. 121

Jawab :

Jika kita perhatikan suku-suku barisan dalam kelompok ke-2 , ke-3, ke-4 dst, merupakan barisan Aritmetika dengan selisih 2.

Agar dapat menentukan suku tengah dari kelompok barisan tersebut, kita harus menentukan Rumus Suku ke-n untuk setiap kelompok ke-k . Perhatikan barisan suku-suku pertama setiap kelompok ke-k berikut : 1 , 3 , 7 , 13 , 21 , …

(3)

dengan k bilangan Asli

Ini barisan tingkat dua sehingga f(k) adalah suatu fungsi berderajat dua dalam k

Lebih dari satu cara menentukan rumus suku ke-n barisan tingkat 2, (dapat dilihat pada Pembahasaan Soal Matematika Ujian Nasional SMP/MTs Tahun 2009/2010 pada Daftar Isi) . Atau Click disini !

Sekarang kita tentukan f(k) dengan rumus. Kita ketahui rumus suku ke-k barisan tingkat 2 adalah

Perhatikan pada skema bilangan diatas nilai a = 1 , b = 2 , dan c = 2 , sehingga

Perhatikan suku-suku bilangan yang terdapat pada setiap kelompok ke-k , merupakan barisan Aritmetika dengan selisih atau beda = 2, dan suku pertama f(k) , dengan demikian dapat dirumuskan Suku ke-n kelompok ke-k sebagai berikut :

Suku tengah kelompok ke-11 adalah suku ke 1/2 x (11+1) = suku ke-6 , sehingga diperoleh

U(6) = f(11) + (6 – 1) 2

(4)

U(6) = 11² – 11 + 1 + 5 x 2

U(6) = 121 – 10 + 10 = 121

Jadi Suku tengah kelompok ke-11 adalah 121 (E)

3. n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + 30n bukan bilangan prima. Nilai dari

64 – 16n + n² adalah ….

A. 1

B. 4

C. 9

D. 16

E. 25

Jawab :

Agar 7 + 30n merupakan bilangan komposit (bukan bilangan prima) , maka nilai n yang memenuhi adalah 6 , sehingga

7 + 30.6 bukan bilangan prima , karena (7 + 30. 6 )=187 habis dibagi 11 atau 187 = 11 x 17

Jadi nilai dari 64 – 16n + n² = 64 – 16×6 + 6² = 64 – 96 + 36 = 4 (B) telah diralat

4. Dijual 100 lembar kupon , 2 diantaranya berhadiah. Ali membeli 2 lembar undian.

Peluang Ali mendapat 2 hadiah adalah …

A.

B.

C.

D.

(5)

E.

Jawab :

Ini merupakan dua kejadian yang tak bebas artinya terjadinya salah satu kejadian atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi kejadian yang lain. Sehingga terdapatnya lembar kupon ke-1 berhadiah ataupun tidak, akan mempengaruhi peluang pada lembar kupon yang ke-2.

Dengan demikian Peluang Ali mendapat 2 lembar kupon berhadiah adalah

P(2 berhadiah) = (D)

Dengan teori peluang banyaknya hasil yang mungkin adalah Permutasi 2 dari 100 ditulis

Banyaknya hasil yang dimaksud 2 kupon berhadiah

Jadi Peluang (Ali mendapat 2 kupon berhadiah ) =

5. Bilangan tiga digit 2A3 jika ditambah dengan 326 akan menghasilkan bilangan tiga digit 5B9. Jika 5B9 habis dibagi 9 , maka A + B = ….

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9

Jawab :

Nyatakan soal tersebut ke dalam kalimat matematika

200 + 10A + 3 + 326 = 500 + 10B + 9

500 + 10A + 20 + 9 = 500 + 10B + 9

(6)

10 ( A + 2 ) = 10B

A + 2 = B

A = B – 2 ………(1)

Karena 5B9 habis dibagi 9, maka jumlah angka-angkanya habis dibagi 9 , sehingga dapat ditulis

5 + B + 9 = k. 9 , dengan k bilangan bulat

B + 14 = k. 9 dipenuhi untuk k = 2, sehingga B + 14 = 2 x 9

B + 14 = 18 B = 4

Substitusi B = 4 ke persamaan ………(1) diperoleh A= 4 – 2 =2

Jadi Nilai A + B = 2 + 4 = 6 (B)

6. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama-sama. Bila diketahui mata uang muncul angka, maka peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah …

A.

B.

C.

D.

E.

Jawab :

Pada pelantunan sebuah mata uang dan sebuah dadu,kejadian munculnya angka atau gambar pada mata uang dan kejadian munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5,atau 6 merupakan dua kejadian yang saling bebas artinya kemungkinan terjadinya atau tidak

(7)

terjadinya kejadian yang satu tidak akan mempengaruhi kemungkinan terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang lain.

Tetapi soal hanya menanyakan peluang munculnya mata dadu lebih dari 2.

