SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018

2. Jika _𝑛¹− ¹

3𝑛+^𝑛

3− ¹

2𝑛= ³

2𝑛, maka jumlah nilai 𝑛 yang mungkin adalah ….

A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 JAWAB 1 𝑛− 1

3𝑛+𝑛 3− 1

2𝑛= 3 2𝑛 6

6𝑛− 2

6𝑛+2𝑛² 6𝑛 − 3

6𝑛= 9 6𝑛 2𝑛²+ 1

6𝑛 = 9 6𝑛 2𝑛²+ 1 = 9 2𝑛²− 8 = 0 𝑛²− 4 = 0

(𝑛 + 2)(𝑛 − 2) = 0 𝑛 = −2 atau 𝑛 = 2

Jumlah nilai 𝒏 = −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 Jawaban : C

3. Dari gambar berikut ini diketahui 𝐴𝑃 = 11 cm, 𝑂𝐴 = 2 cm

Pernyataan yang salah adalah ….

A. Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 adalah 22 cm B. 𝑂𝑃 = 5√5 cm

C. 𝐸𝑃 = 5√5 − 2 cm D. 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸

JAWAB

𝐴𝑃 merupakan garis singgung lingkaran, sehingga 𝐴𝑃 ⊥ 𝐴𝑂. Oleh karena itu, 𝑂𝑃 = √𝐴𝑃²+ 𝐴𝑂²

𝑂𝑃 = √11²+ 2² 𝑂𝑃 = √121 + 4 𝑂𝑃 = √125

𝑂𝑃 = 5√5 cm (jawaban B benar)

Diketahui 𝐴𝑃 = 𝐵𝑃 = 11 𝑐𝑚

𝐴𝑂 dan 𝑂𝐸 merupakan jari-jari lingkaran. 𝐴𝐷 dan 𝐷𝐸 merupakan garis singgung lingkaran. Oleh karena itu, 𝑂𝐴𝐷𝐸 merupakan layang-layang. Akibatnya, 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸. (jawaban D benar)

A

B O

D E

F

P

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐷𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝑃 + 𝐷𝑃 ~ karena 𝐷𝐸 = 𝐴𝐷 dan 𝐸𝐹 = 𝐵𝐹 Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐹 + 𝐹𝑃 + 𝐷𝑃

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = (𝐴𝐷 + 𝐷𝑃) + (𝐵𝐹 + 𝐹𝑃) Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝐵𝑃

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 11 + 11 = 22 𝑐𝑚 (jawaban A benar)

Jawaban : C

4. Bilangan prima 𝑝 dan 𝑞 masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan 𝑝 dan 𝑞 merupakan bilangan dua digit yag digitnya sama. Jika bilangan tiga digit 𝑟 merupakan perkalian 𝑝 dan 𝑞, maka dua nilai 𝑟 yang mungkin adalah ….

A. 121 dan 143 B. 169 dan 689 C. 403 dan 989 D. 481 dan 121 JAWAB

Bilangan prima dua digit : 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97.

Bilangan prima yang jika dijumlahkan menghasilkan bilangan dengan digit sama adalah 13 dan 31, 23 dan 43.

Sehingga,

 13 + 31 = 44 → 13 × 31 =𝟒𝟎𝟑

 23 + 43 = 66 → 23 × 43 =𝟗𝟖𝟗 Jawaban : C

5. Sebuah wajah memuat 5 bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola-bola tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa pada setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah ….

A. ₄₄₈¹ B. ₂₈₀⁷ C. ₅₆¹ D. ¹

7

JAWAB

Peluang terambilnya bola berbeda warna:

= ₅𝐶₁. 𝐶_{3 1} 𝐶₂

8

× ₄𝐶₁. 𝐶_{2 1} 𝐶₂

6

× ₃𝐶₁. 𝐶_{1 1} 𝐶₂

4

= 5 × 3 8.7 1.2

×4 × 2 6.5 1.2

×3 × 1 4.3 1.2

=5 × 3 × 4 × 2 × 3 × 1 4 × 7 × 3 × 5 × 2 × 3

=1 7

6. Diketahui 𝐹 = {5, 6, 7, 8, … . ,44, 45} dan 𝐺 adalah himpunan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan.

Anggota 𝐹 ∩ 𝐺 sebanyak ….

