WAKTU : 150 MENIT 8 Maret 2014

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 2. Berikut diberikan data siswa kelas VIII SMP Bina Prestasi. Tiga perlima bagian dari seluruh siswa adalah perempuan. Setengah dari siswa laki-laki diketahui pergi kesekolah naik bus sekolah, sedangkan siswa perempuan hanya seperenamnya yang persegi ke sekolah naik bus sekolah. Diketahui juga bahwa terdapat 147 siswa pergi ke sekolah tidak naik bus sekolah.

Banyak siswa kelas VIII sekolah tersebut adalah ....

A. 330 B. 245 C. 210 D. 193

Pembahasan:

Misalkan banyak siswa seluruhnya adalah n banyak siswa perempuan adalah p banyak siswa laki-laki adalah l

banyak siswa perempuan naik bus adalah pb

banyak siswa laki-laki naik ikut bus adalah l_b banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt

banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt

Diketahui: p = 5

3n ...(1)

2

1lb = l ...(2)

6

1 p_b = p ...(3) pt + lt = 147 ...(4)

dari persamaan (1) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki adalah l = 5

2n ....(5) dari persamaan (2) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt =

2

1l ....(6) dari persamaan (3) di dapat bahwa banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah p_t =

6

5p ....(7) sehingga persamaan (4) menjadi:

p_t + l_t = 147  6 5p +

2

1l = 147 ... (8) berdasarkan persamaan (1) dan (5) serta (8) diperoleh

6 5p +

2

1l = 147  6

5 



 



 n 5 3 +

2

1 



 



 n 5

2 = 147

 2 1n +

5

1n = 147

 10

2 5n n

= 147



Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 3. Diketahui FPB dan KPK dari 72 dan x berturut-turut adalah 3 dan 1800. Pernyataan berikut yang

benar adalah ....

A. x kelipatan 5 B. x kelipatan 72 C. x kelipatan genap D. x kelipatan faktor dari 3

Pembahasan:

Alternatif (1)

Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3 KPK dari 72 dan x adalah 1800

Untuk menentukan nilai x, kita perlu terlebihdulu mencari faktor prima dari 72 dan mencari pola untuk mencari faktor prima dari x, yaitu sebagai berikut:

Kemudian kita cari faktor prima dari 72, yaitu 2³ × 3²

Karena KPK dari 72 dan x adalah 1800 dan FPB dari 72 dan x adalah 3, maka faktor prima yang mungkin dari x adalah 3 ×

72

1800 = 3 × 25 = 75 Dengan demikian nilai x adalah 75

Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3 Alternatif (2)

Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3 KPK dari 72 dan x adalah 1800

Berdasarkan suatu teorema, yaitu: “Misalkan a dan b adalah suatu bilangan bulat, d adalah FPB(a, b), dan l adalah KPK(a, b). Maka ab = FPB(a, b) × KPK(a, b)”

Sehingga diperoleh

FPB(72, x) × KPK(72, x) = 72 × x 3 × 1800 = 72x

x = 72 1800 3 x = 75 Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3

4. Diberikan empat bilangan a, b, c, dan d. Jika rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah 75, serta rata-rata c dan d adalah 70, maka rata-rata a dan d adalah ....

A. 35 B. 45 C. 50 D. 55

Pembahasan:

Menurut informasi dari soal, bahwa rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah 75, serta

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember rata-rata a dan b adalah 50  50

2 

b

a  a + b = 100 ....(1) rata-rata b dan c adalah 75  75

2 

c

b  b + c = 150 ....(2) rata-rata c dan d adalah 70  70

2 

d

c  c + d = 140 ....(3)

berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh a + b = 100

b + c = 150 --- –

a – c = – 50 ....(4)

berdasarkan persamaan (4) dan (3) diperoleh a – c = – 50

c + d = 140 --- +

a + d = 90  45

2 

d a

Jadi, rata-rata a dan d adalah 45

5. Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80. Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78. Jika nilai A tiga kali nilai B, maka selisih antara nilai A dan B adalah ....

