OSK SMP 2017
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMP 2017
OSK Matematika SMP
(Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMP)
Disusun oleh:
PEMBAHASAN SOAL
prima tersebut adalah 2. Bilangan prima genap 2 hanya dimungkinkan diperoleh dari .Sehingga,
Maka untuk , diperoleh ketiga bilangan prima tersebut adalah 2, 3, dan 7. Jadi, jumlah ketiga bilangan prima tersebut adalah .
Jawaban: A. 12
3. Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh tiga siswa , , dan . Berdasarkan grafik tersebut pernyataan yang benar adalah ….
A. Pelari C selalu berlari paling depan. B. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.
C. Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis.
D. Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan.
Pembahasan:
Dapat diamati pada grafik bahwa jarak tempuh adalah 100 m ditandai dengan garis putus-putus. Kemiringan garis menyatakan kecepatan gerak lari dari pelari.
Sehingga, pelari A mula-mula bergerak dengan kecepatan tinggi, sebelum akhirnya berhenti setelah menempuh jarak 80 m.
Sedangkan pelari B bergerak semakin melambat setelah 10 detik. Dan pelari C bergerak semakin cepat setelah 10 detik.
Untuk waktu tempuhnya, pelari A tidak sampai di garis finis. Pelari B membutuhkan waktu 18 detik untuk tiba di garis finis.
Sedangkan pelari C lebih cepat sehingga membutuhkan waktu 16 detik saja untuk finis.
Ketiga pelari berpapasan satu sama lain pada jarak 80. Hal itu dapat dilihat pada perpotongan ketiga grafik di titik (16, 80).
Sehingga kesimpulannya pelari B disusul C sebelum garis finish….
4. Jika bilangan bulat positif dan merupakan solusi sistem persamaan linear
Sekarang perhatikan informasi di soal, bahwa dan harus bilangan bulat positif.
Untuk memastikan bahwa dan adalah suatu bilangan bulat, maka coba pandang bentuk
dan .
Sehingga jelas bahwa bentuk pembilang keduanya haruslah kelipatan 5 agar dapat diperoleh masing-masing dan adalah bilangan bulat.
Sehingga, pilih pada interval agar bentuk dan kelipatan 5.
Jadi, ada 3 nilai yang mungkin adalah 7, 12, 17
5. Diketahui fungsi memenuhi persamaan , untuk . Nilai sama dengan ….
A.
B.
C.
D.
Pembahasan:
Gunakan dan , agar mendapatkan sistem persamaan linear dalam dan .
Jawaban: B.
6. Pada jajar genjang , jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm dan jarak antara sepasang sisi sejajar lainnya adalah cm. Luas jajar genjang ABCD adalah ….
A. minimal 36 cm2. B. tepat 36 cm2. C. maksimal 36 cm2.
D. Antara 36 cm2 dan 81 cm2.
Pembahasan:
Perhatikan, unsur yang diketahui pada soal hanyalah dua buah jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang.
Perhatikan ilustrasi berikut,
(i) (ii) (iii)
Perhatikan pada tiga gambar di atas. Terdapat dua lingkaran berjari-jari 4 dan 9 sebagai perwakilan jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang. Luas jajar genjang dapat bervariasi apabila kita memutar salah satu pasangan sisi sejajar..
Sehingga jelas bahwa pada gambar (i) merupakan luas minimal jajaran genjang yaitu saat kedua pasang sisi sejajar saling tegak lurus. Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas persegi panjang berukuran 4 dan 9:
cm2.
Sedangkan pada gambar (ii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (i).
Dan juga pada gambar (iii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (ii).
Begitu seterusnya hingga kedua pasang sisi sejajar nyaris berhimpit, maka luasnya menjadi tak hingga.
Jadi, jawabannya adalah luas jajar genjang minimal 36 cm2.
Cara Alternatif 1:
Perhatikan jajar genjang ,
Apabila kita tarik garis jarak dua garis sejajar bernilai pada salah satu titik sudut jajar genjang, maka misal garis tersebut adalah , dan sudut , maka:
sin sin
Padahal luas jajar genjang adalah:
sin
sin
Kita tahu bahwa dan ,
sin sin
sin
sin
Perhatikan juga bahwa , jadi: sin
kalikan dengan
Jadi, jelas bahwa diperoleh , ini artinya bahwa luas jajar genjang minimal adalah 36 cm2.
Jawaban: A. minimal 36 cm2. 9
Cara Alternatif 2:
7. Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 1 satuan panjang dan . Luas daerah trapesium yang diarsir adalah ….
A.
B. 1
C.
D.
Pembahasan:
Ingat perbandingan istimewa pada segitiga siku-siku dengan sudut yang lain 30° dan 60°, perbandingan sisi-sisinya adalah
Karena panjang , maka jelas dan . Dan panjang serta
Jadi, luas trapesium adalah:
Jawaban: B. 1.
1
1
Dengan menggunakan kesamaan luas , maka
Sehingga karena kongruen dengan , maka
Sehingga panjang lintasan adalah: panjang lintasan
Jawaban: D.
9. Diketahui … dan adalah himpunan bagian dari yang mempunyai 4 anggota. Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan
yang mungkin adalah A. 1.980
B. 148.995 C. 297.990 D. 299.970
Pembahasan dengan Ralat Soal :
Ralat soal Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah seharusnya menjadi Jika semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah
Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah …
Kasus 2:
Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan ganjil yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah … penulis dan pembuat soal sebenarnya meletakkan alternatif jawaban benar pada opsi jawaban D.
BAGIAN B: ISIAN SINGKAT
1. Diketahui dan adalah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai yang memenuhi pertidaksamaan
, maka nilai terbesar yang mungkin adalah ….
Pembahasan:
2. Nilai . . . . sama dengan ….
Pembahasan:
Pandang bentuk sebagai bentuk deret geometri dengan dan , maka diperoleh:
Sehingga,
Dan seterusnya…..
Sehingga
. . . . .
.
.
Cara Alternatif:
Misal . . . .
. . . .
Maka dari dua persamaan di atas, diperoleh:
.
.
.
.
3. Diketahui adalah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan dan adalah solusi persamaan serta bilangan dan adalah solusi persamaan . Nilai sama dengan ….
Pembahasan:
penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh: ….….….
………..
penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh: ……..….
………..
Jumlah persamaan (1) dan (2)
………..
Eliminasi dan pada persamaan (1) dan (3), diperoleh:
Substitusikan ke persamaan (2) dan (4), diperoleh:
A B C D E
5. Tersedia 10 loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank. Terdapat sejumlah pelanggan yang sedang berada dalam satu baris antrian. Peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah ….
Pembahasan:
Misal loket tersebut diilustrasikan pada gambar berikut:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tidak diketahui secara jelas jumlah pelanggan, namun pada soal disajikan lima pelanggan pertama, misalkan .
Maka, banyak kejadian keempat orang pertama dilayani di loket berbeda dan orang kelima pada antrian loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya adalah .
Sedang seluruh kejadian yang mungkin untuk kelima orang pertama tersebut adalah .
Jadi, peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah:
Pembahasan soal OSK Matematika SMP 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