A. 14 B. 20 C. 25 D. 26 JAWAB

𝐹 = {5, 6, 7, 8, … . ,44, 45}

𝐹 ∩ 𝐺 adalah anggota 𝐹 yang merupakan anggota 𝐺

 𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 3 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) = 3𝑎 + 3 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, ….

𝐹 ∩ 𝐺 ={𝟔, 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟏, 𝟐𝟒, 𝟐𝟕, 𝟑𝟎, 𝟑𝟑, 𝟑𝟔, 𝟑𝟗, 𝟒𝟐, 𝟒𝟓 }

 𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 4 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + (𝑎 + 3) = 4𝑎 + 6 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, ….

𝐹 ∩ 𝐺 ={𝟏𝟎,𝟏𝟒,18,𝟐𝟐,𝟐𝟔,30,𝟑𝟒,𝟑𝟖,42 }

 𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 5 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + (𝑎 + 3) + (𝑎 + 4) = 5𝑎 + 10 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, ….

𝐹 ∩ 𝐺 ={15,𝟐𝟎,𝟐𝟓,30,𝟑𝟓,𝟒𝟎,45 }

 𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 6 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 6𝑎 + 15 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, ….

𝐹 ∩ 𝐺 = {21, 27, 33, 39, 45 }

 𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 7 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 7𝑎 + 21 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3 𝐹 ∩ 𝐺 ={𝟐𝟖,35, 42 }

 𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 8 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 8𝑎 + 28 ~ untuk 𝑎 = 1, 2 𝐹 ∩ 𝐺 ={36,𝟒𝟒 }

 𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 9 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 9𝑎 + 36 ~ untuk 𝑎 = 1

𝐹 ∩ 𝐺 = {45}

Jadi 𝐹 ∩ 𝐺 =

{𝟔, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓, 𝟐𝟔, 𝟐𝟕, 𝟐𝟖, 𝟑𝟎, 𝟑𝟑, 𝟑𝟒, 𝟑𝟓, 𝟑𝟔, 𝟑𝟖, 𝟑𝟗, 𝟒𝟎, 𝟒𝟐, 𝟒𝟒, 𝟒𝟓}

Ada sebanyak 26. Jawaban : D

7. Kubus ABCD.PQRS memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika E titik tengah 𝑃𝑄 dan 𝐹 titik tengah 𝑄𝑅, maka luas daerah 𝐴𝐶𝐹𝐸 adalah …. cm²

A. 16 B. 18 C. 32 D. 64 JAWAB

 𝐴𝐶 diagonal sisi sehingga 𝐴𝐶 = 4√2 cm

 𝐿𝐾 = 𝑄𝐵 = 4 cm

 𝑂𝐾 =¹

4× 4√2 = √2 cm

 Segitiga 𝑂𝐿𝐾 siku-siku di 𝐾, sehingga 𝑂𝐿 = √𝐿𝐾²+ 𝑂𝐾²

𝑂𝐿 = √4²+ (√2)²

𝑂𝐿 = √16 + 2

𝑂𝐿 = √18 = 3√2 cm

 Segitiga 𝐸𝑄𝐹 siku-siku di 𝑄, sehingga 𝐸𝐹 = √𝐸𝑄²+ 𝑄𝐹²

𝐸𝐹 = √2²+ 2² 𝑂𝐿 = √4 + 4

𝑂𝐿 = √8 = 2√2 cm

 Luas trapezium 𝐴𝐶𝐹𝐸

=1

2× (𝐴𝐶 + 𝐸𝐹) × 𝑂𝐿

=1

2× (4√2 + √2) × 3√2

=1

2× (4√2 + 2√2) × 3√2

= 3√2 × 3√2

= 18 cm²

Jawaban : B

A B

D C

P Q

S R

E

F

O T

4 4√2

4 K L 2 2

A C

E L F

O 4√2

√2

3√2

8. Grafik di bawah ini menggambarkan gerakan dua kendaraan bermotor.

Pernyataan yang salah adalah ….

