WAKTU : 150 MENIT 7 Maret 2015

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Untuk n = 3 ==> 5³ = 5² * 5 = 5 * 5 * 5 = 4 * 5 = 6

Untuk n = 5 ==> 5⁵ = 5⁴ * 5 = 5³ * 5² = 6 * 4 = 3 Untuk n = 7 ==> 5⁷ = 5⁶ * 5 = 5⁵ * 5² = 3 * 4 = 5 Untuk n = 9 ==> 5⁹ = 5⁸ * 5 = 5⁷ * 5² = 5 * 4 = 6 Untuk n = 11 ==> 5¹¹ = 5¹⁰ * 5 = 5⁹ × 5² = 6 * 4 = 3 Untuk n = 13 ==> 5¹³ = 5¹² * 5 = 5⁹ * 5² = 3 * 4 = 5 Untuk n = 15 ==> 5¹⁵ = 5¹⁴ * 5 = 5¹³ * 5² = 5 * 4 = 6 . . . .

. . . . . . . .

Untuk n = 2015 ==> 5²⁰¹⁵ = 5²⁰¹⁴ * 5 = ....

Berdasarkan pola di atas maka didapat bahwa hasilnya merupakan 3 berulang, yakni selalu berulang dengan angka-angka: 6, 3, 5.

Oleh karena itu hasil dari 5²⁰¹⁵ dapat dicari dengan menentukan sisa pembagi 2015 oleh 3 Sisa pembagi 2015 oleh 3 ≡ 2015 (mod 3)

≡ 671 × 3 (mod 3) + 2 (mod 3) ≡ 0 (mod 3) + 2 (mod 3) ≡ 2 (mod 3)

Karena sisanya 2, maka hasil dari 5²⁰¹⁵adalah terletak pada pola yang ke-2 yaitu 3 Jadi, 5²⁰¹⁵ = 3

2. Jika A = {1, 2, 3, ..., 50},

S = {(a, b, c)a  A, b  A, c  A, b < a, dan b < c}, dan T = {(a, b, c)a  A, b  A, c  A, dan a = c}

Maka anggota dari S  T ada sebanyak ....

A. 50 B. 1225 C. 1275 D. 2500

Pembahasan: B

Perhatikan tabel berikut

S S  T T Keterangan

a b c a b c = a

2 1 2 2 1 2 Sebanyak 49

3 2 3 3 2 3 Sebanyak 48

4 3 4 4 3 4 Sebanyak 47

. . .

49 48 49 49 48 49 Sebanyak 2

50 49 50 50 2 50 Sebanyak 1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 3. Nilai ujian lima orang siswa, yakni Adi, Budi, Cici, Didi, dan Eki adalah bilangan bulat dan mempunyai rata-rata yang sama dengan mediannya. Diketahui nilai tertinggi adalah 10 dan terendah adalah 4. Jika yang memperoleh nilai tertinggi adalah Adi dan yang terendah adalah Eki, maka susunan nilai yang mungkin ada sebanyak ....

A. 3 B. 4 C. 13 D. 16

Pembahasan: C

Menurut infomasi dari bahwa ada 5 orang siswa yaitu Adi, Budi, Cici, Didi, dan Eki. Mereka mempunyai nilai rata-rata dan medean sama dengan syarat nilia tertinggi dimiliki oleh Adi dengan nilai 10 dan nilai terendah dimiliki oleh Eki dengan nilai 4.

Misalkan nilai Adi = a = 10 nilai Budi = b nilai Cici = c nilai Didi = d nilai Eka = e = 4

rata-rata nilai mereka = x nilai median = m

e x d c b

a     5

10 + b + c + d + 4 = 5x (a = 10 dan e = 4) 14 + b + c + d = 5x

14 + b + c + d = 5c (Karena x = m, maka x = c) 14 + b + d = 4c

b + d = 4c – 14

Kemudian mencari kemungkinan nilai c adalah {5, 6, 7, 8, 9}, dengan uraian sebagai berikut . 1) Untuk c = 5, maka nilai b + d = 6, sehingga tidak ada nilai b dan d yang memenuhi.

2) Untuk c = 6, maka nilai b + d = 10, sehingga nilai b atau d yang memenuhi adalah 5. Akan tetapi nilai c bukan lagi nilai tengah karena susunan nilainya menjadi 4, 5, 5, 6, 10

3) Untuk c = 7, maka nilai b + d = 14, sehingga (1) nilai b atau d yang memenuhi adalah 7.

(2) nilai b = 5 atau d = 9.