A. 15 B. 25 C. 50 D. 75

Pembahasan:

Alternatif (1)

Diketahui - Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80

- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78 - Nilai A tiga kali nilai B

Kemudian membuat persamaan matematika dari 3 hal yang diketahui, yaitu sebagai berikut:

- Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80  80 28

28 



^siswa

 ∑28 siswa = 80 × 28

 ∑28 siswa = 2240 ...(1) - Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78

78

2 28

28 







^siswa^{A B} _{ 78}

30

28   



^{siswa A B}

 ∑28 siswa + A + B = 78 × 30

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Dari persamaan (2) dan (1) diperoleh

∑28 siswa + A + B = 2340  2240 + A + B = 2340

 A + B = 2340 – 2240

 A + B = 100 ...(4) Berdasarkan persamaan (4) dan (3) didapat

A + B = 100  3B + B = 100

 4B = 100

 B = 25 ...(5) Sehingga dari persamaan (4) dan (5) diperoleh A + B = 100  A + 25 = 100

 A = 75

Dengan demikian A – B = 75 – 25 = 50 Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50

Alternatif (2)

Misalkan banyak siswa 28 siswa adalah n1 = 28

Banyak siswa A dan B adalah n2 = 2 = A + B nilai rata-rata 28 siswa adalah x₁= 80

nilai rata-rata Siswa A dan B adalah x₂ nilai rata-rata seluruhnya adalah x= 78 diketahui nilai A = 3B ...(1)

Maka,

2 1

2 2 1 1

n n

x n x x n







  

2 28

2 80

78 28 ²







  x

 30 2 78 2240 x²

 783022402x₂

 234022402x₂

 234022402x₂

 1002x₂

 2x₂  AB100

 AB100 ....(2) Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat A + B = 100  3B + B = 100

 4B = 100

 B = 25 ...(3) Sehingga dari persamaan (2) dan (3) diperoleh A + B = 100  A + 25 = 100

 A = 75

Dengan demikian A – B = 75 – 25 = 50 Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 6. Diketahui persamaan kurva y = x³ + 4x² + 5x + 1 dan y = x² + 2x – 1. Jika kedua kurva digambarkan pada bidang yang sama, maka banyak titik potong kedua kurva tersebut adalah ….

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Pembahasan:

Diketahui: y= x³ + 4x² + 5x + 1 dan y = x² + 2x – 1

Untuk menentukan titik potong, maka persamaan kedua kurva harus sama, yakni x³ + 4x² + 5x + 1 = x² + 2x – 1

x³ + 3x² + 3x + 2= 0 (x + 2)(x² + x + 1) = 0

x = – 2 dan x² + x + 1 = 0 (karena D = 1² – 4(1)(1) < 0, maka tidak terdapat titik potong) Jadi, hanya ada 1 titik potong.

Ilustrasi grafik dari kedua kurva, sebagai berikut:

7. Jika 3ⁿ adalah faktor dari 18¹⁰, maka bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah ….

A. 10 B. 15 C. 18 D. 20

Pembahasan:

Diketahui 3n adalah faktor dari 18¹⁰

Karena 3ⁿ merupakan faktor dari 18¹⁰, maka ada suatu bilangan bulat yang apabila dikalikan dengan 3ⁿ akan menghasilkan 18¹⁰. Misalkan bilangan tersebut adalah a, yakni sebagai berikut:

18¹⁰ = 3ⁿ × a  18¹⁰ = 3ⁿ × a

 (9 × 2)¹⁰ = 3ⁿ × a

 (3² × 2)¹⁰ = 3ⁿ × a

 3²⁰ × 2¹⁰ = 3ⁿ × a Hal ini dapat ditulis 3²⁰ = 3ⁿ dan 2¹⁰ = a

y = x² + 2x – 1 y = x³ + 4x² + 2x – 1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 8. Pada sebuah bidang terdapat sepuluh titik. Di antara sepuluh titik tersebut tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga titik pada bidang tersebut adalah ….

A. 30 B. 60 C. 100 D. 120 Pembahasan:

Diketahui: sebuah bidang terdapat sepuluh titik dan tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris Artinya adalah ada 10 unsur dari 3 unsur yang akan dibentuk, yakni

10C₃ =



¹⁰^103!



^!^3!  10C₃ =

! 3

! 7

! 10



= 3 2 1 8 9 10









= 10 × 3 × 4

= 120

Jadi, Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga titik pada bidang tersebut adalah 120

9. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 satuan. Titik O adalah titik potong dua diagonal pada bidang BCFG. Jarak titik O ke bidang BCEH adalah .… satuan.