A. Kecepatan terendah kedua untuk kendaraan A yaitu pada detik ke-4 hingga detik ke-10 B. Kecepatan tertinggi kendaraan B dicapai pada

detik ke-18 hingga detik ke-23

C. Pada detik ke-10 hingga detik ke-15 kendaraan A dan B berhenti

D. Sampai dengan km 1 rata-rata kecepatan A lebih besar daripada kecepatan kendaraan B JAWAB

Perhatikan grafik.

 Pada detik ke-10 sampai ke-15 grafik kendaraan A horizontal, artinya tidak pertambahan jarak sehingga bisa dikatakan berhenti. Jawaban C benar.

 Pada detik ke-10 sampai ke-15 grafik kendaraan A berhenti sehingga kecepatannya 0, sedangkan pada detik ke-4 sampai ke-10, grafik tidak mengalami banyak kenaikan disbanding dengan yang lain, sehingga dapat dikatakan pada detik ke-4 sampai ke-10 merupakan kecepatan terendah kedua. Jawaban A benar.

 Untuk jarak 1 km, kendaan A memerlukan waktu 20 detik, sedangkan kendaraan B memerukan waktu 23 detik, sehingga bias dikatakan kecepatan rata-rata A lebih besar dari B. Jawaban D benar.

 Grafik kendaraan B pada detik ke-2 sampai ke-8 lebih tegak daripada pada detik ke-18 sampai ke-23. Sehingga dapat dikatakan kecepatan tertinggi terjadi pada detik ke-2 sampai ke-8.

Jawaban B salah.

Jawaban : B

9. Perhatikan gambar berikut.

Persamaan garis hasil transformasi rotasi R[O,180] dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥 terhadap garis 𝐴𝐵 adalah ….

A. 𝑦 = 2𝑥 + 4 B. 𝑦 = 2𝑥 − 4 C. 𝑦 = −2𝑥 + 4 D. 𝑦 = −2𝑥 − 4 JAWAB

𝑨(𝒙, 𝒚)^{𝑹[𝑶,𝟏𝟖𝟎°]}→ 𝑨′(−𝒙, −𝒚)^𝑴→ 𝑨′′(𝒚, 𝒙) ^𝒚=−𝒙 𝐴(0,2)^{𝑅[𝑂,180°]}→ 𝐴′(0, −2)^𝑀→ 𝐴′′(2,0) ^𝑦=−𝑥 𝐵(4,4)^{𝑅[𝑂,180°]}→ 𝐴′(−4, −4)^𝑀→ 𝐴′′(4,4) ^𝑦=−𝑥

A

B

(0,2)

(4,4)

Persamaan gari yang melalui A” dan B” adalah 𝑦 − 𝑦₁

𝑦₂− 𝑦₁ = 𝑥 − 𝑥₁ 𝑥₂− 𝑥₁ 𝑦 − 0

4 − 0=𝑥 − 2 4 − 2 𝑦

4=𝑥 − 2 2

𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒 Jawaban : B

10. Jika 0 < 𝑎 < 1 dan grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)²+ 2𝑎 berada di bawah grafik fungsi 𝑦 = (𝑎²+ 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1), maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah ….