(3) nilai b = 6 atau d = 8

4) Untuk c = 8, maka nilai b + d = 18, sehingga nilai b dan d yang memenuhi adalah 9. Akan tetapi nilai c bukan lagi nilai tengah karena susunan nilainya menjadi 4, 8, 9, 9, 10

5) Untuk c = 9, maka nilai b + d = 22, sehingga tidak ada nilai b dan d yang memenuhi.

Dengan demikian banyaknya susu nilai b, c, dan d yang mungkin adalah sebagai berikut

b c d Banyak Susunan

7 7 7 1! = 1

5 7 9 3! = 6

6 7 8 3! = 6

Total 13

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 4. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan mempunyai

diameter AB. Segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB sehingga DO = OE dan CD = DE untuk suatu titik C pada lingkaran. Jika jari-jari lingkaran adalah 1 cm, maka luas segitiga CDE = .... cm²

A. ₅³ B. ₅² C. ₃² D. ₂¹

Pembahasan: B

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Diketahui Segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB sehingga DO = OE dan CD = DE untuk suatu titik C pada lingkaran

Misalkan CD = DE = x cm

Kemudian perhatikan DOC dengan rumus pythagoras didapat, sebagai berikut:

CD² + DO² = CO²  x² +

 

2 ² 1x = 1²

 x² + 4 x2

= 1

 4 5x²

= 1

 x² = 5 4 Luas CDE =

1× DE ×DC

= 2

1× x ×x

= 2 1x²

= 5

4 2 1 Luas CDE =

5 2

A B

D E

A B

D O E

1 x ₂¹ x 1 cm

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 5. Toto dan Titi berjalan mulai dari titik A bersamaan mengelilingi lapangan berbentuk persegi yang panjang sisinya 180 meter. Diasumsikan Toto dan Titi bejalan dengan kecepatan berturut-turut 72 meter/menit dan 60 meter/menit. Jika mereka bertemu untuk pertama kalinya kembali di titik A setelah Toto berjalan n putaran dan Titi berjalan m putaran, maka nilai n + m adalah ....

A. 6 B. 11 C. 20 D. 22

Pembahasan: B

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Misalkan kecepatan Toto = V₁ Waktu Toto = t1

kecepatan Titi = V2

Waktu Titi = t₂

Keliling persegi atau jarak 1 putaran = K Diketahui V1 = 72 meter/menit

V₂ = 60 meter/menit K = 4 × 180 = 720 meter Sehingga

t1 = V1

K = 72

720= 10 menit t2 =

K = 60

720= 12 menit

Kemudian mencari KPK dari 10 dan 12, yaitu 60 Dengan demikian, maka

Toto berjalan sebanyak = 10

60= 6 kali putaran Titi berjalan sebanyak =

60= 5 kali putaran Oleh karena itu, n = 6 dan m = 5,

n + m = 6 + 5 = 11 Jadi, nilai n + m adalah 11

6. Diberikan tiga bilangan asli yakni 1418, 2134, dan 2850. Jika sisa masing-masing bilangan tersebut dibagi x adalah sama yaitu y dengan y ≠ 0, maka hasil x + y yang mungkin adalah ….

A. 165 B. 179 C. 344 D. 716

A 180 m

180 m

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Pembahasan: C

Diketahui tiga bilangan asli yakni 1418, 2134, dan 2850. Jika sisa masing-masing bilangan tersebut dibagi x adalah sama yaitu y dengan y ≠ 0

Misalkan x

1418= a sisa y  1418 = ax + y Misalkan

2134= b sisa y  2134 = bx + y Misalkan

2850= c sisa y  2850 = cx + y

Perhatikan tiga bilangan ini 1418, 2134, dan 2850. Tiga bilangan tersebut mempunyai beda 716 Sehingga nilai x = 716, maka

1418 = ax + y  1418 = 716a + y  sehingga a = 1 dan y = 702 2134 = bx + y  2134 = 716b + y  sehingga b = 2 dan y = 702 2850 = cx + y  2850 = 716c + y  sehingga c = 3 dan y = 702

Dengan demikian x + y = 716 + 702 = 1418 tidak ada dipilihan jawaban

Karena 1418 tidak ada dipilihan jawaban, maka mencoba kembali faktor dari 716 yang lebih kecil, yaitu x = ⁷¹⁶₂ = 358, maka

1418 = 358a + y  sehingga a = 3 dan y = 334 2134 = 358b + y  sehingga b = 5 dan y = 334 2850 = 358c + y  sehingga c = 7 dan y = 334

Dengan demikian x + y = 358 + 334 = 692 tidak ada dipilihan jawaban

Karena 692 tidak ada dipilihan jawaban, maka mencoba kembali faktor dari 716 yang lebih kecil juga dari 358, yaitu x = ⁷¹⁶₄ = 179, maka

1418 = 179a + y  sehingga a = 7 dan y = 165 2134 = 179b + y  sehingga b = 11 dan y = 165 2850 = 179c + y  sehingga c = 15 dan y = 165

Dengan demikian x + y = 179 + 165 = 334 ada dipilihan jawaban Jadi, hasil x + y yang mungkin adalah 334

7. Dua dadu dan sekeping mata uang dilempar sekaligus, kemudian dicatat sisi yang muncul. Jika diasumsikan munculnya setiap mata dadu seimbang dan munculnya setiap mata uang seimbang, maka peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah ….