A. 5 2

B. 4 2

C. 3 2

D. 2 2

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

C

E F

H _G

D

O R Q

S

S O 2

1 1

T T

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Karena titik O adalah perpotongan dua diagonal bidang kubus, maka panjang OP = 1 satuan dan besar sudut OPS = 45^o, maka SO = 1 satuan

Dengan demikian PS² = PO² + SO² PS² = 1² + 1² PS² = 2 PS = 2

Luas segitiga POS = 2

1× PO × SO

2

1× PS × TO = 2

1× 1 × 1 2 × TO = 1

TO = 2 1

TO = 2

2

Jadi, Jarak titik O ke bidang BCEH adalah 2

2 satuan.

10. Perhatikan diagram batang berikut.

Pernyataan berikut yang salah adalah ….

A. Modus pada gambar A < Modus pada gambar B B. Median pada gambar A < Median pada gambar B C. Quartil 1 pada gambar A < Quartil 1 pada gambar B D. Rata – rata pada gambar A = Rata – rata pada gambar B Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Berdasarkan ilsutrasi gambar di atas, maka nilai Gambar A dan Gambar B adalah sama.

Sehingga rata-rata kedua gambar tersebut juga sama.

Jadi, Rata – rata pada gambar A = Rata – rata pada gambar B

11. Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x² = y² + 100 adalah ….

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Pembahasan:

Diketahui x² = y² + 100, dengan x dan y bilangan asli x² = y² + 100  x² – y² = 100

 (x – y)(x + y) = 100

artinya adalah (x – y)(x + y) merupakan faktor-faktor pasangan dari 100, yaitu 1 dan 100

2 dan 50 4 dan 25 5 dan 20 10 dan 10

Dari kelima pasangan tersebut yang memenuhi adalah 2 dan 50, karena (x – y)(x + y) = 100

(2)(50) = 100 x – y = 2 x + y = 50 --- +

2x = 52

x = 26  y = 24

Jadi, Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x² = y² + 100 adalah 1, yaitu (26, 27)

12. Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang bukan bilangan bulat. Jika A = {0,2,4,6,....} adalah himpunan bulat positif genap, maka pernyataan berikut yang benar adalah …

A. Himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian saja B. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan saja

C. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian D. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Pembahasan:

Diketahui

- Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat

- Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang bukan bilangan bulat.

Jadi, pernyataan yang paling benar adalah Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

13. Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi – sisinya 2 satuan. Selanjutnya, dibentuk segitiga kedua dengan menghubungkan tiga titik tengah pada masing – masing sisi segitiga ABC. Dengan cara serupa, dibentuk segitiga ketiga, keempat, kelima, keenam, dan seterusnya. Luas seluruh segitiga – segitiga tersebut adalah ….

A. 3 3

B. 3 3 2

C. 3 3 4

D. 2 3 5

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Kemudian mencari luas segitiga ke-1, ke-2, ke-3,....

Luas segitiga ke-1 = 2

1× a × t

=

2

1× 2 × 3

= 3

Dengan demikian Luas segitiga ke-2 = ¹× Luas segitiga ke-1 2

2 2

2

2 2

t t = 2² 1²  3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Luas segitiga ke-4 =

4

1× Luas segitiga ke-3

...

...

...

Sampai tak terhingga...

Dengan demikian dapat disimpulkan: pola seperti ini membentuk deret geometri tak hingga, Dimana U₁ = 3 dan r =

4 1

Sehingga luas seluruh segitiga adalah sebagai berikut:

S∞ = r U

 1

1  L = r U

 1

1

 L = 4 1 1

3



 L = 4 3 3

 L = 3 3 4

Jadi, Luas seluruh segitiga – segitiga tersebut adalah 3 3

4 satuan luas

14. Sepuluh titik pada suatu lingkaran diberi nomor 1, 2, …, 10. Seekor katak melompat searah jarum jam satu satuan. Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga satuan jika bukan bilangan prima. Jika mula-mula katak berada pada posisi nomor 1, di manakah posisi katak setelah melompat 2014 kali?

A. 1 B. 4 C. 7 D. 8

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

10 1 2 7 3

8 9

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Diketahui: seekor katak melompat searah jarum jam satu satuan

Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga satuan jika bukan bilangan prima.