Hasil yang mungkin adalah S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 } , maka n(S) = 6

Hasil yang dimaksud atau mata dadu lebih dari 2 adalah A= { 3 , 4, 5, 6} , maka n(A) = 4

Jadi Peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah P(A) = 4/6 = 2/3 (D)

Jika soal menanyakan peluang munculnya angka pada uang dan muncul mata dadu lebih dari 2,

maka peluangnya = 1/2 x 4/6 = 1/3

7. Diberikan dua buah bilangan bulat berbeda yang berjumlah 37 . Apabila bilangan yang lebih besar dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, maka hasil baginya adalah 3 dan sisanya 5.

Selisih kedua bilangan tersebut adalah …

A. 21

B. 22

C. 23

D. 24

E. 25

Jawab :

Misalkan bilangan-bilangan bulat tersebut adalah A dan B , dimana A > B

A + B = 37 ………(1)

A = 3 x B + 5 ……… (2)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan(1) diperoleh ;

3 B + 5 + B = 37

4 B = 37 – 5

(8)

B = 8 , maka A = 3 x 8 + 5 = 29

Jadi A –B = 29 – 8 = 21 (A) (telah diralat)

8. Jika x : y = 3 : 4 , maka

A.

B.

C.

D.

E.

Jawab :

Untuk memudahkan perhitungan kita tulis x = 3k , dan y = 4k , dengan k bilangan Real dan k ≠0

Sehingga

(

A)

9. Roda A dengan jari-jari 40 cm dan roda B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan dengan sebuah tali

yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat kedua roda adalah 60 cm, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah … cm.

A.

B.

C.

(9)

D.

E.

Jawab :

Buatlah sketsa gambar dari soal tersebut seperti berikut ini :

Jika titik-titik C , D, E, dan F adalah titik-titik singgung garis singgung persekutuan dua lingkaran,

maka panjang CD = EF = BG = BH. Kita ketahui bahwa garis singgung tegak lurus jari- jari yang

melalui titik singgung. Konstruksi sedemikian rupa sehingga segiempat BCDG dan segiempat BFEH

adalah persegipanjang. Dengan demikian panjang AG = AH = 30 cm.

Perhatikan segitiga AGB siku-siku di titik G , karena AG : AB = 30 : 60 = 1 : 2 , maka

Besar sudut ABG = 30⁰ dan besar sudut BAG = 60⁰ , begitu pula pada segitiga AHB siku- siku di H , maka

Besar sudut ABH = 30⁰ dan besar sudut BAH = 60⁰

Berdasarkan teorema Pythagoras

(10)

Jadi panjang tali yang melingkari kedua lingkaran adalah

cm (A)

10. Pada segitiga ABC (siku-siku di C), titik Q pada AC, titik P pada AB, dan PQ sejajar BC.

Panjang AQ = 3 ; AP = 5 ; BC = 8 , maka luas segitiga ABC adalah …

A. 48

B. 36

C. 24

D. 22

E. 12

Jawab :

Gambar segitiga tersebut

Karena PQ sejajar BC , maka besar sudut AQP = besar sudut ACB = 90⁰(pasangan sudut sehadap)

Segitiga AQP siku-siku di Q , maka panjang PQ = 4 (ingat tripel Pythagoras 3 , 4, 5)

Begitu pula besar sudut APQ = besar sudut ABC (pasangan sudut sehadap), maka

Segitiga AQP sebangun dengan segitiga ACB , (sd-sd-sd) akibatnya;

(11)

Jadi Luas segitiga ABC = 1/2 x AC x BC = 1/2 x 6 x 8 = 24 (C)

11. Jika diberikan dengan n bilangan asli, maka

nilai

A. – 5

B. 0

C. 17

D. 28

E. 30

Jawab :

Sn adalah jumlah n suku pertama dari deret tersebut.

Perhatikan polanya ! Jika kita amati untuk n bilangan asli ganjil suku-suku deret

bertanda positif, sedangkan untuk n bilangan asli genap bertanda negatif. Dengan kata lain Sn sama dengan selisih dari jumlah bilangan asli ganjil dan jumlah

bilangan asli genap yang terdapat dalam n suku pertama deret tersebut.

Dengan cara yang sama diperoleh

(D)

(12)

12. Tersedia tujuh gambar yang berbeda akan dipilih empat gambar yang akan dipasang membentuk

barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambar yang terpilih harus selalu dipasang di ujung adalah …

A. 420

B. 504

C. 520

D. 720

E. 710

Jawab :

Soal ini menuntut logika berpikir dalam memahami syarat soal yang diberikan dan penggunaan konsep Kombinasi dan Permutasi.