A. ₁₆¹ B. ₁₈¹ C. ₃₆¹ D. ₇₂¹

Pembahasan: B

Diketahui dua dadu dan sekeping mata uang dilempar sekaligus, kemudian dicatat sisi yang

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 1) Mata uang memiliki dua sisi, yakni sisi angka dan sisi gambar, sehingga peluang sisi angka

pada mata uang = 2 1

2) Dua mata dadu yang berjumlah 5 ada sebanyak 4, yakni 1 dan 4, 2 dan 3, 4 dan 1, 3 dan 2 sebanyak dua klai, sehingga Peluang kedua mata dadu berjumlah 5 =

36 4 =

9 1

Dikarenakan kejadian 1) dan 2) adalah saling berkaitan, maka peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah

2 1 ×

9 1 =

18 1

Jadi, Peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah adalah

18 1

8. Nilai n yang memungkinkan agar 2¹³ + 2¹⁰ + 2ⁿ merupakan kuadrat sempurna adalah ….

A. 5 B. 7 C. 12 D. 14

Pembahasan: D

Misalkan m = kuadrat sempurna, maka 2¹³ + 2¹¹ + 2ⁿ = m²

2ⁿ = m² – 2¹⁰ (2³ + 1)

= m² – 2¹⁰ × 9

= m² – (2⁵ × 3)²

= m² – (96)²

2ⁿ = (m – 96)(m + 96)

Menurut teorema Faktorisasi Tunggal, maka ada bilangan bulat tidak negatif s dan t sehingga;

m – 96 = 2^s dan m + 96 = 2^t, s + t = n m = 2^s + 96 dan m = 2^t– 96

Sehingga menjadi:

2^s + 96 = 2^t – 96 2^t – 2^s = 192

2^s (2^{t – s} – 1) = 2⁶ × 3 2^s= 2⁶ dan (2^{t – s} – 1) = 3 2^{t – s} = 4 2^t. 2^{– s} = 4

2^t. 2^{– 6} = 4 (s = 6) 2^t = 4. 2⁶

2^t = 2⁸ Sehingga di dapat s = 6 dan t = 8

Dengan demikian n = s + t = 6 + 8 = 14

Jadi, Nilai n yang memungkinkan adalah 14

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 9. Didefinisikan fungsi f(n) = 2^n-1 + 2ⁿ – 2ⁿ⁺¹ untuk setiap bilangan asli n.

Nilai f(1) + f(2) + .... + f(5) adalah ....

A. –31 B. –15 C. 15 D. 31

Pembahasan: A

Diketahui f(n) = 2^n-1 + 2ⁿ – 2ⁿ⁺¹ untuk setiap bilangan asli n

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = (1+2–4) + (2+4–8) + (4+8–16) + (8+16–32) + (16+32–64)

= 3 + 2 + 4 + 8 + 16 – 64

= 33 – 64

= – 31

Jadi, Nilai f(1) + f(2) + .... + f(5) adalah – 31

10. Nilai

2013 2015

2015

3 3

 adalah ....

A. 2 3

B. 4 3

C. 2 3

D. 4 3

Pembahasan: C

2013 2015

2015

3 3

 =

2013 2013

2013 2

3 3





= 2013 2013 2013

3 3



= 2013 2013

3 2

3 3

= 2 3

32015 3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 11. Suatu taman kota dibatasi oleh lintasan lari berbentuk lingkaran (seperti pada gambar) dan tepat di titik pusat taman dibangun tugu (T) yang dihiasi lampu. Di sepanjang tepi bagian dalam taman, diletakkan 12 bangku permanen (B) secara berurutan, sebut B₁, B₂, B₃, ...., B₁₂. Jarak antara dua bangku yang berurutan dibuat sama (termasuk dari B₁₂ ke B₁). Jarak tugu ke lintansan lari adalah 50 meter. Bakri, Bima dan Budi berlari pada lintasan lari mulai di depan bangku B1. Bakri dan Bima belari searah perputaran jarum jam (dari B1 ke arah B2), sedangkan Budi berlari mengambil arah yang berlawanan. Jika setelah 20 menit posisi Bakri di depan bangku B₇, Bima di depan B₆, dan Budi di depan bangku B4, maka jarak total yang telah ditempuh tiga orang ini mendekati ....