Berikut langkah-langkah lompatan katak yang akan dilalui

Urutan lompatan ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

Posisi katak 4 7 8 1 4 7 8 1 4 7 ...

Bilangan prima           ...

Berdasarkan tabel di atas, dapat kita simpulkan bahwa langkahnya berulang setiap 4 kali langkah, yakni 2014 : 4 = 503 + 2

Artinya adalah setelah melompat 2014 kali sama dengan urutan lompatan yang ke-2, yaitu pada posisi 7.

Jadi, posisi katak setelah melompat 2014 kali ada di posisi 7 15. Diketahui garis L₁ sejajar garis L₂ dan garis L₃ sejajar garis L₄ .

Besar sudut y – x adalah ….

A. 0^o B. 10^o C. 30^o D. 50^o

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, maka didapat sebagai berikut:

x + 35 = 180 – 110  x + 35 = 70

 x = 35 ...(1) x + y + 60 = 180  x + y = 180 – 60

x ₃₅^o Sudut sehadap

Sudut bertolak belakang

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember x + y = 120  35 + y = 120

 y = 120 – 35

 y = 85 Dengan demikian, y – x = 85 – 35 = 50 Jadi, besar sudut y – x adalah 50^o

16. Suatu survey dilakukan terhadap 100 siswa peserta OSN tingkat kabupaten/kota berkaitan dengan frekuensi pengiriman sms pada suatu hari. Hasil yang diperoleh sebagai berikut.

Jumlah sms Persentase

1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 atau lebih

5%

10%

15%

20%

25%

Sisanya dilaporkan tidak mengirim sms. Jika dipilih seorang siswa secara acak, maka peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah …

A. 0,55 B. 0,30 C. 0,25 D. 0,15 Pembahasan:

Perhatikan kembali pada tabel hasil survey.

Jumlah sms Persentase

1 – 10 11 – 20 21 – 30

5%

10%

15%

Persentase siswa yang mengirim sms tidak lebih 30 kali adalah 5% + 10%+15% = 30%

Dengan demikian peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali = 100

30 = 0,30 Jadi, peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah 0,30

17. Diketahui titik E, F, dan G pada trapezium ABCD. Sisi FE sejajar dengan sisi AB. Jika AB = 7, DC = 14, DG = 8, FG = 4, GB = x , dan GE = y , maka nilai x + y adalah …

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Pembahasan:

Perhatikan segitiga FGD dan segitiga ABD. Dengan menggunakan konsep kesebangunan didapat:

AB FG DB

DG 

x 8

8 = 7 4

 8 × 7 = 4(8 + x)

 56 = 32 + 4x

 56 – 32 = 4x

 24 = 4x

 x = 6

Kemudian Perhatikan segitiga BEG dan segitiga BCD. Dengan menggunakan konsep kesebangunan didapat:

BD BG DC

EG  

14 y =

8 6

6



 y × 14 = 6 × 14

 y = 6

Dengan demikian nilai x + y = 6 + 6 = 12 Jadi, nilai x + y adalah 12

18. Dari survey terhadap 75 orang diperoleh hasil sebagai berikut.

 50 orang berumur lebih dari 25 tahun, sisanya berumur tidak lebih dari 25 tahun

 27 orang menyukai masakan pedas, 7 diantaranya berumur tidak lebih dari 25 tahun

 28 orang menyukai masakan manis, 25 diantaranya berumur lebih dari 25 tahun

 5 orang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis

 25 orang tidak menyukai masakan pedas maupun masakan manis, 7 diantaranya berumur lebih dari 25 tahun

Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis adalah ….

A. 2 B. 3 C. 4 D. 7

Pembahasan:

Perhatikan diagram Venn berikut.