Pertama menentukan banyaknya kombinasi gambar yang terdiri dari 4 gambar dari 7 gambar yang tersedia, yaitu sebanyak kombinasi 4 unsur dari 7 unsur berbeda , ditulis :

Terdapat 35 kombinasi yang terdiri dari 4 gambar. Selanjutnya dari 1 kombinasi yang terdiri dari 4 gambar tersebut kita pasangkan pada tempat yang membentuk barisan memanjang . Untuk memudahkan kita sediakan kotak sebagai tempat banyaknya cara yang dapat dilakukan dalam pemasangan gambar tersebut. Jika 1 gambar yang dipiih dari 4 gambar dipasangkan di ujung sebelah kiri , maka banyaknya cara yang dapat dilakukan ada sebanyak :

1 x 3 x 2 x 1 = 6 cara , tetapi gambar yang dipilih dapat pula ditempatkan di ujung sebelah kanan (pada tempat ke-4) , sehingga banyaknya cara dari 1 kombinasi yang terdiri 4 gambar ini adalah

6 x 2 = 12 cara.

(13)

Dengan demikian banyaknya cara dari 35 kombinasi sebanyak = 12 x35 = 420 cara. (A)

Ini menurut nalar penulis, mohon kritik jika ada kekeliruan !

13. Diketahui adalah bilangan bulat. Manakah dari ketiga bentuk di bawah ini yang juga merupakan bilangan bulat untuk nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk di atas ?

A. I

B. II

C. III

D. I dan III

E. II dan III

Jawab :

3 x merukan bilangan bulat , jika x adalah bilangan bulat dan x = 1/3

Dimana k adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol.

Nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk diatas adalah -1, -3, 1, 3 .

Jelas untuk nilai x tersebut yang merupakan bilangan bulat adalah II dan III (E)

14. Bilangan ratusan yang berupa bilangan prima dimana perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut

adalah 10 , ada sebanyak … buah bilangan.

A. 6

B. 5

(14)

C. 4

D. 3

E. 2

Jawab :

Karena perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut adalah 10, maka bilangan tersebut terdiri dari angka 1 , 2, dan 5 . Permutasi dari 3 angka tersebut sebanyak 6 macam yaitu :

125, 152, 215, 251, 512, 521 .

Dari bilangan-bilangan tersebut masing-masing ada sebanyak 2 bilangan yang merupakan bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 5.

Dari bilangan ratusan tersebut yang merupakan bilangan prima adalah 251 dan 521.

Jadi ada sebanyak 2 buah bilangan (E)

15. Sebuah prisma segiempat berukuran 15 cm x 15 cm x 10 cm, terbuat dari baja.

Prisma tersebut setiap rusuknya diberi kerangka terbuat dari kawat dan setiap sisi dicat.

Harga baja setiap 1 cm² adalah Rp 800,00; setiap 4 cm kawat harganya Rp 1.300,00; dan setiap 10 cm² membutuhkan cat seharga Rp 1.600,00;. Biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah …

A. Rp 2.020.000,00

B. Rp 1.160.000,00

C. Rp 1.060.000,00

D. Rp 1.050.000,00

E. Rp 1.030.000,00

Jawab :

Biaya pembelian Baja = Luas prisma x Rp 800,00 = (2 x15 x 15 + 4 x 15 x 10)x Rp 800,00

=(450 + 600 ) Rp 800,00

= 1.050 x Rp 800,00

= Rp 840.000,00

Biaya pembelian Kawat = (8 x 15 + 4 x 10) x Rp 1.300,00/4 cm

(15)

= (2 x 15 + 10 ) Rp 1.300,00

= 40 x Rp 1.300,00

= Rp 52.000,00

Biaya pengecatan = luas prisma x Rp 1.600,00/10 cm²

= 1.050 x Rp 160,00

= Rp 168.000,00

Jadi biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah

Rp (840.000,00 + 52.000,00 + 168.000,00) = Rp 1.060.000,00 (C)

16. Jika P(x) =Q(x) (x – a) , dimana P(x) dan Q(x) polinom, maka :

A. P(a) ≠ 0

B. x – a bukan faktor dari P(x)

C. kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (a, 0)

D. kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (-a, 0)

E. titik potong erhadap sumbu x tidak dapat ditentukan

Jawab :

Periksa dan pilihlah pernyataan yang benar !

A. Salah , karena P(a)=0

B. Salah, karena (x – a) merupakan faktor dari P(x)

Kurva y =P(x) memotong sumbu x , jika y= 0 maka 0 =Q(x) (x – a)

(x – a)= 0

x=a

Jadi yang benar kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (a, 0) ( C)

17. Empat kubus identik dengan panjang rusuk 5 cm disusun menjadi suatu bangun ruang dengan cara menempelkan sisi-sisinya. Banyak bangun ruang berbeda yang

terbentuk adalah …

(16)

B. 8

C. 6

D. 5

E. 3

Jawab :

Banyaknya bangun ruang yang berbeda ada 8. (B)

18. Fungsi f (x) = x² – ax mempunyai grafik berikut :

Grafik fungsi g(x) = x² + ax + 5 adalah ….

Jawab :

Dari grafik fungsi f (x) = x² – ax , tampak bahwa nilai a > 0 (a positif)

Sehingga sumbu simetri fungsi g(x) = x² + ax + 5 , yaitu bernilai negatif.