meter (gunakan  = 3,14) A. 549

B. 523 C. 471 D. 392

Pembahasan: B

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Misalkan Bakri = i Bima = a Budi = d

Diketahui jarak tugu ke lintansan lari adalah 50 meter berlari selama 20 menit

Jarak yang ditempuh Bakri, Bima dan budi = (jarak i + jarak a + jarak d) × keliling lingkaran

= 



 



  

12 9 12

5 12

6 × keliling lingkaran

= 



 



 12

20 × 2 π r

= _



 



 3

5 × 2 × 3,14 × 50

= _



 



 3

5 × 314

= 523,333...

B₁

B₄ B5

B₆ B12

B₁₁

B₇ B8

B₉ B₁₀

i, a, d

d 50 m

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 12. Dikatehui ABCD adalah trapesium, AB sejajar CD, dan AB + CD = BC.

Jika panjang AD = 12, maka AB × CD adalah … A. 46

B. 42 C. 38 D. 36

Pembahasan: D

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Misalkan AB = a, DC = b Perhatikan BCE!

BE² + CE² = BC²  (a – b)² + 12² = (a + b)²

 a² + b² – 2ab + 144 = a² + b² + 2ab

 144 = 4ab

 ab = 36

Jadi, AB × CD adalah 36

13. Anton dan kakaknya berulang tahun pada tanggal 1 januari. Pada tahun 2015, umur Anton dan kakanya sama dengan jumlah angka-angka tahun kelahirannya masing-masing. Jika orang tua mereka menikah 25 tahun yang lalu, maka jumlah umur anton dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin adalah …. tahun

A. 22 B. 24 C. 26 D. 30

Pembahasan: C

A B

D C

A B

D C

a b

a + b

a – b E

12 12

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Perhatikan tabel berikut

Tahun Umur Jumlah Angka-Angka Tahun Keterangan

2015 0 8

2014 1 7

2013 2 6

2012 3 5

2011 4 4 Saat Anton Lahir

2010 5 3

... ... ...

1995 20 24

1994 21 23

1993 22 22 Saat Kakaknya Anton Lahir

1992 23 21

1991 24 20

1990 25 19 Saat orang tua mereka menikah

Jadi, berdasarkan tabel di atas jumlah umur anton dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin adalah 22 + 4 = 26 tahun

14. Penyedia jasa pengasuh bayi usia dibawah tiga tahun, memberlakukan tarif upah pengasuh bayi sebagai berikut. Upah setiap jam sebesar Rp40.000,00 untuk tiga jam pertama. Selanjudnya diberlakukan aturan sebagai berikut. Untuk setiap satu jam berikutnya di siang hari (mulai pukul 06 sampai dengan pukul 18.00), dikenakan upah sebesar 20% lebih banyak daripada upah satu jam sebelumnya. Adapun upah untuk malam hari di atas tiga jam pertama dikenakan tetap sebesar Rp30.000,00 setiap jam. Jika keluarga Adang menitipkan bayinya pada pukul 16.00 sampai pukul 09.00 hari berikutnya, maka keluarga Adang harus membayar biaya penitipan bayi tersebut sebesar Rp ....

A. 571.040,00 B. 581.040,00 C. 585.600,00 D. 595.600,00 Pembahasan: B

Diketahui keluarga Adang menitipkan bayinya pada pukul 16.00 sampai pukul 09.00 hari berikutnya. Berdasarkan ketentuan yang ada pada soal, dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Upah setiap jam sebesar Rp40.000,00 untuk tiga jam pertama

Sehingga upah untuk jam 16, 17, dan 18 sebesar 3 × 40.000 = Rp120.000,00

2. Adapun upah untuk malam hari di atas tiga jam pertama dikenakan tetap sebesar Rp30.000,00 setiap jam

Sehingga upah untuk jam 19 sampai dengan jam 6 sebesar 11×30.000 = Rp330.000,00

3. Untuk setiap satu jam berikutnya di siang hari (mulai pukul 06 sampai dengan pukul 18.00), dikenakan upah sebesar 20% lebih banyak daripada upah satu jam sebelumnya

Sehingga upah untuk jam 6, 7, 8, dan 9 sebesar 30.000 × 20% = 6000  menjadi 36.000.