Misalkan orang yang menyukai masakan Pedas = P orang yang menyukai masakan Manis = M Diketahui a + b + c + 7 = 50 ....(1)

a + b = 20 ....(2) b + c = 25 ....(3) b + e = 5 ....(4) 7

18 75

25 umur

P M



a _b c

d e f

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

a + b + c + 7 = 50  20 + c + 7 = 50

 c = 50 – 27

 c = 23 ....(8) Dari persamaan (3) dan (8) diperoleh

b + c = 25  b + 23 = 25

 b = 2 ....(9) Dari persamaan (4) dan (9) diperoleh

b + e = 5  2 + e = 5

 e = 3

Jadi, Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis adalah 3 orang

19. Jika luas satu persegi kecil adalah 4 m², maka luas bangun datar pada gambar di bawah adalah ...

A. 36 B. 96 C. 144 D. 162 Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Gambar yang asli di geser ke kiri setengah kotak, kemudian buatlah garis bantu yang berwarna merah. Sehingga terbentuk 4 segitiga, selanjutnya geserlah 2 segitiga bagian atas kebagian bawah seperti pada gambar di atas.

t

A

B D

E C

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Luas jajargenjang = a × t

= AD × EC

= 4,5 × 8

= 36 satuan luas

Karena setiap persegi kecil luasnya adalah 4 m², maka luas bangun jajar genjang menjadi Luas jajargenjang = 36 × 4

= 144 m²

Jadi, luas bangun datar pada gambar yang dimaksud adalah 144 m²

20. Seorang guru memiliki 3 kantong permen yang akan dibagikan kepada para siswanya. Masing – masing kantong terdiri dari beberapa permen yang memiliki warna sama. Kantong pertama berisi permen berwarna merah, kantong kedua berisi permen berwarna kuning, dan kantong ketiga berisi permen berwarna hijau. Masing – masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna dan kombinasi yang berbeda untuk setiap siswa. Sebagai contoh, bila siswa A mendapat 3 permen berwarna merah dan 4 permen berwarna hijau, maka tidak ada siswa lain yang mendapat bagian seperti siswa A. Maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah …

A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi kantong permen berikut.

Diketahui masing-masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna dan kombinasi yang berbeda.

Banyak pasangan yang mungkin dari 2 warna yang berbeda adalah ada 6, yakni (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), dan (6,1)

Dari ke-3 kantong permen tersebut akan diambil 2 warna kombinasi berbeda, artinya terdapat 3 unsur berbeda dari 2 unsur yang akan di ambil, yakni menggunakan formula kombinasi

Sehingga banyak cara yang mungkin adalah ada 3C2 =



3 2



!.3!

! 3

 ⁼ 3

Karena pengambilannya ada 3 cara dari 6 pasangan yang mungkin, maka banyak siswa yang mungkin juga dari kelas tersebut adalah 6 × 3 = 18 orang

Jadi, maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah 18 orang

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan

Kantong 1 Kantong 2 Kantong 3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2014

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT 8 Maret 2014

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Bentuk paling sederhana dari

5 3

130 3

3

2011 2011 2014





 adalah ….

Pembahasan:

Alternatif (1) 5 3

130 3

3

2011 2011 2014





 =

5 3

130 3

3

2011 2011 3

2011









= 3 5

130 3

3 3

2011 2011 3

2011









= 3 5

130 3

27 3

2011 2011 2011









= 3 5

130 3

3 27

2011 2011 2011









= 3 5

5 3 135 3

27

2011

2011 2011











=

   

5 3

5 3 5 3 27

2011

2011 2011









=

   

5 3

5 3 1 27

2011 2011







= 27 – 1

= 26

130 3

3²⁰¹⁴ ²⁰¹¹

Alternatif (2) 5 3

130 3

3

2011 2011 2014





 =

5 3

130 3

3

2011 2011 3

2011









= 3 5

130 3

3 3

2011 2011 3

2011









= 3 5

130 3

27 3

2011 2011 2011









= 3 5

130 3

3 27

2011 2011 2011









= 3 5

130 3

26

2011 2011







=

 

5 3

5 3 26

2011 2011





= 26

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 2. Banyak persegi pada gambar berikut adalah ….

Pembahasan:

Banyak persegi pada ukuran 1 × 1 adalah 22 Banyak persegi pada ukuran 2 × 2 adalah 3 Banyak persegi pada ukuran 3 × 3 adalah 8 Banyak persegi pada ukuran 4 × 4 adalah 2

Dengan demikian banyak persegi seluruhnya = 22 + 3 + 8 + 2 = 35

Jadi, Banyak persegi pada gambar yang dimaksud adalah sebanyak 35

3. Berikut adalah gambar sebuah persegi panjang yang terdiri dari beberapa persegi yang dibuat dari batang korek api. Sebagai contoh, bentuk 1× 5 memerlukan 16 batang korek api, bentuk 2 × 5 memerlukan 27 batang korek api, seperti gambar berikut.