A. 0 < 𝑥 < 3 B. 𝑎 < 𝑥 < 3 C. 𝑎 + 1 < 𝑥 < 3 D. 3 < 𝑥 < 3 + 𝑎 JAWAB

𝑎(𝑥 − 1)²+ 2𝑎 < (𝑎²+ 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1) 𝑎(𝑥²− 2𝑥 + 1) + 2𝑎 < (𝑎²+ 2𝑎)𝑥 + (𝑎²+ 2𝑎) − 4𝑎²− 2𝑎

𝑎𝑥²− 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 2𝑎 < (𝑎²+ 2𝑎)𝑥 − 3𝑎² 𝑎𝑥²− 2𝑎𝑥 − (𝑎²+ 2𝑎)𝑥 + 3𝑎²+ 3𝑎 < 0

𝑎𝑥²− (𝑎²+ 4𝑎)𝑥 + 3(𝑎²+ 𝑎) < 0 dibagi 𝑎 𝑥²− (𝑎 + 4)𝑥 + 3(𝑎 + 1) < 0

(𝑥 − (𝑎 + 1))(𝑥 − 3) < 0 Pembuat nol 𝑥 = 𝑎 + 1 atau 𝑥 = 3 Karena 0 < 𝑎 < 1 maka 𝑎 + 1 < 3

𝒂 + 𝟏 < 𝒙 < 𝟑 Jawaban : C

11. Nilai 𝑥 dan 𝑦 pada gambar berikut adalah ….

A. 𝑥 = 74°; 𝑦 = 104°

B. 𝑥 = 37°; 𝑦 = 104°

C. 𝑥 = 74°; 𝑦 = 114°

D. 𝑥 = 37°; 𝑦 = 106°

JAWAB

 ∠𝐴𝐶𝐷 = 180° − 61° = 119°

 ∠𝐴𝐶𝐷 + ∠𝐴𝐶𝐹 + ∠𝐹𝐶𝐷 = 360°

119° + 135° + 𝑦 = 360°

254° + 𝑦 = 360°

𝑦 = 360° − 254°

𝑦 = 106°

 ∠𝐸𝐶𝐹 = 180° − 135° = 45°

 ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐸𝐶𝐹 119° − 2𝑥 = 45°

2𝑥 = 119° − 45°

2𝑥 = 74°

135°

𝑦

61° 2𝑥

135°

𝑦

61° 2𝑥

119° − 2𝑥

A

B C

D E

F

𝑎 + 1 3

12. Grafik berikut menunjukkan persentase peserta berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan tabel di bawahnya menunjukkan jumlah peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.

Tahun Jumlah Peserta

Ujian Jumlah lulusan Persentase lulusan laki-laki

Persentase lulusan perempuan

2013 1400 800 60 40

2014 800 660 50 50

2015 1000 500 45 55

2016 500 400 48 52

2017 1100 800 64 36

Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahuan adalah …. orang.

A. 454 B. 476 C. 494 D. 536 JAWAB

Tahun

Jumlah Peserta Ujian

Jumlah peserta

perempuan Jumlah

lulusan lulusan perempuan

Perempuan yang tidak lulus

2013 1400 40

100× 1400 = 560 800 40

100× 800 = 320 560 − 320 = 240

2014 800 50

100× 800 = 400 660 50

100× 660 = 330 400 − 330 = 70

2015 1000 36

100× 1000 = 360 500 55

100× 500 = 275 360 − 275 = 85

2016 500 45

100× 500 = 225 400 52

100× 400 = 208 225 − 208 = 17

2017 1100 30

100× 1100 = 330 800 36

100× 800 = 288 330 − 288 = 42

JUMLAH 𝟒𝟓𝟒

Jawaban : A

13. Menjelang tahun baru, harga sejenis pakaian olahraga dipotong (didiskon) dua kali seperti dinyatakan pada gambar di samping. Jika harga mula-mula suatu pakaian Rp 400.000,00, maka seseorang yang membeli pakaian tersebut harus membayar sebesar ….

A. Rp 124.000,00 B. Rp 136.000,00 C. Rp 276.000,00 D. Rp 300.000,00 JAWAB

Harga setelah diskon pertama

=100 − 60

100 × 𝑅𝑝 400.000,00

= 40

100× 𝑅𝑝 400.000,00

= 𝑅𝑝 160.000,00

Harga setelah diskon kedua

=100 − 15

100 × 𝑅𝑝 160.000,00

= 85

100× 𝑅𝑝 160.000,00

= 𝑹𝒑 𝟏𝟑𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 Jawaban : B

14. Pada suatu data terdapat 21 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 16.

Median dari data adalah 10. Rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah ….