Grafik fungsi g(x) = x² + ax + 5 , memotong sumbu Y di titik (0, 5)

Jadi grafik yang benar dari pilihan jawaban yang disediakan hanya

(17)

(A)

19. Terdapat 3 orang Indonesia , 4 orang Belanda , dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya adalah …

A. 24

B. 48

C. 288

D. 536

E. 1728

Jawab :

Banyaknya Permutasi dari 3 warga negara sebanyak 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Sedangkan dalam satu warga negara mereka duduk bervariasi , sehingga banyaknya susunan yang terjadi jika duduk berkelompok menurut kewarganegaraanya adalah

3! x 4! x 2! x 6 = (3x2x1) x (4x3x2x1) x (2×1) x 6 = 6 x 24 x 2 x 6 = 288 x 6

= 1728 (E)

20. Anto mempunyai 20 lembar seribuan, 4 lembar lima ribuan dan 2 lembar sepuluh ribuan.

Jika x , y, dan z adalah banyaknya seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, maka banyak cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu adalah …

A. 6

B. 7

(18)

C. 8

D. 9

E. 10

Jawab :

Untuk memudahkan buatlah tabel seperti berikut :

Jadi ada 9 cara berbeda (D)

1. Sebuah segitiga ABC sama kaki dipotong menjadi dua buah segitiga sama kaki (tidak harus kongruen) dengan membagi dua sama besar salah satu sudut alasnya. Ukuran sudut yang terkecil dari segitiga ABC adalah …

Ini soal klasik artinya bukan soal yang baru saat ini, dalam geometri ( dulu ilmu ukur bidang) telah dibahas, dan soal ini juga unik artinya hanya satu-satunya segitiga sama kaki yang memiliki kasus seperti soal yang ditanyakan yaitu jika pada salah satu sudut alasnya yang sama, dibuat garis bagi, maka terbentuk dua segitiga sama kaki walaupun tidak kongruen.

Silahkan kerjakan terlebih dahulu! kemudian lihat pembahasannya

Jawab :

Untuk memudahkan gambar segitiga tersebut !

Cara

Ke- Banyaknya

Uangseribuan (x) Banyaknya UangLima

ribuan (x) Banyaknya UangSepuluh

ribuan (z) Jumlah

Uang

1 20 0 0 20.000

2 0 4 0 20.000

3 0 0 2 20.000

4 15 1 0 20.000

5 10 2 0 20.000

6 10 0 1 20.000

7 5 3 0 20.000

8 5 1 1 20.000

9 0 2 1 20.000

(19)

Segitiga ABC sama kaki dengan panjang AC = BC , maka besar sudut A = besar sudut B

Misalkan besar sudut B = x⁰ , dan besar sudut A= x⁰ , dan besar sudut C = y⁰, maka

2 x + y = 180⁰ ………..(1)

Garis AD adalah garis bagi sudut A, maka besar sudut BAD = 1/2 x⁰ dan besar sudut CAD = 1/2 x⁰ .

Karena segitiga ABD sama kaki , maka besar sudut B = besar sudut ADB

Atau x = b , sedangkan besar sudut ADB = besar sudut ACB + besar sudut CAD , sehingga

x = 1/2 x + y

atau y = 1/2 x ……….(2)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh :

2 x + 1/2 x = 180⁰

Jadi ukuran sudut terkecil dari segitiga ABC adalah 36⁰

2. Sebuah kotak berisi bola merah dan hijau. Jika empat bola merah dikeluarkan dari kotak maka sepersepuluh sisanya adalah bola merah . Akan tetapi jika empat bola hijau

dikeluarkan dari kotak maka seperlima sisanya adalah bola merah. Banyaknya bola merah yang semula berada di dalam kotak tersebut adalah …

Silahkan kerjakan terlebih dahulu ! kemudian lihat pembahasannya

(20)

Misalkan banyaknya bola merah di dalam kotak adalah m buah, dan

banyaknya bola hijau di dalam kotak adalah h buah,

Sehingga jumlah bola di dalam kotak adalah ( m + h ) buah

Berdasarkan soal diperoleh persamaan sebagai berikut :

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

Jadi , banyaknya bola merah yang semula berada di dalam kotak tersebut adalah 8

3. Sebuah perahu motor meninggalkan kapal induk ke arah utara menuju suatu target dengan kecepatan tetap 80km/jam . Kapal induk bergerak ke arah timur dengan kecepatan tetap 40 km/jam . Apabila perahu motor tersebut hanya mempunyai bahan bakar yang cukup untuk berjalan 4 jam saja, maka jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah …. km.

Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya

Jawab :

Buatlah sketsa gambarnya seperti berikut ini :

(21)

Jarak AT = 40 x 4 = 160 km

Misalkan waktu yang ditempuh perahu motor dari titik A ke U dalah t1 jam ,dan

waktu yang ditempuh perahu motor dari titik U ke T dalah t2 jam,

dimana t1 + t2 = 4 jam …………..(1)

Berdasarkan teorema Pythagoras

TU² = AU² + AT²

(80t2)² = (80t1)² + 160²

80².t22 = 80².t12 + 160²

80²(t22 – t12) = 160²

(t22 – t12) = (160/80)²

(t2 – t1)( t2 + t1) = 4

(t2 – t1). 4 = 4

(t2 – t1) = 1 …………(2)

Dari persaman (1) dan (2) diperoleh : 2t2 = 5 atau t2 = 5/2 jam dan t1 = 3/2 jam

Sehinggga jarak AU = 80 km/jam x 3/2 jam = 120 km

Jarak TU = 80 km/jam x 5/2 jam = 200 km

Jadi jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah jarak AU = 120 km .

4. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Anto dan Dini dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam.

(22)

Jika pekerjaaan itu dikerjakan oleh Dini sendirian akan selesai lima jam lebih lambat

dibandingkan Anto. Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu … jam

Soal ini tergolong klasik, sejak akhir kelas VI dibangku SD penulis telah mengenal soal ini sebagai soal latihan tes ke SMP.

(Dapat dilihatjuga pembahasan serupa pada Soal Perbandingan tidak Senilai di Daftar Isi !)

Jawab :

Misalkan Anto dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu t jam, dan

Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu (t + 5) jam

Sehingga

Rata-rata dalam waktu 1 jam Anto dapat menyelesaikan , dan

Rata-rata dalam waktu 1 jam Dini dapat menyelesaikan

Jadi ,

Rata-rata dalam 1 jam Anto dan Dini dapat menyelesaikan

Atau rata-rata dalam 1 jam Anto dan Dini dapat menyelesaikan

Dengan kata lain, Anto dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan dalam

waktu

Berdasarkan soal diatas diperoleh persamaan

t² + 5t = 12t + 30

t² – 7t – 30 =0

(t – 10 )(t + 3) = 0

(23)

t – 10 = 0 ,

t = 10 , karena t >0

Jadi , pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu 10 jam.

Cara Singkat :

Jika A dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu p satuan waktu, dan

B dapat menyelesaikan suatu pekerjaan yang sama dalam waktu q satuan waktu , maka

Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh A dan B bersama-sama dalam waktu

Soal seperti ini merupakan salah satu kasus tentang konsep rata-rata harmonis.

5. Diketahui jajargenjang ABCD ; sudut A = sudut C = 45⁰ . Lingkaran K dengan pusat C melalui B dan D. AD diperpanjang memotong lingkaran

di E dan BE memotong CD di H.

Perbandingan antara luas segitiga BCH dengan segitiga EHD adalah …

Soal ini pernah diujikan dalam tes (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri ) UMPTN th 1989.

Jawab :

Buat sketsa gambarnya seperti berikut !

Buat garis CE .

(24)

Karena segiempat ABCD adalah jajargenjang, maka AB sejajar DC, sehingga besar sudut CDE = besar sudut A = 45⁰ .

Perhatikan segitiga CDE , panjang CD = panjang CE = r (jari-jari lingkaran ), maka

besar sudut CED = 45⁰ dan besar sudut DCE = 90⁰, jadi segitiga CDE segitiga siku-siku sama kaki.

Berdasarkan teorema Pythagoras :

Perhatikan segitiga BCH sebangun dengan segitiga EDH (sd-sd-sd), akibatnya :

Maka ,

Jadi, Perbandingan antara luas segitiga BCH dengan segitiga EHD adalah 1 : 2

6. Jika jumlah k bilangan bulat positif berurutan adalah 2010. , dengan k > 1, maka k terkecil yang mungkin adalah ….

Jawab :

Jika k = 2 , maka n + (n + 1) = 2010 , dengan n bilangan bulat positif

2n = 2009 , tak ada nilai n yang memenuhi

Jika k = 3 , maka n + (n + 1) + (n + 2) = 2010

3n + 3 = 2010

3n = 2007

(25)

n = 669

Bilangan bulat positif tersebut adalah 669 + 670 + 671 = 2010

Jadi nilai k terkecil yang mungkin adalah 3

7. Diketahui ABCD adalah persegi. Titik E merupakan perpotongan AC dan BD pada persegi ABCD yang membentuk persegi baru EFGH. EF berpotongan

dengan CD di I dan EH berpotongan dengan AD di J . Panjang sisi ABCD adalah 4 cm dan panjang sisi EFGH adalah 8 cm.

Jika sudut EID = 60⁰, maka luas segiempat EIDJ adalah … cm²

Jawab :

Buatlah sketsa gambarnya !

Perhatikan segitiga EJD kongruen dengan segitiga EIC, maka luas segitiga EJD = luas segitiga EIC

Sehingga, luas segiempat EIDJ = luas segitiga DEI + luas segitiga EJD

= luas segitiga DEI + luas segitiga EIC

= luas segitiga CDE

Luas segitiga CDE = 1/4 x luas persegi ABCD

(26)

= 1/4 x 4 x 4 = 4 cm²

Jadi, luas segitiga EIDJ adalah 4 cm² .