36.000 × 20% = 7200  menjadi 43.200 sehingga jumlahnya = Rp131.040,00 43.200 × 20% = 8640  menjadi 51.840

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 15. Suatu kardus polos dari kertas berbentuk kubus. Volume kardus adalah 64.000 cm³. Fitri memotong tepat pada rusuk kubus dan mengambil dua sisi bagian samping kardus tersebut. Fitri melakukan garis pada satu potong sisi kardus dan diperolah satu segitiga siku-siku yang perbandingan dua sisi siku-siku adalah 1 : 2. Pada satu potongan sisi kardus yang lain dilukis satu segitiga sama kaki (lihat gambar). Jika ternyata dua segitiga ini sama luasnya, maka panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah .... cm

A. 10 B. 10 2 C. 20 D. 20 2

Pembahasan: D

Perhatika ilustrasi gambar berikut

Diketahui Volume kardus adalah 64.000 cm³

Perbandingan dua sisi siku-siku adalah 1 : 2, Volume kardus = rusuk kubus³

64000 = PR³ PR = 40

Karena QR : PR = 1 : 2, maka panjang RQ = 20 dan panjang PR = 40

Perhatikan PQR, maka Luasnya = 400. Sehingga luas ABC = 400 dan panjang CD = 20 Perhatikan BCD dengan pythagoras didapat.

s² = 20² + 20² s = 20 2

Jadi, panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah 20 2 cm

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com Terima kasih.

My blog : http://matematohir.wordpress.com/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

20 s

A B

D P

R Q

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2015

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA BIDANG STUDI MATEMATIKA

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Misalkan x adalah suatu bilangan bulat dan x² + 5x + 6 adalah suatu bilangan prima, maka nilai x adalah ....

Pembahasan: –1 atau –4

Misalkan suatu bilangan prima = P

x² + 5x + 6 = P  x² + 5x + 6 – P = 0

 x² + 5x + (6 – P) = 0

Kemudian mencari dua bilangan yang menjadi faktor dari (6 – P) dan apabila dijumlahkan sama dengan 5, misalkan dua bilangan tersebut adalah a dan b, maka didapat sebagai berikut.

a × b = 6 – P, dan a + b = 5 Sehingga a × b = 6 – P

a(5 – a) = 6 – P (b = 5 – a) Kemungkinan I a = 1 dan 5 – a = 6 – P Sehingga P – a = 1

P – 1 = 1 (a = 1) P = 2

Dengan demikian,

x² + 5x + (6 – 2) = 0 x² + 5x + 4 = 0 (x + 1)(x + 4) = 0 x = –1 atau x = –4

Kemungkinan II a = 6 – P dan 5 – a = 1 P + a = 6 dan a = 4

Sehingga P + a = 6

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Dengan demikian,

x² + 5x + (6 – 2) = 0 x² + 5x + 4 = 0 (x + 1)(x + 4) = 0 x = –1 atau x = –4

Jadi, baik kemungkinan I maupun kemungkinan II nilai x adalah –1 atau –4

2. Parabola y = ax² + bx + c melalui titik (–2, 6) dan mempunyai sumbu simetri x = –1. Jika a, b, dan c merupakan bilangan genap positif berurutan, maka nilai a + b + c adalah ....

Pembahasan: 12

Diketahui parabola y = ax² + bx + c melalui titik (–2, 6) dan mempunyai sumbu simetri x = –1 sumbu simetri dari parabola y = ax² + bx + c adalah x =

a b

2 –1 =

a b

2 (x = –1) 2a = b

Sehingga karena b = 2a, titik yang dilalui parabola tersebut adalah (–2, 6), maka y = ax² + bx + c  6 = a(–2)² + (2a)( –2) + c

 6 = 4a – 4a + c

 c = 6

Karena a, b, dan c merupakan bilangan genap positif berurutan, maka b = 4 dan a = 2 Dengan demikian a + b + c = 2 + 4 + 6 = 12

Jadi, nilai a + b + c adalah 12 3. Perhatikan gambar berikut.