A. 5,0 B. 5,5 C. 6,0 D. 6,5 JAWAB

Kemungkinan bilangan : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 16 Rata-rata =10×1+10×10+16

21

Rata-rata =^10+100+16₂₁ Rata-rata =¹²⁶

21 =𝟔 Jawaban : C

15. Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 5 jika dibagi 7 adalah ….

A. ₄₅¹ B. ₃₀¹ C. ¹₈ D. ¹₄ JAWAB

Bilangan dua digit dari 10 – 99 = 90 bilangan

Bilangan dua digit penyusun prima = 22, 23, 25, 27, 32, 33, 35, 37, 52, 53, 55, 57, 72, 73, 75, 77 Bilangan dua digit penyusun prima bersisa 5 jika dibagi 7 = 33 dan 75 (ada 2 bilangan)

16. Semua bilangan real 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan 2(𝑥+3)−5√𝑥+2

𝑥+2 ≥ 0 adalah ….

A. 𝑥 ≤ −⁷

4 atau 𝑥 ≥ 2 B. −2 < 𝑥 ≤ −⁷₄ atau 𝑥 ≥ 2 C. 0 ≤ 𝑥 ≤ −⁷

4 atau 𝑥 ≥ 12 D. −⁷

4≤ 𝑥 ≤ 2 JAWAB

Agar 2(𝑥+3)−5√𝑥+2

𝑥+2 ≥ 0 maka ada dua kemungkinan

 𝑥 + 2 positif dan 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 non negatif

 𝑥 + 2 > 0 maka 𝑥 > −2 pertidaksamaan (i)

 Misal 𝑥 + 2 = 𝑦 maka 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 = 2(𝑦 + 1) − 5√𝑦 2(𝑦 + 1) − 5√𝑦 ≥ 0

2𝑦 + 2 ≥ 5√𝑦 kuadratkan kedua ruas (2𝑦 + 2)²≥ (5√𝑦)²

4𝑦²+ 8𝑦 + 4 ≥ 25𝑦 4𝑦²+ 8𝑦 − 25𝑦 + 4 ≥ 0 4𝑦²− 17𝑦 + 4 ≥ 0 (4𝑦 − 1)(𝑦 − 4) ≥ 0

4𝑦 − 1 = 0 atau 𝑦 = 4 𝑦 =¹₄ atau 𝑦 = 4

𝑦 ≤¹

4 atau 𝑦 ≥ 4 𝑥 + 2 ≤¹

4 atau 𝑥 + 2 ≥ 4 𝑥 ≤¹

4− 2 atau 𝑥 ≥ 4 − 2

𝑥 ≤ −⁷₄ atau 𝑥 ≥ 2 pertidaksamaan (ii) Gabungan (i) dan (ii)

−2 < 𝑥 ≤ −⁷

4 atau 𝑥 ≥ 2

 𝑥 + 2 negatif dan 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 non positif

 Karena 𝑥 + 2 < 0 maka √𝑥 + 2 merupakan bilangan imajiner (tidak memenuhi) Jawaban : B

1ൗ4 4

−7 4

−2 2

17. Diketahui 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi (𝑥 + 2𝑦)^𝑧 = 64 ada sebanyak ….

A. 4 B. 32 C. 35 D. 36 JAWAB

(𝑥 + 2𝑦)^𝑧 = 64 = 64¹= 8²= 4³= 2⁶

 Untuk 𝑧 = 1 maka 𝑥 + 2𝑦 = 64 𝑥 = 64 − 2𝑦

Untuk 𝑦 = 1 maka 𝑥 = 62 Untuk 𝑦 = 2 maka 𝑥 = 60 Untuk 𝑦 = 3 maka 𝑥 = 58 .

. .