Bentuk 1 × 5 Bentuk 2 × 5

Banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat persegi panjang dengan bentuk 51 × 5 adalah ….

Pembahasan:

Diketahui banyak korek api pada bentuk 1 × 5 = 16 banyak korek api pada bentuk 2 × 5 = 27 dengan cara yang sama akan diperoleh:

banyak korek api pada bentuk 3 × 5 = 38 banyak korek api pada bentuk 4 × 5 = 49 ....

....

....

Bila kita perhatikan dengan seksama, banyaknya korek api tersebut membentuk deret aretmatika, yakni: 16, 27, 38, 49, ..., U_n dengan beda 11

Dengan demikian untuk mengetahui banyaknya korek api pada bentuk 51 × 5, cukup mencari suku ke-51, yaitu sebagai berikut

Un = a + (n – 1)b  U51 = 16 + (51 – 1)×11

= 16 + (50)×11

= 16 + 550

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 4. Jika

suku 2014

222 ...

222 ...

222 22

2    = M , maka tiga angka terakhir dari M adalah ….

Pembahasan:

Diketahui 

suku 2014

222 ...

222 ...

222 22

2    = M

Kemudian mencari pola untuk mengetahui digit satuan dari penjumlahan tersebut, yaitu dengan cara 2 × 2014 = 4028, yakni 8

Berikutnya mencari pola untuk mengetahui digit puluhan dari penjumlahan tersebut, yaitu dengan cara 2 × 2013 + 402= 4428, yakni 8

Selanjutnya mencari pola untuk mengetahui digit ratusan dari penjumlahan tersebut, yaitu dengan cara 2 × 2012 + 442 = 4466, yakni 6

Jadi, tiga angka terakhir dari M adalah 688

5. Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

   

3 1 6

1 ²  





 x

x x

x adalah ….

Pembahasan:

   

3 1 6

1 ²  





 x

x x

x 

    _{ }

0 3 1

6

1 ²   





 x

x x x



      

3 0

3 1 6

1 ² 













x

x x x

x

 0

3

3 2 6

6 ²

2

3 















x

x x x

x x

 0

3 3 4 2 ²

3 







 x

x x x



   

3 0 3

1 ² 







 x

x x

x

(untuk bentuk x² – x + 3 tidak digunakan, karena D = 1 – 4(3)(1) < 0 Sehingga cukup menggunakan



 

3 0 1 



 x x

HP = {x|x – 3 < x ≤ 1}

Jadi, semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

   

6 1 1 ²



 

 x x

x adalah – 3 < x ≤ 1

  

-3 1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 6. Jika bilangan 2014 dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan – bilangan asli berurutan, maka

bilangan asli terbesar yang mungkin adalah ….

Pembahasan:

Untuk mengetahui bilangan-bilangan asli berurutan yang jumlahnya 2014, sebagai berikut:

Pertama: bilangan 2014 di bagi 2, yakni 2

2014 = 1007 Kedua: bilangan 1007 juga dibagi 2, yakni

2

1007 = 503 sisa 1

Artinya dua bilangan berurutan yang apabila dijumlahkan sama dengan 1007 adalah 503 + 504 Kemudian menntukan bilangan-bilangan kurang 503 dan lebih 504 yang apabila dijumlahkan sama dengan 2014, yakni: 502 + 503 + 504 + 505 = 2014

Jadi, bilangan asli terbesar yang mungkin adalah 505

7. Delapan pensil dengan warna berbeda akan diletakkan dalam dua kotak mini untuk kepentingan promosi. Banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak ada kotak yang kosong adalah ….

Pembahasan:

Untuk mengetahui cara mengatur 8 pensil pada 2 kotak sehingga tidak ada yang kosong adalah sebagai berikut:

Jika diasumsikan 2 kotak mini tersebut bentuk dan jenisnya sama, maka pasangan yang mungkin adalah (1,7), (2,6), (3,5), (4,4).