Titik P, Q, dan R masing-masing adalah titik singgung lingkaran pada sisi-sisi ACD. Diketahui

SDR = 60^, panjang SR = panjang SQ = 1 cm, dan panjang RD = ₃³ cm. Jika ABC sama kaki, maka luas ABC adalah .... cm²

C D B

Q S

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Diketahui SDR = 60^, sehingga PCD = 30^

ABC sama kaki, sehingga ABC = 30^ dan ADB = 60^

panjang RD = ₃³ cm, sehingga panjang SD = ₃²

3

dan PD = ³^₃² ³

Perhatikan PCD. Dengan menggunakan konsep perbandingan sudut 30^ dan 60^ pada segitiga siku-siku, maka panjang PC = 2 + 3 dan panjang DC = ⁶^₃⁴ ³

Sehingga karena ADC adalah segitiga sama kaki (Perhatikan gambar ADC di atas dan besar sudut kaki-kaki), maka panjang AD = ⁶^₃⁴ ³ dan panjang AC = 4 + 2 3

Perhatikan ABD. Dengan menggunakan konsep perbandingan sudut 30^ dan 60^ pada segitiga siku-siku, maka panjang AB = 4 + 2 3

Kemudian mencari luas ABC dengan memperhatikan ACD dan ABD Luas ABC = Luas ACD + Luas ABD

= 2

1× AC × PD + 2

1× AD × AB

= 2

1(AC × PD + AD × AB)

   











  





 







 

 4 2 3

3 3 4 6 3

3 2 3 3

2 2 4 1



¹² ⁸ ³ ⁶ ³ ¹² ²⁴ ¹² ³ ¹⁶ ³ ²⁴



1       



⁷² ⁴² ³



1 

Luas ABC = 12 + 7 3

Jadi, luas ABC adalah (12 + 7 3) cm²

4. Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan gula. Rasio kandungan gula dan air pada botol pertama adalah 2 : 11 dan pada botol kedua adalah 3 : 5. Jika isi kedua botol tersebut dicampurkan, maka rasio kendungan gula dan air hasil campurannya adalah ....

Pembahasan: 55 : 153

C D B

Q S

60^ 30^

30^

30^ 60^

1 cm

3 3

1 cm 1 cm

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember kandungan gula pada botol kedua = g2

kandungan air pada botol kedua = a2

kandungan gula hasil campuran = g kandungan air hasil campuran = a sehingga g₁ : a₁ = 2 : 11  g₁ =

2 dan a₁ = 13 11

g2 : a2 = 3 : 5  g2 = 5

3 dan a2 = 8 5 Dengan demikian hasil campurannya

g = g1 + g2 = 13

2 + 5 3 =

104 55 a = a₁ + a₂ =

13 11+

8 5 =

104 153

Jadi, rasio kendungan gula dan air hasil campurannya adalah 55 : 153

5. Misalkan f(x) = 209 – x². Jika terdapat dua bilangan bulat positif a dan b dengan a < b sehingga f(ab) = f(a + 2b) – f(a – 2b), maka nilai

a b = ....

Pembahasan: 19

Diketahui f(ab) = f(a + 2b) – f(a – 2b) dengan a dan b bilangan bulat positif dan a < b f(ab) = f(a + 2b) – f(a – 2b)  f(ab) = 209 – (a + 2b)² – [2019 – f(a – 2b)²]

 f(ab) = 209 – a² – 4b² – 4ab – [2019 – a² – 4b² + 4ab]

 f(ab) = –8ab

Kemudian f(ab) = –8ab disubstitusikan ke- f(x) = 209 – x² f(ab) = 209 – (ab)²

–8ab = 209 – (ab)² (ab)²–8ab – 209 = 0 (ab– 19)(ab + 11) = 0 ab = 19 dan ab = –11

Karena ab bilangan bulat positif dan a < b, maka ab = 19.

Sehingga a = 1 dan b = 19. Dengan demikian a b = 19 Jadi, nilai

a b = 19

6. Jika jumlah 4 suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 70 dan jumlah 12 suku berikutnya adalah 690, maka suku ke-2015 barisan tersebut adalah ....

Pembahasan: 10080

Diketahui Jika jumlah 4 suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 70 dan jumlah 12 suku berikutnya adalah 690, maka dapat di uraikan seperti permisalan berikut:

1. Deret ke-4 suku pertama: a, a + b, a + 2b, a + 3b, g : a =

104 55 :

104

153 = 55 : 153

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 2. Deret ke-12 suku berikutnya: a + 4b, a + 5b, a + 6b, .... , a + 14b, a + 15b

Sehingga jumlahnya (a + 4b) + (a + 5b) + (a + 6b) + .... (a + 14b) + (a + 15b) = 690 12a + 114b = 690

2a + 19b = 115 .... (2) Berdasarkan persamaan (1) dan (2), didapat

2a + 3b = 35 2a + 19b = 115 – 16b = –80

b = 5, sehinga a = 10

Dengan demikian U₂₀₁₅ = a + (n – 1)b

= 10 + (2015 – 1)5

= 10 + (2014)5

= 10 + 10070 U₂₀₁₅ = 10080

Jadi, suku ke-2015 barisan tersebut adalah 10080

7. Diketahui sebuah prisma yang dibentuk oleh bidang-bidang sisi berupa: dua trapesium yang kongruen ABFE dan DCGH. Jika AB sejajar EF, panjang AE = panjang BF, panjang AB = 2 kali panjang EF, panjang AP = panjang PB = panjang DQ = panjang QC, AD  AB dan EH  EF, maka perbandingan volume prisma APE.DQH dan prisma PBFE.QCGH adalah ....

