BAB 6
EKUIVALENSI LOGIS
1.
Pendahuluan
Bab ini akan membahas persamaan-persamaan antara dua buah ekspresi logika yang mungkin ekuivalen (sama), mungkin berbeda, yang kesamaan atau perbedaan tadi akan dibuktikan dengan tabel kebenaran.
2.
Ekuivalensi logis
Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A↔B adalah tautologi. Notasi A≡B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat digantikan dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk.
Pada tautologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa dua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi. Tetapi pada contingent disebut ekuivalen jika urutan T dan F pada tabel kebenaran harus tetap pada urutan yang sama atau jika kedua proposisi tersebut mempunyai tabel kebenaran yang identik.
Contoh:
1) Dewi sangat cantik dan peramah 2) Dewi peramah dan sangat cantik
Kedua pernyataan di atas tanpa dipikir panjang akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika:
A = Dewi sangat cantik B = Dewi peramah
Maka ekpresi logika tersebut adalah:
1) A B
2) B A
A B A B B A A B ↔B A
T T T T T
T F F F T
F T F F T
F F F F T
3.
Komutatif
Pada contoh di atas, telah dibuktikan bahwa A ∧ B ≡ B ∧ A . Pada perangkai ∧, kedua
proposisional dapat berpindah tempat tanpa mengubah nilai kebenaran dari kedua ekspresi logika. Hal itu disebut komutatif.
Jadi: (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Demikian juga dengan perangkai , maka: (A ˅ B) ≡ (B ˅ A)
Demikian juga dengan perangkai ↔, maka: (A ↔ B) ≡ (B ↔ A)
Sifat komutatif dari ketiga perangkai di atas dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran.
Perangkai → (implikasi) tidak memiliki sifat komutatif karena memiliki tabel kebenaran yang berbeda. Lihat tabel kebenaran berikut:
A B A→B A→B
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
Jadi terbukti bahwa kedua ekspresi logika A→Bdengan B→A keduanya tidak ekuivalen.
Latihan soal:
4.
Asosiatif
Penempatan tanda kurung biasa pada suatu ekspresi logika memegang peranan penting. Jika diterapkan pada dua buah ekspresi logika, penempatan tanda kurung biasa dapat diubah tanpa mengubah nilai kebenaran pada tabel kebenaran, maka disebut asosiatif.
Contoh:
((A B) C) dan (A (B C))
Maka tabel kebenarannya adalah:
A B C A B (A B) C B C A (B C)
T T T T T T T
T T F T F F F
T F T F F F F
T F F F F F F
F T T F F T F
F T F F F F F
F F T F F F F
F F F F F F F
Jadi dapat dibuktikan bahwa ((A B) C) ≡ (A (B C))
Latihan soal:
Buktikan bahwa ((A B) C) ≡ (A (B C))
5.
Hukum logika
Jika ingin membuat ekspresi logika, maka variabel proposisional harus diganti dulu seperti berikut:
A = Anda belajar B = Anda gagal
Maka ekspresi logika akan menjadi:
1) A → B
2) ¬A B
Dan sekarang dibuktikan bahwa A → B ≡ ¬A B dengan menggunakan tabel kebenaran:
A B A → B ¬A ¬A B
T T T F T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
Ternyata A → B ≡ ¬A B karena memiliki nilai kebenaran yang sama di tabel
kebenaran. Pada tabel kebenaran dapat dibuktikan bahwa perangkai → dapat diganti dengan perangkai ¬ dan .
Beberapa hukum ekuivalensi logika disajikan dalam daftar dibawah ini:
1. Hukum Komutatif A B ≡ B A A B ≡ B A 2. Hukum Asosiatif (A B) C ≡ A (B C) (A B) C ≡ A (B C) 3.Hukum Distributif A (B C) ≡ (A B) (A C) A (B C) ≡ (A B) (A C) 4. Hukum Identitas A T ≡ A A F ≡ A
5. Hukum Ikatan A T ≡ T A F ≡ F
6. HukumNegasi A ¬A ≡ T A ¬A ≡ F 7. Hukum Negasi ganda ¬(¬A) ≡ A
8. Hukum Idempoten A A ≡ A A A ≡ A 9. Hukum De Morgan ¬(A B) ≡ ¬A ¬B ¬(A B) ≡ ¬A ¬B 10.Hukum Absorbsi A (A B) ≡ A A (A B) ≡ A
Latihan soal:
Buktikan ekuivalensi kedua pernyataan berikut:
1) Jika Badu tidak sekolah, maka Badu tidak akan pandai. 2) Jika Badu pandai, maka Badu pasti sekolah.
Latihan soal:
Buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini ekuivalen dengan menggunakan tabel kebenaran:
1. ¬A ↔ B ≡ (¬A B) (¬B A)
2. A → (¬A → B) ≡ T
3. (A ¬B) → C ≡¬A B) C
4. A → (B → C) ≡ (A → B) C