Cara kedua :

Dengan Rotasi bidang segiempat EIDJ dengan pusat E , dan persegi ABCD tetap (statis),dengan arah berlawanan arah jarum jam (arah positif) sedemikian

sehingga EF tegak lurus CD. Seperti pada gambar berikut :

Maka luas luas segiempat EIDJ = luas segiempat EI^’DJ^’

= 2 cm x 2 cm = 4 cm²

8. Kereta penumpang berpapasan dengan kereta barang. Laju kereta penumpang 40 km/jam,

Sedangkan kereta barang 20 km/jam. Seorang penumpang di kereta penumpang mencatat bahwa kereta barang berpapasan selama 15 detik. Panjang rangkaian KA barang adalah

… m

Jawab :

(27)

Soal ini merupakan aplikasi konsep kecepatan relatif dalam ilmu Fisika.

Karena kedua kereta berpapasan artinya kedua kereta api tersebut bergerak belawanan arah.

Kecepatan relatif KA penumpang terhadap KA barang = (40 + 20) km/jam = 60 km/jam

Jadi, panjang KA barang = (60 km/jam) x 15 detik

= (60.000 m/3600 detik) x 15 detik

= 60.000 m / 240

= 6.000 m / 24

= 1.500 m / 6

= 250 m

9. Jika operasi * terhadap bilangan rasional positif didefinisikan sebagai

maka 3 * (3*3) = ….

Jawab :

dengan demikian :

10. Sebuah kubus akan diberi warna sedemikian sehingga setiap dua sisi yang berdekatan

(yakni dua sisi yang dipisahkan oleh tepat satu rusuk) diberi warna yang berbeda.

Jika diberikan 5 warna yang berbeda, maka banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah ….

Jawab:

Perhatikan gambar Kubus berikut !

(28)

• Kemungkinan pertama dalam pemberian warna

Sisi-sisi Kubus diberi wana yang berbeda dengan satu warna yang sama pada sepasang sisi yang sejajar(karena warna yang tersedia hanya 5 warna).

Untuk memudahkan perhitungan kita buat petak-petak jaring-jaring Kubus dan tuliskan banyaknya cara yang mungkin

Banyaknya cara yang mungkin sebanyak = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara.

• Kemungkinan kedua dalam pemberian warna

Sisi-sisi kubus yang sejajar (berhadapan) diberi warna yang sama.

Kita ketahui ada 3 pasang sisi kubus yang sejajar. Banyaknya cara pemberian warna sama dengan kombinasi 3 dari 5 warna yang

berbeda.

Jadi, banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah sebanyak (120+10)=130 cara

(29)

www.siap-osn.blogspot.com @ April 2013

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

www.siap-osn.blogspot.com @ Maret 2013

PEMBAHASAN

SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2011 TINGKAT KABUPATEN (PILIHAN GANDA)

BAGIAN A : PILIHAN GANDA

1.

2.

Bilangan terbesar 9 6 5 1 2 Bilangan terkecil 1 2 5 9 6

Selisih 8 3 9 1 6

Jadi selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 3.

4.

JANTAN BETINA

Jantan = 25 Betina = 50-25 = 25

Dilatih = 10 Dilatih = 25-10 = 15

Tidak dilatih = 25-10 = 15 Tidak dilatih = 25-15 = 10

Berhasil menghindari jebakan = 4 Berhasil menghindari jebakan = 20-4 = 16 Gagal menghindari jebakan = 25-4 = 21 Gagal menghindari jebakan = 25-16 = 9

Dilatih dan berhasil menghindari jebakan = 3 Dilatih dan berhasil menghindari jebakan = 15-3 = 12 Dilatih dan gagal menghindari jebakan = 10-3 = 7 Dilatih dan gagal menghindari jebakan = 15-12 = 3

Tidak dilatih dan berhasil menghindari jebakan = 4-3 = 1 Tidak dilatih dan berhasil menghindari jebakan = 16-12 = 4 Tidak dilatih dan gagal menghindari jebakan = 15-1 = 14 Tidak dilatih dan gagal menghindari jebakan = 10-4 = 6

Jadi kelinci betina yang tidak pernah dilatih dan tidak dapat menghindari jebakan ada 5.

√ √ √ ^√

√ √ ^√

√ ^√ ^√

Agar

√ √ merupakan bilangan bulat untuk setiap bilangan bulat maka harus memenuhi : ( ) ( )

Sehingga :

( )

( ) ( )

(38)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Jadi banyak bilangan bulat sehingga

√ √ merupakan bilangan bulat adalah 6 6.

( )

Jadi urutan dari yang terkecil ke terbesar adalah atau 7.

S1 I1 S2 I2 S3 I3 S4 I4 S5 I5

2! 2! 2! 2! 2!

5!

Jadi banyak cara mengatur tempat duduk mereka adalah 8.