Untuk 𝑦 = 31 maka 𝑥 = 2 (ada 31 triple)

 Untuk 𝑧 = 2 maka 𝑥 + 2𝑦 = 8 𝑥 = 8 − 2𝑦

Untuk 𝑦 = 1 maka 𝑥 = 6 Untuk 𝑦 = 2 maka 𝑥 = 4

Untuk 𝑦 = 3 maka 𝑥 = 2 (ada 3 triple)

 Untuk 𝑧 = 3 maka 𝑥 + 2𝑦 = 4 𝑥 = 4 − 2𝑦

Untuk 𝑦 = 1 maka 𝑥 = 2 (ada 1 triple)

 Untuk 𝑧 = 6 maka 𝑥 + 2𝑦 = 2

𝑥 = 2 − 2𝑦 ( tidak ada triple)

Jadi ada 35 triple Jawaban : C

18. Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga lahir (kembar) adalah 12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka usia anak pertama adalah …. tahun.

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 JAWAB

 Misal usia suami saat menikah adalah 𝒔, dan usia istri saat menikah adalah 𝒊.

𝑠 + 𝑖

2 = 25 → 𝑠 + 𝑖 = 50

 Misal anak pertama lahir setelah usia pernikahan 𝑎 tahun, dan anak baru lahir dianggap berusia 0 tahun.

(𝑠 + 𝑎) + (𝑖 + 𝑎) + 0

3 = 18 → 𝑠 + 𝑖 + 2𝑎 = 54

→ 50 + 2𝑎 = 54 → 2𝑎 = 4 → 𝑎 = 2 Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 50 + 2 × 2 = 54 tahun

 Misal anak kedua lahir setelah anak pertama berusia 𝑏 tahun, dan anak baru lahir dianggap berusia 0 tahun.

(𝑠 + 𝑏) + (𝑖 + 𝑏) + 𝑏 + 0

4 = 15 → 𝑠 + 𝑖 + 3𝑏 = 60 → 54 + 3𝑏 = 60 → 3𝑏 = 6 → 𝑏 = 2

Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 54 + 2 × 2 = 58 tahun dan anak pertama berusia 2 tahun

 Misal anak ketiga kembar lahir setelah anak kedua berusia 𝑐 tahun, dan anak baru lahir dianggap berusia 0 tahun.

(𝑠 + 𝑐) + (𝑖 + 𝑐) + (2 + 𝑐) + 𝑐 + 2.0

6 = 12 → 𝑠 + 𝑖 + 4𝑐 + 2 = 72 → 58 + 4𝑐 + 2 = 72 → 4𝑐 = 12 → 𝑐 = 3

Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 58 + 2 × 3 = 64 tahun dan anak pertama berusia 5 tahun dan anak kedua berusia 3 tahun.

 Misal pada saat ini, anak ketiga berusia 𝑥 tahun, maka anak kedua berusia 3 + 𝑥, anak pertama berusia 5 + 𝑥, dan jumlah usia suami istri 64 + 2𝑥.

(64 + 2𝑥) + (5 + 𝑥) + (3 + 𝑥) + 2𝑥

6 = 16 → 72 + 6𝑥 = 96 → 6𝑥 = 24

→ 𝑥 = 4 Pada saat ini, anak pertama berusia = 5 + 4 = 9 tahun.

Jawaban : C 19. Perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶 dan lingkaran dalam pada gambar di bawah.

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 samasisi dengan 𝐶𝐷 = 6 𝑐𝑚, maka luas daerah lingkaran dalam adalah …. cm². A. 16𝜋

B. 12𝜋 C. 9𝜋 D. 4𝜋 JAWAB

𝐴𝐷 = √12²− 6² 𝐴𝐷 = √144 − 36 𝐴𝐷 = √108 = 6√3

Karena pusat O merupakan perpotongan garis tinggi maka Jari-jari 𝑂𝐷 =¹₃× 6√3 = 2√3 cm