Pembahasan: 1 : 2

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

P B A

C G

E F

D Q

P B A

C G

E F

D Q

a a

b b

a b

t t

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Volume prisma APE.DQH = Luas alas × tinggi

= (2

1a × t) × b

= 2 1abt

Perhatikan prisma PBFE.QCGH.

Volume prisma PBFE.QCGH = Luas alas × tinggi

= (a × b) × t

= abt Dengan demikian

QCGH PBFE

Volume

DQH APE Volume

. =

abt

2abt

= 2 1

Jadi, perbandingan volume prisma APE.DQH dan prisma PBFE.QCGH adalah 1 : 2

8. Mulai tahun ini materi OSN SMP bidang Fisika dan Biologi digabung menjadi satu, yaitu IPA, sehingga wakil dari setiap sekolah tahun ini maksimum 3 orang. Diketahui bahwa di Sekolah Teladan terdapat 6 calon siswa yang siap dikirim untuk mengikuti lomba OSN SMP dengan kemampuan sebagai beriku.

Siswa A : Siap mewakili bidang lomba Matematika, IPA, atau IPS Siswa B dan C : Siap mewakili bidang lomba Matematika atau IPA Siswa D : Siap mewakili bidang lomba Matematika atau IPS Siswa E : Siap mewakili bidang lomba IPA atau IPS

Siswa F : Siap mewakili bidang lomba IPS

Siswa A dan B merupakan saudara kandung, sehingga sekolah mengambil kebijakan yakni tidak mengijinkan dua orang yang bersaudara untuk mewakili sekolah (artinya jika A terpilih maka B tidak terpilih, begitu pula sebaliknya). Jika Sekolah Teladan memutuskan untuk mengirimkan 3 siswa untuk mengikuti semua bidang lomba, maka cara yang mungkin untuk memilih wakil sekolah tersebut ke OSN SMP tahun ini ada sebanyak ....

Pembahasan: 28 cara Misalkan Siswa A = A Siswa B = B Siswa C = C Siswa D = D Siswa E = E Siswa F = F

Diketahui Siswa A dan B merupakan saudara kandung, sehingga sekolah mengambil kebijakan yakni tidak mengijinkan dua orang yang bersaudara untuk mewakili sekolah, dengan demikian perjatikan tabel berikut:

No.

Bidang Lomba

Keterangan

Matematika IPA IPS

A, B, C, D A, B, C, E A, D, E, F

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

No.

Bidang Lomba

Keterangan

Matematika IPA IPS

A, B, C, D A, B, C, E A, D, E, F

4 A E D ada 3 cara

5 A E F ada 1 cara

6 B C D ada 2 cara

7 B C E ada 2 cara

8 B C F ada 2 cara

9 B E D ada 2 cara

10 B E F ada 1 cara

11 C E D ada 2 cara

12 C E F ada 1 cara

13 D A F ada 1 cara

14 D B F ada 1 cara

15 D C F ada 1 cara

16 D E F ada 1 cara

Total ada 28 cara

Jadi, cara yang mungkin untuk memilih wakil sekolah tersebut ke OSN SMP tahun ini ada sebanyak 28 cara

9. Sebuah ABC dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 3 sehingga hasil pencerminannya adalah A’B’C’. Jika koordinat titik-titik A’(8,0), B’(8,–4), dan C’(4,0), maka koordinat titik-titik A, B, dan C berturut-turut adalah ....

Pembahasan: A(–8,6), B(–8,10), dan C(–4,6) Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Diketahui koordinat titik-titik A’(8,0), B’(8,–4), dan C’(4,0)

Dimisalkan koordinat titik-titik sebelum dicerminkan pada garis y = 3, yakni titik-titik A2(8,6), B₂(8,10), dan C₂(4,6)

Sehingga koordinat titik-titik sebelum dicerminkan pada garis sumbu y adalah titik-titik A(–8,6), B(–8,10), dan C(–4,6)

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 10. Tini ingin membuat gelang dari bahan manik-manik berwarna-warni yang terdiri dari masing-

masing 3 butir manik-manik berwarna merah, kuning, hijau, biru, dn putih. Ia ingin menyusun manik-manik tersebut sedemikian rupa sehingga di antara 2 manik-manik berwarna putih selalu terdapat 4 manik-manik berwarna selain putih. Banyak susunan gelang yang mungkin untuk dibuat adalah ....