Jumlah 15 telur

Kondisi 10 Baik 5 Rusak

Peluang awal

Pengambilan BBRRR

Banyak cara pengambilan

Jadi peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah 9. √

Diketahui :

Perhatikan segitiga siku-siku :

√ √ √ √

(39)

Misal :

√ √(√ ) √ ( ) Perhatikan segitiga siku-siku :

√ √ ( ) √ ( ) √ ( ) Substitusikan (2) → (1) :

√

√ √

Substitusikan ( ) : √ √ √

Jadi jarak titik B dan rusuk TD adalah √ 10.

→ →

Diketahui :

Perhatikan gambar diatas :

( ) ( )

(40)

11.

Karena angka pada jam yaitu 1 sampai 12, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat setelah mengalami 12 jam keterlambatan :

Jadi jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat setelah 144 jam 12.

Banyak bola 18 Bola

Warna 5 Hitam 6 Hutih 7 Hijau

Kemungkinan H,H P,P Hi,Hi

Peluang

Jadi peluang yang terambil bola berwarna sama adalah 13.

Diketahui :

CARA I :

Perhatikan gambar berikut :

√ √ √ ^√ √

( √ )

(41)

Perhatikan gambar berikut :

Jadi Luas daerah yang diarsir adalah 196

CARA II :

( ) 14.

Diketahui :

√( )

√( )( )

√ √

√ 15.

Diketahui : ̅ ̅ ̅

̅ ^̅^̅

(42)

( )

Jadi perbandingan banyak guru dengan profesor adalah 16.

Diketahui :

Perhatikan segitiga :

√ √ √ √ Sehingga :

17.

√ √ √ √ √( ) √ √ √ √

√ √ √( ) √ √ √

√ √ √ √ √( ) √ √ √ √ Sehingga :

√ √ √ √ √ √ ( √ ) (√ √ ) ( √ )

(43)

18.

( ) ( ) Sehingga :

Jadi satuan dari hasil penjumlahan adalah 19.

Misal :

Yang bisa menjadi sopir : Penumpang :

Sehingga akan terdapat dua pola tempat duduk : Pola I :

B A C D E

Banyak cara mengatur tempat duduk pada Pola I : _{( )} Pola II :

A B C D E

Banyak cara mengatur tempat duduk pada Pola II : _{( )}

Jadi banyak cara mengatur tempat duduk mereka adalah 20. √

Diketahui :

(44)

Misal :

Perhatikan segitiga siku-siku : √ √ √ Sehingga :

√ √ (√ )

√

_√ ^√_√ ^√ ^√ ^√

^√ ^√ ^{( √ )}

^{( √ )} ( √ ) √ √

Jadi luas irisan antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar adalah √

JIKA TERDAPAT PERBEDAAN PEMAHAMAN, KRITIK DAN SARANNYA SELALU KAMI TUNGGU,,

TERIMA KASIH DAN

SEMOGA BERMANFAAT,,, ^_^

(45)

PEMBAHASAN

OSN MATEMATIKA SMP 2011 TINGKAT KABUPATEN (ISIAN SINGKAT)

BAGIAN B : ISIAN SINGKAT

1.

CARA I :

Anto Bono Carli Dede Edo Jahe Jahe Jeruk Jeruk Apel

Penyusunan

Jadi peluang Anto mendapatkan permen rasa Jahe adalah CARA II :

Anto Bono Carli Dede Edo Penyusunan Jahe Jahe Jeruk Jeruk Apel

Jeruk Jahe Jahe Jeruk Apel

Apel Jahe Jahe Jeruk Jeruk

Jumlah

Jadi peluang Anto mendapatkan permen rasa Jahe adalah

2.

Sehingga :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 1 1 1 1 1 1 1 1 1

6 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7 1 1 1 1 1 1 1 1 1

8 1 1 1 1 1 1 1 1 1

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Hasil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Jadi jumlah angka-angkanya adalah ( )

(46)

3.

Diketahui :

Karena dan maka garis dan membagi garis menjadi tiga garis sama panjang →

√ √ √ √ ^√ √ √

^√ √

4.

Merupakan Deret Aritmatika, dengan :

( )

( ( ) )

( ( ) ( ) ( ))

(47)

( ( )) ( ) ( ) Sehingga :

( )

5.

Diketahui :

Sehingga :

6. ( ) dan ( )

Diketahui :

Semua pasangan bilangan bulat ( ) yang memenuhi ( )( )

{ } { } { }

Karena ( )( ) maka bilangan bisa diperoleh dari : ( ) ( ) { } , sehingga :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi pasangan bilangan bulat ( ) yang memenuhi adalah ( ) dan ( ) 7.

Diketahui :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(48)

Terdapat dua pola :

Pola I 2 0 1 1

Warna M / H / K / B Selain sebelumnya

Banyak Cara 4 3 3 3

Banyak cara dengan pola ini adalah

Pola II 2 0 1 1

Warna N M / H / K / B Selain sebelumnya

Banyak Cara 1 4 3 3

Banyak cara dengan pola ini adalah

Jadi banyaknya bilangan 2011 yang bisa disusun adalah 8.