Luas lingkaran = 𝜋 × (2√3)²=𝟏𝟐𝝅 cm² Jawaban : B A

B C

D F E

A

B C

D F E

6 cm 12 cm O

2

1

20. Diberikan ∆𝐴𝐵𝐶. Jika 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 1 𝑐𝑚 dan 𝐵𝐶 = √3 cm, maka luas ∆𝐴𝐵𝐶 adalah …. cm². A. ¹

2√2 B. ¹₂√3 C. ¹

4√3 D. ¹₄ JAWAB

𝐴𝐷 = √1²− (1 2√3)

2

𝐴𝐷 = √1 −3 4

𝐴𝐷 = √1 4=1

2 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =¹

2× 𝐴𝐷 × 𝐵𝐶 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =¹

2×¹

2× √3 =^𝟏

𝟒√𝟑 Jawaban : C

21. Dealer sepeda motor menjual empat jenis sepeda motor yaitu 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆. Persentase pajak dan ongkos kirim sepeda motor dihitung berdasarkan harga pokok. Persentase laba dihitung berdasarkan hasil penjumlahan dari harga pokok, pajak, dan ongkos kirim sebagaimana tabel berikut.

Jenis motor 𝑷 𝑸 𝑹 𝑺

Harga pokok 11.000.000 10.400.0000 10.700.000 11.300.000

Pajak 5% 6% 7% 5%

Ongkos kirim 7% 10% 9% 6%

Laba 12% 12% 12% 10%

Jika harga beli adalah penjumlahan dari harga pokok beserta pajak dan ongkos kirim, maka harga jual sepeda motor paling mahal adalah jenis ….

A. 𝑃 B. 𝑄 C. 𝑅 D. 𝑆 JAWAB

Jenis

motor 𝑷 𝑸 𝑹 𝑺

Harga

pokok 11.000.000 10.400.0000 10.700.000 11.300.000

Pajak 5

100× 11.000.000

= 550.000

6

100× 10.400.000

= 624.000

7

100× 10.700.000

= 749.000

5

100× 11.300.000

= 565.000 Ongkos

kirim

7

100× 11.000.000

= 770.000

10

100× 10.400.000

= 1.040.000

9

100× 10.700.000

= 963.000

6

100× 11.300.000

= 678.000

Jumlah 12.320.000 12.064.000 12.412.000 12.543.000

Laba 12

100× 12.320.000

= 1.478.400

12

100× 12.064.000

= 1.447.680

12

100× 12.412.000

= 1.489.440

10

100× 12.543.000

= 1.254.300 Jumlah

13.798.400 13.511.680 13.901.440 13.797.300

A

B C

1

√3

1 2√3 D

22. Diketahui 𝑥⁴𝑦⁵𝑧²< 0 dan 𝑥𝑧 < 0. Pernyataan berikut yang benar adalah ….

A. 𝑥𝑦𝑧 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0 B. ^𝑦𝑧_𝑥 < 0, jika 𝑥𝑦 < 0 C. 𝑥𝑦 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0 D. 𝑥𝑦 > 0, jika 𝑦𝑧 > 0 JAWAB

𝑥𝑧 < 0 berarti ada 2 kemungkinan.

 𝑥 positif dan 𝑧 negatif

Karena 𝑥⁴𝑦⁵𝑧²< 0 maka 𝑦 negative.

Cek jawaban satu persatu. Didapat jawaban C benar:

𝑥𝑦 < 0 → 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 × 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑦𝑧 > 0 → 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 × 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓

 𝑥 negatif dan 𝑧 positif

Karena 𝑥⁴𝑦⁵𝑧²< 0 maka 𝑦 negative.

Cek jawaban satu persatu. Tidak ada jawaban benar. Jawaban : C

23. Pada sebuah laci terdapat beberapa kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah ¹

2. Jika banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih adalah

….

A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 JAWAB

Misalkan ℎ = banyak kaos kaki hitam 𝑝 = banyak kaos kaki putih

𝐶₂

𝑝

𝐶2 ℎ+𝑝

=1 2 𝑝!