Pembahasan: 61608 cara

Perhatikan ilustrasi gambar gelang berikut ini.

Misalkan Putih = P = 3 Merah = M = 3 Kuning = K = 3 Hijau = H = 3 Biru = B = 3

Dikatahui di antara 2 manik-manik berwarna putih selalu terdapat 4 manik-manik berwarna selain putih. Sehingga yang dicari aadalah susunan warna manik-manik yang berwarna selalin putih, yaitu sebanyak M + K + H + B = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Kemudian kita perhatikan, susunan warna manik-manik pada lokasi I, II, dan III memiliki unsur yang sama, sehingga susunan warna manik-manik tersebut membentuk permutasi berulang, karena ada 12 unsur dengan 3 unsur yang muncul.

Perhatikan susunan warna manik-manik pada lokasi I, II, dan III. Apabila susunan warna manik- manik pada lokasi I di pindah ke lokasi II, dan susunan warna manik-manik pada lokasi II di pindah ke lokasi III serta susunan warna manik-manik pada lokasi III di pidah ke lokasi I, maka perputaran warna tersebut dianggap sama dan warnanya dibolak-balikpun juga sama, sehingga permutasi siklis tersebut harus dibagi 6 (diagi 3 dan dibagi 2). Akan tetapi masih ada satu susunan lagi yang harus ditambahkan yaitu susunan warna berbeda pada ke-3 lokasi tersebut,

yakni

 

! 4 6

! 3

12 



 = 61600 + 8 = 61608

Jadi, banyak susunan gelang yang mungkin untuk dibuat adalah 61608 cara

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com Terima kasih.

II III

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2016

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT 5 Maret 2016

BAGIAN A: PILIHAN GANDA

1. Nilai dari

 



²⁰¹⁶ ¹



2020

2015 16

2016 2017

2 2







 adalah ....

A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015

Pembahasan: A

 



²⁰¹⁶ ¹



2020

2015 16

2016 2017

2 2







 =

     



²⁰¹⁶¹ ²⁰¹⁶⁴

 

²⁰¹⁶¹⁶ ²⁰¹⁶¹



2016

2 2

















    



²⁰¹⁶¹ ²⁰¹⁶⁴

 

¹²⁰¹⁶²⁰¹⁶¹



¹⁶

2016

2 2















    



²⁰¹⁶¹ ⁴²⁰¹⁶

 

²⁰¹⁶⁴ ²⁰¹⁶¹



⁴

2016

2 2















= 2016 – 4

= 2012 Jadi, nilai dari

 



²⁰¹⁶ ¹



2020

2015 16

2016 2017

2 2







 adalah 2012

2. Misalkan

 

^x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x.

Jika

1010 ... 10 1003

3 1002

2 1001





x , maka

 

^x ^=....

A. 35 B. 36

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Pembahasan: C

Mencari pola penyelesaian untuk menentukan nilai dari x =

1010 ... 10 1003

3 1002

2 1001



Pertama kita coba nilai dari

1001 ... 10 1001

3 1001

2 1001



= 1001

55 2 =

2002= 36,4

Kedua kita coba nilai dari

1010 ... 10 1010

3 1010

2 1010



= 1010

55 2 =

2020= 36,727

Dari dua percobaan di atas, jelas bahwa nilai dari x berada di antara nilai 36,4 dan 36,727 atau nilai dari x adalah 36,4 < x < 36,727

Dengan demikian, nilai dari

 

^x ^{= 37}

Jadi, Jika

1010 ... 10 1003

3 1002

2 1001





x , maka

 

^x ^{= 37}

3. Jika n! = n · (n – 1) · (n – 2) · .... · 2 · 1, maka

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! = ....

A. (n – 1)! + 1 B. (n + 1)! – 1 C. (n + 1)! + 1 D. n! + n Pembahasan: B

Perhatikan deret dari 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n!

Pada deret tersebut dapat diubah dalam bentuk pola sebagai berikut:

= (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ....+ n! – (n – 1)! + (n + 1)! – n!)

= – 1! + 2! – 2! + 3! – 3! + 4! – 4! + .... – (n – 1)! + n! – n! + (n + 1)!

= – 1! + (n + 1)!

= (n + 1)! – 1!

= (n + 1)! – 1

Jadi, jumlah dari deret 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! = (n + 1)! – 1

4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah .... cm².

A. 74,00 B. 72,25 C. 68,00 D. 63,75

A B

D C E F G

Dalam dokumen Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika (OSK) SMP Tahun 2010-2018 (Halaman 110-148)