Diketahui :

Dengan menggunakan Pigeon Hole Principle (Prinsip Sangkar Burung) , bisa diperolah pernyataan : Jika diambil 21 kelereng dengan 5 warna yang berbeda, maka paling tidak terdapat 5 kelereng yang sewarna.

Jadi banyak kelereng yang harus diambil adalah 9.

( ) ( )( ) ( ) ⁽ ⁾

( )

( ) ( )( ) ( ) ₍⁽ ⁾₎ ( ) ( )( ) ( ) ⁽₍ ⁾₎ ( ) ( )( ) ( ) ⁽₍₎⁾ ( ) ( )( ) ( ) ⁽₍⁾₎ ( ) ( )( ) ( ) ⁽₍⁾₎ Sehingga :

( )( )( )( )( )( ) ( ) ⁽_{( )} ⁾⁽₍ ⁾₎⁽₍ ⁾₎⁽₍₎⁾⁽₍⁾₎⁽₍⁾₎ ( ) ⁽_{( )}⁾ ( ) ⁽⁾ ( )

( ) Jadi

10.

Diketahui :

a. { } { } b.

(49)

{ }

a b c Banyak

pembentukannya Jenis

0 0 45 1

Pasangan angka

1 0 44 1

2 0 43 2

3 0 42 2

4 0 41 3

5 0 40 3

6 0 39 4

7 0 38 4

8 0 37 5

9 0 36 5

10 0 35 6

11 0 34 6

12 0 33 7

13 0 32 7

14 0 31 8

15 0 30 8

16 0 29 9

17 0 28 9

18 0 27 10

19 0 26 10

20 0 25 11

21 0 24 11

22 0 23 12

22 1 22 11

Angka sama

21 3 21 10

20 5 20 8

19 7 19 7

18 9 18 5

17 11 17 4

16 13 16 2

15 15 15 1

Jumlah 192

Jadi banyak semua himpunan berjenis adalah

JIKA TERDAPAT PERBEDAAN PEMAHAMAN, KRITIK DAN SARANNYA SELALU KAMI TUNGGU,,

TERIMA KASIH DAN

SEMOGA BERMANFAAT,,, ^_^

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

www.siap-osn.blogspot.com @Maret 2013 PEMBAHASAN

SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT KABUPATEN (PILIHAN GANDA)

BAGIAN A : PILIHAN GANDA 1. C. φ ⊆φ

Pernyataan A. {φ}∈φ salah karena φ ⊆φ Pernyataan B. {φ}⊆φ salah karena φ⊆φ

Pernyataan D. {a,b}∈{a,b,{{a,b}}} salah karena {a,b}⊆{{a},{b},{a,b}}

Pernyataan E. {â,φ}⊆{â,{â,φ}} salah karena {a}⊆{φ,{a}}

2. B. 5/18

Diketahui :

AFD Luas AECF

Luas ABE

Luas = =

Misal :

x AD CD BC

AB= = = =

a CE=

a x BE= −

Perhatikan segi empat AECF , diketahui Luas AECF =2.Luas AEC, sehingga : ABE

Luas AECF

Luas =

BE AB AEC

Luas . .

2 . 1

2 =

BE AB AB

CE . .

2 . 1

2. .1

2 =

.( ) 2

1 x a

a= −

2a=x−a 2a+a=x 3a= x

3 3

a x CF x CE

a= ⇒ = = =

Sehingga :

ABCD Luas

AEF ABCD Luas

Luas AEF

Luas : =

ABCD Luas

ECF Luas AEC

Luas −

=2.

(59)

www.siap-osn.blogspot.com @Maret 2013

BC AB

CF CE AB

CE .

. 2. . 1 2. .1

2 −

=

x x

x x x

x .

.3 .3 2 . 1

3 −

=

1 3 .1 3 .1 2 1 3 1−

=

18 1 18

6 −

=

18

= 5 ■

3. A. p<0

Kedua akar persamaan p²x² −4px+1=0 bernilai negatif maka x₁+x₂ <0 dan x₁.x₂ >0 sehingga :

2 0

1+x <

x

<0

−a b

) 0 4 (

2 <

− − p

p

<0 ⇒ 4

p agar bernilai negatif maka p<0 0

. ₂

1 x >

x

>0 a c

>0 ⇒ 1

p2 jika p<0 maka memenuhi 1 0

2 >

p Jadi nilai p<0 ■

4. B. −4 Diketahui :

1 3 ) (x = x+ f

x x

g( )=1−2

(

g⁽a⁾

)

=²⁸ f

(

g⁽a⁾

)

=²⁸ f

(

¹⁻²^a

)

⁼²⁸

f

28 1 ) 2 1 ( .

3 − a + =

28 1 6 3− a+ = 6a=4−28

6

−24

= a

a=−4 ■

(60)