(𝑝 − 2)! .2!

(ℎ + 𝑝)!

(ℎ + 𝑝 − 2)! .2!

=1 2

2 × 𝑝!

(𝑝 − 2)! .2!= (ℎ + 𝑝)!

(ℎ + 𝑝 − 2)! .2!

2 ×𝑝. (𝑝 − 1). (𝑝 − 2)!

(𝑝 − 2)! .2! =(ℎ + 𝑝). (ℎ + 𝑝 − 1)(ℎ + 𝑝 − 2)!

(ℎ + 𝑝 − 2)! .2!

2. 𝑝. (𝑝 − 1) = (ℎ + 𝑝). (ℎ + 𝑝 − 1) 2𝑝²− 2𝑝 = ℎ²+ 2ℎ𝑝 + 𝑝²− ℎ − 𝑝 𝑝²− 𝑝 = ℎ²+ 2ℎ𝑝 − ℎ

𝑝²− 𝑝 = ℎ²+ (2𝑝 − 1)ℎ ℎ²+ (2𝑝 − 1)ℎ − (𝑝²− 𝑝) = 0

 Untuk 𝑝 = 12 maka ℎ²+ 23ℎ − 132 = 0 Dengan menggunakan rumus ℎ =^{−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎 didapat ℎ =4,7557… dan ℎ =-27,7558… (bukan bilangan genap). Jawaban A salah.

 Untuk 𝑝 = 15 maka ℎ²+ 29ℎ − 210 = 0

Dengan menggunakan rumus ℎ =^{−𝑏±√𝑏}_2𝑎^{2−4𝑎𝑐} didapat ℎ = −35 dan 𝒉 = 𝟔 (bilangan genap).

Jawaban B benar.

 Untuk 𝑝 = 18 maka ℎ²+ 35ℎ − 324 = 0 Dengan menggunakan rumus ℎ =^{−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎 didapat ℎ = 7,6047… dan ℎ = - 42,6048…(bukan bilangan genap). Jawaban C salah.

 Untuk 𝑝 = 21 maka ℎ²+ 41ℎ − 420 = 0

Dengan menggunakan rumus ℎ =^{−𝑏±√𝑏}_2𝑎^{2−4𝑎𝑐} didapat ℎ = 8,4870… dan ℎ = -49.4871… (bukan bilangan genap). Jawaban D salah.

Jawaban : B

24. Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan bulat positif dengan 𝑦 > 1, sehingga 𝑥^𝑦= 3¹⁸5³⁰, maka nilai 𝑥 − 𝑦 yang mungkin adalah ….

A. 84375 B. 84369 C. 84363 D. 84357 JAWAB 𝑥^𝑦= 3¹⁸. 5³⁰ 𝑥^𝑦= (3³)⁶. (5⁵)⁶ 𝑥^𝑦= 27⁶. 3125⁶ 𝑥^𝑦= 84375⁶

Dari bentuk terakhir dapat dilihat bahwa 𝑥 = 84375 dan 𝑦 = 6, sehingga

𝑥 − 𝑦 = 84375 − 6 =𝟖𝟒𝟑𝟔𝟗 Jawaban : B

25. Salah satu contoh situasi untuk system persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 6000 dan 3𝑥 + 𝑦 = 6000 adalah ….

A. Dua orang siswa membeli pensil dan penghapus seharga Rp 6.000,00. Salah satu siswa tersebut membeli pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

B. Dua orang siswa membeli pensil dan tiga buah penghapus seharga Rp 6.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00.

Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

C. Seorang siswa akan membeli dua buah pensil dan tiga buah penghapus. Siswa tersebut memiliki uang Rp 12.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

D. Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00.

Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

JAWAB

Jelas jawaban D benar

misalkan banyak penghapus = 𝑥 dan banyak pensil = 𝑦

Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00.

Bentuk matematika : 3𝑥 + 𝑦 = 6000

Dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00.

Bentuk matematika : 𝑥 + 2𝑦 = 6000