Sehingga banyak cara seluruhnya, sebagai berikut

8C1 × 7C7 + 8C2 × 6C6 + 8C3 × 5C5+ 8C4 × 4C4

= 8 + 28 + 56 + 70

= 162

Jadi, banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak ada kotak yang kosong adalah 162 cara

Akan tetapi jika diasumsikan 2 kotak mini tersebut bentuk dan jenisnya berbeda, maka pasangan yang mungkin adalah (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1).

Sehingga banyak cara seluruhnya, sebagai berikut

8C1 × 7C7 + 8C2 × 6C6 + 8C3 × 5C5+ 8C4 × 4C4 + 8C4 × 4C4 + 8C5 × 3C3+ 8C6 × 2C2+ 8C7 × 1C1

= 8 + 28 + 56 + 70 + 70 + 56 + 28 + 8

= 324

Jadi, banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak ada kotak yang kosong adalah 324 cara

8. Jika hasil penjumlahan empat dari enam pecahan

20 , 1 16 , 1 8 ,1 4 ,1 2

1 dan

40

1 adalah 10

9 , maka hasil kali dua pecahan lainnya adalah ….

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Pembahasan:

Untuk mengetahui hasil penjumlahan empat bilangan pecahan adalah 10

9 dan hasil kali dua pecahan lainnya, terlebih dulu disamakan penyebutnya, yaitu

20 , 1 16 , 1 8 ,1 4 ,1 2

1 dan

40

1 

80 , 4 80 , 5 80 ,10 80 ,20 80

40 dan

80 2 Kemudian didapat juga

10 9 

80 72.

Selanjutnya mencari 4 pecahan dari 6 pecahan tersebut sehingga apabila dijumlahkan sama dengan

80

72, yaitu

80 2 80 10 80 20 80

40   =

80 72

Dengan demikian hasil kali dua pecahan lainnya =

320 1 20

1 16

1 80

4 80

5    

Jadi, hasil kali dua pecahan lainnya adalah 320

1

9. Perhatikan gambar di bawah ini. ABC adalah segitiga sama sisi. PQ tegak lurus AB, PS tegak lurus AC, dan PR tegak lurus BC.

Jika PQ = 1, PR = 2, dan PS = 3, maka AB = ….

Pembahasan:

Perhatikan kembali gambar segitiga ABC sama sisi berikut

Dengan menggunakan teorema pythagoras didapat tinggi ABC: t = AB 2

3

Kemudian perhatikan luas ABC, luas APB, luas BPC dan luas APC, yakni Luas ABC = Luas APB + luas BPC + luas APC

t

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember AB ×

2

3AB = AB × 1 + AB × 2 + AB × 3

2

3AB = 6 AB =

3 12 AB = 4 3 Jadi, AB = 4 3

10. Diberikan dua segitiga dan delapan persegi dengan sifat – sifat berikut.

(i) Dua segitiga siku – siku berukuran sama. Panjang sisi tegaknya 2 dan 4 satuan. Kedua segitiga tersebut berwarna berbeda, satu berwarna biru, dan lainnya berwarna ungu.

(ii) Delapan persegi berukuran sama. Panjang sisi – sisinya 1 satuan. Tiga persegi berwarna merah, tiga persegi berwarna kuning, dan lainnya berwarna hijau.

Dua segitiga dan delapan persegi tersebut akan disusun berimpitan sehingga membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan yang akan dipakai sebagai hiasan dinding. Dengan memperhatikan komposisi warna yang berbeda, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan di atas adalah ….

Pembahasan:

Diketahui dua segitiga siku-siku berwarna berbeda, sehingga untuk mengatur susunan warnanya adalah 2! = 2.

Diketahui juga 8 persegi dengan 3 persegi berwarna merah, 3 persegi berwarna kuning, dan 2 persegi berwarna hijau, sehingga untuk mengatur ke-8 persegi tersebut adalah dengan

menggunapan formula permutasi berulang, P = 3! 3! 2!

! 8



 = 8 × 7 × 5 × 2 = 560

Selanjutnya kita mencari pola untuk model susunan 2 segitiga dan 8 persegi agar membentuk persegi dengan ukuran 4 × 4, yakni sebagai berikut

Sehingga banyak model susunan yang terbentuk adalah ada 2 model

Dengan demikian banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan = 2 × 560 × 2

= 1120 × 2

= 2240

Jadi, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan sesuai dengan aturan yang dimaksud adalah 2240 cara

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com

Model 1 Model 2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA